2023年辽宁省鞍山市普通高中高考数学一模试卷（含答案解析）

2023年辽宁省鞍山市普通高中高考数学一模试卷

1.  若，则(    )

A.  B.  C. 1 D. 2

2.  设全集，集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了是质数的猜想，直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出，不是质数．现设…，表示数列的前n项和．若，则(    )

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

4.  已知平面向量与的夹角为，，，则的值为(    )

A.  B. 2 C. 4 D.

5.  已知，则(    )

A.  B.  C.  D.

6.  为了支援山区教育，现在安排5名大学生到3个学校进行支教活动，每个学校至少安排1人，其中甲校至少要安排2名大学生，则不同的安排方法共有种(    )

A. 50 B. 60 C. 80 D. 100

7.  已知圆锥的母线长为2，侧面展开图扇形的面积为，那么该圆锥的体积是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  函数是定义在R上的偶函数，且，若，，则(    )

A. 4 B. 2 C. 1 D. 0

9.  为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入调查数据整理得到如图频率分布直方图，根据此频率分布直方图，下面结论中正确的是(    )

A. 该地农户家庭年收入低于万元的农户比率估计为
B. 该地农户家庭年收入的中位数约为万元
C. 估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于万元至万元之间
D. 估计该地农户家庭年收入的平均值不超过万元

10.  已知函数的最小正周期为，且的图象过点，则下列结论中正确的是(    )

A. 的最大值为
B. 的图象一条对称轴为
C. 在上单调递减
D. 把的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象

11.  已知，分别是双曲线的左、右焦点，点M是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段，为直径的圆经过点M，则(    )

A. 双曲线C的渐近线方程为
B. 以线段为直径的圆的方程为
C. 点M的横坐标为2或
D. 的面积为

12.  如图所示，从一个半径为单位：的圆形纸板中切割出一块中间是正方形，四周是四个正三角形的纸板，以此为表面舍弃阴影部分折叠成一个正四棱锥，则以下说法正确的是(    )

A. 四棱锥的体积是
B. 四棱锥的外接球的表面积是
C. 异面直线PA与CD所成角的大小为
D. 二面角所成角的余弦值为
 

13.  在的展开式中，常数项是______ .

14.  若函数的图像在点处的切线方程为，则实数______ .

15.  若正实数a，b满足，则的最小值为______ .

16.  已知椭圆C：的左、右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相切，则C的离心率为________.

17.  设数列的前n项和为，且满足，
求数列的通项公式；
若，求数列的前n项和

18.  在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，延长BC至D，使，的面积为
求AB的长；
求外接圆的面积．

19.  甲、乙、丙三人，为了研究某地区高中男生的体重单位：与身高单位：是否存在较好的线性关系，他们随机调查了6位高中男生身高和体重的数据，得到如下表格：

根据表中数据计算得到y关于x的线性回归方程对应的直线的斜率为
求y关于x的线性回归方程；
从该地区大量高中男生中随机抽出10位男生，他们身高单位：的数据绘制成如图的茎叶图.①估计体重超过60kg的频率p，②视频率为概率，从该地区大量高中男生中随机选出2人，记这2人中体重超过60kg的人数为X，求X的分布列及其数学期望用中的回归方程估测这10位男生的体重

20.  如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，为等边三角形，且面底面
若M为BC中点，求证：；
求面PAD与面PBC所成二面角的余弦值．

21.  已知抛物线C的顶点是坐标原点O，对称轴为x轴，焦点为F，抛物线上点A的横坐标为1，且
求抛物线C的方程；
过抛物线C的焦点作与x轴不垂直的直线l交抛物线C于两点M，N，直线分别交直线OM，ON于点A和点B，求证：以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点.

22.  已知函数
求函数的单调区间；
若对任意的都有成立，求a的取值范围.

答案和解析

1.【答案】D 

【解析】

【分析】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出，再求出
【解答】
解：由，得，
，则，

故选：  

2.【答案】C 

【解析】

【分析】
本题主要考查集合的基本运算，属于基础题．
根据集合的基本运算即可求解．
【解答】
解：，，
，
，
，
故选：  

3.【答案】B 

【解析】解：因为，所以，
所以是等比数列，首项为1，公比为2，所以
所以，解得，
故选：
利用数列的递推关系式，求出通项公式，然后通过等比数列求解数列的和，然后求解n即可．
本题考查数列的递推关系式的应用，等比数列的判断，数列求和，考查计算能力．
 

4.【答案】B 

【解析】

【分析】
本题考查了向量的数量积定义，还考查了向量的模的求解公式，属于基础题．
由题意利用求解．.
【解答】
解：向量与的夹角为，，，
，
，
故选：  

5.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查了二倍角公式，诱导公式等知识，属于基础题．
根据诱导公式，找出所求角与已知角之间的关系，结合二倍角公式运算．

【解答】

解：，
又，
所以，
故答案选：

6.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题主要考查排列与组合的综合应用，两个计数原理的运用，是较易题．
讨论甲校安排3人，2人，剩余部分分成两组，然后进行安排即可．

【解答】

解：若甲校安排3名大学生，则其余两所学校只能各安排1名大学生，则有种，
若甲校安排2名大学生，剩余3名大学生分成2组，一组1人一组2人，然后再进行安排，有种，
共有种，
故选

7.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题考查了圆锥的侧面展开图的理解与应用，圆锥体积公式的应用，解题的关键是掌握圆锥侧面展开图的弧长等于底面周长，半径等于圆锥的母线长，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
设圆锥的底面半径为r，高为h，由圆锥的侧面积求出r，再由勾股定理求出h，由体积公式求解即可．

【解答】

解：设圆锥的底面半径为r，高为h，，
因为侧面展开图扇形的面积为，
所以，解得，
又圆锥的母线长为2，
所以，
则
故本题选

8.【答案】B 

【解析】解：因为，且是定义在R上的偶函数，
所以，
令，则，
所以，即，
所以函数的周期为2，
所以
故选：
根据，结合是定义在R上的偶函数，易得函数的周期为2，然后由求解．
本题考查抽象函数的性质以及应用，涉及函数奇偶性、对称性的应用，属于中档题．
 

9.【答案】ABC 

【解析】

【分析】

本题主要考查频率分布直方图的应用，考查读取数据的能力，属于基础题．
对于ABC，通过求解对应的频率，即可依次判断，对于D，结合平均值的计算公式，即可求解．

【解答】

解：对于A，该地农户家庭年收入低于万元的农户比率估计为，故A正确，
对于B，家庭年收入介于万元至万元之间的频率为，
故该地农户家庭年收入的中位数约为万元，故B正确，
对于C，家庭年收入介于万元至万元之间的频率为，故C正确，
对于D，估计该地农户家庭年收入的平均值为
，故D错误．
故选：

10.【答案】AC 

【解析】

【分析】
本题主要考查三角函数的图象和性质，根据条件求出函数的解析式是解决本题的关键，是中档题．
根据条件求出函数的解析式，利用三角函数的最值性，对称性以及单调性的性质分别进行判断即可．
【解答】
解：，
最小正周期为，
，解，
，
的图象过点，
，即，
，解得，，
，
当时，，
则，
则最大值为，故A正确；
，故B错误；
当时，，此时为减函数，故C正确；
把的图象向左平移个单位长度，得到无法得到的图象，故D错误．
故选：  

11.【答案】CD 

【解析】解：由双曲线方程知：，，的渐近线方程为，A错误；
，为直径的圆方程为，B错误；
由得：或，点M的横坐标为2或，C正确；
，，D正确．
故选：
根据双曲线方程得a，b，c，由此可得渐近线方程和以为直径的圆的方程，知AB正误；联立渐近线与圆的方程，可求得M坐标，由此可判断CD正误．
本题考查了双曲线的性质，属于基础题．
 

12.【答案】BCD 

【解析】

【分析】

本题考查四棱锥的结构特征，考查了异面直线成角问题，考查了二面角计算问题，属于中档题．
A，根据四棱锥体积公式计算判断；B，根据四棱锥的外接球表面公式计算判断；C，用平移直线法求异面直线成角判断；D，寻找二面角的平面角，用余弦定理求值判断．

【解答】

解：设正方形边长为x，则由如图1知，

又因为，所以，解得，
所以四周的四个正三角形边长也为2，

连接BD、AC交于点M，
对于A，因为平面ABCD，又平面ABCD，
所以，
因为，，所以，
所以，故A错误；
对于B，因为，
所以四棱锥的外接球的半径为，
所以四棱锥的外接球的表面积为，故B正确；
对于C，因为，所以异面直线PA与CD所成角等于，
又因为为正三角形，所以，故C正确；
对于D，取PB中点H连接AH，CH，则，，
所以二面角的平面角为，
，故D正确．
故选
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了二项展开式的特定项，考查了学生的运算能力，属于基础题．
求出展开式的通项公式，然后令x的指数为0，即可求解．
【解答】
解：二项式的展开式的通项公式为，
令，解得，
则展开式的常数项为
故答案为：  

14.【答案】 

【解析】解：，则，依题意有，
则
故答案为：
利用导数和切线斜率间的关系求实数a的值．
本题主要考查了导数几何意义在切线方程求解中的应用，属于基础题．
 

15.【答案】5 

【解析】解：，，且，
，当且仅当，即，时，等号成立，
即的最小值为
故答案为：
由题意可知，，再利用基本不等式求解即可．
本题主要考查了基本不等式的应用，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】

【分析】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
根据直线与圆的位置关系，可得圆心到直线的距离等于半径，可得出a和b的关系，进而可得出a和c关系，即可求出
【解答】
解：，，
以线段为直径的圆与直线相切，
，化为：
椭圆的离心率，
故答案为  

17.【答案】解：由数列满足，
，，
数列是公差为2的等差数列，
，
，解得，
；
，
数列的前n项和 

【解析】本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
由数列满足，可得，因此数列是公差为2的等差数列，利用通项公式与求和公式，结合，解得，即可得出；
，利用分组求和法即可得出数列的前n项和
 

18.【答案】解：在中，，，
由余弦定理得，
，，
故为正三角形，设AB长为x，则，，
的面积，
即，解得或，
的长为1或

由可知为正三角形，
，或，，
，，
又，
由余弦定理可知，
设外接圆的半径为R，由正弦定理得，可得，
外接圆的面积为 

【解析】本题考查等边三角形、正余弦定理、三角形面积公式，属于中档题．
利用余弦定理可得A，可得为正三角形，利用三角形面积计算公式即可得出
根据为正三角形可得，利用余弦定理与正弦定理即可得出外接圆的半径R，即可得出外接圆的面积．
 

19.【答案】解：依题意可知，
，，
，
故y关于x的线性回归方程为
令，得，
故这10位男生的体重有3位体重超过60kg，
则重超过60kg的频率，
视频率为概率时，
从该地区大量高中男生中随机选出2人，记这2人中体重超过60kg的人数为X，
则，
 

【解析】分别求出x，y的平均数，求出回归方程的系数，求出回归方程即可；
计算可得这10位男生的体重有3位体重超过60kg，得到超过60kg的频率，由题意所求人数服从二项分布，即可求出分布列和数学期望．
本题考查了线性回归方程以及分布列和数学期望问题，属于中档题．
 

20.【答案】证明：取AD中点O，连接OM、OP，
因为为等边三角形，M为BC中点，所以，
因为面底面ABCD，面底面，
所以平面ABCD，
因为OB，平面ABCD，所以，，
因为底面ABCD为直角梯形，，所以，
又因为，所以，
所以，所以，
所以
解：取AB中点N，由题意知，四边形NBCD是正方形，是等腰直角三角形，
所以，所以OA、ON、OP两两垂直，建系如图，
则，，，
，，
记，
因为，，所以是平面PBC的法向量，
易知平面PAD的一个法向量是，
所以平面PAD与面PBC所成二面角的余弦值为 

【解析】本题考查了直线与平面的位置关系，考查了两平面夹角的计算问题，属于中档题．
只要证明即可；
建立空间直角坐标系，用向量数量积计算两平面夹角的余弦值．
 

21.【答案】解：由题意可设抛物线方程为、，
由可得，
即，
解得，
所以抛物线方程为：
证明：设直线，
由联立得，
则，
直线OM的方程为，与联立可得，
同理可得，
以AB为直径的圆方程为，
令，则，
即，
解得或，
即以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点和 

【解析】由可得p的方程，解方程求得p的值，从而得到抛物线方程；
设出直线l的方程并与抛物线方程联立，解得A，B坐标，从而可得以AB为直角的圆的方程，进而可得该圆所过的定点．
本题考查了抛物线的方程，圆锥曲线的综合，属于中档题．
 

22.【答案】解：该函数的定义域为，
，
①当时，恒成立，函数的递增区间为；
②当时，令，解得或，
所以函数的递增区间为，递减区间为，
所以当时，函数的递增区间为；
当时，函数的递增区间为，递减区间为
对任意的都有成立，只需任意的
①当时，在上是增函数，所以只需，而，所以满足题意；
②当时，，在上是增函数，所以只需，
而，所以满足题意；
③当时，，在上是减函数，在上是增函数，
所以只需即可，
而，
从而不满足题意；
综上①②③可得：实数a的取值范围为 

【解析】先求出导函数，然后对a进行讨论即和，分别判断其单调区间即可；
将已知问题转化为任意的分三种情况进行讨论①，②，③，进而判断其是否满足题意，即可得出所求的答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性、最值与极值，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属于较难题．