河南省南阳市六校2022-2023学年高二下学期第一次联考数学试卷（含答案）

河南省南阳市六校2022-2023学年高二下学期第一次联考数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、我国古代的数学名著《九章算术》中有“衰分问题”：今有女子善织，日自倍，五日织十尺，问次日织几问?其意为：一女子每天织布的尺数是前一天的2倍，5天共织布10尺，请问第二天织布的尺数是(   )

A. B. C. D.

2、设等差数列，的前n项和分别是，，若，则(   )

A. B. C. D.

3、已知数列1，，，，3，，…，，…，则7是这个数列的(   )

A.第21项 B.第23项 C.第25项 D.第27项

4、在等比数列中，，，则的值为(   )

A.48 B.72 C.216 D.192

5、在等差数列中，，其前n项和为，若，则(   )

A.2022 B.0 C.-2022 D.2023

6、下面各图中，散点图与相关系数r不符合的有(   )

A. B.

C. D.

7、已知是等差数列的前n项和，，则(   )

A.20 B.28 C.36 D.4

8、已知为等差数列的前n项和，若，，则使的n的最大值为(   )

A.7 B.9 C.16 D.18

9、已知圆和点，若过点P的5条弦的长度构成一个递增的等比数列，则该数列公比的取值范围是(   )

A. B. C. D.

10、已知数列：1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，即此数列第一项是，接下来两项是，，再接下来三项是，，，依此类推，设是此数列的前n项和，则(   )

A. B. C. D.

11、已知等比数列，，…，各项为正且公比，则(   )

A.

B.

C.

D.与的大小关系不能确定

12、某公园免费开放一天，假设早晨6时30分公园开门时有2人进公园，接下来的第一个30分钟内有4人进去并出来1人，第二个30分钟内进去8人并出来2人，第三个30分钟内进去16人并出来3人，第四个30分钟内进去32人并出来4人，…，按照这种规律进行下去，那么到上午11时公园内的人数是(   )

A. B. C. D.

二、填空题

13、九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜.用表示解下个圆环所需的最少移动次数.若，，且，则解下7个圆环所需的最少移动次数为__________.

14、若，则数列的最大项是第__________项.

15、已知数列满足，，则数列的通项公式为___________.

16、若一个数列的后项与其相邻的前项的差值构成的数列为等差数列，则称此数列为二阶等差数列.现有二阶等差数列：2，3，5，8，12，17，23，…，设此数列为，若数列满足，则数列的前n项和__________.

三、解答题

17、已知等差数列，，.

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前n项和.

18、如图是某采矿厂的污水排放量y(单位：吨)与矿产品年产量x(单位：吨)的折线图：

(1)依据折线图计算相关系数r(精确到0.01，并据此判断是否可用线性回归模型拟合y与x的关系?(若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合)

(2)若可用线性回归模型拟合y与x的关系，请建立y关于x的线性回归方程，并预测年产量为10吨时的污水排放量.

相关公式：，参考数据：，.

回归方程中，，.

19、已知数列各项均为正数，且，.

(1)求的通项公式；

(2)记数列前n项的和为，求.

20、已知数列满足.

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求数列前项和.

21、随着国民旅游消费能力的提升，选择在春节假期放松出行的消费者数量越来越多.伴随着我国疫情防控形势趋向平稳，被“压抑”已久的出行需求持续释放，“周边游”、“乡村游”等新旅游业态火爆，为旅游行业发展注入新活力，旅游预订人数也开始增多.为了调查游客预订与年龄是否有关，调查组对400名不同年龄段的游客进行了问卷调查，其中有200名游客预定了，这200名游客中各年龄段所占百分比如图：

已知在所有调查游客中随机抽取1人，抽到不预订的且在19~35岁年龄段的游客概率为.

(1)请将下列列联表补充完整.

能否在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为旅游预订与年龄有关?请说明理由.

(2)将上述调查中的频率视为概率，按照分层抽样的方法，从预订旅游客群中选取5人，再从这5人中任意取2人，求2人中恰有1人是19~35岁年龄段的概率.

附：，其中.

22、已知数列和数列满足：，，①，②.

(1)求证：为等差数列，为等比数列；(提示：①，②式相加或相减)

(2)求数列，的通项公式；

(3)若，求数列的前n项和.

参考答案

1、答案：B

解析：由题可得该女子每天织布的尺数成等比数列，设其首项为，公比为，则，解得；所以第二天织布的尺数为，故选B.

2、答案：C

解析：方法1：因为等差数列，的前n项和分别是，，

，.

方法2：因为等差数列，的前n项和分别是，，

所以.故选：C.

3、答案：C

解析：因为题中数列的第n项为，而，所以7是题中数列的第25项.故选：C.

4、答案：C

解析：方法1：由，得，由，得，

所以，所以.故选：C.

方法2：由，得，由，得，所以，所以.故选：C.

5、答案：B

解析：方法1：因为数列为等差数列，

，，，所以，

.

方法2：因为数列为等差数列，故，则，当时，，则常数，所以数列为等差数列，设其公差为d.又，即，又，所以，所以，即.故选：B.

6、答案：B

解析：对于A，散点图上所有点都在一条斜率小于0的直线上，所以相关系数，A正确；

对于B，散点图上所有点都在一条斜率大于0的直线上，所以相关系数，B错误；

对于C，散点图上所有点从左到右是向下的带状分布，所以相关系数，C正确；

对于D，散点图中，x，y之间的相关关系非常不明显，所以相关系数，D正确.故选：B.

7、答案：C

解析：方法1：，所以，所以.

方法2：由题意，，.故选C.

8、答案：D

解析：方法1：因为，，，可知，所以，，所以，

，，所以当时，取得最大值.故选D.

方法2：因为，，，可知，所以，，，所以当时，取得最大值.故选D.

9、答案：B

解析：圆半径，，则点P在圆内，则过点P的弦长，显然，又因为，得到，故所求公比的取值范围是，即.故选：B.

10、答案：A

解析：将数列分组：第一组有一项，和为；第二组有两项，和为；……；第n组有n项，和为，则前63组共有(项)，所以，故选：A.

11、答案：C

解析：，因为，，，所以.故选：C.

12、答案：A

解析：由题意，可知从早晨6时30分开始，接下来的每个30分钟内，进入的人数构成以4为首项，2为公比的等比数列，出来的人数构成以1为首项，1为公差的等差数列，记第n个30分钟内进入公园的人数为，出来的人数为，则，，则上午11时公园内的人数为.故选：A.

13、答案：85

解析：因为，，所以，

，，，，

故答案为：85.

14、答案：8

解析：，其对应的二次函数为，对称轴为，但n为正整数，所以离最近的整数为8，所以在第8项取最大值.故答案为：8.

15、答案：

解析：因为，，所以，即，所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以，所以.故答案为：

16、答案：

解析：由题可知，数列是以为首项，1为公差的等差数列，所以.所以.所以.所以.故，所以数列的前n项和.故答案为：.

17、答案：(1)

(2)

解析：(1)设数列公差为d，

由得，

所以，

所以；

(2)解：由(1)，

所以

.

18、答案：(1)可用线性回归模型拟合y与x的关系

(2)预测年产量为10吨时的污水排放量为5.5吨

解析：(1)由折线图计算得如下数据：

，，，

，，

所以相关系数，

因为，所以可用线性回归模型拟合y与x的关系.

(2)，

，

所以回归方程为，

当时，，

所以预测年产量为10吨时的污水排放量为5.5吨.

19、答案：(1)

(2)

解析：(1)因为，

所以，

因为各项均为正数，，

所以，

所以数列是以首项为1，公差为1的等差数列，

.

(2)，

.

20、答案：(1)

(2)

解析：(1)由题意①.

当时，；

当时，用代替n，②，

①-②得，

所以，当时不成立.

所以数列的通项公式.

(2)根据题意，，

所以

所以.

21、答案：(1)能在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为旅游预订与年龄有关

(2)

解析：(1)预定旅游中，19~35岁年龄段的人数为：人，

18岁以下及36岁以上人数为人.

在所有调查对象中随机抽取1人，抽到不预订的旅游客群在19~35岁年龄段的人的概率为，

故不预订旅游客群19~35岁年龄段的人为：人，

18岁以下及36岁以上人数为人.

所以列联表中的数据为：

，

则能在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为旅游预订与年龄有关.

(2)按分层抽样，从预定旅游客群中选取5人，

其中在19~35岁年龄段的人数为，分别记为：A，B，C；18岁以下及36岁以上人数为2人，分别记为：a，b.

从5人中任取2人，则有：

，，，，，，，，，，共有10种情况，

其中恰有1人是19~35岁年龄段的有：，，，，，，共6种情况，

故2人中恰有1人是19~35岁年龄段的概率为：.

22、答案：(1)证明见解析

(2)，

(3)

解析：(1)，①

，②

①+②得，

是以为首项，公差为0的等差数列，

①-②得：，

是以为首项，公比为2的等比数列，

(2)由(1)得

，③

，④

由③④得：，.

(3)，

，

令，的前n项和为，

③，

④，

由③-④得：，

，

.