2023年辽宁省盘锦高级中学高考数学一模试卷（含答案解析）

这是一份2023年辽宁省盘锦高级中学高考数学一模试卷（含答案解析），共18页。试卷主要包含了 下列说法中正确的是，84，则P=0等内容，欢迎下载使用。
2023年辽宁省盘锦高级中学高考数学一模试卷1.  若集合，，则(    )A.  B.  C.  D. 2.  设复数，则在复平面内对应的点位于(    )A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3.  公元1715年英国数学家布鲁克泰勒在他的著作中陈述了“泰勒公式”，如果满足一定的条件，泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值构建一个多项式来近似表达这个函数.泰勒公式将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数，使得它成为分析和研究许多数学问题的有力工具，例如：，其中，，试用上述公式估计的近似值为精确到(    )A.  B.  C.  D. 4.  已知函数在处的切线与直线平行，则二项式展开式中的系数为(    )A. 70 B.  C. 56 D. 5.  有3名男生，4名女生，在下列不同条件下，错误的是(    )A. 任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案有70种
B. 全体站成一排，男生互不相邻有1440种
C. 全体站成一排，女生必须站在一起有144种
D. 全体站成一排，甲不站排头，乙不站排尾有3720种6.  已知球O的半径为2，四棱锥的顶点均在球O的球面上，当该四棱锥的体积最大时，其高为(    )A.  B. 2 C.  D. 7.  已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线上，且，的延长线交双曲线于点Q，若双曲线的离心率为，则(    )A.  B.  C.  D. 8.  已知函数，，若对于任意的实数x恒有，则实数a的取值范围是(    )A.  B.  C.  D. 9.  下列说法中正确的是(    )A. 一组数据7，8，8，9，11，13，15，17，20，22的第80百分位数为17
B. 若随机变量，且，则
C. 袋中装有除颜色外完全相同的4个红球和2个白球，从袋中不放回的依次抽取2个球．记事件第一次抽到的是白球，事件第二次抽到的是白球，则
D. 已知变量x、y线性相关，由样本数据算得线性回归方程是，且由样本数据算得，，则10.  已知圆C：，直线l：则下列结论正确的是(    )A. 当时，圆C上恰有三个点到直线l的距离等于1
B. 对于任意实数m，直线l恒过定点
C. 若圆C与圆恰有三条公切线，则
D. 若动点D在圆C上，点，则线段DE中点M的轨迹方程为11.  已知抛物线C：，C的准线与x轴交于K，过焦点F的直线l与C交于A，B两点，连接AK、BK，设AB的中点为P，过P作AB的垂线交x轴于Q，下列结论正确的是(    )A.  B.
C. 的面积最小值为 D. 12.  已知数列满足，，为数列的前n项和，则下列说法正确的有(    )A. n为偶数时， B.
C.  D. 的最大值为2013.  已知，是单位向量，若，则______.14.  已知直线l：与抛物线C：交于A，B两点，F为抛物线C的焦点，若，则实数k的值为______ .15.  二十四节气歌是古人为表达人与自然宇宙之间独特的时间观念，科学揭示天文气象变化规律的小诗歌，它蕴含着中华民族悠久文化内涵和历史积淀，体现着我国古代劳动人民的智慧，其中四句“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连；秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒”中每句的开头一字代表着季节，每一句诗歌包含了这个季节中的6个节气.若从24个节气中任选2个节气，则这2个节气恰好不在一个季节的概率为______ .16.  已知函数，其中，，恒成立，且在区间上恰有3个零点，则的取值范围是______.17.  已知正项数列和，为数列的前n项和，且满足，
分别求数列和的通项公式；
将数列中与数列相同的项剔除后，按从小到大的顺序构成数列，记数列的前n项和为，求18.  如图，四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，，，
求证：平面ABCD；
求直线BD与平面BPC所成角的正弦值．
19.  已知在中，
求角C的大小；
若与的内角平分线交于点I，的外接圆半径为2，求周长的最大值．20.  近两年因为疫情的原因，线上教学越来越普遍了.为了提升同学们的听课效率，授课教师可以选择在授课过程中进行专注度监测，即要求同学们在10秒钟内在软件平台上按钮签到，若同学们能够在10秒钟内完成签到，则说明该同学在认真听课，否则就可以认为该同学目前走神了.经过一个月对全体同学上课情况的观察统计，平均每次专注度监测有的同学能够正常完成签到.为了能够进一步研究同学们上课的专注度情况，我们做如下两个约定：
①假设每名同学在专注度监测中出现走神情况的概率均相等；
②约定每次专注度监测中，每名同学完成签到加2分，未完成签到加1分.
请回答如下两个问题：
若一节课老师会进行3次专注度监测，那么某班同学在3次专注度监测中的总得分的数学期望是多少？
记某位同学在数次专注度监测中累计得分恰为n分的概率为比如：表示累计得分为1分的概率，表示累计得分为2的概率，求：
①的通项公式；
②的通项公式.21.  已知双曲线C：的右焦点为F，点M，N分别为双曲线C的左、右顶点，过点F的直线l交双曲线的右支于P，Q两点，设直线MP，NP的斜率分别为，，且
求双曲线C的方程；
当点P在第一象限，且时，求直线l的方程.22.  已知函数
当时，证明：；
若有两个零点，且，求的取值范围.
答案和解析 1.【答案】D 【解析】解：集合，
，

故选：
利用并集的定义直接求解．
本题考查集合的运算，考查并集的定义、不等式性质等基础知识，考查计算能力，是基础题．
 2.【答案】D 【解析】解：复数，

对应点的坐标为，
即在复平面内对应的点位于第四象限．
故选：
化简复数为代数形式，即可判断对应点所在象限．
本题考查复数的运算，复数的几何意义，是基础题．
 3.【答案】B 【解析】解：由题意可知，结果只需精确到即可，
令，取前6项可得：
，
所以的近似值为，
故选：
根据泰勒级数公式，令，代入即可求解．
本题考查了新定义的简单应用，理解题意并正确取合适的值即可，属于中档题．
 4.【答案】A 【解析】解：，则，
依题意，直线的斜率为8，则，
所以展开式中含的项为，则其系数为
故选：
对函数求导，求得，结合题意可得，再由二项式定理即可得解．
本题考查导数的几何意义，两直线平行的条件以及二项式定理的运用，考查运算求解能力，属于基础题．
 5.【答案】C 【解析】解：对于A，任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案的种，故A正确；
对于B，先排女生，将4名女生全排列，有种方法，
再排男生，由于男生互不相邻，可以在女生之间及首尾空出5个座位中任选3个空位排男生，有种排法，
共有种方法，故B正确；
对于C，将女生看成一个整体，考虑女生之间的顺序，有种情况，
再将女生的整体与3巧克力瘤生在一起进行全排列，有种情况，
共有种排法，故C错误；
对于D，若甲站在排尾则有种排法，若甲不站在排尾有种排法，
有种排法，故D正确．
故选：
根据两个计数原理和排列组合的知识，计算每个选项，能求出结果．
本题考查排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 6.【答案】D 【解析】解：令球O的内接四棱锥为，四边形ABCD外接圆半径为r，，对角线AC，BD的夹角为，
则四边形ABCD的面积，
当且仅当，，即四边形ABCD为正方形时取等号，
由球的结构特征知，顶点P为直线与球面O的交点，并且球心O在线段上，四棱锥的高最大，如图，

，高，
因此四棱锥的最大体积关系式为：，令
则，
求导得，
当时，，单调递增，当时，，单调递减
所以当时，，此时，
所以当该四棱锥的体积最大时，其高为
故选：
根据给定条件，确定四棱锥体积最大时为正四棱锥，设出底面外接圆半径，求出体积函数式，再利用导数求解作答．
本题主要考查棱锥的体积公式，多面体外接球问题，考查利用导数研究函数的最值，考查运算求解能力，属于中档题．
 7.【答案】B 【解析】解：不妨令点P在第一象限，设，，
焦点三角形的面积为，
解得，
又，，
则，，双曲线方程为，
将代入得，，即，
设直线为，
联立，得，
，，，代入直线得，即，
由双曲线的焦半径公式得，
，，，
，
则，
故选：
由焦点三角形的面积列方程，解出点P的纵坐标，利用离心率化简双曲线方程，可得点P的横坐标；联立直线和双曲线方程，得出点Q的坐标，再由焦半径公式求出PQ和，得出答案．
本题考查直线与双曲线的位置关系，考查双曲线第二定义的应用，考查学生计算能力，属于中档题．
 8.【答案】A 【解析】解：对于任意的实数x恒有，即有，
即，显然，
时，显然成立；由偶函数的性质，只要考虑的情况．
当时，，
即为，
由，则，考虑的导数为，
即递减，即有，即，
则有，故，
即有，解得
则实数a的取值范围为
故选：
对于任意的实数x恒有，即有，即，显然，运用参数分离和二倍角公式可得，求出右边函数的范围，即可得到a的范围．
本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用分类讨论的思想方法和转化思想，考查导数的运用：判断单调性，属于中档题．
 9.【答案】BD 【解析】解：对于A，共有10个数，，
所以数据的第80百分位数为，故A错误，
对于B，随机变量，且，
，
，
，故B正确，
对于C，由题意可知，，
，故C错误，
对于D，线性回归方程是经过样本点的中心，
，解得，故D正确，
故选：
根据百分位数的定义判断A，根据正态分布的对称性可判断B，根据条件概率公式可判断C，将代入回归方程，即可判断D选项．
本题主要考查了百分位数的定义，考查了正态分布曲线的对称性，以及条件概率公式，属于基础题．
 10.【答案】BCD 【解析】解：圆C：的圆心坐标为，半径，
当时，直线l：，圆心C到直线l的距离，
，圆C上只有2个点到直线l的距离等于1，故A错误；
化直线l为，联立，解得，
直线l过定点，故B正确；
圆C与曲线恰有三条公切线，两圆外切，
由，得，
，解得，故C正确；
设DE中点，，由中点坐标公式可得，所以，
又因为点D在圆：上，所以可得：，
所以，故D正确．
故选：
由圆的方程求得圆心坐标与半径，把代入直线l的方程，求出圆心到直线l的距离判断A；由直线系方程可得l过定点，再由定点在圆内判断B；由圆C与曲线恰有三条公切线，可得两圆外切，由圆心距与半径的关系列式求解a判断C；求出圆心C关于l的对称点的坐标，求出对称圆的方程判断
本题考查直线系方程的应用，考查直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，是中档题．
 11.【答案】BD 【解析】解：设直线AB的倾斜角为，即，则，，，
对于A选项：若，则，则根据角平分线的性质可得，x轴为的角平分线，但 x轴不一定是的角平分线，故A错误；
对于B选项：过A作轴，垂足为D，

则，，
所以，故B正确；
对于C选项：，
当，即时，取等号，
故的面积最小值，故C错误；
对于D选项：，两式相减，
，
所以PQ方程为，令，，则，
所以，
所以，所以，故D正确；
故选：
设直线AB的倾斜角，即，则，，，根据角平分线的性质判断A选项错误；
过A作轴，垂足为D，表示出，，即可判断B正确；
由，数形结合即可判断C选项错误；
求出直线PQ的方程，令，求出Q的横坐标，求出，即可判断它们的关系，由此判断D选项正确．
本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查不等式性质的应用，点差法，考查数形结合思想，属于难题．
 12.【答案】AC 【解析】解：由，
当n为奇数时，，
当n为偶数时，，故A对；
故B错；
，故C对；
的最大值为，故D错．
故选：
利用数列的递推关系式，求解数列的通项公式判断A；求出数列的和判断B；求解，判断C；求出的最大值，判断
本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查计算能力，是中档题．
 13.【答案】 【解析】解：由题意可知，，
，且，
，即，

故答案为：
由已知求得，再由向量模的计算公式求解．
本题考查平面向量数量积的性质及运算，考查向量模的求法，是基础题．
 14.【答案】或 【解析】解：设交点，，由于直线l：过抛物线C：的焦点，
所以将代入，整理可得，
则，，
又由抛物线的定义可得，，
由可得，代入，可得，
解之得或舍去，故时，，
代入可得，
故答案为：或
联立直线l与抛物线C可得，利用韦达定理可得到，利用抛物线的定义和可求出，，即可求解．
本题考查直线与抛物线的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
 15.【答案】 【解析】解：从24个节气中任选2个节气的事件总数有：，
从24个节气中任选2个节气，这2个节气恰好在一个季节的事件总数有：，
从24个节气中任选2个节气，这2个节气恰好不在一个季节的事件总数有：，
所以
故答案为：
可先求得从24个节气中任选2个节气，这2个节气恰好在一个季节的事件总数，利用对立事件的性质，求出从24个节气中任选2个节气，这2个节气恰好不在一个季节的事件总数，利用古典概型概率公式计算可得．
本题主要考查古典概型概率公式，属于基础题．
 16.【答案】 【解析】解：函数，其中，， 恒成立，
，，，
，
结合的范围，可得或
①当时，，
由，且，可得
在区间上恰有3个零点，，
，即，
即，即
综合可得，
②当时，，
由，且，可得
在区间上恰有3个零点，，
，即，
即
综合可得，此时，
综上，结合①②可得，，
故答案为：
由题意，利用正弦函数的周期性、零点和最值，分类讨论，求得的范围．
本题主要考查了正弦函数的周期性、零点和最值，属中档题．
 17.【答案】解：正项数列和，为数列的前n项和，且满足，①
当时，整理得；
当时，，②，
①-②得：，
整理得常数，
所以数列是以2为首项，2为公差的等差数列；
所以首项符合通项，
故
由于，整理得，
根据的结论，
所以数列的前8项依次为：2、4、8、16、32、64、128、256、
对应数列第1、2、4、8、16、32、64、128项，
故数列的前100项为数列的前107项，剔除数列的前7项的数列，
设数列的前n项和为，数列的前n项和为，
所以 【解析】直接利用递推关系式和对数的运算的公式的应用求出数列的通项公式；
利用分组法的应用求出数列的和．
本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法，数列的求和，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 18.【答案】解：证明：由于，，所以，
由于，，PD、平面PAD，所以平面PAD，
平面PAD，由平面PAD，得
取CD的中点E，连接BE，
因为底面ABCD是直角梯形，且，，
故四边形ABED为矩形，且且，
，
所以在中，，，，即，
由于，AB、平面ABCD，
所以平面
平面ABCD，，以点A为坐标原点，AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则、、、、，
则，，，
设平面BPC的法向量为，则，
取，可得，
所以，
所以，直线BD与平面BPC所成角的正弦值为 【解析】取CD的中点E，连接BE，证明出，，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立；
点A为坐标原点，AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线BD与平面BPC所成角的正弦值．
本题考查线面垂直的判定以及利用空间向量求解线面角，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题．
 19.【答案】解：，且，
，即，

，，，即
的外接圆半径为2，
由正弦定理知，，，
，，
与的内角平分线交于点I，
，，

设，则，且，
在中，由正弦定理得，，
，，
的周长为
，
，，
当，即时，的周长取得最大值，为，
故的周长的最大值为 【解析】本题考查解三角形与三角函数的综合，熟练掌握正弦定理、两角和差公式、二倍角公式和辅助角公式等基本公式是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
根据三角形的内角和定理与二倍角公式可推出，再利用辅助角公式，即可求得C的值；
先由正弦定理求得AB的长，由角平分线的性质知，设，在中，由正弦定理可推出，，然后结合两角差公式、辅助角公式，即可得解．
 20.【答案】解：设某班同学在3次专注度监测中完成签到的次数为X，由题可知，，
故，
设某班同学3次专注度监测的总得分为Y，
根据题意，故，
故某班同学在3次专注度监测中的总得分的数学期望是；
①由题可知，，，
根据题意，，故可得，
故数列为首项，公比为的等比数列，
则，
②根据上式可得，
则，
故的通项公式 【解析】根据二项分布的期望求解，求得三次监测中完成签到次数的数学期望，再求结果即可；
求得，，的递推关系，结合等比数列的通项公式，即可求得；再结合累加法，以及等比数列前n项和公式，即可求得
本题主要考查了二项分布的期望公式，考查了等比数列的性质和前n项和公式，属于中档题．
 21.【答案】解：由双曲线C：，知左右顶点M，N的坐标为，，
设，则，，，
又，，
，，
双曲线C的方程为；
设直线PQ的方程为，，，
，
同理可得，又，，，
由，消去x得，
，，
，，，解得或舍去，
直线l的方程为，即 【解析】设，则，，由题意可得，求解即可；
设直线PQ的方程为，，，由，可得，联立直线与椭圆方程可得，，求出m的值，进而可求直线l的方程．
本题考查求双曲线的方程和性质，直线方程的求法，考查运算求解能力，属中档题．
 22.【答案】证明：当时，，则
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则，故
解：由题意得，
则，，
从而，，，
故，
因为，所以，即，
设，则
设，则
设，则，
由可知在R上恒成立，
从而在上单调递增，
故，即在上恒成立，
所以在上单调递增，所以，
即，即的取值范围为 【解析】，求导得，则；
由题得，，则，，，则，从而设，得到，利用导数研究函数的值域，则得到的范围．
本题主要考查利用导数研究函数的最值，不等式的证明，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于难题．