上海市奉贤区2023届高三（二模）数学试题

上海市奉贤区2023届高三（二模）数学试题

一、单选题

1．“”是“直线与垂直”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

2．下列函数中，以为周期且在区间 单调递增的是（    ）

A．   B．

C． D．  

3．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：°C）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图：

由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（    ）

A． B．

C． D．

4．设是一个无穷数列的前项和,若一个数列满足对任意的正整数,不等式恒成立,则称数列为和谐数列,有下列3个命题:

①若对任意的正整数均有,则为和谐数列;

②若等差数列是和谐数列,则一定存在最小值;

③若的首项小于零,则一定存在公比为负数的一个等比数列是和谐数列．

以上3个命题中真命题的个数有(    )个

A．0 B．1 C．2 D．3

二、填空题

5．已知集合，，若，则____________．

6．已知，，且，是虚数单位，则____________．

7．在的展开式中，的系数为___.（用数字作答）

8．已知圆柱的上、下底面的中心分别为、，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的侧面积为_____．

9．2017年5月某校高三年级1600名学生参加了教育局组织的期末统考，已知数学考试成绩 .（试卷满分为150分）统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为__________.

10．已知两个正数，的几何平均值为1，则的最小值为____________．

11．某种动物从出生起活到20岁的概率为0.8，从出生起活到25岁的概率为0.4，现有一个20岁的这种动物，它能活到25岁的概率为____________.

12．已知随机变量的分布为，且，若，则实数_______．

13．设圆与双曲线的一条渐近线相切，则该双曲线的渐近线方程为___________．

14．内角的对边分别为，若的面积为，则_________

15．在集合中任取一个偶数和一个奇数构成一个以原点为起点的向量，从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，面积不超过4的平行四边形的个数是___________．

16．已知为上的奇函数，且当时，，则的驻点为___________．

三、解答题

17．已知等差数列的公差不为零，，且，，成等比数列．

(1)求的通项公式；

(2)计算．

18．如图，在四棱锥中，，且．

(1)证明：平面平面；

(2)若，，且四棱锥的体积为，求与平面所成的线面角的大小．

19．设函数的定义域是R，它的导数是．若存在常数，使得对一切恒成立，那么称函数具有性质．

(1)求证：函数不具有性质；

(2)判别函数是否具有性质．若具有求出的取值集合；若不具有请说明理由．

20．某小区有块绿地，绿地的平面图大致如下图所示，并铺设了部分人行通道．

为了简单起见，现作如下假设：

假设1：绿地是由线段，，，和弧围成的，其中是以点为圆心，圆心角为的扇形的弧，见图1；

假设2：线段，，，所在的路行人是可通行的，圆弧暂时未修路；

假设3：路的宽度在这里暂时不考虑；

假设4：路用线段或圆弧表示，休息亭用点表示．

图1-图3中的相关边、角满足以下条件：

直线与的交点是，，．米．

小区物业根据居民需求，决定在绿地修建一个休息亭．根据不同的设计方案解决相应问题，结果精确到米．

(1)假设休息亭建在弧的中点，记为，沿和线段修路，如图2所示．求的长；

(2)假设休息亭建在弧上的某个位置，记为，作交于，作交于．沿、线段和线段修路，如图3所示．求修建的总路长的最小值；

(3)请你对（1）和（2）涉及到的两种设计方案做个简明扼要的评价．

21．已知椭圆:，，．椭圆内部的一点，过点作直线交椭圆于，作直线交椭圆于．、是不同的两点．

(1)若椭圆的离心率是，求的值；

(2)设的面积是，的面积是，若，时，求的值；

(3)若点，满足且，则称点在点的左上方．求证：当时，点在点的左上方．

参考答案：

1．A

【详解】试题分析：两直线垂直，所以，所以是充分不必要条件.

考点：充要条件.

2．C

【分析】从周期来看，A、B选项排除；从单调性来看，C选项正确．

【详解】

对于A选项，由于的周期为 ，故A选项不正确；

对于Ｂ选项，由于的周期为，故B选项不正确；

对于C选项，由于的最小正周期为，在区间上， 单调递增，故C选项正确；；

对于D选项，由于的最小正周期为，在区间上，单调递减，故D选项不正确．

故选：C．

3．D

【分析】根据散点图的分布可选择合适的函数模型.

【详解】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，

因此，最适合作为发芽率和温度的回归方程类型的是.

故选：D.

【点睛】本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题.

4．D

【分析】先得出的等价条件,然后再进行判断,对于③可以取一个公比为负数的等比数列说明其存在性即可.

【详解】对于①,，

若,则,所以①正确;

对于②,设等差数列的公差为，

则,所以，

即为公差为的等差数列,

若为和谐数列,即,则，

所以关于的二次函数,开口向上，

所以在上一定存在最小值,所以②正确;

对于③,取,

则,

,

下面证明,即说明存在公比为负数的一个等比数列是和谐数列,

即证,

即证,

即证,

当,上式左边为负数,显然成立,

当,时,即证,即证，（*）

设,

所以,即（*）式成立,所以③正确.

故选：D

5．

【分析】由交集定义可得答案.

【详解】因，，，则，故.

故答案为：

6．

【分析】由复数相等概念可得答案.

【详解】因，则.

故答案为：2

7．40

【分析】根据所给的二项式写出通项，要求自变量的二次方的系数，只要使得指数等于2，得出式子中的系数的表示式，得到结果．

【详解】∵（2x+1）5的通项式式是C5r（2x）5﹣r＝∁5r25﹣rx5﹣r

当5﹣r＝2时，即r＝3时，得到含有x2的项，

∴它的系数是C5322＝40

故答案为40．

【点睛】本题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是写出二项式的通项.

8．

【分析】根据题意求出圆柱的底面圆半径和高，再计算圆柱的侧面积即可．

【详解】如图所示，

设圆柱的底面圆半径为，由截面为正方形可知圆柱的高，

所以该圆柱的轴截面面积为，

解得，

该圆柱的侧面积为

．

故答案为．

【点睛】本题考查圆柱的结构特征，考查圆柱侧面积的求法，属于基础题.

9．

【分析】根据正态分布对称性知，计算得到答案.

【详解】根据正态分布对称性知：.

故此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为.

故答案为：.

【点睛】本题考查了正态分布，意在考查学生对于正态分布性质的应用.

10．

【分析】由几何平均值的定义得到，利用基本不等式求解即可.

【详解】由题意得，即，故，当且仅当时，等号成立，

故答案为：2

11．

【分析】利用条件概率的计算公式即可得出.

【详解】设事件A表示某动物活到20岁，则；

事件B表示该动物活到25岁，则，

所以.

故答案为：.

12．

【分析】由期望性质可得答案.

【详解】因，则.

又，则.

故选：.

13．

【分析】由题可知渐近线到圆心距离等于圆半径，据此可得答案.

【详解】设双曲线渐近线方程为：，

，则圆心坐标为，半径为1.

因圆与渐近线相切，则圆心到切线距离等于半径，即.

则双曲线的一条渐近线方程为，另一条渐近线方程为.

故答案为：

14．

【分析】由余弦定理可得，根据条件结合三角形的面积公式可得从而可得答案.

【详解】由余弦定理可得，所以

的面积为

所以 即，由

所以

故答案为：

15．

【分析】由题可得满足题意的向量有4个，满足题意的平行四边形有6个，依次计算6个平行四边形的面积即可得答案.

【详解】由题可得满足题意的向量有，又若两向量不共线，且，则以两向量为邻边的平行四边形面积为：.

则以为邻边的平行四边形面积为；

以为邻边的平行四边形面积为；

以为邻边的平行四边形面积为；

以为邻边的平行四边形面积为；

以为邻边的平行四边形面积为；

以为邻边的平行四边形面积为；

综上可知面积不超过4的平行四边形的个数是3.

故答案为：3

16．##

【分析】由导数得出在上单调递增，且，再结合奇偶性得出的驻点.

【详解】，令，

则，

当时，；当时，.

则函数在上单调递减，在上单调递增，即.

则，即函数在上单调递增，

且，

再由函数为上的奇函数，可得的驻点为.

故答案为：.

17．(1)

(2)-640

【分析】（1）设出公差，利用题干条件列出方程，求出公差，进而写成通项公式；

（2）在（1）的基础上，得到，即数列（正整数）为等差数列，利用等差数列求和公式进行求解.

【详解】（1）设等差数列的公差为，

则，．                              

因为，，成等比数列，所以，

即，                                  

代入，解得．         

所以，

所以的通项公式为；

（2）因为，     

所以数列（正整数）是以为首项，为公差的等差数列，   

所以.

18．(1)证明见解析

(2)．

【分析】（1）利用面面垂直的判定定理证明；

（2）根据线面垂直的判定定理证明得底面，再根据四棱锥的体积公式求出，从而用线面角的定义求解.

【详解】（1）因为在四棱锥中，，

所以，，

又，所以，

因为，平面，

所以平面，

因为平面，所以平面平面．

（2）取中点，连结，

因为，所以，

由（1）知平面，平面，所以，

因为， 底面，

所以底面，                                       

设，求得，，

因为四棱锥的体积为，

所以

解得，

所以，

因为底面，    

所以为与平面所成的角，

在中，，

所以．

所以与平面所成的线面角为．

19．(1)证明见解析

(2)具有性质，的取值集合

【分析】（1）假设具有性质，由定义求解结论成立的条件；        

（2）假设具有性质，由定义求解结论成立的条件.

【详解】（1）假设具有性质， 即 对一切恒成立         

化简得到，显然不存在实数使得成立，所以假设错误，

因此函数不具有性质.

（2）假设具有性质， 即 对一切恒成立，

即 对一切恒成立，则对一切恒成立，     

由，所以当时，具有性质，

所以具有性质，的取值集合.

20．(1)米

(2)米

(3)答案见解析

【分析】如图，以原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．

（1）由题目条件可得Q，C坐标，利用两点距离公式可得答案；

（2）设，设修建的总路长为，由题可得表达式，后由导数知识可得答案；

（3）可以从多个角度考虑，但以下两个指标是主要的衡量指标：1 修的路相对短，2修的路相对便于居民出行言之有理即可.

【详解】（1）如图，以原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．

因为点为弧的中点，所以，即

设DC与y轴交于F点，，

则，即，

所以（米）.

所以的长约为米；

（2）设，

则，，，

设修建的总路长为，

所以，

，

令，则，，解得，

当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增．

所以（米）.

所以修建的总路长的最小值约为米 .

（3）（1）涉及到的设计方案总路径是米，比起方案2显然不是最优（短）路径；

（2）涉及到的设计方案显然相对于方案1是相对不便捷（不利于段附近居民前往）．

(说明：可以从多个角度考虑，但以下两个指标是主要的衡量指标：1修的路相对短，2修的路相对便于居民出行)

21．(1)的值为或

(2)1

(3)证明见解析

【分析】（1）分，两种情况结合离心率计算式可得答案；

（2）联立直线的方程与椭圆方程可得，联立直线的方程与椭圆方程可得.结合图形可得，后结合，及弦长公式可得，即可得答案；

（3）联立直线与椭圆方程可得，，后结合在椭圆内部可得大小，又由题意可得大小，即可证明结论.

【详解】（1）因为椭圆的离心率是.

当时，，得；

当时，，得；

所以的值为或；

（2）由题意，直线的斜率存在，直线的斜率存在，

，直线的方程，设．

则.

，直线的方程，设．

则.

由图，，

注意到，则.

又，同理可得

.则

（3）由题意，直线的斜率存在，直线的斜率存在，

，直线的方程，设．

则 .

，直线的方程，设．

则 .

则 .又在椭圆内部，则，故.

又根据题意知，所以.所以当时，点在点的左上方．

【点睛】关键点睛：本题涉及由离心率求参数，椭圆中的面积问题，及椭圆新定义，难度极大.（1）因不知焦点位置，故需分情况讨论；（2）问关键是用得到关于的表达式；（3）类似于（2），可得，，后利用作差法即可比较大小.