2023年北京市石景山区高考数学一模试卷（含答案解析）

2023年北京市石景山区高考数学一模试卷

1.  已知集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  在复平面内，复数z对应的点的坐标为，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知双曲线的离心率是2，则(    )

A. 12 B.  C.  D.

4.  下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递减的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  设，，则“”是“”的(    )

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

6.  已知数列满足：对任意的m，，都有，且，则(    )

A.  B.  C.  D.

7.  若函数的部分图象如图所示，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度单位：与燃料的质量单位：，火箭除燃料外的质量单位：的函数关系是当燃料质量与火箭质量的比值为时，火箭的最大速度可达到若要使火箭的最大速度达到，则燃料质量与火箭质量的比值应为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  已知直线l：被圆C：所截得的弦长为整数，则满足条件的直线l有(    )

A. 6条 B. 7条 C. 8条 D. 9条

10.  已知正方体的棱长为2，点P为正方形ABCD所在平面内一动点，给出下列三个命题：
①若点P总满足，则动点P的轨迹是一条直线；
②若点P到直线与到平面的距离相等，则动点P的轨迹是抛物线；
③若点P到直线的距离与到点C的距离之和为2，则动点P的轨迹是椭圆.
其中正确的命题个数是(    )

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

11.  向量，，若，则______ .

12.  抛物线C：的焦点坐标为______ ，若抛物线C上一点M的纵坐标为2，则点M到抛物线焦点的距离为______ .

13.  若的展开式中含有常数项，则正整数n的一个取值为______ .

14.  设函数
①若，则的最大值为______ ；
②若无最大值，则实数a的取值范围是______ .

15.  项数为的有限数列的各项均不小于的整数，满足，其中给出下列四个结论：
①若，则；
②若，则满足条件的数列有4个；
③存在的数列；
④所有满足条件的数列中，首项相同.
其中所有正确结论的序号是______ .

16.  如图，在中，，，点D在边BC上，
求AD的长；
若的面积为，求AB的长.

17.  某高校“植物营养学专业”学生将鸡冠花的株高增量作为研究对象，观察长效肥和缓释肥对农作物影响情况.其中长效肥、缓释肥、未施肥三种处理下的鸡冠花分别对应1，2，3三组.观察一段时间后，分别从1，2，3三组随机抽取40株鸡冠花作为样本，得到相应的株高增量数据整理如表.

假设用频率估计概率，且所有鸡冠花生长情况相互独立.
从第1组所有鸡冠花中各随机选取1株，估计株高增量为厘米的概率；
分别从第1组，第2组，第3组的所有鸡冠花中各随机选取1株，记这3株鸡冠花中恰有X株的株高增量为厘米，求X的分布列和数学期望；
用“”表示第k组鸡冠花的株高增量为“”表示第k组鸡冠花的株高增量为厘米，，2，3，直接写出方差，，的大小关系结论不要求证明

18.  如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD为等腰直角三角形，且，点F为棱PC上的点，平面ADF与棱PB交于点
求证：；
从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，求平面PCD与平面ADFE所成锐二面角的大小.
条件①：；
条件②：平面平面ABCD；
条件③：
注：如果选择的条件不符合要求，第问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.

19.  已知椭圆C：过点，且离心率为
求椭圆C的方程；
过点且互相垂直的直线，分别交椭圆C于M，N两点及S，T两点.求的取值范围.

20.  已知函数

当时，

求曲线在点处的切线方程；

求证：，

若在上恰有一个极值点，求m的取值范围.

21.  若无穷数列满足以下两个条件，则称该数列为数列.
①，当时，；
②若存在某一项，则存在…，，使得且
若，写出所有数列的前四项；
若，判断数列是否为等差数列，请说明理由；
在所有的数列中，求满足的m的最小值.

答案和解析

1.【答案】A 

【解析】解：因为，
因为，得，解得，
所以集合，
所以
故选：
先将两个集合化简，用区间表示法表示，然后求并集即可．
本题主要考查了一元二次不等式的解法，以及集合的基本运算，属于基础题．
 

2.【答案】C 

【解析】解：复数z对应的点的坐标为，
则，
 故
故选：
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．
 

3.【答案】B 

【解析】解：根据题意可得，，
，
故选：
根据双曲线的几何性质，方程思想，即可求解．
本题考查双曲线的几何性质，方程思想，属基础题．
 

4.【答案】D 

【解析】解：A项，，则是奇函数，在定义域内没有单调性，不符合；
B项，，则是偶函数，不符合；
C项，，则是奇函数，
，则在R上单调增，不符合；
D项，，则是奇函数，
在R上单调减，在R上单调增，则函数在定义域上单调减，符合．
故选：
利用定义判断函数的奇偶性，利用图象和函数的性质判断单调性即可．
本题考查函数的奇偶性，单调性，属于基础题．
 

5.【答案】A 

【解析】解：①当时，，，，，
当且仅当时取等号，，充分性成立，
②当时，比如，时，成立，但不成立，
必要性不成立，
是的充分不必要条件．
故选：
根据基本不等式的性质和举实例，再结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据基本不等式的性质是解决本题的关键．
 

6.【答案】B 

【解析】解：由题意，令，
，
令，
，
令，，

故选：
根据题干递推公式先令，计算出的值，再令，计算出的值，最后令，，计算出的值，即可得到正确选项．
本题主要考查数列由递推公式求某项的值．考查了整体思想，转化与化归思想，指数的运算能力，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
 

7.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查三角函数的解析式的求法，考查数形结合思想和运算能力，
由图象可得 ，得，结合五点法可得，即可得的值．
 

【解答】

解：根据函数的部分图象，
，
所以，
由图象可得，，
得，
故选

8.【答案】D 

【解析】解：设燃料质量与火箭质量的比值为x时，火箭的最大速度达到，
由题意可知，，
，
，
，
，
即要使火箭的最大速度达到，则燃料质量与火箭质量的比值应为，
故选：
设燃料质量与火箭质量的比值为x时，火箭的最大速度达到，则，，结合对数的运算性质求出x的值即可．
本题主要考查了函数的实际应用，考查了对数的运算性质，属于中档题．
 

9.【答案】B 

【解析】解：由圆C：，得圆心，
直线l：可化为，即直线过定点
圆心到定点的距离为，
直线l：被圆C：所截得的最短弦长为，
又过定点的最长的弦长为10，
过点垂直x轴的直线与圆C所截得的弦长恰好为不是整数，
弦长为整数时直线l共有7条．
故选：
先确定直线过定点，再计算直线被圆截得的最短弦长、最长的弦长，即可求得结论．
本题考查直线与圆的位置关系，考查圆中弦长的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
 

10.【答案】C 

【解析】解：如图所示，建立空间直角坐标系，
①连接，，由正方体的性质可得平面，
而平面平面，
点P的轨迹是一条直线BC，因此①正确；
②设，，点P到直线与到平面的距离相等，
，化为，
动点P的轨迹是抛物线，因此②正确；
③设，，，
到直线的距离与到点C的距离之和为2，
，化为
动点P的轨迹是线段CD，因此③不正确．
综上只有①②正确，
故选：
建立空间直角坐标系，
①连接，，利用正方体的性质可得平面，平面平面，即可判断出点P的轨迹方程，进而判断出①的正误；
②设，，根据点P到直线与到平面的距离相等，可得，化简即可得出动点P的轨迹方程，进而判断出②的正误；
③设，，，根据P到直线的距离与到点C的距离之和为2，可得，化简即可判断出动点P的轨迹方程，进而判断出③的正误．
本题考查了正方体的性质、线面垂直的判定定理及性质定理、两点之间的距离公式，考查了空间想象能力与推理能力，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：，，，
，
，
故答案为：
利用向量的坐标运算求解即可．
本题考查了向量的坐标运算，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：抛物线C：中，所以焦点坐标为；
由抛物线的定义可得
故答案为：；
根据抛物线标准方程可得焦点坐标，利用拋物线定义可得点M到抛物线焦点的距离．
本题考查了抛物线的性质，属于基础题．
 

13.【答案】答案不唯一 

【解析】解：的展开式通项公式为，
令，即，
不妨取，即，
故正整数n的一个取值为
故答案为：答案不唯一
先求得二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，再结合n为正整数，即可求解．
本题主要考查二项式定理，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：①若，则，
，
当时，，此时函数为增函数，
当时，，此时函数为减函数，
故当时，的最大值为2；
②，
令，则，
若无最大值，则，或，
解得：
故答案为：2，
①将代入，求出函数的导数，分析函数的单调性，可得当时，的最大值为2；
②若无最大值，则，或，解得答案．
本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的最值，分类讨论思想，难度中档．
 

15.【答案】①②④ 

【解析】解：因为有限数列的各项均不小于的整数，
所以，，，
又因为，
所以……，
所以，且，为整数，
所以，所以③错误，④正确；
当时，得，所以，则，故①正确；
当时，得，
又因为，
所以，则，
所以，为整数，
则的可能取值为，0，1，2，对应的的取值为6，4，2，0，
故数列可能为，，6；，0，4；，1，2；，2，0，共4个，故②正确．
故答案为：①②④．
由题意可得…，所以，，从而可判断③，④；
当时，得，所以，则，从而判断①；
当时，可得，则的可能取值为，0，1，2，对应的的取值为6，4，2，0，从而可得数列，即可判断②．
本题考查了有穷数列的性质、不等式的性质，也考查了逻辑推理能力，属于中档题．
 

16.【答案】解：，，且，
，
根据正弦定理，
可得；
，
，
，得，
又，
由余弦定理得，
 

【解析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求的值，利用正弦定理可求AD的值．
由已知利用三角形的面积公式可求BD的值，利用诱导公式可求的值，根据余弦定理可求AB的值．
本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，三角形的面积公式，诱导公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属中档题．
 

17.【答案】解：设事件A为“从第1组所有鸡冠花中随机选取1株，株高增量为厘米”，
根据题中数据，第1组所有鸡冠花中，有20株鸡冠花增量为厘米，
所以估计为
设事件B为“从第2组所有鸡冠花中随机选取1株，株高增量为厘米”，
设事件C为“从第3组所有鸡冠花中随机选取1株，株高增量为厘米”，
根据题中数据，估计为，估计为，
根据题意，随机变量X的所有可能取值为0，1，，且
；
；
；
，
则X的分布列为：

所以
，
理由如下：
，所以，；
同理可得，
所以 

【解析】根据表格数据，第1组所有鸡冠花中随机选取1株，得厘米的总数，由古典概型概率公式可得结果；
首先估计各组鸡冠花增量为厘米的概率，然后可确定X所有可能的取值，根据独立事件概率公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据数学期望计算公式可求得期望；
由两点分布方差计算公式可求得，，的值，由此可得大小关系．
本题主要考查离散型随机变量的期望和方差，属于中档题．
 

18.【答案】解：证明：底面ABCD是正方形，，
平面PBC，平面PBC，
平面PBC，
平面ADF与PB交于点E，
平面ADFE，平面平面，

选条件①②，
侧面PAD为等腰直角三角形，且，
即，，
平面平面ABCD，
平面平面，平面PAD，
则平面ABCD，又ABCD为正方形，
，，，
以点A为坐标原点，AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，，
，点E为PB的中点，则，
，，，
设平面ADEF的法向量为，
则，令，得，
设平面PCD的法向量为，
则，取，得，
，
平面PCD与平面ADFE所成锐二面角的大小为；
选条件①③，
侧面PAD为等腰直角三角形，且，即，，
，，且两直线在平面内，可得平面PAB，
平面PAB，则，
，，且两直线在平面内，
则平面ADEF，平面ADEF，则，
，为等腰三角形，点E为PB的中点，
，是等腰直角三角形，且，
即，，
平面平面ABCD，
平面平面，平面PAD，
则平面ABCD，又ABCD为正方形，
，，，
以点A为坐标原点，AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，，
，点E为PB的中点，则，
，，，
设平面ADEF的法向量为，
则，令，得，
设平面PCD的法向量为，
则，取，得，
，
平面PCD与平面ADFE所成锐二面角的大小为；
选条件②③，
侧面PAD为等腰直角三角形，且，
即，，平面平面ABCD，
平面平面，平面PAD，
则平面ABCD，ABCD为正方形，
，，，
，，且两直线在平面内，
则平面ADFE，平面ADFE，则，
，是等腰三角形，为PB的中点，
，是等腰直角三角形，且，
即，，
平面平面ABCDm
平面平面，平面PAD，
则平面ABCD，又ABCD为正方形，
，，，
以点A为坐标原点，AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，，
，点E为PB的中点，则，
，，，
设平面ADEF的法向量为，
则，令，得，
设平面PCD的法向量为，
则，取，得，
，
平面PCD与平面ADFE所成锐二面角的大小为 

【解析】根据条件可以证明平面PBC，再利用线面平行的性质定理即可证明；
选条件①②可以证明出AB，AD，AP两两垂直，建立空间直角坐标系，求出相应坐标，再求出两平面的法向量，进而求出结果，选条件①②或②③，同样可以证明求解．
本题考查线线平行的判定与性质、二面角的求法，考查运算求解能力，是中档题．
 

19.【答案】解：由题意可得，解得，，
所以椭圆的方程为：；
法设直线的参数方程为为参数，为直线的倾斜角，
将直线的方程代入椭圆的方程可得：，
整理可得：，设，分别为M，N的参数，
可得，所以，
因为，所以直线的参数方程为，即为参数，
代入椭圆的方程可得，
设，为S，T的参数，则，
所以，
所以，
当时，则，
当时，则
综上所述：
法当直线的斜率不存在时，则的斜率为0，
可得直线的方程为，代入椭圆的方程可得，解得，设，，
这时，
直线的方程为，代入椭圆的方程可得，解得，设，，
这时，
这时；
同理可得当直线的斜率不存在时，则的斜率为0时，
；
当两条直线的斜率存在且不为0时，
设直线的方程为，点在直线上，则，即，
联立，整理可得：，
P在椭圆内部，所以，，，
则，
同理可得，
所以，，
设，，
同理可得，，
，，
所以，
综上所述的取值范围为 

【解析】由过的点的坐标及离心率的值，可得a，b的值，进而求出椭圆的方程；
法设直线，的参数方程代入椭圆的方程，可得M，N，S，T的参数，进而求出及的表达式，求出的代数式，由角的范围，可得它的取值范围；
法两条直线的斜率不存在和斜率为0及直线的斜率都存在且都不为0三种情况讨论，设直线的方程，与椭圆的方程联立，可得两根之和及两根之积，进而求出的表达式，由题意可得的表达式，再求的表达式，进而可得它的取值范围．
本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合应用，参数方程的应用，属于中档题．
 

20.【答案】解：当时，，
，又，所以切线l方程为
，，因为，所以，，
所以，所以，
所以在单调递增，所以
，，
当时，所以，
，
由知，，
所以在上单调递增．
所以当时，没有极值点，
当时，，
因为与在单调递增，
所以在单调递增，
所以，，
所以使得，
所以当时，，因此在区间上单调递减，
当时，，因此在区间上单调递增，
故函数在上恰有一个极小值点，m的取值范围是 

【解析】当时，求导，根据导数几何意义求解切点坐标与斜率，即可得切线方程；根据导函数的正负确定函数的单调性，即可得函数的最值，即可证明结论；
根据极值点与函数的关系，对m进行讨论，确定导函数是否存在零点进行判断，即可求得m的取值范围．
本题主要考查利用导函数研究函数的极值和最值，属于中档题．
 

21.【答案】解：由条件①知，当时，或，
因为，由条件①知，
所以数列的前四项为：1，，1，；1，，1，5；1，，3，；1，，3，7；
若，数列是等差数列，
由条件①知，当时，或，
因为，所以
假设数列中存在最小的正整数，使得，
则，，，⋯，单调递增，
由则，，，⋯，均为正数，且
所以，由条件②知，则存在，使得，
此时与，，，⋯，均为正数矛盾，
所以不存在整数，使得，即，
所以数列为首项为1，公差为4的等差数列．
由及条件②，
可得，，，⋯，，必为数列中的项，记该数列为，有，
不妨令，由条件①，或均不为；
此时或或或，均不为，
上述情况中，当，时，，
结合，则有
由，得即为所求． 

【解析】先根据条件①去绝对值可得或，由得，再根据条件逐个列举即可；
由条件①知，当时，或，由得，利用反证法假设数列中存在最小的正整数，使得，根据单调性结合条件②可知假设不成立，即可得结论；
先根据条件②可得必为数列中的项，再结合条件①可得分析即可．
本题考查了数列的综合应用，属于中档题．