2023年辽宁省铁岭市六校协作体高考数学质检试卷（含答案解析）

2023年辽宁省铁岭市六校协作体高考数学质检试卷

1.  设，，若，则实数a的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  复数z满足，则复数z的共轭复数的虚部为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  “”是“方程表示双曲线”的(    )

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

4.  唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯如图1所示，它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体如图当这种酒杯内壁表面积假设内壁表面光滑，表面积为S平方厘米，半球的半径为R厘米固定时，若要使得酒杯的容积不大于半球体积的2倍，则R的取值范围为(    )
 

A.  B.  C.  D.

5.  已知点A，B，C在半径为5的球面上，且，，P为球面上的动点，则三棱锥体积的最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  已知定义在R上的偶函数对任意都有，当取最小值时，的值为(    )

A. 1 B.  C.  D.

7.  已知各项为正的数列的前n项和为，满足，则的最小值为(    )

A.  B. 4 C. 3 D. 2

8.  倾斜角为的直线经过双曲线C：的右焦点F，与双曲线C的右支交于A，B两点，且，则双曲线C的离心率的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  下列命题正确的是(    )

A. 若，为复数，则
B. 若为向量，则 
C. 若，为复数，且，则
D. 若为向量，且，则

10.  甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以，，表示由甲箱中取出的是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是(    )

A.  B.
C. 事件B与事件相互独立 D. 、、两两互斥

11.  在正方体中，，点P满足，其中，，则下列结论正确的是(    )

A. 当平面时，不可能垂直
B. 若与平面所成角为，则点P的轨迹长度为
C. 当时，正方体经过点、P、C的截面面积的取值范围为
D. 当时，的最小值为

12.  已知函数则以下结论正确的是(    )

A. 函数为增函数
B. ，
C. 若在上恒成立，则n的最小值为2
D. 若关于x的方程有三个不同的实根，则

13.  已知平面向量，，满足，，则______ .

14.  已知函数，若，，，则的值为______ .

15.  设复数，满足，，则______.

16.  如图所示，高尔顿钉板是一个关于概率的模型，每一黑点表示钉在板上的一颗钉子，它们彼此的距离均相等，上一层的每一颗的水平位置恰好位于下一层的两颗正中间.小球每次下落时，将随机的向两边等概率的落下.当有大量的小球都落下时，最终在钉板下面不同位置收集到小球.现有5个小球从正上方落下，则恰有3个小球落到2号位置的概率是______ .

17.  已知的三边长为a、b、c，且其中任意两边长均不相等．若，，成等差数列．
比较与的大小，并证明你的结论．
求证：B不可能是钝角．

18.  已知数列中，，，且
设，试用表示，并求的通项公式；
设，求数列的前n项和

19.  如图，在三棱台中，三棱锥的体积为，的面积为4，，且平面
求点B到平面的距离；
若，且平面平面，求二面角的余弦值．

20.  已知椭圆C：的焦距长为，点在C上.
求C的方程；
过点的直线与C交于A、B两点均异于点，若直线PA，PB的斜率都存在，分别设为，，试判断是否为定值，如果是，请求出的值；如果不是，请说明理由.

21.  第22届世界杯于2022年11月21日到12月18日在卡塔尔举办.在决赛中，阿根廷队通过点球战胜法国队获得冠军.
扑点球的难度一般比较大.假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有的可能性扑不到球.不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑到点球的个数X的分布列和期望；
好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲、乙、丙三名前锋队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外2人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住，记第n次传球之前球在甲脚下的概率为，易知，
①证明：为等比数列；
②设第n次传球之前球在乙脚下的概率为，比较与的大小.

22.  已知函数
若，讨论的单调性；
若，，求a的取值范围.

答案和解析

1.【答案】A 

【解析】解：，
，，

故选：
先求出集合M，再根据，即可求得a的取值范围．
本题主要考查了集合包含关系的应用，属于基础题．
 

2.【答案】A 

【解析】解：，
，
，其虚部为
故选：
把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
 

3.【答案】A 

【解析】解：若方程表示双曲线，则，
得，
即“”是“方程表示双曲线”的充分条件和必要条件，
故选：
根据双曲线的定义求出k的范围，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合双曲线的定义求出k的范围是解决本题的关键．
 

4.【答案】D 

【解析】

【分析】

考查了组合体的体积和表面积计算，属于基础题．
根据题意，酒杯内壁表面积为圆柱与半球的表面积，列出S的表达式，再求出体积V，解不等式即可．

【解答】

解：设圆柱的高度与半球的半径分别为h，R，则，则，
所以酒杯的容积，
又，所以，
所以，解得
故答案选：

5.【答案】A 

【解析】解：在中，由，，
得，
，设的外接圆的半径为r，
则，即，
又三棱锥的外接球的半径，
则球心到外接圆圆心的距离为
则当P到平面ABC距离最大时，三棱锥的体积最大，
此时P到平面ABC的最大距离为，
三棱锥体积的最大值为
故选：
利用余弦定理求得，得到，求得三角形ABC外接圆的半径，由勾股定理求出球心到平面ABC的距离，得到点P到平面ABC的最大距离，再由棱锥体积公式求的最大值．
本题考查多面体外接球体积的最大值的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．
 

6.【答案】A 

【解析】解：函数

，
又为偶函数，所以，；
解得，；
又，所以；
所以；
又对任意都有，
所以，
解得，
所以，；
解得，；
又，所以的最小值是2，
此时
故选：
利用三角函数恒等变换化简函数，根据为偶函数求出的值；再由，结合题意求得的最小值，即可计算的值．
本题主要考查了三角函数恒等变换，正弦函数的图象和性质，以及特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用问题．
 

7.【答案】D 

【解析】解：各项为正的数列的前n项和为，满足，①
，，
当时，，②
①-②整理得：，
可得，舍
即数列是首项为1，公差为2的等差数列，
，
，
，
当且仅当，即时，等号成立，
即的最小值为2，
故选：
根据数列的递推关系式求得数列是首项为1，公差为2的等差数列，进而求得的表达式，结合基本不等式即可求得结论．
本题主要考查数列递推关系式的应用，考查计算能力，属于中档题．
 

8.【答案】D 

【解析】解：设l为双曲线的右准线，过A、B作AD，BE垂直于l，D，E为垂足，
过A作于G，
根据双曲线的第二定义，得
，，
，，
不妨设，
，
，
，
，
，，同理可证，
所以可得，
由题意可得直线斜率，
，根据，，
即，，则，可得，
，，，，
即，，，即离心率的取值范围是
故选：
根据，，计算可得双曲线C的离心率的取值范围．
本题考查双曲线的离心率，属中档题．
 

9.【答案】ACD 

【解析】解：选项A，设，，，
所以，
，即A正确；
选项B，因为，，所以，即B错误；
选项C，因为，所以，即，所以，即C正确；
选项D，因为，所以，即，
所以，即，故D正确．
故选：
选项A，设，，根据复数的乘法运算法则和模长的计算方式，可判断；
选项B，根据平面向量数量积的运算法则，即可判断；
选项C，将两边平方，化简可得；
选项D，将两边平方，化简可得
本题考查平面向量，熟练掌握平面向量、复数的混合运算法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

10.【答案】BD 

【解析】解：A选项，，，，
故，A错误；
B选项，，故，B正确；
C选项，因为，故，所以事件B与事件不相互独立，C错误；
D选项，因为，故、、两两互斥，D正确．
故选：
A选项，利用独立事件和互斥事件概率公式计算出；
B选项，根据条件概率计算公式计算出；
C选项，根据得到C错误；
D选项，由互斥事件的概念进行判断．
本题主要考查条件概率公式，属于基础题．
 

11.【答案】BD 

【解析】解：对A，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，，，
所以，，
则，，设平面的一个法向量为，
所以，令，则，即平面的一个法向量为，
若平面，则，即，
由，则，即P为中点时，有平面，且，故A错误；
对B，因为平面，连接，则即为与平面所成角，

若与平面所成角为，则，所以，
即点P的轨迹是以为圆心，以1为半径的个圆，于是点P的轨迹长度为，故B正确；
对C，因为，所以点P一定在上，又因为当或1时，的面积取最大值，此时截面面积为，
设的中点为H，由图形的变化可得当点P在DH和运动时，所得截面对称相同，
于是当时，的面积取最小值，此时截面面积为，故C错误；
对D，如图，将平面与平面沿展成平面图形，

线段即为的最小值，
利用余弦定理可知，
所以，故D正确．
故选：
对A，作出如图空间直角坐标系，由向量法结合向量垂直判断即可；
对B，由几何关系得出与平面所成线面角，可得，则点P的轨迹是以为圆心，以1为半径的个圆；
对C，由得点P在上，利用几何关系可得的面积最值在端点及中点位置；
对D，将平面与平面沿展成平面图形，线段即为的最小值，利用余弦定理即可求．
本题主要考查直线与平面所成的角，线面平行的性质定理，空间向量法的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
 

12.【答案】BCD 

【解析】解：作出函数的图象如图，

由图可知，在定义域内不是单调函数，故A错误；
，故B正确；
，由图可知，当时，恒成立，n的最小值为2，故C正确；
，即，
得或舍去
由图可知，若有三个不同实数根，则得故D正确．
故选：
由已知函数解析式作出函数图象，数形结合，逐一分析四个选项得答案．
本题考查分段函数的应用，考查数形结合思想，考查运算求解能力，是中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：已知平面向量，，满足，
则，
即，
不妨设，，，
又，
则，，
则，
故答案为：
由平面向量数量积的运算，结合平面向量数量积的坐标运算求解即可．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量数量积的坐标运算，属基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：根据题意，，
因为，，，所以，
所以，，
所以，，
所以，
故
故答案为：
根据辅助角公式得到，求出，从而得到，，结合诱导公式，同角三角函数关系及正切二倍角公式求出答案．
本题主要考查了辅助角公式和二倍角公式的应用，考查了三角函数的图象和性质，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：复数，满足，，所以，
，
得

又，故
故答案为：
利用复数模的计算公式和复数的运算性质，求解即可．
熟练掌握复数的运算法则和纯虚数的定义、复数模的计算公式是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图所示，先研究一个小球从正上方落下的情况，11，12，13，14指小球第2层到第3层的线路图，
以此类推，小球所有的路线情况如下：


，，，，，，，，，，，，，，，，共16种情况，其中落入2号位置的有4种，
所以每个球落入2号位置的概率为，
所以5个小球从正上方落下，则恰有3个小球落到2号位置的概率为
故答案为：
先研究一个小球从正上方落下的情况，从而可求出一个小球从正上方落下落到2号位置的概率，进而可求出5个小球从正上方落下，则恰有3个小球落到2号位置的概率
本题主要考查古典概型的问题，熟记概率的计算公式即可，属于常考题型．
 

17.【答案】解：的三边长为a、b、c，且其中任意两边长均不相等，，，成等差数列，

，

证明：，
，
，
不可能是钝角． 

【解析】由条件可得，可得
由条件得到，利用基本不等式变形，可得出的范围，利用余弦函数的图象与性质，以及特殊角的三角函数值，根据B为三角形的内角，即可求出B的范围．
此题考查了余弦定理，等差、等比数列的性质，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及性质是解本题的关键，属于中档题．
 

18.【答案】解：，，
所以，所以，
所以，
，
所以
 

【解析】根据提示将条件进行转化即可；
根据两角差的正弦公式可将化为裂项式求和．
本题主要考查数列递推式，数列的求和，考查运算求解能力，属于中档题．
 

19.【答案】解：设点B到平面的距离为
因为，三棱锥的体积为，
所以三棱锥的体积为，
又由，得，解得
由已知设，，则，，取的中点M，连接BM，则，
由平面平面知面，故，
又，从而平面，
故，，取AB中点N，则，四边形是平行四边形，，从而为正三角形，故，，
又，，
解得，
在平面内作于G，则，在平面内，作于H，连接，
因为平面平面，平面平面，
所以平面，又平面，所以，
又，平面，平面，所以平面，
又平面，所以，
则二面角的平面角为
在直角中，，故，即所求二面角的余弦值为
法二：取的中点M，连接BM，则，由平面平面知面，故，又，从而平面
故，以A为原点，分别以AB，AC，所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

设，，则，，取AB中点N，则，四边形是平行四边形，，从而为正三角形，故，，
又，得，，
则，，，
设面的法向量，由，得，
设面的法向量，由，得，
故，即所求二面角的余弦值为 

【解析】根据等积转化法求点B到平面的距离；
几何法：由平面平面，可作出二面角的平面角，在直角三角形求解；空间向量法：先证明AB，AC，两两垂直后建系，用法向量求二面角的余弦值．
本题主要考查了等体积法求点到平面距离，考查了二面角的求法，同时考查了学生的运算求解能力，属于中档题．
 

20.【答案】解：，，，
在椭圆上，
，解得，，
故椭圆的方程为；
因为过点的直线与C交于A、B两点，所以直线AB斜率存在，
设直线AB方程为，，，
联立得，
即，
当，即时，
，

，
，
，
为定值 

【解析】根据焦距及椭圆过点列出方程求解即可；
设直线AB方程为，联立方程，由根与系数的关系求出，，再由斜率公式直接计算即可得解．
本题考查了直线与椭圆的综合应用，属于中档题．
 

21.【答案】解：的所有可能取值为0，1，2，3，
在一次扑球中，扑到点球的概率，
所以，，，，
所以X的分布列如下：

证明：①第n次传球之前球在甲脚下的概率为，
则当时，第次传球之前球在甲脚下的概率为，
第次传球之前球不在甲脚下的概率为，
则，
即，又，
所以是以为首项，公比为的等比数列．
②由①可知，所以，
所以，
故 

【解析】先计算门将每次可以扑出点球的概率，再列出其分布列，进而求得数学期望；
①记第 n次传球之前球在甲脚下的概率为，则当时，第次传球之前球在甲脚下的概率为，由条件确定，的关系，结合等比数列定义完成证明；
②由①求出，，比较其大小即可．
本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
 

22.【答案】解：当时，，求导可得，，
令，则，
令，解得：，
令，解得，则在上单调递减，
令，解得，则在上单调递增，
所以，当时等号成立，
所以，当时等号成立，
故在上单调递增．
，
由得：当，，即，
①若，，在上单调递减，
由于，所以时，，不符合题意；
②若，令，则，
由于，所以，
所以在上单调递减，即在上单调递减，
由于，
若，，
当时，在上单调递减，
所以，
所以在上单调递增，，符合题意；
若，，而，可得：；
令，则，，
设，则，
当时，，因此在上单调递增，所以，
即，因此，使得，
因此当时，，函数在上单调递减，所以，不符合题意；
综上所述，a的取值范围为 

【解析】需对原函数进行二次求导，再得到其二次求导后的函数最值，再得到一次求导后的函数大于等于0，最后得到原函数的单调性．
对a进行分类讨论，得到符合题意的情况，再利用换元，隐零点等证明部分分类讨论情况不合题意．
本题考查导数的综合运用，对于有些函数一次求导后无法直接得到其单调性，我们需要二次求导再往前推出原函数单调性，分类讨论的数学思想在导数题中经常体现，同时换元法，设隐零点等都是常见的数学技巧，平时要多加积累，属于中档题．