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中考数学一轮复习课件第4章三角形第19课《勾股定理与解直角三角形的简单应用》(含答案)
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这是一份中考数学一轮复习课件第4章三角形第19课《勾股定理与解直角三角形的简单应用》(含答案),共14页。PPT课件主要包含了考点知识,CDAB,ACAB,例题与变式,过关训练等内容,欢迎下载使用。
1.直角三角形的性质:如图,在△ABC中,∠ACB=90°,则(1)两个锐角的关系:∠A+∠B=_____°.(2)三边的数量关系(勾股定理):________________.(3)边与角的关系:sin A= ,cs A=________, tanA________.(4)若CD是斜边的中线,则CD与AB的数量关系是 __________. (5)若∠B=30°,则AC与AB的数量关系是 __________.
AC2+BC2=AB2
3.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的高, S△ABC= AC×________= AB×________.
2.直角三角形的判定:(1)定义法:当∠ACB=______°时,△ABC是直角三角形.(2)勾股定理的逆定理:当△ABC的三边满足____________ 时, △ABC是直角三角形,且∠ACB=90°.(3)CD是AB边上的中线,且__________________时,△ABC是直 角三角形,且斜边是________.
【例1】如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AC=8,BD=6,OE⊥BC,垂足为点E,求OE的长.
【考点1】勾股定理,等面积法
解:∵菱形的对角线互相垂直平分, ∴OB=3,OC=4,∠BOC=90°. ∴BC= . ∵S△OBC= OB·OC= BC·OE. ∴OB·OC=BC·OE,即3×4=5OE. ∴OE= .
【变式1】如图,在△ABC中,CD⊥AB于点D, AE⊥BC于点E,BC=6, tan B= ,AB=AC.求AB, AE,CD的长.
解:∵AB=AC ,AE⊥BC,∴BE=CE=3.∵tan B= ,∴在Rt△ABE中, ,∴AE=4 .∴AB= .∵CD⊥AB,∴S△ABC= AB·CD.又∵S△ABC= BC·AE,∴AB·CD=BC·AE,即5×CD =6×4. ∴CD= .
【考点2】直角三角形边与角的关系
【例2】如图,在△ABC中,BD⊥AC,AB=6, AC= ,∠A=30°.(1)求BD和AD的长;(2)求tan C的值.
解:(1)∵BD⊥AC,∴∠ADB=90°. 在Rt△ADB中,AB=6,∠A=30°, ∴BD= AB=3. ∴AD= BD= . (2)CD=AC-AD= , 在Rt△ADC中,tan∠C= .
【变式2】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°, ∠A=30°,点E为线段AB上的一点,且AE∶EB =4∶1,EF⊥AC于点F,连接FB,求tan∠CFB.
解:在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°, 设BC=x,则AB=2x,AC= x. 又∵EF⊥AC,∴EF∥BC. ∴ AF∶FC=AE∶EB=4∶1, CF= AC= . ∴在Rt△CFB中, ∴tan∠CFB= .
【考点3】直角三角形的性质
【例3】如图,在△ABC中,∠C=90°,BD平分∠ABC,若AC=12 cm,DC=5 cm,求sin A的值.
解:过点D作DE⊥AB于点E, ∵BD是∠ABC的平分线,∠C=90°,DE⊥AB, ∴DE=CD=5 cm, ∵AD=12-5=7 cm, ∴SinA= .
【变式3】如图,OP平分∠AOB,∠AOP=15°,PC∥OA,PD⊥OA于点D,PC=4,求PD的长.
解:过点P作PE⊥OB于E, ∵∠AOP=∠BOP,PE⊥OB,PD⊥OA, ∴PE=PD. ∠BOP=∠AOP=15°, ∴∠AOB=30°. ∵PC∥OA,∴∠BCP=∠AOB=30°. ∴在Rt△PCE中,PE= PC= ×4=2. ∴PD=PE=2.
2.如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC与BD相交于点O,AB=5,AO=4,求BD的长.
解:∵四边形ABCD是菱形,对角线AC与BD相交于点O, ∴AC⊥BD,DO=BO, ∵AB=5,AO=4,∴BO=3. ∴BD=2BO=2×3=6.
3.如图,P是⊙O外一点,PA是⊙O的切线,PO=13, PA=12,求sin P的值.
解:连接OA, ∵PA是⊙O的切线,∴OA⊥AP,即∠OAP=90°. 又∵PO=13,PA=12, ∴根据勾股定理,得OA= . ∴sinP= .
4.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于 点O,点E,F分别是AO,AD的中点,若AB=6 cm,BC=8 cm,求EF的长.
解:∵四边形ABCD是矩形, ∴∠ABC=90°,BD=AC,BO=OD= BD, ∵AB=6 cm,BC=8 cm, ∴由勾股定理,得BD=AC= (cm), ∴DO=5 cm, ∵点E,F分别是AO,AD的中点, ∴EF=OD=2.5 cm
解:(1)∵∠A=60°,∠ABE=90°,AB=6,tanA= , ∴∠E=30°,BE=tan60°·6= . ∵∠CDE=90°,CD=4,sinE= ,∠E=30°, ∴CE=4÷ =8. ∴BC=BE-CE= -8. (2)∵∠ABE=90°,AB=6,sinA= , ∴设BE=4x,则AE=5x,AB=3x. ∴3x=6,得x=2. ∴BE=8,AE=10. ∴tanE= . 解得DE= . ∴AD=AE-DE=10- .
5.如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,∠ADC= 90°,AB=6, CD=4, BC的延长线与AD的延长线交于点E.(1)若∠A=60°,求BC的长;(2)若sin A= ,求AD的长.(注意:本题中的计算过程和结果均保留根号)
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