2023年辽宁省县级重点高中联合体高考数学一模试卷（含答案解析）

2023年辽宁省县级重点高中联合体高考数学一模试卷

1.  已知集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知，，且，则(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知双曲线E：的实轴长为，则E的离心率为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知直线是函数图象的一条对称轴，则在上的值域为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  某舞台灯光设备有一种25头LED矩阵灯如图所示，其中有2头LED灯出现故障，假设每头LED灯出现故障都是等可能的，则这2头故障LED灯相邻横向相邻或纵向相邻的概率为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  在棱长为2的正方体中，M，N，F分别为，CD，AB的中点，则三棱锥的外接球的体积为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  已知，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

9.  随着生活水平的不断提高，旅游已经成为人们生活的一部分.某地旅游部门从2022年到该地旅游的游客中随机抽取10000位游客进行调查，得到各年龄段游客的人数和旅游方式，如图所示，则(    )
 

A. 估计2022年到该地旅游的游客中中年人和青年人占游客总人数的
B. 估计2022年到该地旅游的游客中选择自助游的游客占游客总人数的
C. 估计2022年到该地旅游且选择自助游的游客中青年人超过一半
D. 估计2022年到该地旅游的游客中选择自助游的青年人比到该地旅游的老年人还要多

10.  若，，分别是定义在R上的偶函数、奇函数、偶函数，则下列函数是偶函数的是(    )

A.  B.
C.  D.

11.  已知A，B，C是同一条直线上三个不同的点，O为直线外一点.在正项等比数列中，已知，且，则的公比q的值可能是(    )

A.  B.  C.  D.

12.  在中，，，，如图所示，将绕AB逆时针旋转至处，则(    )

A. 在旋转过程中，点C运动的轨迹长度为
B. 点B到平面ACD的距离为
C. 异面直线AD与BC所成的角为
D. 直线AD与平面ABC所成角的正弦值为
 

13.  已知正数a，b满足，则ab最小值为______.

14.  满足直线l：与圆C：有公共点的一个整数______ .

15.  法国数学家加斯帕・蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”.他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆C：，则C的蒙日圆O的方程为______ ；若过圆O上的动点M作C的两条切线，分别与圆O交于P，Q两点，则面积的最大值为______ .

16.  已知函数，若恒成立，则a的取值范围为______ .

17.  已知数列的前n项和为，且，
证明：是等比数列.
若，求数列的前n项和

18.  为了了解男、女学生对航天知识的了解情况，某调查机构进行了一个随机问卷调查总分100分，调查的结果如下表所示.若本次问卷调查的得分不低于90分，则认为该学生非常了解航天知识.

判断是否有的把握认为性别与是否非常了解航天知识有关；
现将3个航天器模型纪念品随机分配给参与本次调查且非常了解航天知识的学生，设获得纪念品的女生人数为X，求X的分布列以及数学期望.
附：，

19.  如图，四棱锥的底面为矩形，，，，平面平面是AD的中点，E是PB上一点，且平面
求的值；
求直线CE与平面POC所成角的正弦值.

20.  如图，在平面四边形ABCD中，，，，，，E为AD的中点，AC与BE相交于点
求的面积；
求的值.

21.  如图，A，B，C，D是抛物线E：上的四个点在x轴上方，C，D在x轴下方，已知直线AC与BD的斜率分别为和2，且直线AC与BD相交于点
若点A的横坐标为6，则当的面积取得最大值时，求点D的坐标.
试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

22.  已知函数
求的最值；
当时，函数的图象与的图象有两个不同的交点，求实数a的取值范围.

答案和解析

1.【答案】C 

【解析】解：因为集合，
，
所以
故选：
求出集合A，B，利用交集定义能求出
本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

2.【答案】A 

【解析】解：，
则，

故选：
根据复数的四则运算可得，进而可求模长．
本题主要复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．
 

3.【答案】D 

【解析】解：因为，
所以，
又因为，，，
所以，
故
故选：
由已知利用两角和与差的正弦公式以及二倍角的正弦公式可得，结合，，可得，进而即可求解．
本题考查了两角和与差的正弦公式以及二倍角的正弦公式在三角函数求值中的应用，考查了方程思想，属于基础题．
 

4.【答案】A 

【解析】解：双曲线E：，由，知E的焦点在x轴上．
因为E的实轴长为，所以，解得或舍去，
则E的离心率为
故选：
利用双曲线的实轴长求解m，然后双曲线的离心率公式求解即可．
本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，是基础题．
 

5.【答案】D 

【解析】解：由题可知，，，即，，
又因为所以，
所以，
由，得，则，
即在上的值域为
故选：
由题意可得，，再根据即可求出的值，再根据正弦函数的图象和性质求解即可．
本题主要考查了正弦函数的图象和性质，属于基础题．
 

6.【答案】A 

【解析】解：每列相邻的LED灯共4对，共有5列，故横向相邻有种；同理纵向相邻也有20种，
所以这2头故障LED灯相邻的概率为
故选：
首先求出横向、纵向相邻的LED灯总对数，再应用古典概型的概率求法求概率．
本题考查古典概型概率公式，属于基础题．
 

7.【答案】B 

【解析】解：正方体中，N，F分别为CD，AB的中点，连接NF，

，平面，平面，
平面，，又，
即和有公共的斜边MN，设MN的中点为O，
则点，点O为三棱锥外接球的球心，
MN为该球的直径，，
，该球的体积
故选：
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可找到球心为MN的中点，从而找到球半径．
本题考查外接球问题，属于中档题．
 

8.【答案】C 

【解析】解：设函数，
则，
所以在上单调递减，
因为，
又，，，
所以，
所以，
故选：
设函数，求导分析的单调性，又，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
 

9.【答案】ABC 

【解析】解：设2022年到该地旅游的游客总人数为a，
结合扇形图可知，游客中老年人、中年人、青年人的人数分别为，，，
结合条形图可知，其中选择自助游的老年人、中年人、青年人的人数分别为，，，
对于A，2022年到该地旅游的游客中中年人和青年人的人数为，故A正确；
对于B，2022年到该地旅游的游客选择自助游的人数为，故B正确；
对于C，2022年到该地旅游且选择自助游的游客的人数为，其中青年人的人数为，故C正确；
对于D，2022年到该地旅游的老年人的人数为，到该地旅游的游客中选择自助游的青年人的人数为，故D错误．
故选：
设2022年到该地旅游的游客总人数为a，游客中老年人、中年人、青年人的人数分别为，，，其中选择自助游的老年人、中年人、青年人的人数分别为，，，再逐项判断即可．
本题考查根据统计图表获取信息，属于基础题．
 

10.【答案】BCD 

【解析】解：由题意得，，
对于函数，则，
则为奇函数；
对于函数，则，
则为偶函数；
对于函数，则，
则为偶函数；
对于函数，则，
则为偶函数．
故选：
根据函数奇偶性的定义逐项判断即可．
本题主要考查了函数的奇偶性的判断，属于中档题．
 

11.【答案】CD 

【解析】解：，B，C是同一条直线上三个不同的点，且，
，，
，，
为正项等比数列，，

故选：
利用三点共线的向量表示得到，再利用等比数列的性质求解即可．
本题考查了三点共线的向量表示，考查了等比数列的性质，属于中档题．
 

12.【答案】BCD 

【解析】解：对于A，过C作，交AB的延长线于O，

则，，
在中，，，所以，，
所以点C运动的轨迹长度为，故选项A错误；
对于B，在中，，，所以，

设点B到平面ACD的距离为h，因为，
所以，
所以，即B到平面ACD的距离为，故选项B正确；
对于C，取OD的中点E，连接BE，

则，连接CE，所以为所求角，
在中，，，，所以，即，
所以异面直线AD与BC所成的角为，故选项C正确；
对于D，过D作，交CO的延长线于F，连接AF，
则平面ABC，所以为所求的平面角，
在中，，，
所以，故选项D正确．
故选：
对于A，过C作，交AB的延长线于O，计算可得，再利用弧长公式求出点C运动的轨迹长度即可判断；对于B，利用等体积法判断即可；对于C，取OD的中点E，连接BE，则为所求角，再利用勾股定理可求出即可判断；对于D，过D作，交CO的延长线于F，连接AF，则为所求的平面角，再求出即可判断．
本题主要考查了求异面直线所成的角，考查了求直线与平面所成的角，同时考查了等体积法求点到平面的距离，属于中档题．
 

13.【答案】8 

【解析】解：，，且，
，化为，当且仅当，时取等号．
则ab的最小值为
故答案为：
利用基本不等式的性质即可得出．
本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

14.【答案】或，，0，1，只需填写一个答案即可 

【解析】解：由题可知，，解得
故答案为：或，，0，1，只需填写一个答案即可
利用圆的圆心到直线的距离不大于半径，求解m的范围，即可得到结果．
本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．
 

15.【答案】 

【解析】解：由题意与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，
这个圆被称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆C：，
可知点一定在蒙日圆O上，
所以蒙日圆O的半径，
所以蒙日圆O的方程为
因为M，P，Q都在圆O上，且，
所以PQ为圆O的直径，所以，
故面积的最大值为
故答案为：；
利用新定义，求解圆的半径，然后求解圆的方程，判断三角形的面积的最大值的位置，然后求解三角形的面积．
本题考查椭圆的简单性质的应用，新定义的应用，是中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：，
令，，
则
当时，；当时，
时，函数取得极大值即最大值，

转化为，即
令，，
则，
函数在上单调递减，
，
故a的取值范围为
故答案为：
，令，，利用导数研究其单调性可得t的范围，转化为，即，令，，利用导数研究其单调性即可得出a的取值范围．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值及最值、方程与不等式的解法、等价转化方法、同构法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
 

17.【答案】证明：当时，，即，
因为，所以，
当时，由，知，
两式相减得，，即，
又，所以数列是以6为首项，3为公比的等比数列．
解：由可知，，
所以，
所以，
故… 

【解析】利用的思想，推出，再结合构造法，即可得证，注意检验的情形；
利用等比数列的通项公式，求得，从而知，再采用裂项求和法，得解．
本题考查数列求和，熟练掌握等比数列的概念与通项公式，裂项求和法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

18.【答案】解：根据列联表可得，，
，
有的把握认为性别与是否非常了解航天知识有关．
根据题意可知，设获得纪念品的女生人数为X，则X的可能取值为0，1，2，
对应概率为；；
故X的分布列为

对应期望为 

【解析】根据列联表数据计算出卡方，即可判断；
依题意可得X的可能取值为0，1，2，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望．
本题考查简单离散型随机变量分布列和离散型随机变量的均值，属于中档题．
 

19.【答案】解：设平面AOE与直线PC相交于点F，连接EF，OF，

平面POC，平面AEFO，平面平面，
，
，平面PBC，平面PBC，
平面PBC，
又平面平面，，
四边形AEFO为平行四边形，
，
即E，F分别为PB，PC的中点，
故；
以点O为坐标原点，以OA所在直线为x轴，以过点O平行与AB的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，
所以，，，
设平面POC的法向量为，则令，解得，
，
设直线CE与平面POC所成的角为，
则 

【解析】设平面AOE与直线PC相交于点F，连接EF，OF，利用线面平行的性质定理可得，又因为，所以四边形AEFO为平行四边形，从而求出结果；
建立空间直角坐标系，求出相应点的坐标，进而求出平面POC的一个法向量，再利用直线与平面夹角的向量公式求解．
本题主要考查了直线与平面平行的判定定理和性质定理，考查了利用空间向量直线与平面所成的角，属于中档题．
 

20.【答案】解：在中，，
由得：，
所以；
在中，由知，
所以，
所以，得，
而，即是锐角，则，
所以，，
因此，
在中，，即，，
而是锐角，解得，，
所以 

【解析】在中用余弦定理求出，再利用诱导公式及三角形面积公式求解作答；
利用余弦定理求出AD，由正弦定理求出，然后利用和差角及二倍角的三角函数公式求解作答．
本题主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查了两角和与差的三角函数公式，属于中档题．
 

21.【答案】解：直线AC的方程为，则的长度为定值．
将直线AC平移到与抛物线E相切，切点为D，此时的面积取得最大值．
设切线的方程为，与抛物线联立方程组消去x整理得
，解得，可得，，
所以点D的坐标为
设，则直线BD的方程为，联立方程组，
消去x整理得，则，
同理可得，，
，
，
，
，
所以
故是定值 

【解析】将直线AC平移到与抛物线E相切，切点为D，此时的面积取得最大值．设切线的方程为，与抛物线方程联立可求解．
设，则直线BD的方程为，联立方程组，求得，，，，计算可求结论．
本题考查抛物线的性质，考查运算求解能力，属中档题．
 

22.【答案】解：，
，令，解得，
在上单调递减，在上单调递增，
时取得极小值即最小值，
，无最大值．
令，
则在上有两个零点．
，
令，
，
在上单调递增，

对a分类讨论：
当时，，在上单调递增，，即，
则在上单调递增，，
有且仅有1个零点，不符合条件．
当时，，，
存在，使得
当时，，单调递减，且，
当时，，单调递增，
当时，，存在t，使得
当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增．
，且，，在上有两个零点．
实数a的取值范围是 

【解析】由，，可得，令，解得x，进而可得函数的单调性与极值．
令，根据在上有两个零点．，令，通过二次求导，利用函数的单调性即可得出实数a的取值范围．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值及最值、方程与不等式的解法、等价转化方法、二次求导研究函数的单调性与极值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．