2023年天津市红桥区高考数学一模试卷（含答案解析）

这是一份2023年天津市红桥区高考数学一模试卷（含答案解析），共14页。
2023年天津市红桥区高考数学一模试卷1.  已知全集，集合，或，
那么集合等于(    )A.  B. 或
C.  D. 2.  “”是“”的(    )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件3.  函数的大致图象是(    )A.  B.
C.  D. 4.  某校有200位教职员工，他们每周用于锻炼所用时间的频率分布直方图如图所示.据图估计，每周锻炼时间在小时内的人数为(    )
A. 18 B. 46 C. 54 D. 925.  抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是，则该双曲线的离心率为(    )A.  B.  C. 2 D. 36.  已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是(    )A. ，，，
B. ，，
C. ，
D. ，7.  设，且，，，则m，n，p的大小关系为(    )A.  B.  C.  D. 8.  某班级有50名学生，期中考试数学成绩，已知，则的人数为(    )A. 5 B. 10 C. 20 D. 309.  函数，关于x的方程有2个不相等的实数根，则实数a的取值范围是(    )A.  B.
C.  D. 10.  已知，其中i是虚数单位，那么实数______.11.  某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考试，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为，，，且各轮问题能否正确回答互不影响，则该选手被淘汰的概率为______.12.  的展开式中的常数项为______ .13.  已知两圆和相交于A，B两点，则直线AB的方程是______.14.  已知x，，则的最小值为______ .15.  如图所示，在中，点D为BC边上一点，且，过点D的直线EF与直线AB相交于E点，与直线AC相交于F点交两点不重合若，则______ ，若，则的最小值为______ .16.  已知的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且
求角C的大小；
求的值；
求的值.17.  如图，在长方体中，E、F分别是棱BC，上的点，，AB：AD：：2：4，
求异面直线EF与所成角的余弦值；
证明平面；
求二面角的正弦值．
18.  已知数列是公差为2的等差数列，为数列的前n项和，且，数列是公比大于0的等比数列，，
求数列和的通项公式；
令，，求数列的前2n项和；
令，求数列的前n项和19.  设椭圆C：的左、右焦点分别为、，离心率，长轴为4，且过椭圆右焦点的直线l与椭圆C交于M、N两点.
求椭圆C的标准方程；
若，其中O为坐标原点，求直线l的斜率；
若AB是椭圆C经过原点O的弦，且，判断是否为定值？若是定值，请求出，若不是定值，请说明理由.20.  已知函数
当时，求曲线在点处的切线方程；
若恒成立，求实数k的取值范围；
证明：
答案和解析 1.【答案】D 【解析】解：全集，集合，或，，
，
故选：
利用补集的定义求出，再利用两个集合的交集的定义，求出
本题考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合的交集的定义和求法，求出是解题的关键．
 2.【答案】A 【解析】解析：由得，所以易知选A
故选A
由绝对值的意义解出“”再进行判断．
本题考查充要条件的判断，属基本题．
 3.【答案】D 【解析】解：，
函数是偶函数，
故函数的图象关于y轴对称，
故排除选项B；
当时，，
故排除AC；
故选：
由题意可得函数的图象关于y轴对称，从而排除选项B；再由当时，可排除
本题考查了函数的奇偶性的应用，同时考查了排除法的应用，属于基础题．
 4.【答案】D 【解析】解：由频率分布直方图得：每周锻炼时间在小时内的频率为：，
每周锻炼时间在小时内的频率为：
每周锻炼时间在小时内的人数为：
故选：
由频率分布直方图求出每周锻炼时间在小时内的频率，由此能求出每周锻炼时间在小时内的人数．
本题主要考查评率分布直方图，属于基础题．
 5.【答案】C 【解析】【分析】本题考查抛物线以及双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．
求出抛物线的焦点坐标，渐近线方程，利用已知条件，列出关系式，求解双曲线的离心率即可．【解答】解：抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是，可得：，可得，
所以，
因为，
所以双曲线的离心率为
故选：  6.【答案】D 【解析】解：m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，
对于A，，，，，也可能相交，所以A不正确；
对于B，，，也可能异面，所以B不正确；
对于C，，有可能，所以C不正确；
对于D，，，满足直线与平面垂直的性质，所以D正确．
故选：
利用空间直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系，判断选项的正误即可．
本题考查空间直线和平面的位置关系，考查线面垂直和面面垂直的判定和性质定理，注意定理的条件是解题的关键，属于基础题和易错题．
 7.【答案】B 【解析】解：当时，有均值不等式可知，再由以a为底对数函数在定义域上单调递增，从而可知
又恒大于二次项系数大于0，根的判别式小于0，函数值恒大于，即，再由以a为底对数函数在定义域上单调递增，从而可知
又当时2a显然大于，同上，可知
综上
故选：
当时，比较与的大小，然后比较与2a的大小，再比较与2a的大小，最后利用时对数函数单调性可判断获解．
本题主要考查对数函数的单调性，其中，底数大于1，只要比较真数大小即可．
注意：真数比较时均值不等式的应用，
二次函数当二次项系数大于0时，根的判别式小于0时，函数值恒大于
 8.【答案】D 【解析】解：期中考试数学成绩，
考试的成绩X关于对称，
，
，
，
的人数为
故选：
根据考试的成绩，得到考试的成绩X关于对称，根据，得到，从而得到，根据频率乘以样本容量得到这个分数段上的人数．
本题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题，解题的关键是考试的成绩X关于对称，利用对称写出要用的一段分数的频数，题目得解．
 9.【答案】A 【解析】解：当时，，即关于x的方程始终有一个根为，
当时，由，得，
依题意，当时，直线与函数的图象仅有一个交点，
设，则，
易知当时，，单增，当时，，单减，且，当时，，
作出函数的图象如下图所示，

由图象可知，要使直线与函数的图象仅有一个交点，则
则或或
故选：
易知为方程的一个根，则当时，直线与函数的图象仅有一个交点，作出函数的图象，结合图象即可得解．
本题考查函数零点与方程根的关系，考查函数与导数的综合运用，考查数形结合思想以及运算求解能力，属于中档题．
 10.【答案】 【解析】【分析】
本题考查复数相等的条件，属于基础题.
直接化简方程，利用复数相等条件即可求解．
【解答】
解：，得
故答案为  11.【答案】 【解析】解：该选手被淘汰的对立事件是该选手通过三轮考核，
该选手被淘汰的概率为：

故答案为：
利用对立事件、相互独立事件概率计算公式能求出该选手被淘汰的概率．
本题考查概率的求法，考查对立事件、相互独立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 12.【答案】15 【解析】解：二项式展开式的通项公式为，，1，，
令，解，
展开式中的常数项为
故答案为：
求出二项式展开式的通项公式，令x的指数为0，可得二项式展开式的常数项．
本题考查二项式的展开式，考查组合数的计算，属于基础题．
 13.【答案】 【解析】解：因为两圆相交于A，B两点，则A，B两点的坐标既满足第一个圆的方程，又满足第二个圆的方程，
将两个圆方程作差，得直线AB的方程是：，
故答案为
当判断出两圆相交时，直接将两个圆方程作差，即得两圆的公共弦所在的直线方程．
本题考查相交弦所在的直线的方程，当两圆相交时，将两个圆方程作差，即得公共弦所在的直线方程．
 14.【答案】3 【解析】解：根据题意，，
又由x，，则，当且仅当时等号成立，
则有，当且仅当时等号成立，
即的最小值为
故答案为：
根据题意，分析可得，结合基本不等式的性质分析的最小值，由此分析可得答案．
本题考查基本不等式的性质以及应用，注意对原式的变形，属于基础题．
 15.【答案】  【解析】解：，
，
，又，不共线，
，；
，且D，E，F三点共线，
，且，，
，当且仅当，即时取等号，
的最小值为：
故答案为：
根据即可得出，从而得出，从而求出mn的值；可得出，根据D，E，F三点共线即可得出，并且，，然后可根据基本不等式和1的代换即可求出的最小值．
本题考查了向量减法的几何意义，向量的数乘运算，三点共线的充要条件，基本不等式和1的代换，考查了计算能力，属于基础题．
 16.【答案】解：在中，由，，，
根据余弦定理得，
又因为，所以；
在中，由，，，及正弦定理，
可得；
由，知角A为锐角，由，可得，
进而，，
所以 【解析】利用余弦定理可得角C；利用正弦定理可得；利用二倍角公式，两角和差公式即可得．
本题考查正余弦定理，考查二倍角公式，两角和差公式，属于基础题．
 17.【答案】解：如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点，设，依题意得，
，，
易得，

于是，
所以异面直线EF与所成角的余弦值为
证明：连接ED，易知，，，
于是，
因此，，
又，所以平面
设平面EFD的一个法向量为，则
即
不妨令，可得
由可知，为平面的一个法向量．
于是，，从而，
二面角的正弦值是 【解析】在空间坐标系中计算出两个直线的方向向量的坐标，由数量公式即可求出两线夹角的余弦值．
在平面中找出两条相交直线来，求出它们的方向向量，研究与向量内积为0即可得到线面垂直的条件．
两个平面一个平面的法向量已知，利用向量垂直建立方程求出另一个平面的法向量，然后根据求求二面角的规则求出值即可．
本题考查用向量法求异面直线所成的角，二面角，以及利用向量方法证明线面垂直，利用向量法求异面直线所成的角要注意异面直线所成角的范围与向量所成角的范围的不同．
 18.【答案】解：由题意可得，
，解得，
故，，
设等比数列的公比为，
则，
化简整理，得，
解得舍去，或，
，
由题意及可得，








由题意及可得，


，
则



 【解析】先根据等差数列的求和公式及题意列出关于首项的方程，解出的值，即可计算出等差数列的通项公式，再设等比数列的公比为，根据题干已知条件列出公比q的方程，解出q的值，即可计算出等比数列的通项公式；
根据题意及第题的结果运用分组求和法，等差数列的求和公式，平方差公式即可推导出前2n项和；
先根据题意及第题的结果先计算出数列的通项公式，运用裂项相消法即可计算出前n项和
本题主要考查数列求通项公式，以及数列求和问题．考查了方程思想，整体思想，转化与化归思想，分组求和法，裂项相消法，等差数列求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
 19.【答案】解：由题意可得，解得，，
所以椭圆C的标准方程为：；
由可得右焦点，
当直线l的斜率为0时，则直线l的方程为，代入椭圆的方程可得，即，
设，，则，所以可得直线l的斜率不为0，
斜率不为0时，设直线l的方程为：，设，，
联立，整理可得：，
因为在椭圆内部，显然，，，，
所以，
整理可得：，解得，
即直线l的斜率；
当直线AB的斜率为0时，则，
可知；
当直线AB的斜率不为0时，设直线AB的方程为，代入椭圆的方程，可得，
所以，，
所以，
因为，所以直线MN的方程为!，
由可得，
所以，
综上所述：为定值 【解析】由离心率的中及长轴的大小，再由a，b，c之间的关系，求出a，b的值，进而求出椭圆的方程；
分类讨论直线l的斜率为0和不为0两种情况，设直线l的方程，与椭圆的方程联立，求出两根之和及两根之积，进而求出数量积的表达式，由题意可得参数的值，即求出直线l的斜率；
分直线AB的斜率为0和不为0两种情况讨论，设直线AB的方程，与椭圆的方程联立，可得的表达式，由题意设直线MN的方程，由可得的表达式，进而求出为定值．
本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合应用，属于中档题．
 20.【答案】解：当时，函数，，
，
，
曲线在点处的切线方程为
恒成立，化为的最大值，
由，，
可得时，，函数单调递增；时，，函数单调递减．
时，函数取得极大值即最大值，
，
实数k的取值范围为
证明：由可得：，，，
分别令，，…，，
则，，…，
 【解析】当时，函数，，利用导数的运算法则可得，即可得出，利用点斜式即可得出曲线在点处的切线方程．
恒成立，化为的最大值，由，，利用导数研究其单调性即可得出极值与最值，进而得出实数k的取值范围．
由可得：，可得，，分别令，，…，，利用累加求和方法即可证明结论．
本题考查了利用导数研究其单调性与极值及最值、切线方程、累加求和方法、不等式的证明，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．