2023年北京市平谷区高考数学质检试卷（3月份）（含答案解析）

这是一份2023年北京市平谷区高考数学质检试卷（3月份）（含答案解析），共17页。试卷主要包含了 已知抛物线C， 点M、N在圆C等内容，欢迎下载使用。
2023年北京市平谷区高考数学质检试卷（3月份）1.  已知集合，，则(    )A.  B.  C.  D. 2.  复数z满足，则复数z对应的点在(    )A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3.  下列函数中，是偶函数且在上单调递减的是(    )A.  B.  C.  D. 4.  已知函数，则不等式的解集是(    )A.  B.
C.  D. 5.  向量在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则(    )
A.  B. 4 C. 2 D. 6.  已知抛物线C：，点O为坐标原点，并且经过点，若点P到该抛物线焦点的距离为2，则(    )A.  B.  C. 4 D. 7.  已知为等比数列，，公比为q，则“”是“对任意的正整数n，”的(    )A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件8.  在平面直角坐标系xOy中，角以Ox为始边，终边与单位圆交于点，则(    )A.  B.  C.  D. 9.  点M、N在圆C：上，且M、N两点关于直线对称，则圆C的半径(    )A. 最大值为 B. 最小值为 C. 最小值为 D. 最大值为10.  已知，则______ .11.  已知双曲线的离心率为2，则实数______ .12.  记函数的最小正周期为若，为的零点，则的最小值为__________.13.  设函数，的值域是______ ，设，若恰有两个零点，则a的取值范围为______ .14.  如图，矩形ABCD中，，M为BC的中点，将沿直线AM翻折，构成四棱锥，N为的中点，则在翻折过程中，
①对于任意一个位置总有平面；
②存在某个位置，使得；
③存在某个位置，使得；
④四棱锥的体积最大值为
上面说法中所有正确的序号是______ .15.  在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
求角B的大小；
若，求的面积.16.  如图，在三棱柱中，D，E，G分别为，AC，的中点，与平面交于点F，，，
求证：F为的中点；
再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线FG与平面BCD所成角的正弦值.
条件①：平面平面；
条件②：
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
17.  “绿水青山就是金山银山”，某地区甲乙丙三个林场开展植树工程，年的植树成活率统计如表：表中“/”表示该年末植树： 2011年2012年2013年2014年2015年2016年2017年2018年2019年2020年甲92////乙///丙规定：若当年植树成活率大于，则认定该年为优质工程.
从乙林场植树的年份中任抽取两年，求这两年都是优质工程的概率；
从甲、乙、丙三个林场植树的年份中各抽取一年，以X表示这3年中优质工程的个数，求X的分布列；
若乙丙两个林场每年植树的棵数不变，能否根据两个林场优质工程概率的大小，推断出这两个林场植树成活率平均数的大小？18.  已知椭圆经过两点，设过点的直线椭圆交E于M，N两点，过M且平行于y轴的直线与线段AB交于点T，点H满足
求椭圆E的方程：
证明：直线HN过定点.19.  已知函数
当时，求曲线在点处的切线方程；
讨论的单调性；
若对任意恒有，求a的最大值.20.  对于每项均是正整数的数列：、、⋯、，定义变换，将数列A变换成数列：n、、、…、对于每项均是非负整数的数列B：、、⋯、，定义变换，将数列B各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列；又定义……设是每项均为正整数的有穷数列，令…
如果数列为5、1、3，写出数列、；
对于每项均是正整数的有穷数列A，证明；
证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列，存在正整数K，当时，
答案和解析 1.【答案】C 【解析】解：因为集合，，
所以
故选：
由并集的定义求解即可．
本题主要考查了集合并集定义的应用，属于基础题．
 2.【答案】D 【解析】解：，
则，
故复数z对应的点在第四象限．
故选：
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
 3.【答案】B 【解析】解：对于A，由题意可知的定义域为R，，
所以是偶函数且在上不是单调递减，不符合题意；故A错误；
对于B，由题意可知的定义域为R，，所以是偶函数且在上单调递减，符合题意；故B正确；
对于C，由题意可知的定义域为R，，所以是偶函数且在上单调递增；不符合题意；故C错误；
对于D，的定义域为，不是偶函数，不符合题意；故D错误；
故选：
利用基本初等函数的奇偶性及单调性，结合各选项进行判断即可．
本题主要考查了基本初等函数的单调性及奇偶性的判断，属于基础题．
 4.【答案】C 【解析】解：由题意可得函数的定义域为，
因为与在均为单调递增函数，
所以在为单调递增函数，
因为，
所以的解集为
故选：
求出函数的定义域，判断出函数在定义域上为单调递增函数，求出函数的零点，即可得答案．
本题主要考查了利用函数的单调性解函数值不等式，属于基础题．
 5.【答案】A 【解析】解：如图，

把向量平移到同一起点，得出，然后把平移到同一起点，则：，

故选：
可把向量平移到同一起点，从而得出，然后把平移到同一起点，再进行数量积的运算即可．
本题考查了向量减法的三角形法则，向量数量积的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．
 6.【答案】D 【解析】解：抛物线准线方程为，由焦半径可知：，解得，
则C：，此时，
则
故选：
由焦半径公式列出方程，求出，得到，求出的长．
本题主要考查抛物线的性质，属于基础题．
 7.【答案】B 【解析】解：由题意得，，
若，因为的符号不确定，所以无法判断的符号；
反之，若，即，可得，
故“”是“对任意的正整数n，”的必要而不充分条件．
故选：
根据题意，由等比数列的通项公式可得，然后分别验证充分性以及必要性即可得到结果．
本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，考查了数列的函数特征，属于基础题．
 8.【答案】A 【解析】解：平面直角坐标系xOy中，角以Ox为始边，终边与单位圆交于点，
，，，
则，
故选：
由题意，利用任意角的三角函数的定义，二倍角的余弦公式，计算求得结果．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．
 9.【答案】C 【解析】解：由圆C：，得，
圆心C为，半径为，
由题意可得直线经过圆心，
，即，
半径为
当时，圆C的半径的最小值为
故选：
将圆的一般方程化为标准方程，得出圆心坐标和半径的表达式，利用已知条件，得到圆心在直线上，结合二次函数的性质即可求解．
本题考查直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，属中档题．
 10.【答案】 【解析】解：为x的系数，则，
故答案为：
根据展开式特点得到为x的系数，然后利用组合数公式进行计算即可．
本题主要考查二项式定理的应用，根据条件确定为x的系数是解决本题的关键，是基础题．
 11.【答案】 【解析】解：表示双曲线，，
则，，，
，解得
故答案为：
由已知可得a与b，求出c，再由双曲线的离心率公式求解．
本题考查双曲线的标准方程与几何性质，是基础题．
 12.【答案】3 【解析】【分析】本题主要考查余弦函数的图象和性质，考查了方程思想，属于基础题．
由题意，结合余弦函数的周期和零点，建立相关的方程求解即可．【解答】解：函数的最小正周期为，
若，则，
所以
因为为的零点，所以，
故，，所以，，
则的最小值为
故答案为：  13.【答案】 【解析】解：当时，，当时，，所以函数的值域为
作出函数图象，如图所示：

因为恰有两个零点，则方程恰有两个解，
从而函数与有两个交点，
易知图象是恒过点的直线，如图所示：

当时，函数与有一个交点，
当时，函数与有一个交点，
又当时，，则，
所以，故在点处的切线为，
即，
故当时，函数与有一个交点，
所以要使函数与有两个交点，
则，
即恰有两个零点时，a的取值范围为
故答案为：；
求时的值域及的值域，最后求并集即可或者利用图象法观察值域；数形结合即可求出参数a的范围．
本题考查了指数函数、幂函数的性质，导数的综合运用，转化思想、数形结合思想，作出图象是关键，属于中档题．
 14.【答案】①④ 【解析】解：如图，分别取，AD的中点为E，F，连接EN，EM，，FM，

因为，的中点分别为E，N，所以，且，
即四边形ENCM为平行四边形，故，由线面平行的判定可知对于任意一个位置总有平面，故①正确；
因为，所以与EM不垂直，由可知，与NC不垂直，故②错误；
由题意，若，则由线面垂直的判定可得平面，则，
因为，所以与全等，则，此时点与点F重合，不能形成四棱锥，故③错误；
如图，取AM的中点为G，连接，，

当平面AMCD时，四棱锥的体积最大，最大值为，故④正确；
故答案为：①④．
证明，结合线面平行判定判断①；由结合与EM不垂直，判断②；由线面垂直的判定得出点与点F重合，从而判断③；取AM的中点为G，连接，当平面AMCD时，四棱锥的体积最大，从而判断④．
本题主要考查线线、线面位置关系的判断，棱锥体积的求法，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题．
 15.【答案】解：，
，
，，
，，
，
，
；
由知，，
，
，
，
由正弦定理，得，
故 【解析】根据已知条件及同角三角函数的商数关系，结合三角形内角的特点及特殊值对应的特殊角即可求解；
根据的结论及三角形的内角和定理，再利用两角和的正弦公式及正弦定理，结合三角形面积公式即可求解．
本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．
 16.【答案】证明：由三棱柱的性质知，，
又平面，平面，
所以平面，又因为平面，
平面平面，
所以，因为E为AC的中点，所以F为的中点．
解：选条件①，因为平面平面，平面平，
又因为为AC的中点，所以，
所以平面，又因为平面，所以，
又因为，，，
AC，平面，所以平面，
如图建立空间直角坐称系

由题意得，，，，，
，
设平面BCD的法向量，
，，
取，则，，
平面BCD的法向量，
又，
设直线FG与平面BCD所成的角为，
则，
所以直线FG与平面BCD所成角的正弦值为
选条件②，因为，
则，所以，又因为，
，BC，平面ABC，所以平面ABC，
因为为AC的中点，所以，
如图建立空间直角坐称系

由题意得，，，，，

设平面BCD的法向量，
，，
，则，，
平面BCD的法向量，
又，
设直线FG与平面BCD所成的角为，
则，
所以直线FG与平面BCD所成角的正弦值为 【解析】由线面平行的性质定理可证得，即可证明；
根据条件建立空间直角坐标系，求出各点坐标，求出平面BCD的一个法向量和直线FG的方向向量，利用向量的夹角公式计算即可．
本题考查了线面平行的性质定理以及直线与平面所成的角的计算问题，属于中档题．
 17.【答案】解：乙林场植树共7年，其中优质工程有4年，
从乙林场植树的年份中任抽取两年，这两年都是优质工程为事件A，
所以
甲林场植树共6年，其中优质工程有3年，
乙林场植树共7年，其中优质工程有4年，
丙林场植树共10年，其中优质工程有5年，
则X的可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
则X的分布列为：X0123P不能根据两个林场优质工程概率的大小，推断出这两个林场植树成活率平均数的大小．
因为乙、丙两个林场优质工程概率分别为，且
则设乙、丙林场植树成活率平均数分别为，，，
所以乙、丙这两个林场植树成活率平均数分别为：，，且丙林场植树成活率大于乙林场植树成活率，
所以不能根据两个林场优质工程概率的大小，推断出这两个林场植树成活率平均数的大小． 【解析】由古典概率的计算公式代入即可得出答案；
求出X的可能取值，分别计算出其概率，即可得出分布列；
分别求出两个林场植树成活率平均数即可判断．
本题主要考查概率的求法，离散型随机变量分布列，平均数的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
 18.【答案】解：设E的方程为且，
将两点代入得，
解得，，
故E的方程为；
证明：由可得线段AB：①，
①若过点的直线过原点，直线代入，
可得，代入，可得，得到，
求得 HN方程：，过点
②分析可得过的直线的斜率存在，设，，，
联立，得，
，，
，，

，
点H满足为MH的中点，
联立，可得，
可求得此时HN：，
将代入整理得，
将代入，得，
显然成立．
综上，可得直线HN过定点 【解析】设E的方程为且，将A，B两点坐标代入即可求解；
由可得线段AB：，①若过点的直线过原点，直线为代入，根据即可求解；②若过的直线的斜率存在，设，，，，联立，得，结合韦达定理和已知条件即可求解．
本题考查了直线与椭圆的综合应用，属中档题．
 19.【答案】解：因为，所以，
因为，所以
故曲线在点处的切线方程为
的定义域为，
当时，，即函数在，上单调递增．
当时，，即函数在，上单调递增．
当时，
令，解得，
若时，；
若时，；
即函数在上单调递增，在上单调递减．
综上所述，
当时，在，上单调递增．
当时，在上单调递增，在上单调递减．
由可知，当时，在上单调递增，恒有；
当时，由可知，在上单调递减，
存在，使得，故不合题意；
综上，，即a的最大值为2 【解析】根据导数的几何意义得出切线方程；
分类讨论a的值，利用导数得出单调性；
当，由单调性得出恒有，当，存在，使得，从而得出a的最大值．
本题主要考查了利用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题，应注意如下几方面：
在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域；
不能随意将函数的2个独立的单调递增或递减区间写成并集形式；
利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用．
 20.【答案】解：：5、1、3，：3，4，0，2，：4，3，2；
：3，4，3，2，：4，3，3，
证明：设每项均是正整数的有穷数列A为，，…，，
则为n，，，…，，
从而……
又……，
所以………，
故
证明：设A是每项均为非负整数的数列，，
当存在，使得时，交换数列A的第i项与第j项得到数列B，
则
当存在，使得时，若记数列，，为C，
则
所以
从而对于任意给定的数列，由
可知
又由可知，所以
即对于，要么有，要么有
因为是大于2的整数，所以经过有限步后，必有
即存在正整数K，当时， 【解析】由：5，1，3，求得再通过求解．
设有穷数列A求得再求得，由，两者作差比较．
设A是每项均为非负整数的数列，，在存在，有时条件下，交换数列A的第i项与第j项得到数列B，在存在，使得时条件下，若记数列，，…，为C，由，得到是大于2的整数，所以经过有限步后，必有
本题是一道由一个数列为基础，按着某种规律新生出另一个数列的题目，要注意新数列的前几项一定不能出错，一旦出错，则整体出错．