备战2023年高考数学常考题型分类讲义 第23讲 圆锥曲线中定点定值定直线问题

高考二轮数学复习策略

第二轮复习的首要任务是把整个高中基础知识有机地结合在一起，构建出高中数学知识的结构图。下面，小编给大家带来高考数学二轮复习策略，效果是十分显著的哦！

1、明确模拟练习的目的。不但检测知识的全面性、方法的熟练性和运算的准确性，更是训练书写规范，表述准确的过程。

2、查漏补缺，以“错”纠错。每过一段时间，就把“错题笔记”或标记错题的试卷有侧重的看一下。查漏补缺的过程也就是反思的过程，逐渐实现保强攻弱的目标。

3、严格有规律地进行限时训练。特别是强化对解答选择题、填空题的限时训练，将平时考试当作高考，严格按时完成，并在速度体验中提高正确率。

4、保证常规题型的坚持训练。做到百无一失，对学有余力的学生，可适当拓展高考中难点的训练。

5、注重题后反思总结。出现问题不可怕，可怕的是不知道问题的存在，在复习中出现的问题越多，说明你距离成功越近，及时处理问题，争取“问题不过夜”。

6、重视每次模拟考试的临考前状态的调整及考后心理的调整。以平和的心态面对高考。

第23讲  圆锥曲线中定点定值定直线问题

【考点分析】

考点一：直线过定点问题

①设直线为，根据题目给出的条件找出与之间的关系即可

②求出两点的坐标（一般含参数），再求出直线的斜率，利用点斜式写出直线的方程，再化为的形式，即可求出定点。

考点二：定值问题

探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：

①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；

②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.

③求斜率，面积等定值问题，把斜率之和，之积，面积化为坐标之间的关系，再用韦达定理带入化简一般即可得到定值

考点三：定直线问题

①一般设出点的坐标，写出两条直线的方程，两直线的交点及两个直线中的相同，然后再用韦达定理带入化简即可得的关系即为定直线

【题型目录】

题型一：直线圆过定点问题

题型二：斜率面积等定值问题

题型三：定直线问题

【典型例题】

题型一：直线过定点问题

【例1】已知点在椭圆上，椭圆C的左右焦点分别为，，的面积为.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设点A，B在椭圆C上，直线PA，PB均与圆相切，记直线PA，PB的斜率分别为，.

（i）证明：；

（ii）证明：直线AB过定点.

【例2】已知椭圆的离心率为，一个焦点与抛物线的焦点重合．

(1)求椭圆的方程；

(2)若直线交于两点，直线与关于轴对称，证明：直线恒过一定点．

【例3】已知椭圆的上顶点为，右顶点为，其中的面积为1（为原点），椭圆离心率为．

(1)求椭圆的方程；

(2)若不经过点的直线与椭圆交于，两点，且，求证：直线过定点．

【例4】已知椭圆C：过点．右焦点为F，纵坐标为的点M在C上，且AF⊥MF．

(1)求C的方程；

(2)设过A与x轴垂直的直线为l，纵坐标不为0的点P为C上一动点，过F作直线PA的垂线交l于点Q，证明：直线PQ过定点．

【例5】已知椭圆：（）的离心率为，其左､右焦点分别为，，为椭圆上任意一点，面积的最大值为1.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)已知，过点的直线与椭圆交于不同的两点，，直线，与轴的交点分别为，，证明：以为直径的圆过定点.

【题型专练】

1．已知椭圆的短轴长为，左顶点A到右焦点的距离为．

(1)求椭圆的方程

(2)设直线与椭圆交于不同两点，（不同于A），且直线和的斜率之积与椭圆的离心率互为相反数，求证：经过定点．

2.已知椭圆的离心率为，且过点.

(1)求椭圆的方程；

(2)点，在椭圆上，且.证明：直线过定点，并求出该定点坐标.

3.已知椭圆的左，右焦点分别为，，且，与短轴的两个端点恰好为正方形的四个顶点，点在E上.

(1)求E的方程；

(2)过点作互相垂直且与x轴均不重合的两条直线分别交E于点A，B和C，D，若M，N分别是弦AB，CD的中点，证明：直线MN过定点.

4.焦距为2c的椭圆（a＞b＞0），如果满足“2b=a+c”，则称此椭圆为“等差椭圆”．

(1)如果椭圆（a＞b＞0）是“等差椭圆”，求的值；

(2)对于焦距为12的“等差椭圆”，点A为椭圆短轴的上顶点，P为椭圆上异于A点的任一点，Q为P关于原点O的对称点（Q也异于A），直线AP、AQ分别与x轴交于M、N两点，判断以线段MN为直径的圆是否过定点？说明理由．

题型二：斜率面积等定值问题

【例1】动点与定点的距离和到定直线的距离之比是常数．

(1)求动点的轨迹的方程；

(2)经过定点的直线交曲线于，两点，设，直线，的斜率分别为，，求证：恒为定值．

【例2】已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上且位于第一象限，的面积为，．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若M，N是椭圆C上异于点Q的两动点，记QM，QN的倾斜角分别为，，当时，试问直线MN的斜率是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．

【例3】已知点在椭圆上，的长轴长为，直线与交于两点，直线的斜率之积为.

(1)求证：为定值；

(2)若直线与轴交于点，求的值.

【例4】已知椭圆的离心率,且椭圆C的右顶点与抛物线的焦点重合．

(1)求椭圆C的方程．

(2)若椭圆C的左、右顶点分别为,直线与椭圆C交于E,D两点,且点E的纵坐标大于0,直线与y轴分别交于两点,问:的值是否为定值？若是,请求出该定值;若不是,请说明理由．

【例5】已知椭圆的左、右顶点分别为，且，离心率为，为坐标原点.

(1)求椭圆的方程；

(2)设是椭圆上不同于的一点，直线与直线分别交于点 .证明：以线段为直径作圆被轴截得的弦长为定值，并求出这个定值.

【例6】已知为圆上一动点，过点作轴的垂线段为垂足，若点满足.

(1)求点的轨迹方程；

(2)设点的轨迹为曲线，过点作曲线的两条互相垂直的弦，两条弦的中点分别为，过点作直线的垂线，垂足为点，是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

【例7】已知椭圆：的右焦点为在椭圆上，的最大值与最小值分别是6和2.

(1)求椭圆的标准方程.

(2)若椭圆的左顶点为，过点的直线与椭圆交于（异于点）两点，直线分别与直线交于两点，试问是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

【题型专练】

1．已知椭圆的离心率为，点为椭圆的右焦点，点在椭圆上，且在轴上方，轴，斜率为的直线交于两点，

(1)若直线过点，求的面积.

(2)直线和的斜率分别为和，当直线平行移动时，是否为定值？若是，请求出该定值，若不是，请说明理由.

2．已知椭圆：过点，且该椭圆长轴长是短轴长的二倍.

(1)求椭圆的方程；

(2)设点关于原点对称的点为，过点且斜率存在的直线交椭圆于点M，N，直线MA，NA分别交直线于点P，Q，求证为定值.

3．如下图，过抛物线上一定点，作两条直线分别交抛物线于，．

（1）求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点的距离；

（2）当与的斜率存在且倾斜角互补时，求的值，并证明直线的斜率是非零常数．

4．如图，椭圆的左右焦点分别为，，点是第一象限内椭圆上的一点，经过三点P，，的圆与y轴正半轴交于点，经过点且与x轴垂直的直线l与直线交于点Q．

(1)求证：．

(2)试问：x轴上是否存在不同于点B的定点M，满足当直线，的斜率存在时，两斜率之积为定值？若存在定点M，求出点M的坐标及该定值；若不存在，请说明理由．

5．已知椭圆的离心率为，点为椭圆的右焦点，点在椭圆上，且在轴上方，轴，斜率为的直线交于两点，

(1)若直线过点，求的面积.

(2)直线和的斜率分别为和，当直线平行移动时，是否为定值？若是，请求出该定值，若不是，请说明理由.

6．已知椭圆的左焦点为，左、右顶点及上顶点分别记为、、，且.

(1)求椭圆的方程；

(2)设过的直线交椭圆于P、Q两点，若直线、与直线l：分别交于M、N两点，l与x轴的交点为K，则是否为定值？若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由.

7．已知平面上一动点到的距离与到直线的距离之比为．

(1)求动点的轨迹方程；

(2)曲线上的两点，，平面上点，连结，并延长，分别交曲线于点A，B，若，，问，是否为定值，若是，请求出该定值，若不是，请说明理由．

8．已知椭圆，过点直线，的斜率为，，与椭圆交于，两点，与椭圆交于，两点，且，，，任意两点的连线都不与坐标轴平行，直线交直线，于，.

(1)求证：；

(2)的值是否是定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由.

9．已知椭圆的左、右焦点分别为且离心率为，椭圆的长轴长为.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)设分别为椭圆的左、右顶点，过点作轴的垂线，为上异于点的一点，以线段为直径作圆，若过点的直线（异于轴）与圆相切于点，且与直线相交于点试判断是否为定值，并说明理由.

10．已知椭圆的左顶点和上顶点分别为、，直线与圆相切，切点为，且.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过圆上任意一点作圆的切线，交椭圆于、两点，试判断：是否为定值？若是，求出该值，并证明；若不是，请说明理由.

11．已知椭圆，左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为，若为椭圆上一点，的最大值为，点在直线上，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为，其中不与左右顶点重合.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)从点向直线作垂线，垂足为，证明：存在点，使得为定值.

题型三：定直线问题

【例1】已知如图，长为，宽为的矩形，以为焦点的椭圆恰好过两点，

(1)求椭圆的标准方程；

(2)根据（1）所得椭圆的标准方程，若是椭圆的左右顶点，过点的动直线交椭圆与两点，试探究直线与的交点是否在一定直线上，若在，请求出该直线方程，若不在，请说明理由.

【例2】已知椭圆（）的离心率为，且为上一点.

(1)求的标准方程；

(2)点，分别为的左､右顶点，，为上异于，的两点，直线不与坐标轴平行且不过坐标原点，点关于原点的对称点为，若直线与直线相交于点，直线与直线相交于点，证明：点位于定直线上.

【例3】已知为椭圆的左焦点，直线与C交于A，B两点，且的周长为，面积为2.

(1)求C的标准方程；

(2)若关于原点的对称点为Q，不经过点P且斜率为的直线l与C交于点D，E，直线PD与QE交于点M，证明：点M在定直线上.

【题型专练】

1．已知椭圆：的离心率为，是上一点.

(1)求的方程.

(2)设，分别为椭圆的左、右顶点，过点作斜率不为0的直线，与交于，两点，直线与直线交于点，记的斜率为，的斜率为.证明：①为定值；②点在定直线上.

2.已知为的两个顶点，为的重心，边上的两条中线长度之和为6.

(1)求点的轨迹的方程.

(2)已知点，直线与曲线的另一个公共点为，直线与交于点，试问：当点变化时，点是否恒在一条定直线上？若是，请证明；若不是，请说明理由.

3.已知椭圆C：的离心率为，左顶点为，左焦点为，上顶点为，下顶点为，M为C上一动点，面积的最大值为.

(1)求椭圆C的方程；

(2)过的直线l交椭圆C于D，E两点（异于点，），直线，相交于点Q，证明：点Q在一条平行于x轴的直线上.