2023年山西省晋中市高考数学模拟试卷（3月份）（B卷）（含答案解析）

这是一份2023年山西省晋中市高考数学模拟试卷（3月份）（B卷）（含答案解析），共17页。试卷主要包含了 设F为抛物线C等内容，欢迎下载使用。

A. 2iB. −2C. −2iD. 2
2. 甲、乙两位射击运动员参加比赛，连续5轮射击比赛的成绩情况如图所示：
则下列说法正确的是( )
A. 甲平均成绩高，乙成绩稳定B. 甲平均成绩高，甲成绩稳定
C. 乙平均成绩高，甲成绩稳定D. 乙平均成绩高，乙成绩稳定
3. 设集合U={0,1,2,3,4,5}，A={x|x2−7x+12=0}，B={1,3,5}，则∁U(A∪B)=( )
A. {0,2}B. {1,3,4,5}C. {3,4}D. {0,2,3,4}
4. 已知函数f(x)=2x−162x(x∈R)，则f(x)的图象( )
A. 关于直线x=2对称B. 关于点(2,0)对称
C. 关于直线x=0对称D. 关于原点对称
5. 我国古代《九章算术》将底面为矩形的棱台称为刍童.若一刍童为正棱台，其上、下底面分别是边长为 2和2 2的正方形，高为1，则该刍童的外接球的表面积为( )
A. 16πB. 18πC. 20πD. 25π
6. 设F为抛物线C：y2=4x的焦点，点M在C上，点N在准线l上且MN平行于x轴，若|NF|=|MN|，则|MF|=( )
A. 33B. 1C. 4 33D. 4
7. 已知函数f(x)=sin2x+ 3cs2x的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度后对应的函数为g(x)，若g(x)在[−π4,π6]上单调，则φ的最小值为( )
A. π12B. π6C. π3D. 5π12
8. 已知a=ln 2，b=ln33，c=1e，则下列判断正确的是( )
A. c9. 如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，则( )
A. BC1⊥AC
B. 三棱锥D−ACD1与三棱锥B−ACD1体积相等
C. C1D与平面ACD1所成角的正弦值为 63
D. 点B1到平面ACD1的距离为2 33
10. (1+ax)2023=a0+a1x+a2x2+⋯+a2023x2023，若a1=−6069，则下列结论正确的有( )
A. a=3
B. a0+a1+a2+⋯+a2023=−22023
C. a13+a232+⋯+a202332023=−1
D. (1+ax)2023的展开式中第1012项的系数最大
11. 对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，给出定义：设f′(x)是函数y=f(x)的导数，f′′(x)是函数f′(x)的导数，若方程f′′(x)=0有实数解x0，则称(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若函数f(x)=13x3−12x2+x+b(b∈R)，则( )
A. f(x)一定有两个极值点
B. 函数y=f(x)在R上单调递增
C. 过点(0,b)可以作曲线y=f(x)的2条切线
D. 当b=712时，f(12023)+f(22023)+f(32023)+⋯+f(20222023)=2022
12. 已知椭圆C：x24+y23=1的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B，直线l：y=kx(k≠0)与椭圆C交于M，N两点，∠F1MF2的角平分线与x轴相交于点E，与y轴相交于点G(0,m)，则( )
A. 四边形MF1NF2的周长为8
B. 1|MF1|+4|NF1|的最小值为9
C. 直线BM，BN的斜率之积为−34
D. 当m=−12时，|F1E|：|F2E|=2：1
13. 已知向量a=(λ+1,−2)，b=(1,3)，若a⊥b，则|a+b|=______ .
14. 已知函数f(x)的定义域为R，且同时满足下列三个条件：①奇函数，②f(x)+f(x+2)=0，③f(x)=2x−1,x∈[0,1]sinπ2x,x∈(1,2)，则f(2023)=______ .
15. 在平面四边形ABCD中，已知AB⊥BC，BC=4，AB=1.若DB⋅DC=12，则12AD+CD的最小值为______ .
16. 南宋数学家杨辉善于把已知形状、大小的几何图形的求面积、体积的连续量问题转化为求离散量的垛积问题，在他的专著《详解九章算法⋅商功》中给出了著名的三角垛公式1+(1+2)+(1+2+3)+…+(1+2+3+…+n)=16n(n+1)(n+2)，则数列{n2+2n}的前n项和为______ .
17. 已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1.
(1)求证：数列{an+1}为等比数列；
(2)求数列{2nanan+1}的前n项和Tn.
18. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中b=3 2，且满足csinCsinA−c=bsinBsinA−a.
(1)求△ABC的外接圆半径；
(2)若∠B的平分线BD交AC于点D，且BD= 3，求△ABC的面积.
19. 从《唐宫夜宴》火爆破圈开始，某电视台推出的“中国节日”系列节目引发广泛关注.某统计平台为调查市民对“中国节日”系列节目的态度，在全市市民中随机抽取了100人，他们年龄的频数分布及对“中国节日”系列节目喜欢的人数如下表.(注：年龄单位为岁，年龄都在[15,75)内)
(1)若以“年龄45岁为分界点”，由以上统计数据完成下面的2×2列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为对“中国节日”系列节目的态度与人的年龄有关；
(2)若按年龄段用分层随机抽样的方法从样本中年龄在[45,75)被调查的人中选取8人，现从选中的这8人中随机选取3人，求这3人中年龄在[55,65)的人数X的分布列和数学期望.
参考公式及数据χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d.
20. 如图，C在以AB为直径的圆O上，SO垂直圆O所在的平面，BS=AB=2，CA=CB，E为AS的中点，D是SC上一点，且平面BDE⊥平面SAB.
(1)求证：SA⊥BD；
(2)求平面BDE与平面SBC夹角的余弦值.
21. 已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为 2，点T(3, 5)在双曲线上.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若A，B为双曲线的左、右顶点，M(1,m)，若MA与C的另一交点为P，MB与C的另一交点为Q(P与A，Q与B均不重合)求证：直线PQ过定点，并求出定点坐标.
22. 已知函数f(x)=axex−12x2−x.
(1)讨论f(x)在(0,+∞)上的单调性；
(2)若a>0时，方程f(x)=lnx−12x2有两个不等实根x1，x2，求证：x1x2>e2−x1−x2.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：因为z(1+i)=1−3i，
所以z=1−3i1+i=(1−3i)(1−i)(1+i)(1−i)=1−3−4i2=−1−2i，
所以z的虚部为−2.
故选：B.
由复数的乘、除法运算化简复数，即可求出复数z的虚部．
本题主要考查复数的运算，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：由题意可得，x−甲=15×(80+70+80+90+90)=82，
所以s甲2=15×[(80−82)2+(70−82)2+(80−82)2+(90−82)2+(90−82)2]=56，
因为x−乙=15×(70+80+70+80+80)=76，
所以s乙2=15×[(70−76)2+(80−76)2+(70−76)2+(80−76)2+(80−76)2]=24，
所以x−甲>x−乙且s甲2>s乙2.
故选：A.
由平均数和方差的计算公式计算即可得出答案．
本题主要考查了平均数和方差的计算公式，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：由x2−7x+12=0，解得x=3或x=4，
故A={3,4}，
则A∪B={1,3,4,5}，∁U(A∪B)={0,2}.
故选：A.
解集合A中的方程，得到集合A，再求集合的并集和补集运算．
本题主要考查了集合的并集及补集运算，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：f(x)=2x−24−x，
则f(4−x)=24−x−24−(4−x)=24−x−2x，
所以f(x)+f(4−x)=0，
则函数f(x)的图象关于点(2,0)对称，
故选：B.
根据函数解析式可得f(x)+f(4−x)=0，由此得解．
本题考查函数对称性的运用，考查运算求解能力，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：设该刍童外接球的球心为O，半径为R，上底面中心为O1，下底面中心为O2，则由题意，O1O2=1，AO2=2，A1O1=1，OA=OA1=R.
如图，
当O在O1O2的延长线上时，设OO2=h，则在△AOO2中，R2=h2+4①，
在ΔA1OO1中，R2=(h+1)2+1②，
联立①②得h=1，R2=5，所以刍童外接球的表面积为20π.
同理，当O在线段O1O2上时，设OO1=h，
则有R2=h2+1，R2=(1−h)2+4，解得h=2，不满足题意，舍去．
综上所述，该刍童外接球的表面积为20π.
故选：C.
根据题意，作出图形，设该刍童外接球的球心为O，半径为R，分两种情况讨论，分别根据条件列出方程组，即可求出外接球半径，代入球的表面积公式计算即可求解．
本题考查球的表面积计算，考查运算求解能力，属于中档题．
6.【答案】D
【解析】解：根据题意可得p=2，
∴抛物线焦点F为(1,0)，准线l为x=−1，
设准线l与x轴的交点为E，如图所示，
由题知MN⊥l，由抛物线的定义可知|MN|=|MF|，
因为|NF|=|MN|，所以△MNF是正三角形，
则在Rt△NEF中，因为MN//EF，
所以∠EFN=∠MNF=60∘，
所以|MF|=|NF|=2|EF|=2p=4.
故选：D.
由抛物线方程可知焦点坐标及准线方程，设准线l与x轴交点为E，画出图象，由抛物线定义及|NF|=|MN|可知△MNF是正三角形，结合平行关系可判断∠EFN=60∘，利用直角三角形性质即可求解．
本题考查抛物线的几何性质，数形结合思想，属中档题．
7.【答案】C
【解析】解：∵函数f(x)=sin2x+ 3cs2x=2sin(2x+π3)，
∴函数f(x)的图象向左平移φ个单位长度后得到g(x)=2sin[2(x+φ)+π3]=2sin(2x+2φ+π3)，
当−π4≤x≤π6，则2φ−π6≤2x+2φ+π3≤2φ+2π3，
又g(x)在[−π4,π6]上单调，由正弦函数的单调性可知，
[2φ−π6,2φ+2π3]⊆[2kπ+π2,2kπ+3π2](k∈Z)或[2φ−π6,2φ+2π3]⊆[2kπ−π2,2kπ+π2](k∈Z).
要使φ最小，则k取0，
故有2φ−π6≥π22φ+2π3≤3π2或2φ−π6≥−π22φ+2π3≥π2，结合φ>0，解得π3≤φ≤5π12，
综上，φ的最小值为π3.
故选：C.
对函数f(x)进行化简，再根据其图象向左平移φ(φ>0))个单位长度得到函数g(x)的解析式，由g(x)在[−π4,π6]上单调，可求得φ的最小值．
本题主要考查三角函数的图象与性质，考查转化思想，属于中档题．
8.【答案】C
【解析】解：设f(x)=lnxx(x>0)，则f′(x)=1x⋅x−lnxx2=1−lnxx2，
当x∈(0,e)时，f′(x)>0，则f(x)为增函数，
当x∈(e,+∞)时，f′(x)<0，则f(x)为减函数．所以f(x)≤f(e)=1e，
a=ln 2=12ln2=24ln2=14ln4=f(4)，又b=ln33=f(3)，c=1e=f(e)，e<3<4，且f(x)在(e,+∞)上单调递减，
所以f(4)故选：C.
构造函数f(x)=lnxx(x>0)，利用导数研究函数的单调性，然后利用函数的单调性即可比较大小．
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，属于中档题．
9.【答案】BCD
【解析】解：对于A，因为BC1//AD1，所以异面直线BC1与AC所成的角就是AD1与AC所成的角．
因为AD1=CD1=AC，所以△AD1C为等边三角形，∠D1AC=π3，
即异面直线BC1与AC所成的角为π3，故A错误；
对于B，易知VD−ACD1=VD1−ACD=13⋅S△ADC⋅DD1.VB−ACD1=VD1−ABC=13⋅S△ABC⋅DD1，
又S△ABC=S△ADC，所以VD−ACD1=VB−ACD1，故B正确；
对于C，连接DB1，BD.
因为AC⊥平面BDD1，DB1⊂平面BDD1，所以AC⊥DB1.
同理可得AD1⊥DB1，又AC∩AD1=A，AC，AD1⊂平面ACD1，
所以DB1⊥平面ACD1，C1D与平面ACD1所成的角θ为∠C1DB1的余角，sinθ=cs∠C1DB1=C1DB1D= 2 3= 63，故C正确；
对于D，由C项知sinθ= 63，AB1//DC1，
所以AB1与平面ACD1所成角的正弦值为 63，
所以B1到平面ACD1的距离为AB1⋅sinθ= 2× 63=2 33，故D正确．
故选：BCD.
计算异面直线BC1与AC所成的角为π3可判断A；由等体积法分别求出棱锥D−ACD1与三棱锥B−ACD1体积可判断B；由题意可证得DB1⊥平面ACD1，则C1D与平面ACD1所成的角θ为∠C1DB1的余角，求出sinθ=cs∠C1DB1=C1DB1D的值可判断C；因为B1到平面ACD1的距离为AB1⋅sinθ，结合选项C可判断D.
本题主要考查线线位置关系的判断，直线与平面所成角的求法，棱锥体积的计算，点到平面距离的求法，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题．
10.【答案】BC
【解析】解：对于A，由a1=C20231⋅a=2023a=−6069，可得a=−3，故A错误；
对于B，因为(1−3x)2023=a0+a1x+a2x2+⋯+a2023x2023，
令x=1，则a0+a1+a2+⋯+a2023=(1−3)2023=−22023，故B正确；
对于C，令x=0，则a0=1，
令x=13，则a13+a232+⋯+a202332023=(1−3×13)2023−a0=−a0=−1，故C正确；
对于D，由展开式知，a2n>0，a2n−1<0，故第1012项的系数a1011<0，不会是展开式中系数最大的项，故D错误．
故选：BC.
利用二项式展开式的通项公式求解含x项的系数，从而得到a，即可判断选项A；赋值法即可求解系数和问题，从而判断选项B、C；利用展开式系数之间的联系判断选项D.
本题主要考查二项式定理，属于中档题．
11.【答案】BCD
【解析】解：由题意知f′(x)=x2−x+1，Δ=1−4=−3<0，f′(x)>0恒成立，
所以f(x)在R上单调递增，没有极值点，故A错误，B正确；
设切点为(m,13m3−12m2+m+b)，则k=f′(m)=m2−m+1，
切线方程为y−(13m3−12m2+m+b)=(m2−m+1)(x−m)，
代入点(0,b)得−13m3+12m2−m=−m3+m2−m，
即23m3=12m2，解得m=0或m=34，
所以切线方程为y=x+b或y=1316x+b，故C正确；
易知f′′(x)=2x−1，令f′′(x)=0，则x=12.
当b=712时，f′′(12)=0，f(12)=1，所以点(12,1)是f(x)的对称中心，
所以有f(12−x)+f(12+x)=2，即f(x)+f(1−x)=2.
令S=f(12023)+f(22023)+f(32023)+⋯+f(20222023)，
又S=f(20222023)+f(20212023)+f(20202023)+⋯+f(12023)，
所以2S=[f(12023)+f(20222023)]+[f(22023)+f(20212023)]+⋯+[f(20222023)+f(12023)]=2022×2=4044，
所以S=2022，故D正确．
故选：BCD.
对f(x)求导，得出f′(x)>0，没有极值点，可判断A，B；由导数的几何意义求过点(0,b)的切线方程条数可判断C；求出三次函数f(x)的对称中心，由于函数的对称中心为(12,1)，可得f(x)+f(1−x)=2，由倒序相加法求出所给的式子的值，可判断D.
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与极值，考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于中档题．
12.【答案】AC
【解析】解：对A选项，由椭圆的定义知，四边形MF1NF2的周长为2a+2a=4a=8，A正确；
对B选项，1|MF1|+4|NF1|=1|MF1|+4|MF2|=14(1|MF1|+4|MF2|)(|MF1|+|MF2|)=14(1+4+|MF2||MF1|+4|MF1||MF2|)≥94，
当且仅当|MF1|=43,|MF2|=83时等号成立，故B错误；
对C选项，设M(x1,y1)，则N(−x1,−y1)，又B(0, 3)，所以kBM⋅kBN=y1− 3x1⋅−y1− 3−x1=y12−3x12.
因为点M(x1,y1)在椭圆上，所以x124+y123=1，即x12=4(1−y123)=43(3−y12)，
所以kBM⋅kBN=y12−3x12=−34，C正确；
对D选项，设E(t,0)(−1所以|MF1|=2(t+1)，|MF2|=2(1−t)，
在椭圆C：x24+y23=1中，
由其第二定义e=|MF1|d(d指的是椭圆上的点到相应的准线的距离)得|MF1|=de=(xM+a2c)⋅e=(x1+a2c)⋅e=12x1+2，
∴|MF1|=2+12x1=2(t+1)，
所以x1=4t，
故M(4t,y1)，E(t,0)，G(0,−12)，
因为三点共线，所以y13t=12t，解得y1=32，则16t24+943=1，解得t=±14，
当t=14时，|F1E||F2E|=1+141−14=53，当t=−14时，|F1E||F2E|=1−141+14=35，故D错误．
故选：AC.
对A选项，由椭圆的定义知，四边形MF1NF2的周长为4a即可求解；对B选项，由直线y=kx(k≠0)与椭圆相交的对称性知：|NF1|=|MF2|，∴1|MF1|+4|NF1|=1|MF1|+4|MF2|，借助基本不等式可得1|MF1|+4|NF1|的最小值；对C选项，设M(x1,y1)，则N(−x1,−y1)，由点M(x1,y1)在椭圆上，即可化得kBM⋅kBN的值；对D选项，设出E(t,0)(−1本题考查直线与圆锥曲线的综合运用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的题目，往往需要联立两者方程，利用韦达定理解决相应关系，其中的计算量往往较大，需要反复练习加以强化，考查运算求解能力，属于中档题．
13.【答案】5 2
【解析】解：向量a=(λ+1,−2)，b=(1,3)，a⊥b，
则λ+1−6=0，解得λ=5，
所以a=(6,−2)，a+b=(7,1)，
所以|a+b|= 72+12=5 2.
故答案为：5 2.
由向量垂直的坐标公式求得λ=5，进而求a+b的坐标，应用模长的坐标公式求|a+b|.
本题主要考查平面向量垂直的性质，属于基础题．
14.【答案】−1
【解析】解：因为f(x)+f(x+2)=0，所以f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，
所以f(x)为周期函数，且周期为4，
所以f(2023)=f(4×505+3)=f(3)=f(−1).
因为f(x)为奇函数，
所以f(−1)=−f(1)=−(21−1)=−1.
故答案为：−1.
由题知f(x)为周期函数，周期为4，进而根据周期性与奇偶性求解即可．
本题主要考查了函数的奇偶性和周期性，属于基础题．
15.【答案】 1012
【解析】解：如图，以BC的中点为原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
根据题意可得B(−2,0)，C(2,0)，A(−2,1)，设D(x,y)，
∴DB⋅DC=x2−4+y2=12，∴x2+y2=16，
∴点D在以原点为圆心，4为半径的圆上，设E(8,0)，D(x,y)，
∴DE2−(2CD)2=(x−8)2+y2−4[(x−2)2+y2]
=−3(x2+y2−16)=0，
∴DE2=(2CD)2
∴DE=2CD，
∴12AD+CD=12(AD+2CD)=12(AD+DE)≥12AE=12 102+1= 1012.
故答案为： 1012.
根据图形特征建立直角坐标系，求出D点的轨迹方程后，根据距离和最小求出最小值即可．
本题考查向量数量积的坐标运算，圆的几何性质，数形结合思想，化归转化思想，属中档题．
16.【答案】n(n+1)(2n+1)6+2n+1−2
【解析】解：∵1+2+3+⋅⋅⋅+n=n(n+1)2，
∴数列{n(n+1)2}的前n项和为16n(n+1)(n+2)，
∵n2+2n=2×n(n+1)2−n+2n，
∴数列{n2+2n}的前n项和Sn=2×(1×22+2×32+⋅⋅⋅+n(n+1)2)−(1+2+⋅⋅⋅+n)+(21+22+⋅⋅⋅+2n)
=13n(n+1)(n+2)−n(n+1)2+2(1−2n)1−2=n(n+1)(2n+1)6+2n+1−2.
故答案为：n(n+1)(2n+1)6+2n+1−2.
由三角垛公式可知数列{n(n+1)2}的前n项和为16n(n+1)(n+2)，根据n2+2n=2×n(n+1)2−n+2n，采用分组求和法，结合等差、等比求和公式可求得结果．
本题考查数列中的分组求和法的应用，解题关键是能够将所求数列的通项进行变型，从而与已知的三角垛公式联系起来，利用所给的三角垛公式来进行求和．
17.【答案】证明：(1)数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1.
则：an+1+1=2(an+1)，
即：an+1+1an+1=2(常数).
所以：数列{an+1}首项为a1+1=2，公比为2的等比数列．
解：(2)由于：an+1+1an+1=2，
则：数列{an+1}是以a1+1=2为首项，2为公比的等比数列．
则：an=2n−1，(首项符合).故：an=2n−1.
所以：bn=2nanan+1，=2n(2n+1−1)(2n−1)，
=12n−1−12n+1−1，
所以：Tn=121−1−122−1+122−1−123−1+…+12n−1−12n+1−1，
=1−12n+1−1.
【解析】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，属于中档题．
(1)直接利用定义得出数列为等比数列．
(2)利用等比数列，求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和．
18.【答案】解：(1)csinCsinA−c=bsinBsinA−a，
由正弦定理，得c2a−c=b2a−a，则a2+c2−b2=ac，
即csB=a2+c2−b22ac=12，
因为0所以B=π3，
设△ABC的外接圆半径为R，由正弦定理知2R=bsinB=3 2 32=2 6，
所以△ABC的外接圆半径为 6；
(2)由BD平分∠ABC，得S△ABC=S△ABD+S△BCD，
则12acsinπ3=12× 3×csinπ6+12× 3×asinπ6，即ac=a+c，
在△ABC中，由余弦定理可得b2=a2+c2−2accsπ3，
又b=3 2，
则a2+c2−ac=18，
联立ac=a+ca2+c2−ac=18，可得a2c2−3ac−18=0，解得ac=6(ac=−3舍去)，
故S△ABC=12acsinπ3=12×6× 32=3 32.
【解析】(1)根据正弦定理及余弦定理求出角，再由正弦定理得解；
(2)根据角平分线利用三角形面积间的关系得ac=a+c，再由余弦定理，求出ac即可得解．
本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)列联表如下：
χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100×(22×12−48×18)270×30×40×60≈7.143>6.635，
则能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为对“中国节日”系列节目的态度与人的年龄有关；
(2)因为[45,55),[55,65),[65,75)数比为2：1：1，
故抽取人数依次为4，2，2，
故X的所有可能取值为0，1，2，
P(X=0)=C63C83=514，P(X=1)=C62C21C83=1528，
P(X=2)=C61C22C83=328，
故X的分布列为：
故X的数学期望E(X)=0×514+1×1528+2×328=34.
【解析】(1)根据频数分布，填写2×2列联表，再结合独立性检验公式，即可求解；
(2)根据题意知X的所有可能取值，计算对应的概率值，写出X的分布列，计算期望值．
本题主要考查离散型随机变量分布列的求解，考查期望公式，属于中档题．
20.【答案】解：(1)证明：因为BS=AB=2，且E为AS的中点，所以BE⊥SA.
又因为平面BDE⊥平面SAB，且平面BDE∩平面SAB=BE，SA⊂平面SAB，
所以SA⊥平面BDE，
又因为BD⊂平面BDE，所以SA⊥BD；
(2)因为CA=CB，所以OC⊥AB，则OC，OA，OS两两垂直，
以OC，OA，OS所在直线分别为x，y，z轴，建系如图，则根据题意可得：
O(0,0,0)，A(0,1,0)，B(0,−1,0)，C(1,0,0)，S(0,0, 3)，
∴BS=(0,1, 3)，BC=(1,1,0)，AS=(0,−1, 3)，
由(1)知AS=(0,−1, 3)是平面BDE的一个法向量，
设平面SBC的一个法向量m=(x,y,z)，
则m⋅BS=0m⋅BC=0⇒y+ 3z=0x+y=0，取m=( 3,− 3,1)，
∴cs⟨m,AS⟩=m⋅AS|m||AS|=2 3 7×2= 217，
∴平面BDE与平面SBC夹角的余弦值为 217.
【解析】(1)由面面垂直的性质得线面垂直，再由线面垂直的性质即可证明线线垂直；
(2)利用空间线面、线线关系即可建立空间直角坐标系，分别求得平面BDE与平面SBC得法向量，利用平面与平面夹角余弦值公式求解即可．
本题考查线面垂直的判定定理与性质，向量法求解面面角问题，向量夹角公式的应用，属中档题．
21.【答案】解：(1)由题意得ca= 29a2−5b2=1c2=a2+b2，解得a=2b=2c=2 2，
故双曲线C的方程为x24−y24=1；
(2)证明：①A，B为双曲线x24−y24=1的左、右顶点，
∴A(−2,0)，B(2,0)，
又M(1,m)，
∴当m≠0时，则kPA=kMA=m3，kBQ=kBM=−m，∴kBQ=−3kPA，
又点P在双曲线x24−y24=1上，∴kPB⋅kPA=ypxp+2⋅ypxp−2=yp2xp2−4=yp2yp2=1，
∴kBQ⋅kPB=−3kPA⋅1kPA=−3；
设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，直线PQ的方程为x=ny+t，
联立x24−y24=1x=ny+t，整理得(n2−1)y2+2nty+t2−4=0，
∴Δ=(2nt)2−4(t2−4)(n2−1)=4t2+16n2−16>0，且y1+y2=2nt1−n2，y1y2=t2−4n2−1，
∴kPB⋅kBQ=y1x1−2⋅y2x2−2=y1y2n2y1y2+n(t−2)(y1+y2)+(t−2)2=t2−4n2(t2−4)−2n2(t−2)t+(t−2)2(n2−1)=t+2−(t−2)=−3，解得t=4，此时满足Δ>0，
∴直线PQ恒过点(4,0).
②当m=0时，P与B重合，Q与A重合，此时直线PQ的方程为y=0，
综上所述，直线PQ恒过点(4,0).
【解析】(1)由题意得ca= 29a2−5b2=1c2=a2+b2，即可得出答案；
(2)根据题意当m≠0时，设出直线PQ方程为x=ny+t，并设交点P(x1,y1)，Q(x2,y2)，联立直线与曲线的方程，利用韦达定理可得y1+y2，y1y2，从而由题意kPB⋅kBQ=−3推出直线PQ恒过定点(4,0)，最后检验当m=0时，也符合题意即可．
本题考查双曲线的性质和直线与双曲线的综合，考查转化思想和方程思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)对函数f(x)求导可得，f′(x)=a(x+1)ex−x−1=(x+1)⋅(aex−1).
因为x>0，所以x+1>0.
当a≤0时，aex−1<0，f′(x)<0，所以f(x)在(0,+∞)上单调递减．
当a>0时，令aex−1=0，则x=−lna.
①若a≥1，则x=−lna≤0，当x>0时，f′(x)>0，所以f(x)在(0,+∞)上单调递增；
②若00，当x∈(0,−lna)时，f′(x)<0，所以f(x)在(0,−lna)上单调递减；当x∈(−lna,+∞)时，f′(x)>0，所以f(x)在(−lna,+∞)上单调递增．
综上，
当a≤0时，f(x)在(0,+∞)上单调递减；
当a≥1时，f(x)在(0,+∞)上单调递增；
当0(2)证明：方程f(x)=lnx−12x2，即axex−lnx−x=0，
因为axex−(lnx+x)=0，则axex−ln(xex)=0，
令t=xex(x>0)，t′=(x+1)ex>0，所以函数t=xex在(0,+∞)上单调递增，
因为方程axex−(lnx+x)=0有两个实根x1，x2，
令t1=x1ex1，t2=x2ex2，则关于t的方程at−lnt=0也有两个实根t1，t2，且t1≠t2，
要证x1x2>e2−x1−x2，即证x1ex1⋅x2ex2>e2，即证t1t2>e2，即证lnt1+lnt2>2，
由at1=lnt1at2=lnt2，可得t1+t2t1−t2=lnt1+lnt2lnt1−lnt2，
不妨设t1>t2>0，
即证lnt1+lnt2=t1+t2t1−t2lnt1t2>2，
即证lnt1t2>2(t1−t2)t1+t2=2(t1t2−1)t1t2+1，
令s=t1t2，即证lns>2(s−1)s+1，其中s>1，
构造函数g(s)=lns−2(s−1)s+1(s>1)，g′(s)=1s−4(s+1)2=(s−1)2s(s+1)2>0，
所以函数g(s)在(1,+∞)上单调递增，当s>1时，g(s)>g(1)=0，
故原不等式成立．
【解析】(1)利用导数，分类讨论函数在区间内的单调性；
(2)令t=xex(x>0)，原不等式即证lnt1+lnt2>2，通过构造函数法，利用导数通过单调性证明．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数零点与方程根的关系，考查分类讨论思想和运算求解能力，属于中档题．
年龄
[15,25)
[25,35)
[35,45)
[45,55)
[55,65)
[65,75)
频数
10
20
30
20
10
10
喜欢人数
6
16
26
12
6
4
年龄不低于45岁的人数
年龄低于45岁的人数
合计
喜欢
不喜欢
合计
P(X2≥k0)
0.05
0.01
0.005
0.001
k0
3.841
6.635
7.879
10.828
年龄不低于45岁的人数
年龄低于45岁的人数
合计
喜欢
22
48
70
不喜欢
18
12
30
合计
40
60
100
X
0
1
2
P
514
1528
328