湖南省益阳市2023届高三下学期4月教学质量检测数学试题

湖南省益阳市2023届高三下学期4月教学质量检测数学试题

一、单选题

1．若复数满足，则（    ）

A． B． C．1 D．5

2．已知集合，，则为（    ）

A． B．或

C．或 D．或

3．双曲函数出现于某些重要的线性微分方程的解中，相对于三角函数，双曲函数具有良好的可解性.现有双曲正弦函数，双曲余弦函数，则是（    ）

A．奇函数 B．偶函数 C．周期函数 D．在R上单调递减

4．函数的部分图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

5．已知椭圆的焦点为、，直线与椭圆相交于、两点，当三角形为直角三角形时，椭圆的离心率等于（    ）

A． B． C． D．

6．金刚石的成分为纯碳，是自然界中天然存在的最坚硬物质，它的结构是由8个等边三角形组成的正八面体，如图，某金刚石的表面积为，现将它雕刻成一个球形装饰物，则可雕刻成的最大球体积是（    ）

A． B． C． D．

7．已知，，，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

8．已知直线l与曲线相交，交点依次为D、E、F，且，则直线l的方程为（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

9．给定事件A，B，C，且，则下列选项正确的是（    ）

A．

B．若，且A，B互斥，则A，B不可能相互独立

C．若，则A，B互为对立事件

D．若，则A，B，C两两独立

10．如图，矩形ABCD中，E、F分别为BC、AD的中点，且，，现将沿AE向上翻折，使B点移到P点，则在翻折过程中，下列结论正确的是（    ）

A． B．存在点P，使得

C．存在点P，使得 D．三棱锥的体积最大值为

11．如图，有一列曲线，，，，，且是边长为6的等边三角形，是对进行如下操作而得到：将曲线的每条边进行三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得到，记曲线的边长为，周长为，则下列说法正确的是（    ）

A． B．

C．在中 D．在中

12．定义在上的函数的导函数为，，，，则下列不等式中一定成立的是（    ）

A． B．

C． D．

三、填空题

13．已知向量，，且，则__________.

14．甲乙两人要在一排六个空座上就坐，求甲乙中间有空位的概率为__________.

15．过抛物线的焦点F的直线l与抛物线交于A、B两点，若，O为坐标原点，则三角形OAB的面积为__________.

16．已知函数，若存在实数满足，且，则的取值范围是__________.

四、解答题

17．中，角 的对边分别为，从下列三个条件中任选一个作为已知条件，并解答问题.①；②；③的面积为.

(1)求角A的大小；

(2)求的取值范围.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

18．数列的前项的和为，已知，，当时，

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求的前项和

19．如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABFE为菱形，，，，

(1)证明：；

(2)若M为线段AD的中点，求二面角的余弦值.

20．为了研究学生每天整理数学错题情况，某课题组在某市中学生中随机抽取了100名学生调查了他们期中考试的数学成绩和平时整理数学错题情况，并绘制了下列两个统计图表，图1为学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，图2为学生一个星期内整理数学错题天数的扇形图.若本次数学成绩在110分及以上视为优秀，将一个星期有4天及以上整理数学错题视为“经常整理”，少于4天视为“不经常整理”.已知数学成绩优秀的学生中，经常整理错题的学生占.

(1)求图1中的值以及学生期中考试数学成绩的上四分位数；

(2)根据图1、图2中的数据，补全上方列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析数学成绩优秀与经常整理数学错题是否有关?

(3)用频率估计概率，在全市中学生中按“经常整理错题”与“不经常整理错题”进行分层抽样，随机抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2人进行座谈.求这2名同学中经常整理错题且数学成绩优秀的人数X的分布列和数学期望.

附：

21．已知、分别为双曲线的上、下焦点，其中坐标为点是双曲线上的一个点.

(1)求双曲线的方程；

(2)已知过点的直线与上支交于不同的A、B两点，在线段AB上取点Q，满足，证明：点Q总在某条定直线上.

22．已知函数，

(1)若对成立，求实数a的取值范围；

(2)若，函数存在两个极值点，，记的最大值与最小值为，求的值.

参考答案：

1．C

【分析】方法一：利用复数模的性质两边取模即可得答案；

方法二：先计算,再根据复数的模的计算公式计算即可得答案.

【详解】方法一：两边取模可得：.

方法二：由题知，.

故选：C

2．C

【分析】先化简集合B，再利用集合的交集和补集运算求解.

【详解】解：因为，则或，

所以或，

或

故选：C

3．A

【分析】利用函数的奇偶性的判断方法即可求出结果.

【详解】由题可知：，定义域为，且对任意的，，

所以函数为奇函数，且由复合函数的单调性及奇偶性知在R上单调递增.

故选：A.

4．A

【分析】由，排除选项C，D，令，利用导数法得到时，，令，从而时，，再根据单调递减判断.

【详解】解：因为，所以，

而，所以C，D错误.

令，所以，即单调递减，

当时，，即，

所以时，，

令，

所以时，，

而，即时，单调递减，

所以时，，在单调递增错误，B错误.

故选：A

5．B

【分析】求出，根据直角三角形的几何性质可得出，可得出关于、的齐次等式，可得出关于的二次方程，结合可求得该椭圆的离心率的值.

【详解】将代入椭圆方程的方程得，可得，则，

由对称性可知，当三角形为直角三角形时，则该三角形为等腰直角三角形，

因为为线段的中点，则，可得，即，

等式两边同时除以可得，

因为，解得.

故选：B.

6．D

【分析】先利用条件求出正多形的边长，再将求最大球的体积转化成求金刚石的内切球体积，进而转化成求截面内切圆的半径，从而求出结果.

【详解】如图，设底面中心为，，中点分别为，，连接，，，，，,

设金刚石的边长为，则由题知，，所以，

在等边中，边上的高，

在中，，

由题可知，最大球即为金刚石的内切球，由对称性易知球心在点，与面的切点在线段上，

球的半径即为截面内切圆的半径，设内切圆半径为，

由等面积法可知：，解得，所以内切球的半径为

则内切球体积为

故选：D.

7．C

【分析】作商与1比较进而比较指数幂的大小, 再构造函数，根据单调性比较函数值大小即可.

【详解】因为，，

所以，

所以，

因为,

令设，令，可得，且时，，

所以，即，可得，即

所以

故选:

8．B

【分析】根据函数的对称性得曲线的对称中心为，则，设，由，得到，通过换元求出值，则得到的坐标，最后写出直线方程即可.

【详解】，

设，其定义域为，关于原点对称，

且，

故函数为奇函数，且其对称中心为，

将向右平移1个单位，向上平移1个单位，则得到，

曲线的对称中心为，

由，可知点E为对称中心，故E的坐标为，

不妨设，

则由，得，

即，

令，则，

即，

，

当时，，

又l过，则，直线l的方程为，

当时，，

又l过，则，直线l的方程为

综上，直线l的方程为

故选：B.

【点睛】关键点睛：本题的关键首先是得到曲线对称中心为，从而得到，然后再去设点坐标，根据，得到高次方程，利用换元法结合因式分解解出的坐标即可.

9．AB

【分析】对于A项，讨论A、B是否互斥即可；

对于B项，利用独立事件与互斥事件的定义即可判定；

对于C项，由条件概率的定义可判定；

对于D项，由独立事件的定义可判定.

【详解】对于A①当A，B互斥时，

          ②当A，B不互斥时，，故A正确；

对于B若，且A，B互斥，那么，故A，B不可能相互独立，B项正确；

对于C,由，表达在C事件发生的前提下A和B事件发生的概率为1，并不能得出A与B是对立事件，故C错误；

对于D，若，只能说明其中两个事件的积事件与另一事件相互独立，但推导不出三个事件两两独立，故D错误；

故选：AB

10．ACD

【分析】根据给定条件，利用平面图形翻折前后折线两侧量的关系，结合线线垂直、平行的判定判断BC；由线面垂直推理判断C；求出锥体体积最大值判断D作答.

【详解】依题意，，则四边形为平行四边形，有，

而，，即有，因此，

即，因此，A正确；

因为，，因此不平行，即不存在点P，使得，B错误；

连接，当时，因为，即，则，

而，平面，因此平面，又分别为的中点，

即，于是平面，而平面，则，C正确；

在翻折过程中，令与平面所成角为，则点到平面的距离，

又的面积，因此三棱锥的体积，

当且仅当，即平面时取等号，所以三棱锥的体积最大值为，D正确.

故选：ACD

11．ACD

【分析】根据给定条件，利用观察归纳法、结合等比数列知识计算判断AB；根据点的位置，结合向量数量积运算律计算判断CD作答.

【详解】依题意,将曲线的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得到，

曲线的边长为，数列是首项为6，公比为的等比数列，，A正确；

封闭曲线的周长为，则数列是首项为，公比为的等比数列，

于是，则，B错误；

如图，，，由对称性可得，有，

则，于是，

又，，，，

，

则，C正确；

显然点在线段上，，，，

则

，D正确.

故选：ACD

12．BD

【分析】引入函数，由导数确定其单调性，对选项AC，举例检验可得，对于选项BD，

【详解】由题意可设，则，

在上恒成立，则在上单调递增，因此有，

对于A，取，满足，但，A错误；

对于B，，，即，

①，

，，即，②，

由①+②得，故B正确；

对于C，取，则，，

，故C错误

对于D，①，

②，

由①－②得

，

，故D正确，

故选：BD

13．

【分析】利用平面向量数量积的坐标运算可得出关于的等式，解之即可.

【详解】因为向量，，则，解得.

故答案为：.

14．

【分析】应用排列数，间接法求甲乙中间有空位的坐法种数，应用古典概型的概率求法求概率即可.

【详解】甲乙两人要在一排六个空座上就坐，则有种坐法，

而甲乙一定相邻的坐法有种坐法，

则甲乙中间有空位的概率为.

故答案为：

15．

【分析】设l方程为，联立抛物线，应用韦达定理有，结合已知求，进而利用求三角形面积即可.

【详解】由题意知：，设直线l方程为，

联立方程得：，消去得：，

故，又，得：，

所以.

故答案为：

16．

【分析】利用函数的图像求出间的关系，用表求出，从而得到，构造函数，，通过求导，利用其单调性求出的范围，从而求出结果.

【详解】由题意，函数的大致图像如图所示，

当时，由，得到或，故由图像可知，

由，关于直线对称，可得，

由，可得，

那么

构造新函数，

则，，

令，则，

当时，，所由的图像与性质知，在区间上单调递减，又，

所在区间上恒成立，

所以在区间上单调递减，

又因为，

所以在区间上恒成立，

所以函数在区间上单调递增，

又因为，，

所以的取值范围为.

故答案为：.

17．(1)选择条件见解析，

(2)

【分析】（1）选①②时，利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换即可求得答案；选③时，龙三角形面积公式结合余弦定理即可求得答案；

（2）方法一：利用三角恒等变换化简为只含有一个三角函数的形式，结合正弦函数性质，即可得答案；

方法二：利用余弦定理可得，再由正弦定理边化角，可得，结合基本不等式即可求得答案.

【详解】（1）选择①由正弦定理可得，，

因为，所以 ，即，

因为，所以，所以，

所以，即；

选择②，则，

由正弦定理得 ，

因为，所以 ，即，

因为，所以，所以，即；

选择③由，

可得 ，即，

所以，由于，故.

（2）方法一：

因为，所以，

所以，

所以，

即的取值范围为

方法二：由余弦定理，，

再由正弦定理，，

因为，

所以，

即，当且仅当时“=”成立.

又因为，，所以 ，

即的取值范围为.

18．(1)

(2)

【分析】（1）当时，由已知变形可得，利用累加法可求得数列的通项公式；

（2）对任意的，计算得出，然后利用等差数列的求和公式可求得.

【详解】（1）解：当时，由可得，

即，因为，，所以时也满足，

当时，，

所以，，

当时，，也满足上式，所以.

（2）解：，对任意的，，

所以，.

19．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）过点D作交AB于点O，连接OE，利用余弦定理得到，由，得到，再由，得到，然后利用线面垂直的判定地理证明；

（2）建立空间直角坐标系，易得平面ABF的一个法向量为，再求得平面MBF的一个法向量，由，求解.

【详解】（1）解：过点D作交AB于点O，连接OE，

由已知条件可知：，

，得，

，

，

同理，而，

，即，

，平面ABFE，又

平面ABFE，平面ABFE

；

（2）建立如图空间直角坐标系，

可知：，，，，

易得平面ABF的法向量为，

设平面MBF的法向量为，

则，又

，令，则，所以，

，，

依题意可知，二面角为锐角，所以余弦值为.

20．(1)，分

(2)有关

(3)分布列见解析，

【分析】（1）利用频率分布直方图各个小矩形的面积和为1，求出的值，进而可求出上四分位数；

（2）先求出数学优秀和不优秀的人，常整理错题和不经常整理错题的人，得到列联表，根据列联表求出值，从而得出判断；

（3）先求出的可能取值，并求出相应取值的概率，从而求出分布列和期望.

【详解】（1）由题意可得，

解得，

学生期中考试数学成绩的上四分位数为：分；

（2）数学成绩优秀的有人，不优秀的人人，经常整理错题的有人，不经常整理错题的是人，经常整理错题且成绩优秀的有人，则

零假设为：数学成绩优秀与经常整理数学错题无关，

根据列联表中的数据，经计算得到可得，

根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，

即认为数学成绩优秀与经常整理数学错题有关联，此推断犯错误的概率不大于；

（3）由分层抽样知，随机抽取的5名学生中经常整理错题的有3人，不经常整理错题的有2人，则可能取为0，1，2，

经常整理错题的3名学生中，恰抽到k人记为事件，则

参与座谈的2名学生中经常整理错题且数学成绩优秀的恰好抽到人记为事件

则，，，，

，，

，

，

，

故X的分布列如下：

则可得X的数学期望为

21．(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据焦点坐标与双曲线过点，得到、的方程，解得即可；

（2）设直线与双曲线交于，，点，依题意，，即可得到，从而得到动点的轨迹方程.

【详解】（1）由坐标为得，

点在双曲线上得，

解得，双曲线方程为

（2）设直线与双曲线交于，，点，

由得且，，，

代入坐标得，，

整理得：①②，得③，

同理④，⑤，得⑥，

由于双曲线上的点满足，

⑥③得，

即，所以，

表示点在定直线上.

22．(1)

(2)

【分析】（1）将对恒成立转化为，构造函数，求出函数的导数，分类讨论，判断导数正负，根据函数的单调性可求得答案；

（2）根据题意得出满足的关系式，根据的表达式，采用换元法，求得参数范围，构造函数，利用导数判断函数单调性，确定其最值，即可求得答案.

【详解】（1）由对恒成立可知：，即，

令，,

当时，，在单调递增，

对于，，

当时，，在单调递增，

当时，令得，，且

时，时，时，

所以有单调递减，，与题设矛盾，不成立；

所以实数a的取值范围为

（2）由题知：，即（1）中函数，

由（1）可知，有两个极值点，，则，，，

令，由于，则，则，

由，故，解得，

设，则，

设，则，

而，仅在取等号，故在单调递增，

则，故在上单调递增，故，仅在取等号，

故当时，在上单调递增，可知，

，可知单调递减，

可知，，

.

【点睛】关键点睛：解答本题时，关键在于要根据函数存在两个极值点，，得到，，从而根据的表达式，换元构造函数，利用，求出参数范围，进而利用导数解决问题.