2023年山西省大同市高考数学模拟试卷（B卷）（含答案解析）

这是一份2023年山西省大同市高考数学模拟试卷（B卷）（含答案解析），共17页。

A. 2B. −2C. 2iD. −2i
3. 从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有( )
A. 140种B. 84种C. 70种D. 35种
4. 已知sin2(π−θ)= 32cs(3π2+θ)，0<|θ|<π2，则θ等于( )
A. −π6B. −π3C. π6D. π3
5. 已知xy>0，向量m=(2x,1)与向量n=(12,−12y)垂直，x，y，2成等比数列，则x与y的等差中项为( )
A. 34B. 32C. 12D. 1
6. 如果△ABC内接于半径为R的圆，且2R(sin2A−sin2C)=( 2a−b)sinB，则角C为( )
A. π6B. π4C. π3D. 2π3
7. 函数f(x)=x3lne+csxe−csx的部分图象大致为( )
A. B.
C. D.
8. 已知F1、F2分别是双曲线x2a2−y2b2=1的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点且|PF1|2|PF2|=8a，则双曲线离心率的取值范围是( )
A. (1,3]B. [3,+∞)C. (1,2]D. [2,+∞)
9. 若a，b，c，d均为不相等实数，下列命题中正确的是( )
A. 若a>b，c>d，则a+c>b+d
B. 若a>0，b>0，a+b=ab，则a+b>4
C. 若a>b>0，c>d，则ac>bd
D. 当a>0时，不等式a+1a+1≥1成立
10. 已知A，B，C为随机事件，则下列表述中不正确的是( )
A. P(AB)=P(A)P(B)B. P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)
C. P(A|A)=1D. P(A|B)11. 已知数列{an}满足an+an+1=2×(−1)n，n∈N*，且a5=1，则下列表述正确的有( )
A. a1=−5B. 数据{a2n−1}是等差数列
C. 数列{|an|}是等差数列D. 数列{1anan+1}的前n项和为n14n−49
12. 某数学课外兴趣小组对函数f(x)=lgx2+1|x|(x≠0,x∈R)的性质进行了探究，得到下列四个命题，其中正确的命题有( )
A. 函数f(x)的图象关于y轴对称
B. 当x>0时，f(x)是增函数，当x<0时，f(x)是减函数
C. 函数f(x)的最小值是lg2
D. 函数f(x)与x=2有四个交点
13. 二项式( x−2x)5的展开式中，x项的系数为______ .
14. 在边长为3的等边△ABC中，BM=12MC，则AM⋅BC=______ .
15. 一束光线由点M(6,2 6)出发沿x轴反方向射向抛物线y2=8x上一点P，反射光线所在直线与抛物线交于另一点Q，则直线PQ的斜率为______ .
16. 四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，在鳖臑P−ABC中，PA⊥平面ABC，PA=4，AB=BC=2，鳖臑P−ABC的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积是______ .
17. 已知函数f(x)=2sinωx⋅csωx+2 3cs2ωx− 3(其中ω>0)，直线x=x1、x=x2是y=f(x)图象的任意两条对称轴，且|x1−x2|的最小值为π2.
(1)求ω的值；
(2)若f(α)=23，求cs(2α−π6)的值.
18. 已知等差数列{an}满足a4=7，a10=19.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)若bn=2nan，求数列{bn}的前n项和为Tn.
19. 在四棱锥P−ABCD中，BD=2，∠DAB=∠BCD=90∘，∠CDB=30∘，∠ADB=45∘，PA=PB=PD=2.
(1)求证：面PBD⊥面ABCD；
(2)求平面PAD与平面PBC所成角的余弦值.
20. 为了加强环保知识的宣传，某学校组织了垃圾分类知识竞赛活动，活动设置了四个箱子，分别写有“厨余垃圾”“有害垃圾”“可回收物”“其它垃圾”，另有卡片若干张，每张卡片上写有一种垃圾的名称，每位参赛选手从所有卡片中随机抽取20张，按照自己的判断将每张卡片放入对应的箱子中，按规则，每正确投放一张卡片得5分，投放错误得0分，比如将写有“废电池”的卡片放入写有“有害垃圾”的箱子，得5分，放入其它箱子得0分，从所有参赛选手中随机抽取20人，将他们的得分按照(0,20],(20,40],(40,60],(60,80],(80,100]分组，绘成如下频率分布直方图.
(1)分别求出所抽取的20人中得分落在[0,20]和(20,40]内的人数；
(2)从所抽取的20人内，得分落在[0,40]的选手中随机选取3名选手，以X表示这3名选手中得分不超过20分的人数，求X的分布列和数学期望.
21. 已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为 22，并且直线y=x+b是抛物线C2：y2=4x的一条切线．
(Ⅰ)求椭圆C1的方程．
(Ⅱ)过点S(0,−13)的动直线l交椭圆C1于A、B两点，试问：在直角坐标平面上是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过定点T？若存在求出T的坐标；若不存在，请说明理由．
22. 已知函数f(x)=a(x+1)lnx+2x，a∈R.
(1)若f′(1e)=e+2，讨论函数f(x)的单调性；
(2)当x≥1时，f(x)≤ex−1+2alnx+x恒成立，求实数a的取值范围.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：集合A={x||x|<2}={x|−2B={x|x2−1≥0}={x|x≤−1或x≥1}，
∴∁RB={x|−1则A∩(CRB)={x|−1故选：B.
求出集合A，B，∁RB，利用交集定义能求出A∩(CRB).
本题考查集合的运算，考查交集、补集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】A
【解析】解：z−i=3+i1+i=(3+i)(1−i)(1+i)(1−i)=4−2i2=2−i，
故z=2，所以z−=2.
故选：A.
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共轭复数的定义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查两个基本原理和组合的应用，属基础题．
取出3台，至少要有甲型与乙型电视机各1台，则有甲型1台、乙型电视机2台与甲型2台、乙型电视机1台两种情况，分别求解情况数，相加即可.
【解答】
解：甲型1台与乙型电视机2台共有4⋅C52=40种，
甲型2台与乙型电视机1台共有C42⋅5=30种，
∴不同的取法共有70种，
故选C
4.【答案】D
【解析】解：因为sin2(π−θ)= 32cs(3π2+θ)，
所以sin2θ= 32sinθ，
即sinθ(sinθ− 32)=0，
所以sinθ=0或sinθ= 32，
又因为0<|θ|<π2，
所以sinθ= 32，
所以θ=π3.
故选：D.
由已知条件可得sinθ=0或sinθ= 32，再根据0<|θ|<π2，即可得θ的值．
本题考查了三角函数的化简及求值，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：∵向量m=(2x,1)与向量n=(12,−12y)垂直，
∴m⋅n=0，即x−12y=0，∴y=2x，
∵x，y，2成等比数列，∴y2=2x，
∴(2x)2=2x，即2x2=x，
∵xy>0，∴x≠0，
∴x=12，
∴y=1，
∴x与y的等差中项为x+y2=34.
故答案为：A.
先利用m⋅n=0，求出y=2x，由x，y，2成等比数列可得y2=2x，两个式子联立求出x，y的值，再利用等差中项的定义求解．
本题主要考查了等比数列和等差数列的性质，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：由正弦定理可得：asinA=bsinB=2R，所以a=2RsinA，b=2RsinB，
由题意可得2R(sin2A−sin2C)=2R( 2sinA−sinB)sinB，
整理可得：sin2A+sin2B−sin2C= 2sinAsinB，
由正弦定理可得a2+b2−c2= 2ab=2abcsC，
解得csC= 22，C∈(0,π)，
可得C=π4，
故选：B.
由正弦定理及余弦定理可得C角的余弦值，再由C角的取值范围，进而解得C角的大小．
本题考查三角形中正弦定理，余弦定理的综合应用，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：∵f(x)=x3lne+csxe−csx，x∈R，
∴f(−x)=(−x)3lne+cs(−x)e−cs(−x)=−x3lne+csxe−csx=−f(x)，
∴f(x)为奇函数，其图象关于原点成中心对称，可排除A与B；
又当x→0+时，f(x)>0，故可排除D，
故选：C.
先判断函数的奇偶性，可排除A与B选项，当x→0+时，f(x)>0，排除C选项，从而可得答案．
本题主要考查函数图像的识别和判断，利用函数奇偶性和对称性以及极限思想解决问题是关键，考查推理能力与运算能力，属于中档题．
8.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查了双曲线的简单性质，三角形边与边之间的关系，考查计算能力，属于中档题．
设|PF1|=m，|PF2|=n，由题得m−n=2a，m2=8an，由此得到m与n的关系，求得离心率范围.
【解答】
解：设|PF1|=m，|PF2|=n，
根据双曲线定义可知|PF1|−|PF2|=2a，|PF1|2=8a|PF2|，
∴m−n=2a，m2=8an，
∴m−nm2=2a8an，
∴m2−4mn+4n2=0，
∴m=2n，
∴n=2a，m=4a，
在△PF1F2中，|F1F2|<|PF1|+|PF2|，
∴2c<4a+2a，
∴ca<3，
当p为双曲线顶点时，ca=3
又∵双曲线e>1，
∴1故选A.
9.【答案】AB
【解析】解：A项：由不等式的性质，A正确；
选项B：由a+b=ab，得1b+1a=1，故(a+b)(1b+1a)=2+ab+ba≥4，
当且仅当ab=ba时，等号成立，又a≠b，B正确；
选项C：若a=12，b=13，c=−1，d=−2时，ac=(12)−1=2，bd=(13)−2=9，故C错误；
选项D：当a>0时，a+1a+1=(a+1)+1a+1−1≥2 (a+1)⋅1a+1=2−1=1，
此时a=0或a=−2，与a>0矛盾，D错误．
故选：AB.
A项：由不等式的性质可得；B：利用“1”的代换可判断；选项C：代入特值a=12，b=13，c=−1，d=−2可判断；
选项D：利用配凑法可判断．
本题考查不等式的性质，考查基本不等式，属于中档题．
10.【答案】ABD
【解析】解：A选项，当事件A、B相互独立时，P(AB)=P(A)P(B)，A错误；
B选项，当事件B、C为互斥事件时，P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)，B错误；
C选项，P(A|A)=P(AA)P(A)=P(A)P(A)=1，C正确；
D选项，P(A|B)=P(AB)P(B)≥P(AB)，D错误．
故选：ABD.
根据事件的基本关系和条件概率公式逐项判断即可．
本题考查条件概率公式应用，是基础题．
11.【答案】BD
【解析】解：∵数列{an}满足an+an+1=2×(−1)n，n∈N*，
∴a2k−1+a2k=−2，①
a2k+a2k+1=2，k∈N*，②
两式相减可得：a2k+1−a2k−1=4，
∴数列{a2n−1}是等差数列，公差为4，
∵a5=1，∴a1+2×4=1，解得a1=−7，
∴a2k−1=−7+4(k−1)=4k−11，
∴a3=−3，
两式①+②可得：a2k−1+a2k+1=−2a2k，
∴−2a2k=4k−11+4(k+1)−11，解得a2k=9−4k，
∴a4=1，
而|a3|+|a5|=4，2|a4|=2，
∴|a3|+|a5|≠2|a4|，
因此数列{|an|}不是等差数列．
n=2k时，1an−1an=1a2k−1⋅a2k=1(4k−11)(9−4k)=12(14k−9−14k−11)，1anan+1=1a2ka2k+1=1(9−4k)(4k−7)=12(14k−7−14k−9)，
∴1an−1an+1anan+1=12(14k−7−14k−11)，
数列{1anan+1}的前n项和为12[(1−3−1−7)+(11−1−3)+(15−11)+…+(14k−11−14k−15)+(14k−7−14k−11)]=12(14k−7+17)=12(12n−7+17)=n14n−49.
n=2k−1时，同理可得数列{1anan+1}的前n项和为n14n−49.
综上可得：只有BD正确．
故选：BD.
数列{an}满足an+an+1=2×(−1)n，n∈N*，可得a2k−1+a2k=−2，a2k+a2k+1=2，k∈N*，两式相减可得：a2k+1−a2k−1=4，两式相加可得：a2k−1+a2k+1=−2a2k，可得a2k−1，a2k，进而判断出结论．
本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、分类讨论方法、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
12.【答案】AC
【解析】解：∵f(x)=lgx2+1|x|(x≠0,x∈R)的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，关于原点对称，
又满足f(−x)=f(x)，所以函数f(x)是偶函数，其图象关于 y轴对称，故A正确；
当x>0时，f(x)=lgx2+1|x|=lg(x+1x)，令t(x)=x+1x，则f(t)=lgt，由双勾函数的性质可知t(x)在(0,1]上是减函数，
在[1,+∞)上是增函数，又f(t)=lgt在定义域上是增函数，所以由复合函数的单调性可知，f(x)在(0,1]上是减函数，在[1,+∞)上是增函数，故B错误；
x>0时，x+1x≥2(当且仅当x=1时取等号)，又f(x)是偶函数，
所以函数f(x)的最小值是lg2，故C正确；
由函数定义可知，f(x)不可能与x=2有四个交点，D错误．
故选：AC.
A.利用函数的奇偶性判断；
B.由x>0时，f(x)=lgx2+1|x|=lg(x+1x)，令t(x)=x+1x，由复合函数的单调性判断；
C.由x>0时，x+1x≥2，再结合函数f(x)是偶函数求解判断；
D.结合函数的定义即可判断．
本题考查了函数的基础性质，复合函数的单调性满足同增异减，属于中档题．
13.【答案】−10
【解析】解：二项式( x−2x)5的展开式的通项公式为Tr+1=C5r⋅(−2)r⋅x5−3r2，
令12(5−3r)=1，求得r=1，
故展开式中含x的项的系数为−2C51=−10，
故答案为：−10.
先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于1，求得r的值，即可求得展开式中含x的项的系数．
本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．
14.【答案】−32
【解析】解：AM⋅BC=(AB+BM)⋅BC=(AB+13BC)⋅BC=AB⋅BC+13BC2
=|AB|⋅|BC|cs(π−B)+13|BC|2
=3×3×(−12)+13×32=−32，
故答案为：−32.
转化AM⋅BC=(AB+BM)⋅BC=(AB+13BC)⋅BC，利用数量积的定义即得解．
本题考查了平面向量数量积的运算，属于基础题．
15.【答案】2 6
【解析】解：将y=2 6代入y2=8x中，可得x=3，∴P(3,2 6)，
又根据抛物线的光学性质可得：该反射光线过F(2,0)，
∴直线PF的斜率为：2 6−03−2=2 6，
∴所求直线的斜率为2 6，
故答案为：2 6.
根据抛物线的光学性质，两点的斜率公式，即可求解．
本题考查抛物线的光学性质，属基础题．
16.【答案】24π
【解析】解：把鳌臑P−ABC补成一个长方体，如图所示：
则长方体的外接球即是鳌臑P−ABC的外接球，
又∵PA=4，AB=BC=2，
∴长方体的外接球半径R=12× 42+22+22= 6，
∴鳌臑P−ABC的外接球半径为R= 6，
则该球的表面积是4πR2=24π，
故答案为：24π.
根据题意，把鳌臑P−ABC补成一个长方体，则长方体的外接球即是鳌臑P−ABC的外接球，从而求出鳌臑P−ABC的外接球半径为R，再利用球的体积公式即可求出结果．
本题主要考查了三棱锥的外接球，是基础题．
17.【答案】解：(1)f(x)=2sinωx⋅csωx+2 3cs2ωx− 3
=sin2ωx+ 3cs2ωx
=2(12sin2ωx+ 32cs2ωx)
=2sin(2ωx+π3)(ω>0)，
∵直线x=x1、x=x2是y=f(x)图象的任意两条对称轴，且|x1−x2|的最小值为π2，
∴T=2π2ω=2×π2=π，
∴ω=1；
(2)由(1)知，f(x)=2sin(2x+π3)，
∵f(α)=2sin(2α+π3)=23，
∴sin(2α+π3)=13，
∴cs(2α−π6)=cs(π6−2α)=sin[π2−(π6−2α)]=sin(2α+π3)=13.
【解析】(1)依题意，化简可得f(x)=2sin(2ωx+π3)(ω>0)，由T=2π2ω=2×π2=π，可求得ω；
(2)由f(α)=2sin(2α+π3)=23，结合诱导公式可求得cs(2α−π6)的值．
本题考查三角恒等变换与两角和与差的三角函数，考查运算求解能力，属于中档题．
18.【答案】解：(1)设等差数列{an}的公差为d，∵a4=7，a10=19，
∴a1+3d=7，a1+9d=19，
联立解得a1=1，d=2，
∴an=1+2(n−1)=2n−1.
(2)bn=2nan=(2n−1)⋅2n，
∴数列{bn}的前n项和为Tn=2+3×22+5×23+…+(2n−1)⋅2n，
2Tn=22+3×23+…+(2n−3)⋅2n+(2n−1)⋅2n+1，
相减可得：−Tn=2+2(22+23+…+2n)−(2n−1)⋅2n+1=2+2×4(2n−1−1)2−1−(2n−1)⋅2n+1，
化为Tn=(2n−3)⋅2n+1+6.
【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d，由a4=7，a10=19，可得a1+3d=7，a1+9d=19，联立解得a1，d，利用通项公式即可得出an.
(2)bn=2nan=(2n−1)⋅2n，利用错位相减法即可得出数列{bn}的前n项和为Tn.
8本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)证明：取BD的中点O，连接PO，AO，
因为PB=PD，O为BD的中点，
所以PO⊥BD，
在△BCD，△ABD中，
因为BD=2，∠DAB=∠BCD=90∘，∠CDB=30∘，∠ADB=45∘，
所以AO=DO=1，
所以△PDO中，PO= 3，
又PA=2，
所以△PAO为直角三角形，
所以PO⊥AO，
又AO∩PO=O，
所以PO⊥面ABCD，
又PO⊂面PBD，
所以面PBD⊥面ABCD.
(2)由于△ABD为等腰直角三角形，O为斜边BD的中点，
所以AO⊥OB，
由(1)知PO⊥面ABCD，
所以建立如图所示的坐标系，则P(0,0, 3)，A(1,0,0)，D(0,1,0)，C(− 32,12,0)，
所以PA=(1,0,− 3)，PD=(0,−1,− 3)，PB=(0,1− 3)，PC=(− 32,12,− 3)，
设平面PAD与平面PBC的法向量分别为m=(x1,y1,z1)，n=(x2,y2,z2)，
由PA⋅m=0PD⋅m=0和PB⋅n=0PC⋅n=0，
得x1− 3z1=0−y1− 3z1=0和y2− 3z2=0− 32x2+12y2− 3z2=0，
令y1= 3，z2= 3，
则m=(− 3, 3,−1)，n=(− 3,3, 3)，
设法向量m，n所成角为α，则csα=m⋅n|m||n|=− 6565，
所以平面PAD与平面PBC所成角的余弦值为 6565.
【解析】(1)取BD的中点O，连接PO，AO，由PB=PD，O为BD的中点，得PO⊥BD，计算PA，由勾股定理的逆定理可得PO⊥AO，由线面垂直的判定定理可得PO⊥面ABCD，再由面面垂直的判定定理可得面PBD⊥面ABCD.
(2)根据题意可得AO⊥OB，由(1)知PO⊥面ABCD，建立坐标系，可得PA=(1,0,− 3)，PD=(0,−1,− 3)，PB=(0,1− 3)，PC=(− 32,12,− 3)，设平面PAD与平面PBC的法向量分别为m=(x1,y1,z1)，n=(x2,y2,z2)，则PA⋅m=0PD⋅m=0和PB⋅n=0PC⋅n=0，解得m，n，由向量的夹角公式，即可得出答案．
本题考查空间中面与面的位置关系，二面角，解题中需要理清思路，属于中档题．
20.【答案】解：(1)由题意知，所抽取的20人中得分落在组[0,20]的人数有0.0050×20×20=2(人)，
得分落在组(20,40]的人数有0.0075×20×20=3(人)，
∴所抽取的20人中得分落在组[0,20]的人数有2人，得分落在组(20,40]的人数有3人；
(2)X的所有可能取值为0，1，2，
P(X=0)=C33C53=110，
P(X=1)=C21C32C53=610，
P(X=2)=C22C31C53=310，
X的分布列为：
故EX=0×110+1×610+2×310=1.2.
【解析】(1)利用频率分布直方图能求出所抽取的20人中得分落在组[0,20]的人数和得分落在组(20,40]的人数；
(2)X的所有可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和期望．
本题主要考查离散型随机变量分布列的求解，以及期望公式的应用，属于基础题．
21.【答案】解：(I)由y=x+by2=4x得x2+(2b−4)x+b2=0
直线y=x+b是抛物线C2：y2=4x的一条切线．
所以△=0⇒b=1e=ca= 22⇒a= 2
所以椭圆C1:x22+y2=1(5分)
(Ⅱ)当直线l与x轴平行时，以AB为直径的圆方程为x2+(y+13)2=(43)2
当直线l与y轴重合时，以AB为直径的圆方程为x2+y2=1
所以两圆的切点为点(0,1)(8分)
所求的点T为点(0,1)，证明如下．
当直线l与x轴垂直时，以AB为直径的圆过点(0,1)
当直线l与x轴不垂直时，可设直线l为：y=kx−13
由 y=kx−13x22+y2=1得(18k2+9)x2−12kx−16=0
设A(x1,y1)，B(x2,y2)则x1+x2=12k18k2+9x1x2=−1618k2+9，
TA⋅TB=(1+k2)x1x2−43k(x1+x2)+169
=(1+k2)⋅−169+18k2−4k3⋅12k9+18k2+169=0，
所以TA⊥TB，即以AB为直径的圆过点(0,1)
所以存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过定点T(13分)
【解析】(I)先跟据直线y=x+b是抛物线C2：y2=4x的一条切线，求出b的值，再由椭圆离心率为 22，求出a的值，则椭圆方程可得．
(Ⅱ)先假设存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过定点，再用垂直时，向量PA，PA的数量积为0，得到关于直线斜率k的方程，求k，若能求出，则存在，若求不出，则不存在．
本题考查了椭圆，抛物线与直线的综合运用，另外，还结合了向量知识，综合性强，须认真分析．
22.【答案】解：(1)因为f′(x)=alnx+a(x+1)x+2，
所以f′(1e)=−a+ae(1+1e)+2=e+2，
所以a=1，f′(x)=lnx+1x+3，
令h(x)=lnx+1x+3，则h′(x)=1x−1x2=x−1x2，x>0，
当01时，h′(x)>0，h(x)单调递增，
故h(x)min=h(1)=4>0，
所以f′(x)>0，f(x)在(0,+∞)上单调递增；
(2)因为f(x)≤ex−1+2alnx+x恒成立，
令g(x)=f(x)−ex−1−2alnx−x=a(x−1)lnx+x−ex−1，x≥1，
则g′(x)=alnx+a(x−1)x+1−ex−1，
令m(x)=alnx+a(x−1)x+1−ex−1，则m′(x)=a(1x+1x2)−ex−1，x≥1，
当a≤0时，m′(x)<0，m(x)=g′(x)在[1,+∞)上单调递减，g′(x)≤g′(1)=0，
所以g(x)在[1,+∞)上单调递减，g(x)≤g(1)=0，符合题意；
当0则p′(x)=−a(1x2+2x3)−ex−1<0，
故m′(x)在[1,+∞)上单调递减，m′(x)≤m′(1)=2a−1≤0，
所以g′(x)在[1,+∞)上单调递减，g′(x)≤g′(1)=0，
所以g(x)在[1,+∞)上单调递减，g(x)≤g(1)=0，符合题意；
当a>12时，令q(x)=ex−1−x，则q′(x)=ex−1−1，
当x≥1时，q′(x)>0，q(x)单调递增，q(x)≥q(1)=0，即ex−1≥x，
所以m′(x)=a(1x+1x2)−ex−1≤a(1x+1x2)−x，
所以m′(4a)≤a(14a+116a2)−4a=14+116a−4a<14+18−2<0，
m′(1)=2a−1>0，
所以存在x0∈(1,4a)，使得m′(x0)=0，
当10，m(x)=g′(x)单调递增，
又因为g′(x)>g′(1)=0，g(x)在(1,x0)上单调递增，
所以g(x)>g(1)=0，不符合题意，
综上，a的取值范围为(−∞,12].
【解析】(1)先对函数求导，结合已知条件求出a，结合导数与单调性关系即可求解；
(2)由已知不等式整理，由不等式恒成立与最值关系的转化考虑构造函数，然后结合导数与单调性关系对a的取值范围进行分类讨论，由函数性质可求．
本题主要考查了导数与单调性关系的应用，还考查了由不等式恒成立求解参数范围，体现了转化思想及分类讨论思想的应用，属于难题．
X
0
1
2
P
110
610
310