2023年山西省太原市高考数学模拟试卷（一）（含答案解析）

这是一份2023年山西省太原市高考数学模拟试卷（一）（含答案解析），共20页。试卷主要包含了 6的展开式中x2的系数为， 已知双曲线C等内容，欢迎下载使用。

A. (−1,2]B. (0,1)C. (−∞,1]D. (−∞,2]
2. 设复数z满足(z+i)(z−i)=1+2i(i为虚数单位)，则z=( )
A. ± 2iB. ± 2iC. −1−i或1+iD. −1+i或1−i
3. 已知等比数列{an}的前2项和为24，a2−a4=6，则a8=( )
A. 1B. 12C. 14D. 18
4. (1+x+x2)(1−x)6的展开式中x2的系数为( )
A. 9B. 10C. 24D. 25
5. 在△ABC中，A=π4，BD⊥AC，D为垂足，若AC=4BD，则csB=( )
A. − 55B. 55C. −2 55D. 2 55
6. 算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一.算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠.例如，在百位档拨一颗下珠，十位档拨一颗上珠和两颗下珠，则表示数字170.若在个、十、百、千位档中，先随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字大于200的概率为( )
A. 12B. 23C. 34D. 56
7. 已知函数f(x)=32x2+6x+5,x≤−1,2(x+1)ex,x>−1,若函数g(x)=[f(x)]2−(m+2)f(x)+2m恰有5个零点，则实数m的取值范围为( )
A. (−1,2)B. (−1,0)C. (0,12)D. (12,2)
8. 已知f′(x)，g′(x)分别为定义在R上的函数f(x)和g(x)的导函数，且f(x)−g′(x)=1，f(x)+g′(2−x)=1，若g(x)是奇函数，则下列结论不正确的是( )
A. 函数f(x)的图象关于点(1,1)对称B. 函数f(x)的图象关于直线x=1对称
C. g′(0)=0D. f(−3)=1
9. 已知函数fx=sinx+csx，则下列结论正确的是( )
A. fx的最小正周期为πB. fx的值域为1, 2
C. fx的图象是轴对称图形D. fx的图象是中心对称图形
10. 已知双曲线C:x24−y25=1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线与双曲线C的右支交于A，B两点，且AF1⊥AB，则下列结论正确的是( )
A. 双曲线C的渐近线方程为y=± 52x
B. 若P是双曲线C上的动点，则满足|PF2|=5的点P共有两个
C. |AF1|=2+ 14
D. △ABF1内切圆的半径为 14−2
11. 已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为4，E为侧面BCC1B1的中心，F为棱C1D1的中点，P为线段BD1上的动点，Q为上底面A1B1C1D1内的动点，则下列结论正确的是( )
A. 三棱锥P−B1EF的体积为定值
B. 若EP//平面A1C1D，则EP=2 33
C. 若FQ⊥DP恒成立，则线段FQ的最大值为2 2
D. 当DQ与DA1的所成角为45∘时，点Q的轨迹为双曲线的一部分
12. 已知函数f(x)=xex，g(x)=xlnx，若直线y=b与曲线y=f(x)和y=g(x)分别相交于点A(x1,f(x1))，B(x2,f(x2))，C(x3,g(x3))，D(x4,g(x4))，且x1A. x1x3=x2x4B. x1x2=x3x4
C. ln(x1x2)=x3+x4D. x1+x2=ln(x3x4)
13. 已知|a|= 3，|b|=1，a+b=(2, 3)，则a与b的夹角为______ .
14. 已知x>0，y>0，1x+y=2，则xy的最小值为______ .
15. 已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，过点F的直线交C于A，B两个不同点，若OA⋅OB=−3，|AF|⋅|BF|=6，则直线AB的斜率为______ .
16. 已知函数f(x)=ex−1−e−x+1+asinπx有唯一的零点，则实数a的最大值为______ .
17. 已知等差数列{an}中，a1=1，Sn为{an}的前n项和，且{ Sn}也是等差数列.
(1)求an；
2)设bn=Snanan+1(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.
18. 在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，点D在BC上，BD=2CD，AD=2.
(1)从下面条件①、②中选择一个条件作为已知，求A；
(2)在(1)的条件下，求△ABC面积的最大值.
条件①：sin2B+sin2C=sinA(2 33sinBsinC+sinA)；
条件②：cs2A−cs2B+sin2C=sinBsinC.
注：若条件①和条件②分别解答，则按第一个解答计分.
19. 如图，四棱锥P−ABCD中，AB//CD，AB⊥AD，且AB=AD=2CD=4，PA=2，∠PAB=60∘，直线PA与平面ABCD的所成角为30∘，E，F分别是BC和PD的中点.
(1)证明：EF//平面PAB；
(2)求平面PAB与平面PAD夹角的余弦值.
20. 某制药公司研发一种新药，需要研究某种药物成份的含量x(单位：mg)与药效指标值y(单位：m)之间的关系，该公司研发部门进行了20次试验，统计得到一组数据(xi,yi)(i=1,2,⋯,20)，其中xi，yi分别表示第i次试验中这种药物成份的含量和相应的药效指标值，且i=120xi=60,i=120yi=1200,i=120xi2=260,i=120yi2=81000,i=120xiyi=4400.
(1)已知该组数据中y与x之间具有线性相关关系，求y关于x的经验回归方程y =b x+a ；
(2)据临床经验，当药效指标值y在[45,75]内时，药品对人体是安全的，求该新药中此药物成份含量x的取值范围；
(3)该公司要用A与B两套设备同时生产该种新药，已知设备A的生产效率是设备B的2倍，设备A生产药品的不合格率为0.009，设备B生产药品的不合格率为0.006，且设备A与B生产的药品是否合格相互独立.
(i)从该公司生产的新药中随机抽取一件，求所抽药品为不合格品的概率；
(ii)在该新药产品检验中发现有三件不合格品，求其中至少有两件是设备A生产的概率.
参考公式：b =i=1n(xi−x−)(yi−y−)i=1n(xi−x−)2=i=1nxiyi−nx−y−i=1nxi2−nx−2，a =y−−b x−.
21. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右顶点为A，上顶点为B，其离心率e=12，直线AB与圆x2+y2=127相切.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点M(2, 3)的直线与椭圆C相交于P，Q两个不同点，过点P作x轴的垂线分别与AB，AQ相交于点D和N，证明：D是PN中点.
22. 已知函数f(x)=12x2+ax−(ax+1)lnx.
(1)若f(x)恰有三个不同的极值点x1，x2，x3(x1(2)在(1)的条件下，证明：①x1x2x3=1；②x1+x2+x3>3(a−1).
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：集合A={x|x2<1}={x|−1故则A∪B=(−1,2].
故选：A.
先求出集合A，B，再结合并集的定义，即可求解．
本题主要考查并集及其运算，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：(z+i)(z−i)=1+2i，
则z2+1=1+2i，即z2=2i，
设z=a+bi(a,b∈R)，
则(a+bi)2=a2−b2+2abi=2i，即a2−b2=02ab=2，解得a=1b=1或a=−1b=−1，
故z=1+i或−1−i.
故选：C.
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数相等的条件，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数相等的条件，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：根据题意，设等比数列{an}的公比为q，
若前2项和为24，a2−a4=6，则有a1+a1q=24a1q−a1q3=6，解可得：a1=16q=12，
则a8=16×127=18，
故选：D.
根据题意，设等比数列{an}的公比为q，分析可得有a1+a1q=24a1q−a1q3=6，解可得a1和q的值，即可得数列的通项公式，计算可得答案．
本题考查等比数列的求和，涉及等比数列的通项公式，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：由题意多项式的展开式中含x2的项为1×C62(−x)2+x×C61(−x)+x2×1=10x2，
所以x2的系数为10.
故选：B.
利用二项式定理求出展开式中含x2的项，由此即可求解．
本题考查了二项式定理的应用，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：在△ABC中，A=π4，BD⊥AC，D为垂足，
又AC=4BD，
不妨设BD=t，
则AD=t，AB= 2t，AC=4t，CD=3t，BC= BD2+CD2= 10t，
则csB=AB2+BC2−AC22×AB×BC=( 2t)2+( 10t)2−(4t)22× 2t× 10t=− 55.
故选：A.
由余弦定理，结合勾股定理求解即可．
本题考查了余弦定理，重点考查了勾股定理，属基础题．
6.【答案】C
【解析】解：当先随机选择拨上珠的是千位时，有6100，6010，6001，5110，5011，5101，6种情况，
当先随机选择拨上珠的是百位时，有1600，1510，1501，610，601，511，6种情况，
当先随机选择拨上珠的是十位时，有1150，1060，1051，160，151，61，6种情况，
当先随机选择拨上珠的是个位时，有1105，1015，1006，115，106，16，6种情况，
所以一共有24种情况，
其中所拨数字大于200的有6100，6010，6001，5110，5011，5101，1600，1510，1501，610，601，511，1150，1060，1051，1105，1015，1006，有18种，
所以所求概率为1824=34.
故选：C.
利用古典概型的概率公式求解．
本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：因为函数g(x)=[f(x)]2−(m+2)f(x)+2m恰有5个零点，
所以方程[f(x)]2−(m+2)f(x)+2m=0有5个根，
所以[f(x)−m][f(x)−2]=0有5个根，
所以方程f(x)=2和f(x)=m共有5个根，
当x>−1时，f(x)=2(x+1)ex，
所以f′(x)=2ex−2(x+1)ex(ex)2=−2xex，
所以当−10，f(x)单调递增，当x>0时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
因为x>−1，所以f(x)>0，
又因为f(0)=2，当x>−1且x趋于−1时，f(x)趋于0，当x趋于+∞时，f(x)趋于0，
当x≤−1时，f(x)=32x2+6x+5=32(x+2)2−1，f(−1)=12，
故函数f(x)在(−∞,−1]上的图象为对称轴为x=−2，顶点为(−2,−1)的抛物线的一段，
根据以上信息，作函数f(x)的图象如下：
观察图象可得函数y=f(x)的图象与函数y=2的图象有2个交点，
所以方程f(x)=2有两个根，
所以方程f(x)=m有3个异于方程f(x)=2的根，
观察图象可得12所以m的取值范围为(12,2).
故选：D.
根据零点的定义可得方程f(x)=2和f(x)=m共有5个解，结合导数分析函数f(x)的性质，作函数的图象，观察图象求m的取值范围．
本题考查了函数与方程思想、数形结合思想、导数的综合运用，作出f(x)的图象是关键，属于中档题．
8.【答案】C
【解析】解：因为f(x)−g′(x)=1，f(x)+g′(2−x)=1，
所以g′(2−x)+g′(x)=0，
即g′(2−x)=−g′(x)，
所以g′(x)关于(1,0)对称，
对于A，因为f(x)=g′(x)+1，所以函数f(x)的图象关于点(1,1)对称，故正确；
对于B，因为g(x)是奇函数，所以g(−x)=−g(x)，两边求导得：−g′(−x)=−g′(x)，所以g′(−x)=g′(x)，
所以g′(x)为偶函数，
所以g′(2−x)=−g′(x)=−g′(−x)，
所以g′(1−x)=−g′(1−x)，
所以g′(1−x)=0，
所以g′[2−(1+x)]=−g′(1+x)，
即g′(1+x)=−g′(1−x)=0，
所以f(1+x)=1−g′(1−x)=1，f(1−x)=1−g′(x+1)=1，
所以f(1+x)=f(1−x)，
所以函数f(x)的图象关于直线x=1对称，故正确；
对于C，因为g′(x)关于(1,0)对称，所以g′(1)=0，故错误；
对于D，因为g′(x)=−g′(2−x)，
即g′(−x)=−g′(2−x)，g′(x)=−g′(2+x)，
所以g′(x+4)=−g′(2+x)=g′(x)，
所以g′(x)的周期为4，
f(x)=g′(x)+1，
所以f(x)的周期也为4，
所以f(−3)=g′(−3)+1=g′(−3+4)+1=g′(1)+1=1，故正确．
故选：C.
由f(x)−g′(x)=1，f(x)+g′(2−x)=1，可得g′(2−x)=−g′(x)，从而得g′(x)关于(1,0)对称，即可判断A；
由题意可得g′(x)为偶函数，从而可得g′(1−x)=0，g′(1+x)=−g′(1−x)=0，所以有f(1+x)=1=f(1−x)，即可判断B；
由g′(x)关于(1,0)对称，所以g′(1)=0，即可判断C；
由g′(x)的周期为4，可得f(−3)=g′(−3)+1=g′(−3+4)+1=g′(1)+1，即可判断D.
本题考查了抽象函数的以称性、周期性，也考查了逻辑推理能力，属于中档题．
9.【答案】BC
【解析】解：因为f(x)=|sinx|+|csx|，
当2kπ≤x≤2kπ+π2，k∈Z时，f(x)=sinx+csx= 2sin(x+π4)；
当2kπ+π2当2kπ+π当2kπ+3π2作出函数y=f(x)在[0,2π]上的图象，如图所示：
由此可得f(x)的最小正周期为π2，故A错误；
函数的值域为：[1, 2]，故B正确；
由图象可得函数数的对称轴为x=kπ4，k∈Z，故C正确；
函数f(x)不是中心对称图形，故D错误．
故选：BC.
化简函数的解析式，作出函数y=f(x)在[0,2π]上的图象，结合图象逐一判断即可．
本题考查了三角函数的图象及性质，作出图象是难点，属于中档题．
10.【答案】ACD
【解析】解：对于A：双曲线C:x24−y25=1，则双曲线C的渐近线方程为y=± 52x，故A正确；
对于B：设P(x0,y0)，则y02=54x02−5，
∴|PF2|= (x0−3)2+y02= 94x02−6x0+4=|32x0−2|=5，解得x0=−2或x0=143，
∴当x0=−2时，y0=0，即P(−2,0)；当x0=143时，y0有两个值，此时点P有两个，
综上所述，满足|PF2|=5的点P共有三个，故B错误；
对于C：由题意得|AF1|−|AF2|=4，|F1F2|=6，且AF1⊥AB，
∴|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2=36，
∴|AF1|+|AF2|= 2(|AF1|2+|AF2|2)−(|AF1|−|AF2|)2= 72−16=2 14，解得|AF1|=2+ 14，故C正确；
对于D：由题意得|BF1|−|BF2|=4，设△ABF1内切圆的半径为r，
∵AF1⊥AB，
∴r=|AF1|+|AB|−|BF1|2=|AF1|+|AF2|+|BF2|−|BF1|2=2 14−42= 14−2，故D正确；
故选：ACD.
根据双曲线的性质可得|AF1|−|AF2|=4，|F1F2|=6，|BF1|−|BF2|=4，逐一分析选项，即可得出答案．
本题考查双曲线的性质，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
11.【答案】AC
【解析】解：因为E为侧面BCC1B1的中心，所以E为BC1的中点，
又F为棱C1D1的中点，
所以EF//BD1，
所以点P到直线EF的距离等于点E到直线BD1的距离，
所以点P到直线EF的距离等于点C1到直线BD1的距离的一半，
设C1D1=4,BC1=4 2,BD1=4 3，
所以点C1到直线BD1的距离为4×4 24 3=4 63，
所以点P到直线EF的距离为2 63，
所以△EFP的面积S△EFP=12×2 3×2 63=2 2，
又B1E⊥BC1，C1D1⊥B1E，
BC1∩C1D1=C1，BC1，C1D1⊂平面EFP，
所以B1E⊥平面EFP，
所以三棱锥P−B1EF的体积VP−B1EF=VB1−EFP=13×2 2×2 2=83，A正确；
如图以点D为原点，DA,DC,DD1为x，y，z的正方向，建立空间直角坐标系，
则D(0,0,0)，A1(4,0,4)，C1(0,4,4)，D1(0,0,4)，B(4,4,0)，
所以DA1=(4,0,4),DC1=(0,4,4),BD1=(−4,−4,4)，
所以DA1 ⋅BD1=−16+0+16=0,DC1⋅BD1=0−16+16=0，
所以向量BD1=(−4,−4,4)为平面A1C1D的一个法向量，
设BP=λBD1=(−4λ,−4λ,4λ),0<λ<1，
所以EP=EB+BP=12C1B+BP=(2−4λ,−4λ,−2+4λ)，
因为EP//平面A1C1D，所以EP⋅BD1=−8+16λ+16λ−8+16λ=0，
所以λ=13，所以EP=(23,−43,−23)，
所以|EP|= (23)2+(−43)2+(−23)2=2 63，B正确；
设Q(x,y,4)，则FQ=(x,y−2,0)，
又DP=DB+BP=(4−4λ,4−4λ,4λ)，
因为FQ⊥DP，所以(4−4λ)x+(4−4λ)(y−2)=0，
所以x+y=2，
所以|FQ|= x2+(y−2)2+0= 2|y−2|，
又0≤x≤4，0≤y≤4，所以0≤y≤2，
所以当y=0时，线段FQ取最大值，最大值为2 2；C正确；
因为DQ=(x,y,4),DA1=(4,0,4)，
又DQ与DA1的所成角为45∘，
所以cs45∘=|DQ⋅DA1|DQ||DA1||=|4x+16 x2+y2+16× 32|= 22，
化简可得y2=8x，且0≤x≤4，0≤y≤4，
所以点Q的轨迹为抛物线的一部分，D错误；
故选：AC.
证明EF//BD1，由此证明△EFP的面积为定值，再证明B1E⊥平面EFP，结合锥体体积公式判断A；建立空间直角坐标系由条件确定点P的坐标，再求EP，判断B；由FQ⊥DP，设Q(x,y,4)，得到|FQ|= 2|y−2|，根据y的范围判断C；根据DQ与DA1的所成角为45∘，利用空间向量知识判断D.
本题考查了立体几何的综合应用，属于中档题．
12.【答案】AD
【解析】解：函数f(x)=xex，x∈R，则f′(x)=(x+1)ex，f′(−1)=0，
∴x∈(−∞,−1)时，f′(x)<0，此时函数f(x)单调递减；
x∈(−1,+∞)时，f′(x)>0，此时函数f(x)单调递增．
因此x=−1时，函数f(x)取得极小值即最小值，f(−1)=−1e.
g(x)=xlnx，x∈R，则g′(x)=lnx+1，g′(1e)=0，
∴x∈(0,1e)时，g′(x)<0，此时函数g(x)单调递减；
x∈(1e,+∞)时，g′(x)>0，此时函数g(x)单调递增．
因此x=1e时，函数g(x)取得极小值即最小值，g(1e)=−1e.
画出图象，
可得x1<−1而x3lnx3=elnx3lnx3，lnx3同理可得x2=lnx4，∴x1x3=x3lnx3，x2x4=x4lnx4，∴x1x3=x2x4，
由x1=lnx3，x2=lnx4，相加可得x1+x2=ln(x3x4)，
因此AD正确，而BC不正确．
故选：AD.
利用导数的运算法则可得f′(x)，g′(x)，研究函数的单调性，画出图象，可得x1<−1本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值及最值、方程思想、数形结合思想，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
13.【答案】π6
【解析】解：∵|a|= 3，|b|=1，a+b=(2, 3)，
∴(a+b)2=a2+b2+2a⋅b=3+1+2a⋅b=7，∴a⋅b=32，
∴cs=a⋅b|a|⋅|b|=32 3= 32，
∵∈[0,π]，∴=π6.
故答案为：π6.
运用向量的平方即为模的平方，求出a，b的数量积，再由向量的夹角公式，计算即可得到．
本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查向量夹角公式及计算，属于中档题．
14.【答案】1
【解析】解：因为x>0，y>0，1x+y=2，
所以x=12−y>0，
所以0则xy=1y(2−y)≥1(y+2−y2)2=1，当且仅当y=2−y，即y=1时取等号．
故答案为：1.
由已知可得x=12−y>0，代入到所求式子后结合基本不等式即可求解．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
15.【答案】± 2
【解析】解：根据题意可设AB直线方程为x=my+p2，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立x=my+p2y2=2px，可得y2−2pmy−p2=0，
∴y1+y2=2pmy1y2=−p2，
∴x1+x2=y12+y222p=(y1+y2)2−2y1y22p=2pm2+px1x2=y12y224p2=p24，
∴OA⋅OB=x1x2+y1y2=p24−p2=−3，p>0，∴p=2，
又|AF||BF|=(p2+x1)(p2+x2)=(1+x1)(1+x2)
=1+(x1+x2)+x1x2=1+4m2+2+1=6，
∴m2=12，∴m=± 22，
∴直线AB的斜率为1m=± 2，
故答案为：± 2.
设AB直线方程为x=my+p2，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，然后设而不求，根据韦达定理，建立方程，即可求解．
本题考查抛物线的几何性质，抛物线的焦点弦问题，设而不求法与韦达定理的应用，方程思想，属中档题．
16.【答案】2π
【解析】解：f(x)=ex−1−e−x+1+asinπx有唯一零点，等价于函数h(x)=asinπx与函数g(x)=e−x+1−ex−1的图象有唯一交点，
因为h(1)=g(1)=0，
所以h(x)=asinπx与函数g(x)=e−x+1−ex−1的图象的唯一交点为(1,0)，
因为g′(x)=−e1−x−ex−1<0在R上恒成立，
所以g(x)=e1−x−ex−1在R上单调递减，
因为问题求a的最大值，
所以不妨令a>0，
因为h(x)=asinπx是最小正周期为2，最大值为a的正弦函数，
函数h(x)与g(x)大致图象如下：
因为h(x)和g(x)只有唯一交点，则h′(1)>g′(1)，
即aπcsπ≥−2，
解得a≤2π，
所以a的最大值为2π.
f(x)=ex−1−e−x+1+asinπx有唯一零点，等价于函数h(x)=asinπx与函数g(x)=e1−x−ex−1的图象有唯一交点，由于h(1)=g(1)=0，则h(x)=asinπx与函数g(x)=ex−1−e−x+1的图象的唯一交点为(1,0)，求导分析单调性，不妨令a>0，若h(x)和g(x)只有唯一交点，则h′(1)>g′(1)，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
17.【答案】解：(1)设等差数列{an}的公差为d，
∵{ Sn}是等差数列，
∴2 S2= S3+ S1，
又a1=1，
∴2 2+d= 3+3d+1，
解得d=2，
∴an=1+2(n−1)=2n−1.
(2)由(1)可得Sn=n(1+2n−1)2=n2，
∴bn=n2(2n−1)(2n+1)=14×4n2−1+1(2n−1)(2n+1)=14+18(12n−1−12n+1)，
∴数列{bn}的前n项和Tn=14×n+18[(1−13)+(13−15)+…+(12n−1−12n+1)]=n4+18(1−12n+1)=n2+n4n+2.
【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d，根据{ Sn}是等差数列，可得2 S2= S3+ S1，可得2 2+d= 3+3d+1，解得d，即可得出an.
(2)由(1)可得Sn=n(1+2n−1)2=n2，可得bn=14+18(12n−1−12n+1)，利用裂项求和方法即可得出结论．
本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18.【答案】解：(1)选择条件①：sin2B+sin2C=sinA(2 33sinBsinC+sinA)，即sin2B+sin2C−sin2A=2 33sinAsinBsinC，
在△ABC中，由正弦定理得b2+c2−a2=2 33bcsinA，
由余弦定理得a2=b2+c2−2bccsA，则 33sinA=csA，即tanA= 3，
∵A∈(0,π)，
∴A=π3；
选择条件②：cs2A−cs2B+sin2C=sinBsinC，
∴1−sin2A−(1−sin2B)+sin2C=sinBsinC，即−sin2A+sin2B+sin2C=sinBsinC，
在△ABC中，由正弦定理得b2+c2−a2=bc，
由余弦定理得csA=b2+c2−a22bc=12，
∵A∈(0,π)，
∴A=π3；
(2)由(1)得A=π3，
∵BD=2CD，∴AD=13AB+23AC，
∴AD2=(13AB+23AC)2=19AB2+49AC⋅AB+49AC2=19c2+49b⋅ccsA+49b2=19c2+19c2+49b2+29bc=4，
∴36=4b2+c2+2bc≥4bc+2bc=6bc，解得bc≤6，当且仅当c=2b等号成立，
∴S△ABC=12bcsinA= 34bc≤3 32，
∴当且仅当b= 3，c=2 3时，△ABC面积的最大值为3 32.
【解析】(1)分别选取条件①②，利用正弦定理和余弦定理，即可得出答案；
(2)由(1)得A=π3，可得AD=13AB+23AC，结合面积公式，即可得出答案．
本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)证明：取AD的中点G，连接EG，FG，
∵FF是PD的中点．∴GF//AP，∵AP⊂平面PAB，FG⊄平面PAB，
∴GF//平面PAB，
同理可得GE//平面PAB，
∵GE∩GF=G，GE⊂平面GEF，GF⊂平面GEF，
∴平面GEF//平面PAB，EF⊂平面GEF，
∴EF//平面PAB；
(2)以点A为原点，AB，AD所在的直线分别为x，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意可得A(0,0,0)，B(4,0,0)，D(0,4,0)，C(2,4,0)，
∵PA=2，直线PA与平面ABCD所成的角为30∘，
∴点P的竖坐标为z=1，
又∵∠PAB=60∘，∴点P的横坐标为x=1，纵坐标y= 2，∴P(1, 2,1)，
设平面PAB的一个法向量为m=(x,y,z)，
则m⋅AB=4x=0m⋅AP=x+ 2y+z=0，令y=1，则z=− 2，∴m=(0,1,− 2)，
设平面PAD的一个法向量n=(a,b,c)，
则n⋅AD=4b=0n⋅AP=a+ 2b+c=0，令a=1，b=0，c=−1，∴n=(1,0,−1)，
cs=m⋅n|m|⋅|n|= 2 3× 2= 33，
∴平面PAB与平面PAD夹角的余弦值 33.
【解析】(1)取AD的中点G，连接EG，FG，可证GF//平面PAB，GE//平面PAB，进而可证平面GEF//平面PAB，可证结论；
(2)以点A为原点，AB，AD所在的直线分别为x，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求得平面PAB与平面PAD的一个法向量，利用向量法可求平面PAB与平面PAD夹角的余弦值．
本题考查二面角的求法，考查线面平行的证明，属中档题．
20.【答案】解：(1)x−=120i=120xi=120×60=3，y−=120i=120yi=120×1200=60，
所以b =i=1n(xi−x−)(yi−y−)i=1n(xi−x−)2=i=1nxiyi−nx−y−i=1nxi2−nx−2=4400−20×3×60260−20×32=10，
a =y−−b x−=60−10×3=30，
所以y关于x的经验回归方程为y =10x+30.
(2)因为y =10x+30单调递增，
所以当y∈[45,75]时，x∈[1.5,4.5]，
故该新药中此药物成份含量x的取值范围为[1.5,4.5].
(3)设事件A表示“随机取一件药品来自设备A生产”，事件B表示“随机取一件药品来自设备B生产”，事件C表示“所抽药品为不合格品”，
(i)因为设备A的生产效率是设备B的2倍，
所以P(AC)=23×0.009=0.006，P(BC)=13×0.006=0.002，
所以随机抽取一件，所抽药品为不合格品的概率是P(C)=P(AC)+P(BC)=0.008.
(ii)P(A|C)=P(AC)P(C)=23×，
所以三件不合格品中至少有两件是设备A生产的概率为P=C32(34)2⋅14+C33(34)3=2732.
【解析】(1)结合已知数据与参考公式，求得b 和a ，即可得解；
(2)利用函数的单调性，可得解；
(3)设事件A表示“随机取一件药品来自设备A生产”，事件B表示“随机取一件药品来自设备B生产”，事件C表示“所抽药品为不合格品”，
(i)先分别求得P(AC)，P(BC)，再由P(C)=P(AC)+P(BC)，得解；
(ii)先利用条件概率求出P(A|C)的值，再结合独立重复试验的概率公式，得解．
本题考查线性回归方程的求法与应用，条件概率的求法，独立重复试验的概率公式，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)由题意可知A(a,0)，B(0,b)，所以直线AB的方程为：xa+yb=1，即bx+ay−ab=0，
由直线与圆相切可得d=ab a2+b2= 12 7，①
且e=ca= 1−b2a2=12，则b2=34a2，②，
由①②可得a2=4，b2=3，
所以椭圆的方程为：x24+y23=1；
(2)证明：显然直线PQ的斜率存在且不为0，设直线PQ的方程为y=kx+t，设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，
因为M(2, 3)在直线PQ上，可知2k+t= 3，
由(1)可知A(2,0)，B(0, 3)，直线AB的方程为： 3x+2y−2 3=0，
联立y=kx+t3x2+4y2=12，整理可得：(3+4k2)x2+8ktx+4t2−12=0，
Δ=64k2t2−4(3+4k2)(4t2−12)>0，即t2<3+4k2，x1+x2=−8kt3+4k2，x1x2=4t2−123+4k2，
直线AQ的方程为y=y2x2−2(x−2)，令x=x1，可得yN=y2(x1−2)x2−2，
将x=x1代入直线AB的方程中： 3x+2y−2 3=0，可得yD=2 3− 3x12，所以2yD=2 3− 3x1，
因为y1+yN−2yD=y1+y2(x1−2)x2−2−2 3+ 3x1=y1(x2−2)+y2(x1−2)+ 3(x1−2)(x2−2)x2−2，
分子=x2y1−2y1+x1y2−2y2+ 3[x1x2−2(x1+x2)+4]=x2(kx1+t)+x1(kx2+t)−2[k(x1+x2)+2t]+ 3[x1x2−2(x1+x2)+4]=2kx1x2+t(x1+x2)−2[k(x1+x2)+2t]+ 3[x1x2−2(x1+x2)+4]
=(2k+ 3)x1x2+(t−2k−2 3)(x1+x2)+4t+4 3=(2k+ 3)4t2−123+4k2+(t−2k−2 3)⋅−8kt3+4k2+4t+4 3，而2k+t= 3，
整理可得y1+yN−2yD=0x2−2=0，
可证得D是PN中点．
【解析】(1)由题意可知A，B的坐标，进而求出直线AB的方程，求出原点到直线AB的距离d，由直线与圆相切，可得a，b的关系，再由离心率，可知a，b的关系，进而求出a，b的值，求出椭圆的方程；
(2)设直线PQ的方程，与椭圆的方程联立，可得两根之和及两根之积，求出直线AB的方程及AQ的方程，令x=x1，求出D，N的坐标，再求P与N的纵坐标之和与D的纵坐标的差，整理可得代数式为0，可证得D为PN的中点．
本题考查椭圆方程的求法及直线与椭圆的综合应用，属于中档题．
22.【答案】解：(1)由题意可得f′(x)=x−1x−alnx，x>0，
f′′(x)=x2−ax+1x2，
当a≤2时，f′′(x)=x2−ax+1x2≥x2−2x+1x2=(x−1)2x2≥0，
所以f′(x)在(0,+∞)上单调递增，
所以当0所以f(x)在(0,1)上单调递减，
当x>1时，f′(x)>f′(1)=0，
所以f(x)在(1,+∞)上单调递增，
所以f(x)只有一个极值点x=1，不合题意，
当a>2时，令f′′(x)=x2−ax+1x2=0，即x2−ax+1=0，
则m=a− a2−42和n=a+ a2−42是方程f′′(x)=0的两个实数解，且0所以f′(x)在(0,m)和(n,+∞)上单调递增，在(m,n)上单调递减，且f′(1)=0，
因为f′(m)>f′(1)=0，f′(e−2a)=e−2a−e2a+2a2<1−(1+2a+2a2)+2a2=−2a<0，
所以存在x1∈(e−2a,m)，f′(x1)=0，
所以f′(x)在(0,m)上存在唯一零点x1，
因为f′(n)(1+2a+2a2)−1−2a2=2a>0，
所以存在x3∈(n,e2a)，f′(x3)=0，
所以f′(x)在(n,+∞)上存在唯一零点x3，
所以f(x)在(0,x1)和(1,x3)上单调递减，在(x1,1)和(x3,+∞)上单调递增，记x2=1，
所以x1，x2，x3是f(x)的三个不同的极值点，且0综上所述，实数a的取值范围为(2,+∞).
(2)证明：①由(1)得当a>2时，f(x)有三个不同的极值点x1，x2，x3，且0要证x1x2x3=1，只需证x1x3=1，
因为f′(1x)=1x−x−aln1x=−(x−1x−alnx)=−f′(x)，
所以f′(1x3)=−f′(x3)=0，
因为0<1x3<1，
所以1x3=x1，
所以x1x3=1，即有x1x2x3=1；
②要证x1+x2+x3>3(a−1)，
只需证x1+x3>3a−4，
因为f′(x3)=x3−1x3−alnx3=0，
所alnx3=x3−1x3，
只需证(1x3+x3)lnx3+4lnx3−3(x3−1x3)>0，
令u(x)=(1x+x)lnx+4lnx−3(x−1x)，x>1，
则u′(x)=x2−1x2[lnx−2(x−1)x+1]，
令v(x)=lnx−2(x−1)x+1，x>1，
则v′(x)=(x−1)2x(x+1)2>0，
所以v(x)>v(1)=0，
所以u′(x)>u′(1)=0，
所以u(x)>u(1)=0，
所以(1x3+x3)lnx3+4lnx3−3(x3−1x3)>0，
即x1+x2+x3>3(a−1).
【解析】(1)求导得f′(x)=x−1x−alnx，x>0，f′′(x)=x2−ax+1x2，分两种情况：当a≤2时，当a>2时，令f′′(x)的符号，f′(x)的单调性，f′(m)>f′(1)=0，f′(e−2a)=e−2a−e2a+2a2<1−(1+2a+2a2)+2a2=−2a<0，可得存在x1∈(e−2a,m)，f′(x1)=0，f′(n)(1+2a+2a2)−1−2a2=2a>0，可得存在x3∈(n,e2a)，f′(x3)=0，x2=1，即可得出答案．
(2)①由(1)得当a>2时，f(x)有三个不同的极值点x1，x2，x3，且0②要证x1+x2+x3>3(a−1)，需证x1+x3>3a−4，只需证(1x3+x3)lnx3+4lnx3−3(x3−1x3)>0，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．