2023重庆市高三二诊（教科院卷）高2023届学业质量调研抽测数学试题

高2023届学业质量调研抽测（第二次）

高三数学参考答案及评分意见

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1～4．CBDD；   5～8．BABC.

二、选择题：本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．AD；  10．BCD；   11．BC；   12．ACD.

三、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分。

13．； 14．（答案不唯一）； 15．； 16．  ， ．

四、解答题：

17．解：（1）（法一）由余弦定理可得，

即，整理可得，……………………………3分

所以，

，.………………………………………………………………5分

（法二）由正弦定理可得，

，，……………………………………………………………3分

，，

，…………………………………………………………………5分

（2）在中,,即,

,与上式结合可得,……………………………………………6分

,故,所以,   …………………………………7分

（法一）在中,,

 易得，

在中,,

故.  …………………………………………………………………………10分

（法二）

…………………………………………………………………………10分

18．解：（1）（法一）由，令，

得到,……………………………………………1分

∵是等差数列，则，即

∴,……………………………………………………………………………3分

由于

∵，∴.………………………………………………………4分

（法二）∵是等差数列，公差为，设

∴

∴对于均成立

则，解得，.……………………………………………4分

∵，∴当时，，两式相减得，

即，又 ∴

∴数列是首项为，公比为的等比数列，∴.……………………7分

（2）由（Ⅰ）知:，则，，

∵，∴

∴数列的前项中有数列中的项和，…………………9分

∴数列的前项和为：

.………………12分

19．解：

（1）

                   ……………………………………………………………………2分

由上表数据可知：

，

所以没有90%的把握认为该种新药对治愈该病毒感染有作用．……………………5分

（2）的可能取值为0，1，2，3, 由题意可知，服从二项分布，则

，

的分布列为：

的期望为：. ……………………………………………………9分

(3)假设新药的有效率确实达到90%，设10个感染者使用该药治愈的人数为，则，，

是一个小概率，小概率事件竟然发生了，与小概率原理矛盾，所以有理由怀疑药厂的宣传. ……………………………………………………………………………………12分

20．（1）证明：取的中点为,连接，则,且,

∴四边形是平行四边形，， ……………………………………3分

平面,平面,

∴直线平面. ………………………………………………………………5分

（2）解：因为平面PAB，则，，以为原点，以垂直所在直线为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示……6分

设，则，．，则．，，，，，,，，.…………………………………………………………………8分

设平面PCE的一个法向量为，则，

即

不妨令，得，，所以，…………………………10分

设直线与平面所成的角为，则，

所以直线与平面所成的角的正弦值为．…………………………………12分

21．解：（1）由题意得，左焦点，，，

所以椭圆C的标准方程为：

.   …………………………………………………………………………4分

（2）设，令，，则，则，，由得，

解得，同理.  ……………………………………………………6分

由，得，则  ，

. …………………………………………8分

不妨设，，，，由，.得，，.代入，有，

则，

解得,…………10分

设，则，则，则，

令，解得，令，解得，

故在上单调递减，在上单调递增，则，且，则，则.……………………………12分

22.（1）解：，

①当时，的减区间为，

②当时，的减区间为

       的增区间为…………………………………4分

（2）证明：欲证

需证，

即需证，令，

即需证，设，

由（Ⅰ）知当时，的减区间为

所以故…………………………………………………8分

(3)证明：由（Ⅱ）知，当时，，

令，则

即，…………………………………………………9分

所以

......

上各式相加得：

……………………………………………………………………………12分