东北三省四城市联考暨沈阳市2023届高三（二模）数学试题

东北三省四城市联考暨沈阳市2023届高三（二模）数学试题

一、单选题

1．设集合，集合，则（    ）

A． B． C． D．

2．若，则的值为（    ）

A．20 B．8 C．120 D．160

3．辽宁省博物馆收藏的商晚期饕餮纹大圆鼎（如图1）出土于辽宁省略左县小波汰沟．此鼎直耳，深腹，柱足中空，胎壁微薄，口沿下及足上端分别饰单层兽面纹，足有扉棱，耳、腹、足皆有炱痕．它的主体部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（忽略鼎壁厚度），如图2所示．已知球的半径为R，圆柱的高近似于半球的半径，则此鼎的容积约为（    ）

A． B． C． D．

4．已知圆和圆，其中，则使得两圆相交的一个充分不必要条件可以是（    ）

A． B． C． D．

5．已知是公差不为0的等差数列，是其前n项和，若，则下列关系中一定正确的是（    ）

A． B． C． D．

6．为了激发同学们学习数学的热情，某学校开展利用数学知识设计LOGO的比赛，其中某位同学利用函数图像的一部分设计了如图的LOGO，那么该同学所选的函数最有可能是（    ）

A． B． C． D．

7．已知椭圆的离心率为，过点的直线与椭圆C交于A，B两点，且满足，若M为直线AB上任意一点，O为坐标原点，则的最小值为（    ）

A．1 B． C．2 D．

8．已知向量，，函数，若，使不等式成立，则实数a的最大值为（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

9．对于，，下列说法正确的有（    ）

A．若，则 B．若，则是纯虚数

C． D．

10．为调查中学男生的肺功能情况，对两学校各1000名男生的肺活量数据（单位：ml）进行分析，随机变量X表示甲校男生的肺活量，且，随机变量Y表示乙校男生的肺活量，且，则下列说法中正确的有（    ）

A．甲校男生肺活量数据的平均值低于乙校

B．乙校男生肺活量数据的波动幅度大于甲校

C．估计甲、乙两校男生肺活量在3000ml~3200ml的人数占比相同

D．估计甲校男生肺活量低于2800ml的人数比乙校男生肺活量低于2800ml的人数多

11．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，若方程有四个不相等的实数根，则满足条件的可以为（    ）

A． B． C． D．

12．在正方体中，，点P在正方体的面内（含边界）移动，则下列结论正确的是（    ）

A．当直线平面时，则直线与直线成角可能为

B．当直线平面时，P点轨迹被以A为球心，为半径的球截得的长度为

C．若直线与平面所成角为，则点P的轨迹长度为

D．当直线时，经过点B，P，的平面被正方体所截，截面面积的取值范围为

三、填空题

13．已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率等于______．

14．已知，则的最小值是______．

15．若，则________．

16．已知定义在上的函数的导函数是，对于任意的实数x都有，当时，恒成立，则不等式的解集为______．

四、解答题

17．已知的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

(1)求的值；

(2)若，求．

18．已知数列的前n项和为，且满足．

(1)求数列的通项公式；

(2)在任意相邻两项与（其中）之间插入个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列．记为数列的前n项和，求的值．

19．在2023年春节期间，为了进一步发挥电子商务在活跃消费市场方面的积极作用，保障人民群众度过一个平安健康快乐祥和的新春佳节，甲公司和乙公司在某购物平台上同时开启了打折促销，直播带年货活动，甲公司和乙公司所售商品类似，存在竞争关系．

(1)现对某时间段100名观看直播后选择这两个公司直播间购物的情况进行调查，得到如下数据：

是否有99.9%的把握认为选择哪家直播间购物与用户的年龄有关？

(2)若小李连续两天每天选择在甲、乙其中一个直播间进行购物，第一天等可能他从甲、乙两家中选一家直播间购物，如果第一天去甲直播间购物，那么第二天去甲直播间购物的概率为0.7；如果第一天去乙直播间购物，那么第二天去甲直播间购物的概率为0.8，求小李第二天去乙直播间购物的概率；

(3)元旦期间，甲公司购物平台直播间进行“秒杀”活动，假设直播间每人下单成功的概率均为，每人下单成功与否互不影响，若从直播间中随机抽取五人，记五人中恰有2人下单成功的概率为，求的最大值点．

参考公式：，其中．

独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值表：

20．如图，在四棱锥中，侧棱平面，底面四边形是矩形，，点、分别为棱、的中点，点在棱上．

(1)若，求证：直线平面；

(2)若，从下面①②两个条件中选取一个作为已知，证明另外一个成立．

①平面与平面的交线为直线，与直线成角的余弦值为；

②二面角的余弦值为．

注：若选择不同的组合分别作答，则按第一个解答计分．

21．从抛物线的焦点发出的光经过抛物线反射后，光线都平行于抛物线的轴，根据光路的可逆性，平行于抛物线的轴射向抛物线后的反射光线都会汇聚到抛物线的焦点处，这一性质被广泛应用在生产生活中．如图，已知抛物线，从点发出的平行于y轴的光线照射到抛物线上的D点，经过抛物线两次反射后，反射光线由G点射出，经过点．

(1)求抛物线C的方程；

(2)已知圆，在抛物线C上任取一点E，过点E向圆M作两条切线EA和EB，切点分别为A、B，求的取值范围．

22．已知实数，函数，．

(1)若不等式恒成立，求a的取值范围；

(2)若不等式恒成立，求a的取值范围．

参考答案：

1．C

【分析】求出集合A，B中元素范围，然后再求即可.

【详解】，，

.

故选：C.

2．D

【分析】直接由二项式定理可得答案.

【详解】由二项式定理可得.

故选：D.

3．D

【分析】利用球体、圆柱体体积公式求鼎的容积.

【详解】由题设，此鼎的容积为半球体积与圆锥体积的和，

所以容积约为.

故选：D

4．C

【分析】根据圆与圆的位置关系求参数范围，结合充分、必要性定义确定答案即可.

【详解】由且半径，且半径，结合a大于0，

所以时，两圆相交，则，

由选项可得A选项为的充要条件；

B、D选项为的必要不充分条件；

C选项为的充分不必要条件；

故选：C

5．A

【分析】利用等差数列前n项和、等差中项的性质可得，结合等差数列前n项和的函数性质判断各项正误.

【详解】由题设，故，

所以，若的公差为，则，可得，

所以，故，A正确，B错误；

而大小，与公差的正负有关，大小不确定且，C、D错误.

故选：A

6．B

【分析】利用导数研究各函数的单调性，结合奇偶性判断函数图象，即可得答案.

【详解】A：，即在定义域上递增，不符合；

B：，

在上，在上，在上，

所以在、上递减，上递增，符合；

C：由且定义域为，为偶函数，

所以题图不可能在y轴两侧，研究上性质：，故递增，不符合；

D：由且定义域为R，为奇函数，

研究上性质：，故在递增，

所以在R上递增，不符合；

故选：B

7．B

【分析】根据离心率求椭圆方程，由已知得为线段中点，根据弦中点求直线斜率并写出直线方程，最后由点线距离公式求最小值.

【详解】由题设，，即，可得，

过的直线与椭圆C交A，B且满足，则为线段中点，

所以，，又，，

则，即，

所以，故直线为，即，

所以最小值为.

故选：B

8．C

【分析】利用向量数量积的坐标表示、诱导公式及辅助角公式得，求出函数在的值域，根据题设有，即可求实数a的最大值.

【详解】由题设，，

若，则，故，

所以，

由使不等式成立，只需即可，

所以，即，故a的最大值为.

故选：C

9．AC

【分析】由共轭复数概念、复数相等判断A；特殊值判断B；令且，且，利用复数乘法、模的概率判断C、D；

【详解】A：，则的虚部为0，故，正确；

B：当时，成立，而不是纯虚数，错误；

C：令且，则，则，正确；

D：令且，且，则可能为虚数，而为实数，错误.

故选：AC

10．ABD

【分析】根据已知确定甲乙两校男生肺活量均值、标准差即可判断A、B；根据对应肺活量区间，结合三段区间的概率性质、正态分布对称性判断C、D.

【详解】由题设，甲校男生肺活量均值为，标准差为，

乙校男生肺活量均值为，标准差为，

所以甲校男生肺活量数据的平均值、波动幅度都低于乙校，A、B正确；

甲校男生肺活量在3000ml~3200ml的概率为，而乙校对应概率小于，故男生肺活量在3000ml~3200ml的人数占比不同，C错误；

甲校男生肺活量低于2800ml的概率为，而乙校对应概率小于，故估计甲校男生肺活量低于2800ml的人数比乙校男生肺活量低于2800ml的人数多，D正确.

故选：ABD

11．AC

【分析】由条件求的函数的解析式，结合偶函数的性质作函数的图象，根据图象逐项确定满足条件的函数即可.

【详解】由已知当时，，

又时，，

所以当时，，

又为偶函数，所以函数的图象关于轴对称，

根据以上信息作出函数的图象如下，

对于A，再作函数的图象可得，

观察图象可得函数的图象与函数的图象有四个交点，

所以方程有四个不相等的实数根，A正确；

对于B，再作函数的图象可得，

观察图象可得函数的图象与函数的图象有三个交点，

所以方程有三个不相等的实数根，B错误；

对于C，再作函数的图象可得，

观察图象可得函数的图象与函数的图象有四个交点，

所以方程有四个不相等的实数根，C正确；

对于D，再作函数的图象可得，

观察图象可得函数的图象与函数的图象有一个交点，

所以方程有一个不相等的实数根，D错误；

故选：AC.

12．BCD

【分析】A应用线面平行、面面平行的判定证面面，进而判断的轨迹，即可判断线线角的范围；B根据A分析知：P点轨迹为线段，再画出球与各面的截面形状，即可判断；C根据面，结合线面角大小确定P的轨迹，即可求长度；D首先确定P轨迹为线段，再应用平面的基本性质画出截面，进而确定面积范围.

【详解】A：如下图，连接、、，由正方体性质知：，，

由面，面，则面，同理可证面，

又，面，故面面，

由面，面面，且P在正方体的面内，

所以，要使直线平面，则面，即，又△为等边三角形，

故在上运动时，直线与直线成角为，错误；

B：由A分析知：直线平面，P点轨迹为线段，

取中点，连接，而△为等边三角形，则，

以A为球心，为半径的球截的长度为，正确；

C：由面，显然、与面夹角为，

所以，要直线与平面所成角为，则P轨迹是以为圆心为半径的圆，

如下图示：

所以，轨迹长度为，正确；

D：若，而，则，而面，面，

又面面，故P轨迹为线段，

过作交于，连接，易知：截面为平行四边形，如下图，

当与或重合时，截面为矩形，此时面积最大，为；

当为的中点时，截面为菱形，此时面积最小，为；

所以截面面积的取值范围为，正确.

故选：BCD

13．

【详解】通过渐近线可得，再根据可得答案.

【点睛】双曲线的一条渐近线方程为，

，

.

故答案为：.

14．

【分析】变形条件等式得，然后展开，利用基本不等式求最小值.

【详解】，

，

，

当且仅当，即时等号成立，

的最小值是.

故答案为：.

15．，

【分析】由二倍角公式可得，再由诱导公式即可得解.

【详解】因为，

所以，

所以.

故答案为：.

【点睛】本题考查了余弦的二倍角公式及诱导公式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.

16．

【分析】由题设知在上递减，上递增且关于对称，再将不等式化为，讨论求解集.

【详解】当时，由知：，则上递减；

当时，由知：，则上递增；

又对于任意的实数x都有，即关于对称，

综上，若，则，

当，即，则，此时；

当，即，则，此时；

当，即，则，此时；

当，即，则，此时；

综上，不等式解集为.

故答案为：

17．(1)

(2)

【分析】（1）先用正弦定理边化角，整理后，再用正弦定理角化边可得答案；

（2）通过（1）得到的，转化为关于角的等式，再结合可得的值.

【详解】（1）

由正弦定理得，

，

再由正弦定理得

（2）由（1）得，

，即，

，

，又，

得.

18．(1)

(2)

【分析】（1）由题设，应用求通项公式即可；

（2）根据已知确定前36项的元素构成，应用分组求和、等比数列前n项和公式求.

【详解】（1）由题设，则，

当时，，而满足上式，

所以的通项公式为.

（2）由题意，数列元素依次为，

在到之间3的个数为，故在处共有个元素，

所以前36项中含及31个3，故.

19．(1)有99.9%的把握认为选择哪家直播间购物与用户的年龄有关；

(2)

(3)

【分析】（1）完善列联表，应用卡方公式求卡方值，根据独立检验的基本思想得结论；

（2）应用独立事件乘方公式、互斥事件概率加法，求小李第二天去乙直播间购物的概率；

（3）由题设可得，利用导数研究其单调性求上的最大值即可.

【详解】（1）列联表如下：

所以，故有99.9%的把握认为选择哪家直播间购物与用户的年龄有关.

（2）由题设，小李第二天去乙直播间的基本事件：{第一天去甲直播间，第二天去乙直播间}；{第一天去乙直播间，第二天去乙直播间}，两种情况，

所以小李第二天去乙直播间购物的概率.

（3）由题设，设五人中下单成功的人数为，则，

所以，令，

所以，令，

所以，

开口向下，且在上递增，上递减，又，

故上，递减；上，递增；

由，，故上，即，上，即，

所以在上递增，上递减，即在上递增，上递减，

所以，即.

20．(1)证明见解析

(2)条件选择见解析，证明见解析

【分析】（1）取的中点，连接、，证明出平面平面，利用面面平行的性质可证得结论成立；

（2）若选①，分析可知异面直线与所成的角即为，由结合勾股定理可求得的长，然后以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的余弦值；

若选②，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法可求得的值，分析可知异面直线与所成的角即为，求出的余弦值即可.

【详解】（1）证明：如下图所示，取的中点，连接、，

因为、分别为、的中点，所以，，

因为平面，平面，所以，平面，

又因为，所以，，

因为平面，平面，所以，平面，

因为，、平面，故平面平面，

因为平面，所以，平面.

（2）证明：若选①作为已知条件，平面与平面的交线为直线，作出直线如图，

由于，平面，平面，所以，平面，

因为平面，平面平面，所以，，

所以，异面直线与所成的角即为，

因为，则，则，

故，

以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、，，，

设平面的法向量为，则，

取，可得，易知平面的一个法向量为，

则，

由图可知，二面角为锐角，故二面角的余弦值为；

若选②为已知条件，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，

设，则、、，，。

设平面的的法向量为，则，

取，可得，

易知平面的一个法向量为，且二面角的余弦值为，

则，解得，

平面与平面的交线为直线，作出直线如图，

由于，平面，平面，所以，平面，

因为平面，平面平面，所以，，

所以，异面直线与所成的角即为，

因为，则，

则.

21．(1)

(2)

【分析】（1）根据抛物线光的反射性质知：直线必过焦点，写出坐标，由斜率相等及两点式列方程求，即可得抛物线方程；

（2）根据题设画出草图，易得，令，进而得到，结合求范围，最后利用导数研究在上单调性，求范围.

【详解】（1）由题设，令，，根据抛物线性质知：直线必过焦点，

所以，则，整理得，，则，

所以抛物线C的方程为.

（2）由题意，，且，，，

所以，

而，

令，则，

所以，，

综上，，

又，，若，则，

由，当，即时，无最大值，

所以，即，故，，

令，则，

令，在上恒成立，即递减，所以.

22．(1)

(2)

【分析】（1）将问题化为在上恒成立，令，只需即可，利用导数研究最值，即可得参数范围；

（2）将问题化为在上恒成立，讨论、、，并利用导数研究恒成立，即可得结果.

【详解】（1）由题设，()在上恒成立，

所以在上恒成立，令，只需即可，

由，故时，时，

所以在上递减，在上递增，则，

综上，.

（2）由题设，()在上恒成立，

所以在上恒成立，

（i）当时证恒成立即可，

令，则，若且，则，

在上，递减，在上，递增，

所以，即在上恒成立，故恒成立，满足；

（ii）当时，，又在上递增，

所以，由（i）知：，

所以恒成立，满足；

（iii）当时，由上知：成立，仅当时等号成立，

令，则，令，则，

所以使成立，即成立，

由，同（ii）分析可得：，

故使成立，不合题意；

综上，.

【点睛】关键点点睛：第二问，转化为研究在上恒成立，分类讨论参数研究恒成立问题.