中考数学二轮专题复习专题04 函数综合问题（二次函数综合问题）（教师版）

这是一份中考数学二轮专题复习专题04 函数综合问题（二次函数综合问题）（教师版），共203页。试卷主要包含了与二次函数有关的图形问题，与二次函数有关的线段周长问题，与二次函数有关的面积问题，与二次函数有关的角度问题等内容，欢迎下载使用。

专题四 函数综合问题（二次函数综合问题）
一、与二次函数有关的图形问题
例题（2021·江苏·苏州高新区实验初级中学二模）如图1，抛物线y＝x2+bx﹣4交x轴于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，且OC＝2OB．

（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AC，BC，点P在抛物线上，且满足∠PBC＝∠ACB，求点P的坐标；
（3）如图2，直线l：y＝x+t（﹣4＜t＜0）交y轴于点E，过直线l上的一动点M作MN∥y轴交抛物线于点N，直线CM交抛物线于另一点D，直线DN交y轴于点F，试求OE+OF的值．
【答案】（1）y＝x2+x﹣4；（2）（，）；（3）8
【分析】
（1）求出点B的坐标，由抛物线的解析式可得出b的值，抛物线的解析式即可求解；
（2）延长CA、BP交于点Q，设点Q的坐标为（m，n），求出直线AC的解析式为y=-x-4，解方程组可求出点Q的坐标，联立直线BQ和抛物线的解析式，则可得出答案；
（3）设点D的坐标为（s，），可求C（0，-4），由题意得出，设直线DN：y＝mx+n，由得出，则，可得出-t-n=8，由点的坐标可得出OE+OF=8
【详解】
解：（1）对于抛物线y＝x2+bx﹣4，当x=0时，y=-4，
∴点C的坐标为（0，-4），即OC=4，
∵OC＝2OB
∴OB=2，即点B的坐标为（2，0），
∴，
解得b=1，
∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣4；
（2）延长CA、BP交于点Q，设点Q的坐标为（m，n），
，
，
，即，
整理得：，
解方程x2+x﹣4=0得：，
∴点A的坐标为（-4，0），
设直线AC的解析式为y=kx+b，
则，解得，
∴直线AC的解析式为y=-x-4，
∵点Q在直线AC上，
∴n=-m-4
∴，解得
∴点Q的坐标为（-5，1），
设直线BQ的解析式为y=px+q，
则，解得，
∴直线BQ的解析式为，
解方程组，得，，
∴点P的坐标为（，）

（3）设点D的坐标为（s，），可求C（0，-4），
∴直线CD的解析式为，
联立，得，
∴，
∴，
设直线DN：y＝mx+n，
联立得，
∴，
∴，
∵MNy轴，
∴，
∴t+4=-4-n，即-t-n=8，
∵OE=-t，OF=-n
∴OE+OF=8．
【点睛】
本题考查了二次函数解析式的求法及二次函数与一次函数的综合问题，解题的关键是作出辅助线，用待定系数法求出相关关系式并联立求解．
练习题
1．（2021·广东·雷州市第八中学二模）如图，在平面直角坐标系中，顶点为M的抛物线是由抛物线向右平移1个单位得到的，它与y轴负半轴交于点A，点B在抛物线上，且横坐标为3．

(1)写出以M为顶点的抛物线解析式及点A、B、M的坐标．
(2)连接AB，AM，BM，求；
(3)点P是顶点为M的抛物线上一点，且位于对称轴的右侧，设PO与x正半轴的夹角为，当时，求点P坐标．
【答案】(1)；，，；(2)；
(3)或.
【分析】
（1）由平移可得y＝(x﹣1)2﹣3，求出解析式即可求解各点坐标；
（2）求出MB＝2，AM＝，AB＝3，利用勾股定理可知△ABM是直角三角形，即可求解；
（3）由已知可知tanα＝＝，求出t的值即可．
(1)解：抛物线y＝x2﹣3向右平移1个单位得到y＝(x﹣1)2﹣3＝x2﹣2x﹣2，
∴M（1，﹣3），
令x＝0，则y＝﹣2，
∴A（0，﹣2），
∵点B在抛物线上，且横坐标为3，
∴B（3，1）；
(2)解：∵M（1，﹣3），A（0，﹣2），B（3，1），
∴MB＝2，AM＝，AB＝3，
∵MB2＝AM2+AB2，
∴△ABM是直角三角形，
∴∠MAB＝90°，
∴tan∠ABM＝＝；
(3)解：设P（t，t2﹣2t﹣2），
∵点P位于对称轴的右侧，
∴t＞1，
∵PO与x轴正半轴的夹角为α，
∴P点在第一象限或P点在第四象限，
当P点在第一象限时，
∵α＝∠ABM，
∴tanα＝，
∴＝，
∴t＝3或t＝﹣（舍），
∴P（3，1）；
当P点在第四象限时，
＝，
∴t＝（舍）或t＝，
∴P（，﹣）；
综上所述：P点坐标为（，﹣）或（3，1）．
【点睛】
本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，灵活应用勾股定理逆定理是解题的关键．
2．（2021·河南·息县教育体育局基础教育教学研究室二模）如图，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB＝OC＝3OA．

(1)求抛物线的解析式及对称轴．
(2)在抛物线上任取一点M，过点M作MN//x轴，且四边形ABMN为平行四边形，在线段MN上任取一点P，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，记点Q的纵坐标为yQ．当点M到抛物线对称轴的距离不超过1个单位长度时，求yQ的取值范围．
【答案】(1)抛物线的解析式为；抛物线的对称轴为x=1
(2)
【分析】
（1）先根据点C为抛物线y=ax2+bx+3与y轴的交点，得出点C的坐标及OC的长，再根据OB=OC=3OA，得出点A和点B的坐标，然后用待定系数法求解即可求得解析式，最后根据x=-求得对称轴．
（2）作平行四边形ABMN，由平行四边形的性质可得MN=AB=4；由点M到抛物线对称轴的距离不超过1个单位长度，得出xM的取值范围，从而可得xN的范围；根据点P在线段MN上，PQ⊥MN，xP和xQ的范围，结合点Q在抛物线y=-x2+2x+3上，可得点Q的纵坐标yQ的取值范围．
(1)∵点C为抛物线y=ax2+bx+3与y轴的交点，
∴C（0，3），
∴OC=3，
又∵OB=OC=3OA，
∴OB=3，OA=1，
∴A（-1，0），B（3，0），
将点A，B的坐标代入抛物线y=ax2+bx+3中，
得 ，解得
∴抛物线的解析式为
∴抛物线的对称轴为直线x1．
(2)作平行四边形ABMN，如图所示：

∴MN=AB=4，点N在点M的左侧，
又∵点M到抛物线对称轴的距离不超过1个单位长度，抛物线的对称轴为直线x=1，
∴0≤xM≤2，
∴-4≤xN≤-2，
又∵点P在线段MN上，PQ⊥MN，
∴-4≤xP≤2，xP=xQ，
∴-4≤xQ≤2，
又∵点Q在抛物线y=-x2+2x+3= 上，
∴当xQ=1时，yQ取最大值4；当xQ=-4时，yQ取最小值-21；
∴-21≤yQ≤4．
【点睛】
本题考查了抛物线与纵坐标的交点坐标、待定系数法求函数的解析式、平行四边形的性质、二次函数的图象与性质等知识点，数形结合、熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
3．（2022·山东·东营市实验中学模拟预测）如图，经过原点的抛物线与轴的另一个交点为过点作直线轴于点，交抛物线于点记点关于抛物线对称轴的对称点为、不重合连接，．

(1)直接写出点、、的坐标用含的代数式表示；
(2)当时，连接，问为何值时？
(3)当过点作且，问是否存在，使得点落在轴上？若存在，求出所有满足要求的的值，并定出相对应的点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；；；(2)(3)
【分析】
（1）令抛物线解析式即求得点坐标；由轴可知点横坐标与点相等为，代入抛物线解析式即求得点纵坐标；由抛物线解析式可得对称轴为直线，根据点、到对称轴距离相等即求得点坐标．
（2）由点、、坐标可用表示、、，由可得，故有，得到关于的一元二次方程，求解即得到的值．
（3）由的取值范围求得此时点在对称轴右侧，点在点上方，画出图形．若点在轴上方，根据且可证得≌，故有，由即得到关于的方程，求得的值代入求点、坐标，即由求得点坐标．
(1)解：∵当时，，
解得：，，
，
轴，，
，
，
，
抛物线对称轴为直线：，
，
，
．
(2)，，，
，
，
，
，即，
，
，
解得：，舍去，，
时，．
(3)存在，使得点落在轴上，
，
，点在对称轴右侧，

，
，即点在点下方，如图，
若点在轴上，则，
，即，
，
，
在与中，
，
≌，
，，
，
解得：，符合，
，，
，
，
．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，一元一次不等式的应用，全等三角形的判定和性质．第（3）题由的取值范围求得的点、、位置与题干图形不相同，必须画出准确图形再讨论计算．
4．（2021·广东·中山一中三模）抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣3，0）和点B（2，0），与y轴交于点C．

(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点P是该抛物线上的动点，且位于y轴的左侧．
①如图1，过点P作PD⊥x轴于点D，作PE⊥y轴于点E，当PD＝2PE时，求PE的长；
②如图2，该抛物线上是否存在点P，使得∠ACP＝∠OCB？若存在，请求出所有点P的坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y＝x2+x﹣6(2)①PE＝2或；②存在（﹣2，﹣4）或（﹣8，50）
【分析】
（1）将点A，点C坐标代入解析式，可求b，c的值，即可求解；
（2）①设点P（a，a2+a6），由PD=2PE，可得|a2+a6|=2a，可求a的值；
②由勾股定理可求AC，BC的长，通过证明△ACH∽△BCO，可得，可求AH，HC的长，由两点距离公式可求点H坐标，再求出直线HC的解析式，即可求点P坐标．
(1)解：∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣3，0）和点B（2，0），
∴
解得：，
∴抛物线解析式为：y＝x2+x﹣6；
(2)
解：①设点P（a，a2+a﹣6），
∵点P位于y轴的左侧，
∴a＜0，PE＝﹣a，
∵PD＝2PE，
∴|a2+a﹣6|＝﹣2a，
∴a2+a﹣6＝﹣2a或a2+a﹣6＝2a，
解得：a1＝，a2＝（舍去）或a3＝﹣2，a4＝3（舍去）
∴PE＝2或；
②存在点P，使得∠ACP＝∠OCB，
理由如下，
∵抛物线y＝x2+x﹣6与y轴交于点C，
∴点C（0，﹣6），
∴OC＝6，
∵点B（2，0），点A（﹣3，0），
∴OB＝2，OA＝3，
∴BC＝，
AC＝，
如图，过点A作AH⊥CP于H，

∵∠AHC＝∠BOC＝90°，∠ACP＝∠BCO，
∴△ACH∽△BCO，
∴
∴
∴AH＝，HC＝，
设点H（m，n），
∴（）2＝（m+3）2+n2，（）2＝m2+（n+6）2，
∴或
∴点H（﹣，﹣）或（﹣，），
当H（﹣，﹣）时，
∵点C（0，﹣6），
∴直线HC的解析式为：y＝﹣x﹣6，
∴x2+x﹣6＝﹣x﹣6，
解得：x1＝﹣2，x2＝0（舍去），
∴点P的坐标（﹣2，﹣4）；
当H（﹣，）时，
∵点C（0，﹣6），
∴直线HC的解析式为：y＝﹣7x﹣6，
∴x2+x﹣6＝﹣7x﹣6，
解得：x1＝﹣8，x2＝0（舍去），
∴点P的坐标（﹣8，50）；
综上所述：点P坐标为（﹣2，﹣4）或（﹣8，50）．
【点睛】
本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，两点距离公式，相似三角形的判定和性质等知识，综合性比较强，求出点H坐标是本题的关键．
5．（2021·重庆北碚·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（3，0），B（﹣1，0），与y轴交于C点，且OC＝3OB，连接OD．

(1)求抛物线解析式；
(2)P点为抛物线上AD部分上一动点，过P点作PF∥DE交AC于F点，求四边形DPAF面积的最大值及此时P点坐标．
(3)在（2）问的情况下，把抛物线向右平移两个单位长度，在平面内找一个点N，使以D、P、M、N为顶点的四边形为矩形
【答案】(1)y＝﹣x2+2x+3
(2)面积的最大值为，P（，）．(3)N（）或N（）
【分析】
（1）先确定点C的坐标，利用待定系数法可求函数的解析式；
（2）利用转化的思想，将四边形DPAE的面积用三角形APE的面积表示，设出点P的坐标，用m的代数式表示三角形APE的面积，利用二次函数的性质可得面积的最大值，并得到m的取值，P点坐标可得；
（3）首先求出平移后的抛物线的解析式，得到抛物线的对称轴为直线x=3；然后分类讨论解答：①当四边形DPNM为矩形时，过D作DE⊥x轴于E，过P作PF⊥x轴于F，PK⊥DE于K，过N作NH⊥y轴于H，则DK，KP可求，利用△DKP≌△MHN求得NH，MH的长；通过求得DM的解析式，得到线段MG，HG的长度，从而点N的坐标可求；②当四边形DPNM为矩形时，同①的方法可得N点坐标．
(1)解：∵点A（3，0），B（﹣1，0），
∴OA＝3，OB＝1．
∵OC＝4OB，
∴OC＝3．
∴C（0，6）．
设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，由题意得：

解得：．
∴抛物线的解析式为：．
(2)解：∵y=-x2+2x=3=-（x-1）2+4，
∴D（1，4）．
过点E作EM⊥OA于M，过点P作PN⊥OA于N，连接EP，如图，

∵DE∥PF，
∴S△DPF=S△EPF．
∴S四边形DPAF=S△APF+S△DPF=S△APF+S△EPF=S△APE．
设点P（m，-m2+2m+3），
则ON=m，PN=-m2+2m+3．设直线AC的解析式为y=kx+n，
∴．
解得：．
∴直线AC的解析式为：y=-x+3．
设直线OD的解析式为：y=dx，
∴d=4．
∴直线OD的解析式为：y=4x．
∴．
解得：．
∴E（，）．
∴OM=，ME=．
∴MN=，NA=3-m．
∵S△APE=S四边形EMPN+S△ANP-S△AME，
∴S△APE=(PN+EM)×MN+AN•PN−AM•ME
=(−m2+2m+3+)×(m−)+(3−m)×(−m2+2m+3)×(3−)×
=
=．
∵，
∴当m=时，S△APE有最大值．
∴四边形DPAF面积的最大值为．
此时点P的坐标为：（，）．
(3)解：∵y=-x2+2x=3=-（x-1）2+4，
∴平移后的抛物线的解析式为y=-（x-3）2+4，对称轴为x=3．
①当四边形DPNM为矩形时，如图，

过D作DE⊥x轴于E，过P作PF⊥x轴于F，PK⊥DE于K，过N作NH⊥MG于H，
则DK=DE-PF==，KP=OF-OE==．
易证△DKP≌△MHN．
∴NH=KP=，MH=DK=．
设DP的解析式为y=ex+f，
∴．
解得：．
∴y=．
∴设直线DM的解析式为y=2x+n，
∴4=1×2+n．
∴n=2．
∴直线DM的解析式为y=2x+2．
当x=3时，y=2×3+2=8．
∴MG=8，
∴HG=MGMH=．
∴N（，）．
②当四边形DPNM为矩形时，如图，

过D作DE⊥x轴于E，过P作PF⊥x轴于F，PK⊥DE于K，过N作NH⊥MG于H，
则DK=DE-PF=，KP=OF-OE=．
易证△DKP≌△MHN．
∴NH=KP=，MH=DK=．
则DP的解析式为．
∴设直线PM的解析式为y=2x+h，
∴．
∴h=．
∴直线PM的解析式为y=2x+．
∴当x=3时，y=2×3+=．
∴MG=．
∴GH=MG+MH=7．
∴N（，7）．
综上，N点的坐标为：（，）或（，7）．
【点睛】
本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的性质，二次函数的最大值，待定系数法确定函数的解析式，三角形的面积，利用点的坐标表示相应线段的长度，综合性较强．过平面内的点作坐标轴的垂线，便于用坐标表示线段的长度．
6．（2022·广东惠州·模拟预测）如图，已知二次函数的图象过点．

(1)求二次函数的解析式；
(2)请你判断是什么三角形，并说明理由．
(3)若点在第二象限，且是抛物线上的一动点，过点作垂直轴于点，试探究是否存在以、、为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标．若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)直角三角形，理由见解析；
(3)存在，点P的坐标为（，）或（，），理由见解析．
【分析】
（1）将点A及点B的坐标代入函数解析式，得出a、b的值，继而可得出函数解析式；
（2）根据二次函数解析式，求出点C的坐标，然后分别求出AC、AB、BC的长度，利用勾股定理的逆定理可证明是直角三角形；
（3）分两种情况进行讨论，①△DHP∽△BCA，②△PHD∽△BCA，然后分别利用相似三角形对应边成比例的性质求出点P的坐标．
(1)解：由题意得，函数图象经过点A（﹣4，3），B（4，4），
故可得：，
解得：，
故二次函数关系式为： ．
故答案为：．
(2)解：是直角三角形，理由如下：
由（1）所求函数关系式，
当时， ，
解得，；
∴点C坐标为（﹣2，0），点D坐标为（，0），
又∵点A（﹣4，3），B（4，4），
∴，
，
，
∵满足，
∴是直角三角形．
(3)解：存在；
点P的坐标为（，）或（，）．
设点P坐标为（x，（x+2）（13x﹣20）），
则PH＝（x+2）（13x﹣20），HD＝﹣x+，
若△DHP∽△BCA，
则＝，
即＝，
解得：或（因为点P在第二象限，故舍去）；
代入可得，
即P1坐标为（，）；
若△PHD∽△BCA，则＝，
即＝，
解得：或 （因为点P在第二象限，故舍去）．
代入可得 ，
即P2坐标为：（，）．
综上所述，满足条件的点P有两个，即P1（，）或P2（，）．
【点睛】
此题属于二次函数综合题目，涉及了相似三角形的判定与性质、待定系数法求二次函数解析式，同时还让学生探究存在性问题，本题的第三问计算量比较大，同学们要注意细心求解．
7．（2022·全国·九年级专题练习）如图1，抛物线C1：y＝ax2+bx﹣2与直线l：y＝﹣x﹣交于x轴上的一点A，和另一点B（3，n）

(1)求抛物线C1的解析式；
(2)点P是抛物线C1上的一个动点（点P在A，B两点之间，但不包括A，B两点）PM⊥AB于点M，PN∥y轴交AB于点N，求MN的最大值；
(3)如图2，将抛物线C1绕顶点旋转180°后，再作适当平移得到抛物线C2，已知抛物线C2的顶点E在第一象限的抛物线C1上，且抛物线C2与抛物线C1交于点D，过点D作DF∥x轴交抛物线C2于点F，过点E作EG∥x轴交抛物线C1于点G，是否存在这样的抛物线C2，使得四边形DFEG为菱形？若存在，请求E点的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y＝x2﹣x﹣2
(2)
(3)存在，E点的横坐标为2
【分析】
（1）求直线l与x轴交点A坐标、B坐标，用待定系数法求抛物线C1的解析式．
（2）延长PN交x轴于点H，设点P横坐标为m，由PN∥y轴可得点N、H横坐标也为m，即能用m表示PN、NH、AH的长．由∠AHN＝∠PMN＝90°及对顶角∠ANH＝∠PNM可得∠NAH＝∠NPM．发现在Rt△PMN中，MN与PN比值即为sin∠NPM，故先在Rt△ANH中求sin∠NAH的值，再代入MN＝PN•sin∠NPM，即得到MN与m的函数关系式，配方即求得MN最大值．
（3）设点E（e，e2﹣e﹣2），所以可设抛物线C2顶点式为y＝﹣（x﹣e）2+e2﹣e﹣2．令两抛物线解析式y＝0列得关于x的方程，解得两抛物线的另一交点D即为抛物线C1的顶点，故DG＝DE＝EF，且求得DF平行且等于GE，即四边形DFEG首先一定是平行四边形．由▱DFEG为菱形可得DF＝DG，故此时△DEF为等边三角形．利用特殊三角函数值作为等量关系列方程，即求得e的值．
(1)解：直线l：y＝﹣x﹣交x轴于点A
∴﹣x﹣＝0，解得：x＝﹣1
∴A（﹣1，0）
∵点B（3，n）在直线l上
∴n＝﹣×3﹣＝﹣2
∴B（3，﹣2）
∵抛物线C1：y＝ax2+bx﹣2经过点A、B
∴，
解得：，
∴抛物线C1的解析式为y＝x2﹣x﹣2；
(2)解：如图1，延长PN交x轴于点H

∴∠AHN＝90°
设P（m，m2﹣m﹣2）（﹣1＜m＜3）
∵PN∥y轴
∴xN＝xH＝xP＝m
∴N（m，﹣m﹣），AH＝m+1，
∴NH＝﹣（﹣m﹣）＝m+，
PN＝﹣m﹣﹣（m2﹣m﹣2）＝﹣m2+m+
∵Rt△AHN中，tan∠NAH＝，
∴sin∠NAH＝
∵PM⊥AB于点M
∴∠AHN＝∠PMN＝90°
∵∠ANH＝∠PNM
∴∠NAH＝∠NPM
∴Rt△PMN中，sin∠NPM＝，
∴MN＝PN＝（﹣m2+m+）＝﹣（m﹣1）2+
∴MN的最大值为；
(3)解：存在满足条件的抛物线C2，使得四边形DFEG为菱形
如图2，连接DE，过点E作EQ⊥DF于点Q

∵y＝x2﹣x﹣2＝（x﹣）2﹣
∴抛物线C1顶点为（，﹣）
设E（e，e2﹣e﹣2）（e＞4）
∴抛物线C2顶点式为y＝﹣（x﹣e）2+e2﹣e﹣2
当﹣（x﹣e）2+e2﹣e﹣2＝x2﹣x﹣2
解得：x1＝e，x2＝；
∴两抛物线另一交点D（，﹣）为抛物线C1顶点
∵EG∥x轴，DF∥x轴
∴EG＝DF＝2DQ＝2（e﹣）＝2e﹣3，EQ＝e2﹣e﹣2+＝e2﹣e+
∴四边形DFEG是平行四边形
若▱DFEG为菱形，则DG＝DF
∵由抛物线对称性可得：DG＝DE＝EF
∴DE＝EF＝DF
∴△DEF是等边三角形
∴＝tan∠EDQ＝
∴e2﹣e+＝（e﹣）
解得：e1＝（舍去），e2＝
∴E点的横坐标为（2）时，四边形DFEG为菱形．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质，三角函数的应用，求二次函数最值，二元一次方程组和一元二次方程的解法，菱形的判定和性质．第（3）题问是否存在满足条件的点E，使四边形DFEG为菱形，需要先证明它一定是平行四边形，才有可能存在．
8．（2022·全国·九年级专题练习）如图，抛物线y＝ax2+bx+4经过点A（﹣1，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C，点是拋物线在轴上方，对称轴右侧上的一个动点，设点D的横坐标为m．连接AC，BC，，DC．

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当△BCD的面积与△AOC的面积和为时，求m的值；
(3)在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，为顶点的四边形是平行四边形．请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)m＝
(3)存在，M点的坐标为或或或．
【分析】
（1）把，代入中进行求解即可；
（2）如图，连接，求解对称轴为， 由题意可知，，，结合，与，利用即可得到答案；
（3）由（2）得：D点为，再分两种情况讨论，①当BD是平行四边形的一条边时， 如图，当在轴的上方时，由平行四边形的性质与抛物线的性质可得关于抛物线的对称轴对称，重合， 设点， 如图，当在轴的下方时，由平行四边形对角线中点坐标相同得到，， 解方程求解，可得，；②如图，当BD是平行四边形的对角线时， 则，同理可得关于抛物线的对称轴对称，从而可得 从而可得答案．
(1)（1）把，代入：
，
解得：
∴抛物线表达式为：；
(2)如图，连接，
∵抛物线解析式为：，且抛物线与y轴交于点C
∴抛物线的对称轴为，
∴OC=4，

∵点D的横坐标为m，
∴，
∵，，
∴AO=1，BO=2，
∴

又∵
∴，


解得：，，
当时，点在对称轴上，不合题意，舍去，所以取，
综上，；
(3)当时，
D点为，
①当BD是平行四边形的一条边时， 如图，当在轴的上方时，

由平行四边形可得，
关于抛物线的对称轴对称，

重合，

如图，当在轴的下方时，设点， ，
∴，（平行四边形对角线中点坐标相同），
∴，
解得或
∴或，
∴或；

②如图，当BD是平行四边形的对角线时， 则，
∴，关于抛物线的对称轴对称，
，



综上，点的坐标为： 或或或．
【点睛】
主要考查了二次函数的综合，二次函数的性质，平行四边形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
9．（2021·辽宁·建昌县教师进修学校二模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线经过B，C两点，点P为第一象限内抛物线上一点，射线OP与线段BC交于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接AC，当∠OAC＋∠ODC＝180°时，求点P的坐标；
（3）过点B作BE⊥x轴交射线OP于点E，当BDE为等腰三角形时，直接写出点D的坐标．

【答案】（1）；（2）(，)；（3）(，)，(，)
【分析】
（1）先求出B，C坐标，代入得到方程组，故可求解；
（2）先得到OA＝2，OC＝OB＝，AB＝，根据∠OAC＋∠ODC＝180°，证明△BOD∽△BCA，得到，求出BD，作DF⊥x轴于点F，由等腰直角三角形的象征得到，故可得到D点坐标，故可求出直线OD解析式，联立即可求出P点坐标；
（3）设直线OP解析式为，表示出D（，），E（6，6p），根据勾股定理得到BD2=，DE2=，BE2=36p2，根据等腰三角形的性质分情况讨论，得到方程进行求解．
【详解】
解：（1）∵直线与x轴y轴分别交点于B，C，
令x=0，y=6，∴C（，）
令y=0，=0，解得x=6
∴ B（，），
抛物线经过点 B，C
代入B（，），C（，）得

解得
∴抛物线的解析式为．
（2）由（1），知，
∴时，，
解得，
∴ A（，），又B（，），C（，），
∴OA＝2，OC＝OB＝，AB＝，
如图∵OC＝OB＝
∴∠1＝45°，BC＝
∵∠OAC＋∠ODC＝180°，∠ODB＋∠ODC＝180°
∴∠OAC＝∠ODB，又∠1＝∠1，
∴△BOD∽△BCA
∴
∴，
∴，
作DF⊥x轴于点F，
∴△BDF是等腰直角三角形
则，
∴，D（，）

设直线OD解析式为，代入D（，）
则，
∴       
∴直线OD解析式为，
令，
解得，（舍去）
代入得，
∴D（，）
（3）设直线OP解析式为，
当时，
解得x=
∴D（，）
∵过点B作BE⊥x轴交射线OP于点E，
∴E（6，6p）
∵B（6，0）
∴BD2=，DE2=，BE2=36p2
①BD=DE时，则=
解得p=1或p=-1（舍）
∴D（，）
②BD=BE时，则=36p2
解得p=-1或p=--1（舍）
∴D（，）
③DE=BE时，则=36p2
解得p=0（舍）
综上，（，），（，）．

【点睛】
此题主要考查二次函数与几何综合，解题的关键是熟知待定系数法的运用、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理的运用．
10．（2021·福建省厦门第六中学三模）如图1，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A、B，OB＝3OA＝3．
（1）求抛物线的解析式；
（3）如图2，直线l与抛物线有且只有一个公共点E，l与抛物线对称轴交于点F，若点E的横坐标为2，求△AEF的面积；
（2）如图3，直线y＝kx＋n与抛物线交于点C、D，若△ACD的内心落在x轴上，求n的取值范围．

【答案】（1）y＝x2－2x－3；（2）；（3）－12＜n＜4
【分析】（1）由OB＝3OA＝3，点A在x轴负半轴，点B在x轴正半轴上，得出点A,B的坐标，代入解析式解出即可；
（2）首先求出点E的坐标，再求出直线AE的解析式，由直线AE的解析式得出点P的坐标，再将点E的坐标代入直线l的解析式，与抛物线解析式联立，由直线l与抛物线只有一个交点，即可求出直线l的解析式，求出点F的坐标，即可求出面积；
（3）过C作CG⊥x轴，交x轴于点G，过D作DH⊥x轴，交x轴于点H，由△ACD的内心落在x轴上，可得，即可证明△CAG∽△DAH，则,设C(t，t2－2t－3)，D(d，d2－2d－3)，代入比例式化简可得t＋d＝6，再将C,D两点的坐标代入抛物线的解析式，求出k，将直线y＝4x＋n与抛物线解析式联立，根据直线与抛物线有两个不同的交点得出，再根据点A在直线CD的上方，即可求出n的取值范围．
【详解】
解：（1）∵OB＝3OA＝3，点A在x轴负半轴，点B在x轴正半轴上，
∴A(－1，0)，B(3，0)
把A(－1，0)，B(3，0)代入抛物线y＝x2＋bx＋c，
得，
解得：，
∴y＝x2－2x－3；
（2）设直线l的解析式为y＝mx＋p，直线AE与抛物线对称轴的交点为P，

∵点E的横坐标为2，且E在抛物线y＝x2－2x－3上，
∴E(2，－3)，
∴直线AE的解析式为y＝－x－1，
∴P(1，－2)，
把E(2，－3)代入y＝mx＋p，得：－3＝2m＋p，
∴p＝－2m－3，
令x2－2x－3＝mx－2m－3，整理得：(x－2)(x－m)＝0，
∴x1＝m，x2＝2，
∵直线l与抛物线有且只有一个公共点E，
∴x1＝x2，即m＝2，
∴y＝2x－7，
∴F(1，－5)，
∴PF＝3，
∴；
（3）过C作CG⊥x轴，交x轴于点G，过D作DH⊥x轴，交x轴于点H，

∴∠CGA＝∠DHA＝90°，
∵△ACD的内心落在x轴上，
∴AG平分∠CAD，点C，D在x轴两侧，
∴∠CAG＝∠DAH，
∴△CAG∽△DAH，
∴,
设C(t，t2－2t－3)，D(d，d2－2d－3)，
∴AG＝t＋1，CG＝t2－2t－3，AH＝d＋1，DH＝－d2＋2d＋3，代入，
，
∵,
∴，即t＋d＝6，
把C(t，t2－2t－3)，D(d，d2－2d－3)代入y＝kx＋n，
得：，
两式相减消去n，，
解得：，
∴y＝4x＋n，
令4x＋n＝x2－2x－3，整理得：x2－6x－3－n＝0，
∵直线y＝4x＋n与抛物线y＝x2－2x－3有两个交点，
∴Δ＝36＋4(3＋n)＞0，
∴n＞－12，
∵点C，D在x轴两侧，
∴点A在直线CD的上方，
∴,
∴n＜4，
∴－12＜n＜4．
【点睛】
本题是二次函数综合题，主要考查求二次函数解析式，求三角形面积，几何问题与二次函数，解题关键是熟练掌握二次函数的性质与灵活应用数形结合，将特殊的几何关系转化为等量关系．
二、与二次函数有关的线段周长问题
例题11．（2021·广东·江门市第二中学二模）如图1，抛物线与x轴交于A（-2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，直线l与抛物线交于A、D两点，其中D点的横坐标为2．

（1）求抛物线的解析式以及直线AD的解析式；
（2）点P是抛物线上位于直线AD下方的动点，过点P作x轴，y轴的平行线，交AD于点E、F，当PE+PF取最大值时，求点P的坐标；
（3）如图2，连接AC，点Q在抛物线上，且满足∠QAB=2∠ACO，求点Q的坐标．
【答案】（1），；（2）P（0，-4）；（3）点Q的坐标为，．
【分析】
（1）将点A和点B的坐标代入二次函数解析式即可求出二次函数的解析式，再求出点D的坐标，设直线AD的解析式为，将点A和点D的坐标代入直线解析式，即可求出直线AD的解析式；
（2）根据题意表示出，再表示出，再求最值即可；
（3）在BO上截取ON＝OA，连接CN，过点A作AH⊥CN，证明△OCN≌△OCA（SAS），即可得出∠QAB＝∠NCA，分两种情况，点Q在AB上方和下方，求出直线AQ的解析式，与二次函数联立即可求出点Q的坐标．
【详解】
（1）将A（-2,0），B（4,0）代入，
得，
解得，
∴抛物线解析式为，
当x=2时，，
∴D（2，-4）
设直线AD的解析式为，
将A（-2,0）D（2，-4）代入，
得，解得
∴直线AD的解析式为
（2）根据题意作图，如图，

在上，当x=0时， ，
∴AD与y轴的交点M的坐标为（0，-2），
∴OA=OM，∠AOM=90°，
∴∠OAB=45°，
∵PE∥x轴，PF∥y轴，
∴∠PEF=∠OAB=45°，∠EPF=90°，
∴PF=PE，
设，
∴，
∵P在AD的下方，
∴-2 当x=0时，PF有最大值为2，此时PF+PE最大，
∴P（0，-4）；
（3）在BO上截取ON＝OA，连接CN，过点A作AH⊥CN，如图，

∵点A（-2，0），点C（0，﹣4），
∴OA＝2，OC＝4，
∴，
∵ON＝OA，∠CON＝∠COA＝90°，OC＝OC，
∴△OCN≌△OCA（SAS），
∴∠ACO＝∠NCO，CN＝AC＝，
∴∠NCA＝2∠ACO，
∵∠QAB＝2∠ACO，
∴∠QAB＝∠NCA，
∵S△ANC＝AN×OC＝AH×CN，
∴AH＝＝，
∴，
∴，
如图，当点Q在AB的下方时，设AQ与y轴交于点I，

∵∠QAB＝∠NCA，
∴tan∠NCA＝tan∠QAB＝＝，
∴OI＝，
∴点I（0，），
又∵点A（-2，0），
∴直线AQ解析式为：，
联立方程组得：，
解得：或（不合题意舍去），
∴点Q坐标为：，
当点Q在AB的上方时，同理可求直线AQ解析式为：，
联立方程组得：，
解得：（不合题意舍去）或，
∴点Q坐标为：，
综上所述：点Q的坐标为，．
【点睛】
本题考查二次函数综合题以及全等三角形的判定与性质，解直角三角形，解题关键是熟练掌握求二次函数和一次函数解析式的方法，坐标与图形的知识点，将几何关系转化为代数关系进行求解．
练习题
1．（2021·江苏扬州·一模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，点B坐标为顶点P的坐标为，以AB为直径作圆，圆心为D，过P向右侧作的切线，切点为C．

(1)求抛物线的解析式；
(2)请通过计算判断抛物线是否经过点C；
(3)设M，N分别为x轴，y轴上的两个动点，当四边形PNMC的周长最小时，请直接写出M，N两点的坐标．
【答案】(1)；(2)见解析；(3)M点坐标为：，N点坐标为：
【分析】
（1）可设顶点式，将顶点为，点代入求出抛物线的解析式；
（2）首先求出D点坐标，再利用CD等于圆O半径为，由，得出C点坐标即可，进而判断抛物线是否经过点C即可；
（3）作C关于x轴对称点，P关于y轴对称点，连接，与x轴，y轴交于M、N点，此时四边形PNMC周长最小，求出直线的解析式，求出图象与坐标轴交点坐标即可．
(1)解:设抛物线的解析式为把，，代入得；，
把，代入，解得，
∴抛物线的解析式为：，即：；
(2)解:如图,

作抛物线的对称轴，
把代入解得，，
∴A点坐标为，
∴，
∴，
∴D点坐标为，而抛物线的对称轴为直线，
∴点D在直线上，
过点C作，轴，垂足分别为E，F，连接DC，
∵PC是的切线，
∴，在中
∵，
∴，
解直角三角形CDE，可得，，
∴C点坐标为，
把代入得：，
∴点C在抛物线上；
(3)解：如图2，作点C关于x轴的对称点，点P关于y轴的对称点，连接，分别交x轴，y轴于M，N两点，


此时四边形PNMC的周长最小，
∵C点坐标为，
∴点坐标为，
∵P的坐标为，
∴的坐标为，
代入中，，
解得：，
则直线的解析式为：，
当，，
故N点坐标为：，
当，则，
解得：，
故M点坐标为：．
【点睛】
本题考查了用顶点式求二次函数的解析式以及利用对称性求四边形的最小值,利用轴对称找到M,N的位置是解题的关键.
2．（2021·四川·绵阳市桑枣中学一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋bx＋c的图的顶点为点D，与y轴交于点C，与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．

(1)求这个二次函数的解析式；
(2)若点P是x轴上一动点，当△PCD的周长最小时，求点P的坐标；
(3)如图，若点G（2，m）是该抛物线上一点，E是直线AG下方抛物线上的一动点，点E到直线AG的距离为d，求d的最大值．
【答案】(1)y＝x2﹣2x﹣3(2)点P的坐标为（，0）(3)
【分析】
（1）由二次函数y=x2+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，求得其对称轴，从而可得b的值，再将（-1，0）代入即可求得c的值，则可得抛物线的解析式；
（2）作点C关于x轴的对称点F，则F的坐标为（0，3），连接DF交x轴于顶点P，此时△PCD的周长最小，用待定系数法求得直线DF的解析式，令y=0，可得点P的横坐标，则问题得解；
（3）先求得点G的坐标，再用待定系数法求得直线AG的解析式；作AG的平行线MN，交x轴于点M，交y轴于点N，过点A作AH⊥MN于点H当直线MN与抛物线相切时，点E到直线AG的距离d=EK最大，设直线MN的解析式为y=-x+n，将其与抛物线解析式联立，得出关于x的一元二次方程，由交点个数与方程的判别式的关系可得Δ=0，从而可得n的值，最后由三角函数求得AH的值，即为所求的d的最大值．
(1)解：∵二次函数y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴对称轴为直线x＝1，
∴1，
∴b＝﹣2，
∴y＝x2﹣2x+c，
将（﹣1，0）代入得：
0＝1+2+c，
∴c＝﹣3，
∴这个二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
(2)解：∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3的对称轴为x＝1，
∴顶点D的坐标为（1，﹣4），点C的坐标为（0，﹣3）．
作点C关于x轴的对称点F，则F的坐标为（0，3），连接DF交x轴于顶点P，此时△PCD的周长最小，如图：

设直线DF的解析式为y＝kx+b（k≠0），将D（1，﹣4），F（0，3）分别代入得：
，
∴y＝﹣7x+3，
当y＝0时，x，
∴点P的坐标为（，0）；
(3)∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3，点G（2，m）是该抛物线上一点，
∴m＝22﹣2×2﹣3＝﹣3，
∴点G（2，﹣3），
设直线AG的解析式为：y＝px+q（p≠0），
将A（﹣1，0），G（2，﹣3）分别代入得：
，
解得，
∴直线AG的解析式为：y＝﹣x﹣1，
作AG的平行线MN，交x轴于点M，交y轴于点N，过点A作AH⊥MN于点H，如图：

当直线MN与抛物线相切时，点E到直线AG的距离d＝EK最大，
∵AGMN，
∴AH＝EK＝d．
设直线MN的解析式为y＝﹣x+n，将其与抛物线解析式联立得：
，
∴x2﹣2x﹣3＝﹣x+n，
整理得：x2﹣x﹣3﹣n＝0，
当MN与抛物线相切时，Δ＝0，
∴（﹣1）2﹣4（﹣3﹣n）＝0，
解得：n，
∴直线MN的解析式为y＝﹣x，
∴点M的坐标为（，0），点N坐标为（0，），
∴AM＝﹣1﹣（），
∵OM＝ON，
∴∠AMN＝45°，
∴AH＝AM•sin45°

，
∴d的最大值为．
【点睛】
本题属于二次函数综合题，综合考查二楼待定系数法求函数的解析式、轴对称问题及最值问题等知识点，数形结合并灵活运用转化思想是解题的关键．
3．（2021·甘肃·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、，与轴正半轴交于点，，在直线上方的抛物线上有一动点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)连接，与直线相交于点，当时，求点的坐标；
(3)连接、、，四边形的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点的坐标和四边形的面积；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)点的坐标为或(3)存在，当点的坐标为，时，四边形的面积有最大值为
【分析】
（1）由条件得到C点坐标，再用待定系数法求抛物线解析式．
（2）如图，过点E、F分别作x轴的垂线交于H、G两点，利用A型相似得到，设E点坐标，再表示出F点坐标，利用列出方程求解即可．
（3）利用割补法得到，所以当最大时， 最大．利用铅锤法求出的最大值即可．
(1)解：，，
，，
，
把，代入，
得：，
解得：，
抛物线的解析式为；
(2)在中，令，
得：，
解得：，，
，
如图1，过点作于点，过点作于点，
则，
，   
，
，
，即，
，
设直线的解析式为，把，代入得：

解得：
直线的解析式为，
设，则，，
，
，点的横坐标为，
点在直线上，
点的纵坐标为，
，，
，，
，
，   
，
解得：，，
当时，，
，
当时，，
，
综上所述，点的坐标为或；
(3)四边形的面积存在最大值．
，
，
当最大时，四边形的面积最大，
设，作于点，交于点，
，
，
，
当时，有最大值为，
当时，，
当点的坐标为，时，四边形的面积有最大值为．

【点睛】
此题考查了待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的应用、四边形面积最值问题等．（2）问关键是作x轴垂线构造A型相似，再通过相似得到的线段比设点坐标列方程；（3）问关键是利用铅锤法求出的最大值．
4．（2021·山东烟台·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2﹣x+c（a≠0）经过A，B，C三点．

(1)求过A，B，C三点抛物线的解析式并求出顶点F的坐标；
(2)在抛物线上是否存在点P，使△ABP为直角三角形？若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由；
(3)试探究在直线AC上是否存在一点M，使得△MBF的周长最小？若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣，顶点F的坐标为（1，）
(2)存在，P1（0，﹣），P2（2，﹣）
(3)在直线AC上存在点M，使得△MBF的周长最小，此时M（，）
【分析】
（1）抛物线解析式中有两个待定系数a，c，根据直线AC解析式求点A、C坐标，代入抛物线解析式即可；
（2）分析不难发现，△ABP的直角顶点只可能是P，根据已知条件可证AC2+BC2=AB2，故点C满足题意，根据抛物线的对称性，点C关于抛物线对称轴的对称点也符合题意；
（3）由于B，F是定点，BF的长一定，实际上就是求BM+FM最小，找出点B关于直线AC的对称点B'，连接B'F，交AC于点M，点M即为所求，由（2）可知，BC⊥AC，延长BC到B'，使BC=B'C，利用中位线的性质可得B'的坐标，从而可求直线B'F的解析式，再与直线AC的解析式联立，可求M点坐标．
(1)∵直线y＝﹣x﹣与x轴交于点A，与y轴交于点C
∴点A（﹣1，0），C（0，﹣）
∵点A，C都在抛物线上，
∴
∴
∴抛物线的解析式为
∴顶点F（1，﹣ ）．
(2)存在：理由：（1）可知点A（-1，0），C（0，- ），
∴AO=1，OC=-，
∴AC=2，
设y=0，则=0，解得：x=-1或3，
∴B的坐标是（3，0），
∴OB=3，
∴ ，
∵AC2+BC2=16，AB2=16，
∴AC2+BC2=AB2=16，
∴△ABC为直角三角形；
∴当P与C重合时符合题意,根据抛物线的对称性，点C关于抛物线对称轴的对称点也符合题意，
∴P点的坐标是（0，-）或（2，-）；
(3)存在
理由：延长BC到点B′，使BC＝BC，连接BF交直线AC于点M，则点M就是所求的点，

∵过点B′作BH⊥AB于点H，
∵B点在抛物线上，
∴B（3，0），
在Rt△BOC中，tan∠OBC＝
∴∠OBC＝30°，BC＝2
在Rt△B′BH中，B′H＝BB′＝2
BH＝B′H＝6，∴OH＝3，
∴B′（﹣3，﹣2）．
设直线B′F的解析式为y＝kx+b，
∴ ，
解得 ，
∴ ．
，
解得 ，
∴M（ ）
∴在直线AC上存在点M，使得△MBF的周长最小，此时M（）．
【点睛】
考查代数几何的综合运用能力，体现数学知识的内在联系和不可分割的特点．
5．（2021·四川凉山·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，已知B点坐标为(1,0)，且OA=OC=3OB，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)图象经过A，B，C三点，其中D点是该抛物线的顶点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)判断△ADC的形状并且求△ADC的面积；
(3)如图2，点P是该抛物线第三象限部分上的一个动点，过P点作PE⊥AC于E点，当PE的值最大时，求此时P点的坐标及PE的最大值．
【答案】(1)y=x2+2x-3(2)直角三角形；3(3)；
【分析】
（1）根据B点坐标为(1，0)，且OA=OC=3OB，得出A，C点的坐标，用待定系数法求解析式即可；
（2）根据坐标求出三角形各边的长，利用勾股定理判断其为直角三角形，再用三角形面积公式求面积即可；
（3）求出直线AC的解析式，过点P作轴交AC于H，设出P点和H点坐标，用含x的代数式求出PE的值，根据二次函数性质求最值即可．
(1)解：∵B点坐标为(1，0)，且OA=OC=3OB，
∴A(-3，0)，C(0，-3)，
将A，B，C三点代入解析式得，
，
解得，
∴抛物线的解析式为：y=x2+2x-3；
(2)解：由(1)知抛物线的解析式为y=x2+2x-3，
∴对称轴为直线，
当x=-1时，y=(-1)2+2×(-1)-3=-4，
∴D点的坐标为(-1，-4)，
∴，
，，
∵，即AD2=AC2+CD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴；
(3)解：设直线AC的解析式为y=sx+t，
代入A，C点坐标，
得，
解得，
∴直线AC的解析式为y=-x-3，
如图，过点P作y轴的平行线交AC于点H，

∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=45°，
∵，
∴∠PHE=∠OCA=45°，
设点P(x，x2+2x-3)，则点H(x，-x-3)，
∴PH=-x-3-(x2+2x-3)=-x2-3x，
∴，
∴当时，PE有最大值为，
此时P点的坐标为．
【点睛】
本题主要考查二次函数的综合，待定系数法求一次函数及二次函数的解析式，二次函数的性质，勾股定理等知识，熟练掌握二次函数的性质，用待定系数法求函数解析式，利用二次函数性质求最值是解题的关键．
6．（2022·全国·九年级专题练习）如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，抛物线的对称轴l与x轴交于M点．

(1)求抛物线的函数解析式；
(2)设点P是直线l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求PA+PC长；
(3)已知点N（0，﹣1），在y轴上是否存在点Q，使以M、N、Q为顶点的三角形与△BCM相似？若存在；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y＝﹣x2+2x+3
(2)PA+PC的长为
(3)存在，点Q的坐标为或，理由见解析
【分析】
（1）当x＝0时，y＝3，可得C（0，3）．再设设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3）（a≠0），利用待定系数法，即可求解；
（2）连接PA、PB、PC，根据轴对称性可得PA＝PB．从而得到PA+PC＝PC+PB．进而得到当点P在线段BC上时，PC+AP有最小值．即可求解；
（3）先求出抛物线的对称轴，可得点，再由点N（0，﹣1），B（3，0），C（0，3）．可得，可得∠CBM=∠MNO，然后分三种情况讨论，即可求解．
(1)解：把x＝0代入得：y＝3，
∴C（0，3）．
设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3）（a≠0），
将点C的坐标代入上式得：3＝﹣3a，解得：a＝﹣1．
∴抛物线的解析式为y＝-（x+1）（x-3）=﹣x2+2x+3．
(2)解：如图，连接PA、PB、PC，

∵点A与点B关于直线l对称，点P在直线l上，
∴PA＝PB．
∴PA+PC＝PC+PB．
∵两点之间线段最短，
∴当点P在线段BC上时，PC+AP有最小值．
∵OC＝3，OB＝3，
∴BC＝．
∴PA+PC的最小值＝．
(3)解：存在，理由：
抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1．
∵抛物线的对称轴l与x轴交于M点．
∴点，
∵点N（0，﹣1），B（3，0），C（0，3）．
∴OM=ON=1，OB=OC=3，
∴，
∴∠CBM=∠MNO，
当点Q在点N下方时，∠MNQ=135°，不符合题意，
∴点Q在点N上方，
设点Q的坐标为（0，n）．则QN=n+1，
∵以M、N、Q为顶点的三角形与△BCM相似，
∴∠QMN=∠CMB或∠MQN=∠CMB，
当时，，如图（2），

∴，
∴，解得：，
∴点；
当时，，如图（3），

∴，
∴，解得：，
∴点，
综上所述，点Q的坐标为或．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的综合题，相似三角形的判定和性质，两点之间，线段最短，待定系数法求二次函数解析式等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．
7．（2021·山东淄博·二模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A，B两点，点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），点M为顶点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)过点M作y轴的垂线，垂足为C，过点B作y轴的平行线，交CM于点D，点H为OC上的任一点，将线段HB绕点H逆时针旋转90°到HP．求∠PCD的度数；
(3)在（2）的条件下，将点H改为y轴上的一动点，连接OP，BP，求OP+BP的最小值．
【答案】(1)y＝x2+x+(2)∠PCD＝45°(3)OP+BP的最小值为
【分析】
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出点M的坐标为（1，3），然后证明四边形OBDC是正方形，过点P作PE⊥y轴，垂足为E点，连接PC，如图2，证明△PEH≌△HOB得到PE＝OH，EH＝OB，然后推出EC＝EP，得到∠ECP＝45°，则∠PCD＝45°；
（3）根据∠PCD＝45°可知点P在直线PC上运动，作点O关于直线PC的对称点F，连接BF与直线PC交于，连接，直线PC交x轴于点Q，连接FQ，则，，故当P在的位置，即B、F、P三点共线时，的值最小，最小为BF，由此求解即可．
(1)解：将点A（﹣1，0），B（3，0）代入中
得 ，
解得，
∴抛物线解析式为；
(2)解：∵抛物线解析式为，
∴点M的坐标为（1，3），
∵MC⊥y轴，BD∥y轴，∠COB=90°，
∴矩形OBDC中，CO＝OB＝3．
∴四边形OBDC是正方形，
过点P作PE⊥y轴，垂足为E点，连接PC，如图2，

∵∠PHB＝90°，
∴∠PHE+∠BHO＝90°，
∵∠OBH+∠BHO＝90°，
∴∠PHE＝∠OBH，
又HP＝HB，
∴△PEH≌△HOB（AAS），
∴PE＝OH，EH＝OB，
∵OB＝OC，
∴OC＝EH，
∴EC＝OH，
∴EC＝EP，
∴∠ECP＝45°，
∴∠PCD＝45°；
(3)解：如图3，
       
由（2）可知，点P在直线PC上运动，
作点O关于直线PC的对称点F，连接BF与直线PC交于，连接，直线PC交x轴于点Q，连接FQ，
∴，
∴，
∴当P在的位置，即B、F、P三点共线时，的值最小，最小为BF，
∵CD∥x轴，
∴∠PCD＝∠PQO＝45°，
∴OQ＝OC＝OB＝3，
由轴对称的性质可知：∠FQC＝∠PQO＝45°，FQ＝OQ＝3，
∴∠FQB＝90°，
∴BF＝，
∴OP+BP的最小值为．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的综合，正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理等等，解题的关键在于能够正确作出辅助线求解．
8．（2021·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B(3，0)，交y轴于点C(0，3)，点D为抛物线的顶点．

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)连接BD，求点D的坐标及直线BD的函数表达式；
(3)点M是线段BD上一动点（点M不与端点B，D重合），过点M作MN⊥BD，交抛物线于点N（点N在对称轴的右侧），过点作轴，垂足为，交于点，点是线段上一动点，当取得最大值时．
①求点的坐标；
②若的值最小，请直接写出点的长．
【答案】(1)抛物线的函数表达式为：
(2)，直线的函数表达式为
(3)①点；②
【分析】
（1）利用待定系数法可求解析式；
（2）由配方法可求顶点D坐标，利用待定系数法可求解析式；
（3）①通过证明△MNF∽△GBD，可得，可求，利用二次函数的性质可求解；
②由锐角三角函数可求，可得HF+FP+PC=2+PF+PQ，则当点F，点P，点Q三点共线时，HF+FP+PC有最小值，即可求解．
(1)将点，点代入解析式可得：，
解得：，
抛物线的函数表达式为：；
(2)，
，
设直线解析式为，
由题意可得：，
解得：，
直线的函数表达式为；
(3)①如图，过点作于，

，，
，
，
轴，，
，
，
又，
，
，
，
设点坐标为，则点，
，
，
时，有最大值为，
点；
②如图，连接，过点作，交于，

抛物线与轴交于点，两点，
点，
，
，
，
，
，
当点，点，点三点共线时，有最小值，
时，有最小值，
，
．
【点睛】
本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，待定系数法等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
9．（2021·广东佛山·二模）如图1，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线BC的解析式为y＝x﹣4；线段OC的垂直平分线交抛物线于点M、N，点M、N横坐标分别为x1、x2且满足x1+x2＝3．

(1)求抛物线的解析式；
(2)设点Q是直线MN上一动点，当点Q在什么位置上时，△QOB的周长最小？求出此时点Q的坐标及△QOB周长的最小值；
(3)如图2，P线段CB上的一点，过点P作直线PF⊥x轴于F，交抛物线于G，且PF＝PG；点H是直线BC上一个动点，点Q是坐标平面内一点，以点H，Q，P，F为顶点的四边形是菱形，求所有满足条件的Q点坐标（写出其中一个点的坐标的详细求解过程，其余的点的坐标直接写出即可）．
【答案】(1)y＝x2﹣3x﹣4
(2)Q（﹣2，﹣2），△QOB周长最小值4+4
(3)点Q的坐标为：Q1（，），Q2（，），Q3（4，-3）,Q4（，）
【分析】
（1）根据直线BC：，求出点，由MN是线段OC的垂直平分线，可求出对称轴为直线x=，运用待定系数法即可求得答案；
（2）根据点Q是直线MN上一动点，O、B是定点，求△QOB周长的最小值，即求OQ+BQ的最小值，连接CQ，则CQ＝OQ，当点C、Q、B在同一直线上时，OQ+BQ＝CQ+BQ＝BC最短，由此即可求得答案；
（3）设P(m，m-4)，且0＜m＜4，则F(m，0)，G(m，)，进行分类讨论即可：①PF为菱形的边且点H在点P左侧，②PF为菱形的边且点H在点P右侧，点Q在PH上方，③PF为菱形的边且点H在点P右侧，点Q在PH下方，④PF为菱形的对角线．
(1)由直线BC：，可得与x轴交点为B(4，0)，与y轴交点为C(0，-4），
∵MN是线段OC的垂直平分线，
∴ 轴，
∴M、N关于抛物线对称轴对称，
∴抛物线对称轴为直线，
∴抛物线与x轴的另一个交点为A(-1，0)，
设抛物线解析式为，将C(0，-4)代入，
得：-4a=-4，
解得：a=1，
∴，
故该抛物线解析式为．
(2)如图，连接CQ，

∵MN是线段OC的垂直平分线，
∴CQ=OQ，
∴当点C、Q、B在同一直线上时，OQ+BQ=CQ+BQ=BC最短，
当时，解得：x=-2，
∴Q(-2，-2)，
∵OB=OC=4，
∴，
∴△QOB周长最小值=OQ+BQ+OB=BC+OB=；
(3)设P(m，m-4)，且0＜m＜4，
则F(m，0)，G(m，)，
∵PF=PG，
∴，
解得：（舍），
∴F(1，0)，P(1，-3)，
∴FP=3．
①如图，PF为菱形的边且点H在点P左侧，

延长HQ交x轴于点N，
∵
∴
∴，
∴，
∵Q点在第三象限，
∴Q1(， )；
②如图，PF为菱形的边且点H在点P右侧，点Q在PH上方时

设QH交x轴于点E，
∵，
∴
∵，
∴
∴
∴，
∴，
∴Q2(，)，
③如图，PF为菱形的边且点H在点P右侧，点Q在PH下方时

∵轴，
∴菱形为正方形．
∵，
∴H点和B点重合．
∴，即Q3 (4，-3)；
④如图，PF为菱形的对角线，连接QH交PF于点E，

∵PQFH是菱形，
∴，，
∵轴，
∴轴，
∴Q、E、H的纵坐标都等于，
∴，
解得：，
∴H(，)，
∵E(1，)，EQ=EH，
∴Q４(,)．
综上所述，点Q的坐标为：Q1(， )，Q2(，)，Q3 (4，-3)，Q４(,)．
【点睛】
本题为二次函数与几何的综合．涉及的知识点主要有线段垂直平分线的性质、利用待定系数法求函数解析式、勾股定理、菱形的性质等．为压轴题，困难题型．利用数形结合和分类讨论的思想是解答本题的关键．
10．（2022·全国·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的矩形的周长与面积相等，则称这个点为“美好点”，如图，过点P分别作x轴，y轴的垂线，与坐标轴围成的矩形OAPB的周长与面积相等，则P为“美好点”．

（1）在点M（2，2），N（4，4），Q（﹣6，3）中，是“美好点”的有　 　；
（2）若“美好点”P（a，﹣3）在直线y＝x+b（b为常数）上，求a和b的值；
（3）若“美好点”P恰好在抛物线第一象限的图象上，在x轴上是否存在一点Q使得△POQ为直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）N、Q；（2）a＝6，b＝﹣9或a＝﹣6，b＝3；（3）存在，点Q的坐标为（6，0）或（，0）．
【分析】
（1）根据“美好点”的定义逐个验证即可；
（2）对于P点，对应图形的周长为：2×（|a|+3）=2|a|+6，面积为3|a|，因为点P是“美好点”，故2|a|+6=3|a|，即可求解；
（3）根据点P是“美好点”确定点P的坐标，设点Q的坐标为（x，0），再分以下三种情况：当∠POQ=90°时，此种情况不存在；当∠PQO=90°时，则PO2=PQ2+OQ2；当∠OPQ=90°时，则OQ2=PQ2+OP2，分别列出关于x的方程，解得x即可．
【详解】
解：（1）对于M点，对应图形的周长为：2×（2+2）＝8，面积为2×2＝4≠8，故点M不是“美好点”；
对于点N，对应图形的周长为：2×（4+4）＝16，面积为4×4＝16，故点N是“美好点”；
对于点Q，对应图形的周长为：2×（6+3）＝18，面积为6×3＝18，故点Q是“美好点”；
故答案为：N、Q；
（2）对于P点，对应图形的周长为2×（|a|+3）＝2|a|+6，面积为3|a|，
∵点P是“美好点”，
∴2|a|+6＝3|a|，解得：a＝±6，
将P（a，﹣3）代入y＝x+b得：﹣3＝a+b，则b＝﹣3﹣a，
∴当a=6时，b=-9；当a=-6时，b=3，
故a＝6，b＝﹣9或a＝﹣6，b＝3；
（3）存在，理由如下：
设点P的坐标为（m，n），则n＝m2（m＞0，n＞0），
由题意得：2m+2n＝mn，∴2m+m2＝m3，
解得：m＝6或﹣4（舍去）或0（舍去），
故点P的坐标为（6，3）；
设点Q的坐标为（x，0），
则PQ2＝（x﹣6）2+32＝（x﹣6）2+9，
PO2＝36+9＝45，
OQ2＝x2，
当∠POQ=90°时，∵点Q在x轴上，则∠POQ≠90°，此种情况不存在；
当∠PQO=90°时，则PO2=PQ2+OQ2，∴45=（x﹣6）2+9+ x2，解得x＝6或x=0（舍去）；
当∠OPQ=90°时，则OQ2=PQ2+OP2，∴x2=（x﹣6）2+9+45，解得x＝；
综上所述，符合条件的点Q的坐标为：（6，0）或（，0）．
【点睛】
本题考查了新定义问题，二次函数图象上的点，勾股定理，一次函数的图象上的点以及解一元二次方程等知识点，理解新定义是解题的关键，第（3）小问注意分类讨论思想的运用，避免漏解．
7．（2021·山东菏泽·三模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3）

(1)求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；
(2)若动点P在第二象限内的抛物线上，动点N在对称轴l上．
①当PA⊥NA，且PA＝NA时，求此时点P的坐标；
②当四边形PABC的面积最大时，求四边形PABC面积的最大值及此时点P的坐标．
【答案】(1)抛物线的解析式为y=-x2-2x+3，顶点坐标为(-1，4)；(2)①P(−−1，2)
②当x＝−时，S四边形PABC最大=，此时P(-，)．
【分析】
(1)把点A、B、C的坐标代入二次函数表达式，即可求解；
(2)①由PA⊥NA，且PA=NA，可证△PAD≌△ANQ(AAS)，则PD=AQ，PD=AQ=AO-QO=3-1=2，即：即y=-x2-2x+3=2，即可求解；②利用S四边形PABC=S△OBC+S△CPO+S△POA，求解即可．
(1)解：把点A、B、C的坐标代入二次函数表达式得：
，解得，
故：抛物线的解析式为y=-x2-2x+3，
∵y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4，
∴顶点坐标为(-1，4)；
(2)∵A(-3，0)，B(1，0)，
OA=3，OB=1，
如解图，作PD⊥x轴于点D，设对称轴l与x轴交于点Q，连接AC，OP，

∵点P在y=-x2-2x+3上，
∴设点P(x，-x2-2x+3)，
∵PA⊥NA，且PA=NA，
∴∠PAD+∠APD=∠PAD+∠NAQ=90°，
∴∠APD=∠NAQ，
又∵∠PDA=∠AQN=90°，
∴△PAD≌△ANQ(AAS)，
∴PD=AQ，
∴PD=AQ=AO-QO=3-1=2
即：y=-x2-2x+3=2
解得：x＝−1(舍去)或x＝−−1，
∴点P坐标为(−−1，2)；
②连接OP，设P(x，-x2-2x+3)，且-3＜x＜0
S四边形PABC=S△OBC+S△CPO+S△POA
∵S△OBC=OB×OC=×1×3=，S△OCP=OD×OC=|x|×3
又-3＜x＜0，所以S△OCP=−x，
S△OAP=×3×|yP|=(-x2-2x+3)=−x2−3x+
∴S四边形PABC=S△OBC+S△CPO+S△POA
=+(−x)+(−x2−3x+)=−x2−x+6，
∴当x＝−时，S四边形PABC最大=，
此时P(-，)．
【点睛】
本题考查的是二次函数知识的综合运用．涉及到待下系数法求二次函数解析式，三角形全等、三角形的面积等知识，其中(2)，S四边形PABC=S△OBC+S△CPO+S△POA是本题的难点．
8．（2021·四川泸州·一模）如图，已知直线y＝﹣2x+6与y轴交于点A，与x轴交于点B，抛物线y＝﹣2x2+mx+n经过A，B两点．

(1)求该抛物线的解析式．
(2)若点D是第一象限抛物线上的点，连接OD交直线AB于点C，求的最大值．
(3)若抛物线上有且仅有三个点F1，F2，F3，使得△ABF1，△ABF2，△ABF3的面积均为定值S，求定值S及F1，F2，F3这三个点的坐标．
【答案】(1)y＝﹣2x2+4x+6(2)(3)，F1（，），F2（，3﹣），F3（，﹣3﹣）
【分析】
（1）根据直线y=-2x+6与y轴交于点A，与x轴交于点B，求出A点和B点的坐标，再用待定系数法求抛物线的解析式即可；
（2）作DEAO交AB于点E，证△AOC∽△DEC，得出=，设出D点坐标为（a，-2a2+4a+6），则E（a，-2a-6），用a示出DE，再根据比例关系得出关于a的二次函数，利用二次函数求最值即可；
（3）将直线AB向上平移至与抛物线只有一个交点F1，平移后的直线交y轴于E，联立直线EF1和抛物线的解析式，根据Δ=0，求出k值，将直线AB向下平移，交抛物线于点F2，F3，联立直线EF1和抛物线的解析式，求出点F1的坐标，联立F2F3和抛物线的解析式，求出F2和F3的坐标，在利用F1的坐标求三角形面积即可．
(1)解：∵直线y＝﹣2x+6与y轴交于点A，与x轴交于点B，
∴令x＝0，则y＝6，令y＝0，则x＝3，
∴A（0，6），B（3，0），
把A点和B点坐标代入抛物线解析式，
得，
解得，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣2x2+4x+6；
(2)解：作DEAO，交AB于点E，

∴∠OAC＝∠DEC，∠AOC＝∠EDC
∴△COA∽△CDE，
∴＝，
设D（a，﹣2a2+4a+6），则E（a，﹣2a﹣6），
∴DE＝（﹣2a2+4a+6）﹣（﹣2a﹣6）＝﹣2a2+6a，
∴＝＝＝﹣a2+a＝﹣（a﹣）2+，
∴当a＝时，有最大值为；
(3)解：由题知，F1在直线AB的上方，F2、F3在直线AB的下方，

将直线AB向上平移至与抛物线只有一个交点F1，平移后的直线交y轴于E，
设直线EF1的解析式为：y＝﹣2x+k，
联立直线EF1和抛物线的解析式，得，
整理得﹣2x2+6x+（6﹣k）＝0，
∵直线EF1和抛物线有且只有一个交点，
∴Δ＝62﹣4×（﹣2）k＝0，
解得k＝，
∴EF1的解析式为：y＝﹣2x+，
∴E（0，），
∴EA＝﹣6＝，
同理，将直线AB向下平移与抛物线交于点F1和F2，
令△ABF1的AB边上的高为h1，△ABF2的AB边上的高为h2，
∵S＝S△ABF1＝S△ABF2＝S△ABF3，
∴h1＝h2，
∵F2F3ABEF1，且直线AB到直线EF1和直线F2F3的距离相等，设直线F2F3交y轴于G，
∴AG＝EA＝，OG＝OA﹣AG＝6﹣＝，
∴G（0，），
∴直线F2F3的解析式为y＝﹣2x+，
①联立EF1和抛物线解析式，得，
解得，
∴F1（，）；
②联立F1F2和抛物线解析式，得，
解得或，
∴F2（，），F3（，）；
过F1作F1Hy轴，交AB于H，
∴四边形AEF1H为平行四边形，
∴F1H＝AE＝，
∴S＝S△ABF1＝F1H•（xB﹣xA）＝××（3﹣0）＝，
∴定值S为．
【点睛】
本题主要考查二次函数的性质，一次函数的性质等知识，熟练运用一次函数的平移来解决问题是解题的关键．
9．（2021·山东枣庄·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+2(a≠0)与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，抛物线经过点D(-2,-3)和点E(3,2)，点P是第一象限抛物线上一个动点．

(1)求直线DE和抛物线的表达式；
(2)在y轴上取点F(0,1)，连接PF，PB，当四边形OBPF的面积是7时，求点P的坐标；
(3)在(2)的条件下，当点P在抛物线对称轴的右侧时，直线DE上存在两点M，N(点M在点N的上方)，且MN=2，动点Q从点P出发，沿的路线运动到终点A，当点Q的运动路程最短时，请直接写出此时点N的坐标．
【答案】(1)y=x-1；(2)点P(2，3)或(3)N
【分析】
(1)将点D、E的坐标代入函数表达式，即可求解；
(2) 设点P(x, )，过点P作轴于点H，S四边形OBPF=S梯形OHPF+S△PHB，即可得到关于x的方程，解即可求解；
(3)过点A作，使得，作点A'关于直线DE的对称点A″，连接P A″交直线DE于点M，此时，点Q的运动路程最短．
(1)解：将点D、E的坐标分别代入二次函数表达式得：
，解得 ，
故抛物线的表达式为：，
设直线DE的表达式为y=kx+c(k≠0)，
将点D、E的坐标分别代入一次函数表达式得：
，解得，
故直线DE的表达式为：y=x-1；
(2)解：如图，过点P作轴于点H，

在中，令，得，
解得x=4或x=-1，
故A(-1,0)，B(4,0)，
设点P(m, )，
∵点P是第一象限抛物线上一个动点，
∴m>0，，
∵F(0,1)，B(4,0)，
∴OF=1，OB=4，
S四边形OBPF=S梯形OHPF+S△PHB





，
∵S四边形OBPF=7，
∴，
解得m=2或，
故点P(2,3)或；
(3)解：当点P在抛物线对称轴的右侧时，点P(2,3)，
过点A作，使得，作点A'关于直线DE的对称点A″，连接P A″交直线DE于点M，过点A作交直线DE于点N，
此时，点Q的运动路程为：
，路程最短，

∵MN=2，相当于向上、向右分别平移2个单位，故点A′(1,2)，
，则直线A′A″过点A′，则其表达式为：y=-x+3，
由解得，则A′A″中点坐标为(2,1)，
由中点坐标公式得：点A″(3,0)，
同理可得：直线A″P的表达式为：y=-3x+9，
由解得，即点M，
点M沿ED向下平移2个单位得：N．
【点睛】
本题考查的是一次函数与二次函数综合题，涉及待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式，图形的平移、面积的计算等，采用数形结合的方法是解决本题的关键．
10．（2021·山东滨州·一模）如图，抛物线y＝ax2＋bx﹣5（a≠0）经过x轴上的点A（1，0）和点B（5，0）及y轴上的点C，经过B、C两点的直线为y＝kx＋b（k≠0）．
(1)求抛物线的解析式．
(2)点P从A出发，在线段AB上以每秒1个单位的速度向B运动，同时点E从B出发，在线段BC上以每秒2个单位的速度向C运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t秒，求t为何值时，△PBE的面积最大并求出最大值．
(3)过点A作AM⊥BC于点M，过抛物线上一动点N（不与点B、C重合）作直线AM的平行线交直线BC于点Q．若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点N的横坐标．

【答案】(1)y＝﹣x2+6x﹣5(2)当t＝2时，S△BEP最大为2(3)4或或
【分析】
（1）将A（1，0）和点B（5，0）代入y=ax2+bx-5计算出a，b的值即可；
（2）作ED⊥x轴于D，表示出ED，从而表示出S△BEP，利用二次函数求最值；
（3）过A作AE∥y轴交直线BC于E点，过N作NF∥y轴交直线BC于点F，则NF=AE=4，设N（m，-m2+6m-5），则F（m，m-5），从而有NF=|-m2+5m|=4，解方程即可求出N的横坐标．
(1)将A（1，0）和点B（5，0）代入y＝ax2+bx﹣5得：
，
解得，
∴抛物线y＝﹣x2+6x﹣5，
(2)作ED⊥x轴于D，

由题意知：BP＝4﹣t，BE＝2t，
∵B（5，0），C（0，﹣5），
∴OB＝OC＝5，
∴∠OBC＝45°，
∴ED＝sin45°×2t＝，
∴S△BEP＝＝﹣，
当t＝﹣ 时，S△BEP最大为2．
∴当t＝2时，S△BEP最大为2．
(3)过A作AE∥y轴交直线BC于E点，过N作NF∥y轴交直线BC于点F，

则NF＝AE＝4，
设N（m，﹣m2+6m﹣5），则F（m，m﹣5），
∴NF＝|﹣m2+5m|＝4，
∴m2﹣5m+4＝0或m2﹣5m﹣4＝0，
∴m1＝1（舍），m2＝4，或m3＝，m4＝，
∴点N的横坐标为：4或或．
【点睛】
本题主要考查了待定系数法求函数解析式、利用二次函数求最值、以及平行四边形的判定与性质等知识，将AM=NQ转化为NF=AE是解题的关键．
11．（2021·山东菏泽·三模）如图，抛物线与x轴交于点，B两点，与y轴交于点C，，直线l是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点．

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图1，连接BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点恰好在线段BE上，求点F的坐标．
(3)如图2，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M，抛物线交于点N，在抛物线上是否存在点Q，使与的面积相等，且线段NQ的长最小？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)点F的坐标为
(3)存在，点Q坐标为或
【分析】
（1）由，可求出B点、A点坐标，代入抛物线解析式可求得；
（2）由B、E的坐标可求得直线BE的解析式，可设F(0,m)，则可表示出F′的坐标，把F′坐标代入直线BE解析式可得到关于m的方程，可求得F点的坐标；
（3）设点P坐标为(n，0)，可表示出PA、PB、PN的长，作QR⊥PN，垂足为R，则可求得QR的长，用n可表示出Q、R、N的坐标，在Rt△QRN中，由勾股定理可得到关于n的二次函数，利用二次函数的性质可知其取得最小值时n的值，则可求得Q点的坐标．
(1)解：，
点B，C的坐标分别为，，
，
，解得，
抛物线的函数表达式为；
(2)解：，
抛物线的对称轴为，点E的坐标为
设直线BE的函数表达式为，则
，解得，
，
设点F的坐标为，则点F关于直线l的对称点的坐标为，
，
点F的坐标为；
(3)解：，
，
，
设点P的坐标为，点M的坐标为，
则，，，
作，垂足为R，

，
，
；
①点Q在直线PN的左侧时，点Q的坐标为，点R的坐标为，点N的坐标为，
，
在中，，
当时，NQ的最小值为1，此时Q的坐标为，
②点Q在直线PN的右侧时，点Q的坐标为，
同理，
当时，NQ的最小值为1，此时Q的坐标为，
所以存在满足条件的点Q，坐标为或．
【点睛】
本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、轴对称、三角形的面积、勾股定理、二次函数的性质，采用方程思想及分类讨论思想是解决本题的关键．




三、与二次函数有关的面积问题
例题（2021·山东菏泽·三模）如图，抛物线与x轴交于点，B两点，与y轴交于点C，，直线l是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点．

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图1，连接BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点恰好在线段BE上，求点F的坐标．
(3)如图2，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M，抛物线交于点N，在抛物线上是否存在点Q，使与的面积相等，且线段NQ的长最小？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)点F的坐标为
(3)存在，点Q坐标为或
【分析】
（1）由，可求出B点、A点坐标，代入抛物线解析式可求得；
（2）由B、E的坐标可求得直线BE的解析式，可设F(0,m)，则可表示出F′的坐标，把F′坐标代入直线BE解析式可得到关于m的方程，可求得F点的坐标；
（3）设点P坐标为(n，0)，可表示出PA、PB、PN的长，作QR⊥PN，垂足为R，则可求得QR的长，用n可表示出Q、R、N的坐标，在Rt△QRN中，由勾股定理可得到关于n的二次函数，利用二次函数的性质可知其取得最小值时n的值，则可求得Q点的坐标．
(1)解：，
点B，C的坐标分别为，，
，
，解得，
抛物线的函数表达式为；
(2)解：，
抛物线的对称轴为，点E的坐标为
设直线BE的函数表达式为，则
，解得，
，
设点F的坐标为，则点F关于直线l的对称点的坐标为，
，
点F的坐标为；
(3)解：，
，
，
设点P的坐标为，点M的坐标为，
则，，，
作，垂足为R，

，
，
；
①点Q在直线PN的左侧时，点Q的坐标为，点R的坐标为，点N的坐标为，
，
在中，，
当时，NQ的最小值为1，此时Q的坐标为，
②点Q在直线PN的右侧时，点Q的坐标为，
同理，
当时，NQ的最小值为1，此时Q的坐标为，
所以存在满足条件的点Q，坐标为或．
【点睛】
本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、轴对称、三角形的面积、勾股定理、二次函数的性质，采用方程思想及分类讨论思想是解决本题的关键．
练习题
1．（2022·上海·位育中学模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），且AB＝2，抛物线与y轴交于点C．

(1)求抛物线的解析式；
(2)求∠ACB的正切值；
(3)若点D在抛物线上，且S△BCD＝3，请直接写出所有满足条件的点D坐标．
【答案】(1)抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3(2)tan∠ACB(3)当S△BCD＝3时，满足条件的点D坐标的坐标为D1(2，﹣1)，D2(1，0)，，
【分析】
（1）由抛物线的解析式求得对称轴为直线，然后由求得点的坐标为，点的坐标为，从而代入点得到抛物线的解析式；
（2）过点作于点，先求得点的坐标，然后得到，，的长，求得是等腰直角三角形，从而得到是等腰直角三角形，再由求得、的长，再求得的长，最后即可求得的正切值；
（3）先求得的面积为3，由的面积为3得知两三角形的面积相等，结合两三角形具有公共边，从而得到边上的高与长度相等，①当点在直线下方时，过点作直线的平行线，交轴于点，交抛物线于点，，先求得直线的解析式，再由直线平行的性质求得直线的解析式，再联立直线和抛物线的解析式求得点，；②当点在直线上方时，取点，过点作的平行线，交抛物线于点，，由点的坐标求得直线的解析式，再联立直线和抛物线的解析式求得点，的坐标．
(1)解：，
抛物线的对称轴为直线，
又，
点的坐标为，点的坐标为，
将点代入得：，
解得：，
抛物线的解析式为．
(2)解：过点作于点，则，

对，当时，，
，
又，，，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
；
(3)
解：，，
，
，
边上的高与长度相等，
①当点在直线下方时，过点作直线的平行线，交轴于点，交抛物线于点，，

设直线的解析式为，则
，解得：，
直线的解析式为，
设直线的解析式为，
将点代入，得，
，
，直线的解析式为，
由，解得：或，
点，；
②当点在直线上方时，取点，过点作的平行线，交抛物线于点，，则，
设直线的解析式为，
将点代入，得，
直线的解析式为，
由，解得：或，
，，
综上所述，当时，满足条件的点坐标的坐标为，，，．
【点睛】
本题考查了解直角三角形，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的解析式，一次函数的解析式，解题的关键是熟知二次函数图象上点的坐标特征．
2．（2021·四川绵阳·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线顶点为点D．

(1)求B，C，D三点坐标；
(2)如图1，抛物线上有E，F两点，且EF//x轴，当△DEF是等腰直角三角形时，求线段EF的长度；
(3)如图2，连接BC，在直线BC上方的抛物线上有一动点P，当△PBC面积最大时，点P坐标．
【答案】(1)、、；
(2)；
(3)．
【分析】
（1）对于，令，解得x=3或-1，令x=0，则y=3，故点A、B、C的坐标分别为(-1，0)、(3，0)、(0，3),，函数的对称轴为x=1，当x=1时，=4，即可求解；
（2）△DEF是等腰直角三角形，EF∥x轴轴，则根据函数的对称性，只有∠EDF为直角一种情况，即HF=DH，即可求解；
（3）由△PBC面积，即可求解．
(1)解：对于，令=0，解得x=3或-1，令x=0，则y=3，
故点、、的坐标分别为、、，
函数的对称轴为，当时，，
故点的坐标为，
故，，三点坐标分别为、、；
(2)是等腰直角三角形，轴，
则根据函数的对称性，只有为直角一种情况，
设点，点和点关于函数对称轴对称，故点，

过点作与点，
是等腰直角三角形，故为等腰直角三角形，
故，即，
则，解得（舍去）或0，
故，
则；
(3)过点作轴交于点，

由点、的坐标得，直线的表达式为，
设点的坐标为，则点，
则面积，
，故面积存在最大值，此时，
故点．
【点睛】
本题为二次函数综合题，主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
3．（2021·山东临沂·二模）已知抛物线y＝ax2＋2ax﹣3a（a为常数，a≠0）．

(1)请直接写出该抛物线的对称轴和顶点坐标（用含a的代数式表示）；
(2)若a＜0，且P（m，y1）与Q（﹣5，y2）是该抛物线上的两点，且y1＜y2，求m的取值范围；
(3)如图，当a＝﹣1时，设该抛物线与x轴分别交于A、B两点，点A在点B的左侧，与y轴交于点C．点D是直线AC上方抛物线上的一个动点，BD交AC于点E，设点E的横坐标为n，记S＝，当n为何值时，S取得最大值？并求出S的最大值．
【答案】(1)顶点为（﹣1，﹣4a），对称轴为直线x＝﹣1
(2)m＞3或m＜﹣5
(3)n=，S最大值为
【分析】
（1）由y=a（x+1）2-4a，即可求顶点为（-1，-4a），对称轴为直线x=-1；
（2）由开口向下的抛物线，图象上的点到对称轴的距离越远，对应的函数值越小，可得|-1-m|＞|-5-（-1）|，求出m的取值范围即可；
（3）由△ADE与△ABE的等高，则S=，过点D作DF⊥x轴交AC于点F，B点作BG⊥x轴交AC于点G，由平行线的性质可得=S，求直线AC的解析式为y=x+3，设D（t，-t2-2t+3），则F（t，t+3），得到S=-（t+）2+，当t=-时，S有最大值，此时D（-，），再求直线BD的解析式为y=-x+，联立，即可求n=-．
(1)解：y＝ax2+2ax﹣3a＝a（x2+2x﹣3）＝a（x+1）2﹣4a，
∴顶点为（﹣1，﹣4a），对称轴为直线x＝﹣1；
(2)解：∵a＜0，
∴抛物线开口向下，
∵P（m，y1）与Q（﹣5，y2），y1＜y2，
∴|﹣1﹣m|＞|﹣5﹣（﹣1）|，
∴m＞3或m＜﹣5；
(3)解：当a＝﹣1时，y＝﹣x2﹣2x+3，
令y＝0，则x＝﹣3或x＝1，
∴B（1，0），
∵S＝，
∴S＝，
过点D作DF⊥x轴交AC于点F，过B点作BG⊥x轴交AC于点G，

∴DFBG，

∴＝＝S，
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝x+3，
设D（t，﹣t2﹣2t+3），则F（t，t+3），
∴DF＝﹣t2﹣3t，BG＝4，
∴﹣t2﹣3t＝4S，
∴S＝﹣（t+）2+，
∴当t＝﹣时，S有最大值，
此时D（﹣，），
设直线BD的解析式为y＝mx+n，
则，
解得，
∴y＝﹣x+，
联立，
∴x＝﹣，
∴当n＝﹣时，S有最大值．
【点睛】
本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，待定系数法求函数解析式是解题的关键．
4．（2022·全国·九年级专题练习）如图，直线与坐标轴交于A，G两点，经过B（2，0）、C（6，0）两点的抛物线y＝ax2＋bx＋2与直线交于A，D两点．

(1)求抛物线的解析式及点D的坐标；
(2)点M是抛物线上位于直线AD下方上的一个动点，当点M运动到什么位置时△MDA的面积最大？最大值是多少？
(3)在x轴上是否存在点P，使以A、P、D为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；D（12，10）
(2)当M运动到M（6，0）时，S有最大值为36
(3)（2，0）或（10，0）或（，0）或（，0）
【分析】
（1）待定系数法求抛物线解析式，可得点坐标，直线解析式，联立直线与抛物线解析式，计算求解即可；
（2）如图1，过点M作y轴的平行线交线段AD于点N，设点M的坐标为，则点N的坐标为，，S＝，计算求解即可；
（3）分情况求解：①当点P为直角顶点时，如图2，设P（x，0），过点D作DH⊥x轴，垂足为H，则△PDH∽△APO，，，计算求解即可；②当点A为直角顶点时，如图3，过点A作AP⊥AD，交x轴与点P，设P（x，0），则△OPA∽△AOG．，，计算求解即可；③当点D为直角顶点时，如图4，过点D作DP⊥AD，交x轴于点P，设P（x，0），过点D作DH⊥x轴于点H，则△PDH∽△DGH，，，计算求解即可．
(1)解：∵抛物线y＝ax2+bc+2经过B（2，0）、C（6，0）两点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式，
∵当x＝0时，y＝2，
∴点A的坐标为（0，2），
∴m＝2，即直线解析式为：，
∴抛物线与直线交于A、D两点，
∴，
解得，，
∴D（12，10）；
(2)解：如图1，过点M作y轴的平行线交线段AD于点N，

设点M的坐标为，则点N的坐标为，
∴，
，
，
∴S＝，
，
∵a＝﹣1＜0，
∴S有最大值，
∴当M运动到M（6，0）时，S有最大值为36；
(3)解：存在．
①当点P为直角顶点时，如图2，设P（x，0），过点D作DH⊥x轴，垂足为H，

∴，
∵，
∴，
∴△PDH∽△APO，
∴，
∴，
∴x2﹣12x+20＝0，
∴x1＝2，x2＝10，
∴点P的坐标为（2，0）或（10，0）．
②当点A为直角顶点时，如图3，过点A作AP⊥AD，交x轴与点P，设P（x，0），

∴，
∵，
∴，
∴△OPA∽△AOG．
∴，
∴，
∴
∴点P的坐标为（，0）；
③当点D为直角顶点时，如图4，过点D作DP⊥AD，交x轴于点P，设P（x，0），过点D作DH⊥x轴于点H，

∴，
∵，
∴，
∴△PDH∽△DGH，
∴，
∴，
∴x＝
∴点P的坐标为（，0），
∴满足条件的点P的坐标为（2，0）或（10，0）或（，0）或（，0）．
【点睛】
本题考查了待定系数法求解析式，二次函数与面积综合，二次函数与直角三角形的综合，三角形相似等知识．解题的关键在于对知识的灵活运用．
5．（2021·广东·深圳市大望学校一模）如图，已知抛物线y=﹣x2+2x+3与轴交于点A、B，与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，连接PB，PC．

(1)点A的坐标为___________，点的坐标为___________；
(2)如图1，当点P在直线BC上方时，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．若PE=2ED，求△PBC的面积；
(3)抛物线上存在一点P，使△PBC是以BC为直角边的直角三角形，求点P的坐标．
【答案】(1)(﹣1,0)，(3,0)(2)3(3)(1,4)或(−2,−5)
【分析】
(1)根据抛物线解析式令y=0，求出A，B的坐标即可；
(2)先求得点C的坐标，再用待定系数法求得直线BC的解析式；由PE=2ED可得PD=3ED，设P(m,-m2+2m+3)，则E(m,-m+3)，用含m的式子表示出PD和DE，根据PD=3ED得出关于m的方程，解得m的值，则可得PE的长，然后按照三角形的面积公式计算即可；
(3)分两种情况：①点C为直角顶点；②点B为直角顶点．过点C作直线P1C⊥BC，交抛物线于点P1，连接P1B，交x轴于点D；过点B作直线BP2⊥BC，交抛物线于点P2，交y轴于点E，连接P2C，分别求得直线P1C和直线BP2的解析式，将它们分别与抛物线的解析式联立，即可求得点P的坐标．
(1)解：令抛物线y=0，则−x2+2x+3=0，
解得：x1=−1，x2=3，
∴A(−1,0)，B(3,0)；
故答案为：(−1,0)，(3,0)；
(2)解：在y=−x2+2x+3中，
当x=0时，y=3，
∴C(0,3)，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
将B(3,0)，C(0,3)代入，得：
，
解得，
∴直线BC的解析式为y=−x+3，
若PE=2ED，则PD=3ED，
设P(m,−m2+2m+3)，
∵PD⊥x轴于点D，
∴E(m,−m+3)，
∴−m2+2m+3=3(−m+3)，
∴m2−5m+6=0，
解得m1=2，m2=3(舍)，
∴m=2，
此时P(2,3)，E(2,1)，
∴PE=2，
∴，
∴△PBC的面积为3；
(3)
解：∵△PBC是以BC为直角边的直角三角形，
∴有两种情况：
①点C为直角顶点，如图，过点C作直线P1C⊥BC，交抛物线于点P1，交x轴于点D，连接P1B，

∵B(3,0)，C(0,3)，
∴OB=OC=3，
∴∠BCO=∠OBC=45°，
∵P1C⊥BC，
∴∠DCB=90°，
∴∠DCO=45°，
又∵∠DOC=90°，
∴∠ODC=45°=∠DCO，
∴OD=OC=3，
∴D(−3,0)，
∴直线P1C的解析式为y=x+3，
联立，
解得或(舍)；
∴P1(1,4)；
②点B为直角顶点，
如图，过点B作直线BP2⊥BC，交抛物线于点P2，交y轴于点E，连接P2C，
∵P1C⊥BC，BP2⊥BC，
∴，
∴设直线BP2的解析式为y=x+b，
将B(3,0)代入，得0=3+b，
∴b=−3，
∴直线BP2的解析式为y=x−3，
联立，
解得或(舍)，
∴P2(−2,−5),
综上，点P的坐标为(1,4)或(−2,−5) ．
【点睛】
本题考查了抛物线与坐标轴的交点，用待定系数法求一次函数的解析式，抛物线与三角形有关的综合问题，解题的关键是能熟练运用数形结合的思想、分类讨论的思想熟练进行转化并求解．
6．（2021·广东·佛山市第四中学三模）如图，已知二次函数的解析式为y=﹣x2+bx+c，A(-1,0)，C(4,0)，P为二次函数上的动点．

(1)求二次函数的解析式．
(2)若P在第一象限上，求S△BCP的最大值．
(3)在x轴上是否存在点Q，使得BQ=BP且BP⊥BQ若存在，请直接写出所有点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)(3)存在，或(5,0)
【分析】
(1)把A(-1,0)，C(4,0)代入解析式，解方程组即可求得；
(2) 设点P的坐标为，过点P作轴于点，由，可得关于m的二次函数，据此即可解答；
(3) 过点P作轴于点F，可证得△QBO≌△BPF(AAS)，可得OQ=BF，OB=FP=2，可求得点P的坐标，OF=3，即可求得点Q的坐标．
(1)解：把A(-1,0)，C(4,0)代入解析式，得

解得
故该二次函数的解析式为；
(2)解：在中，令，则，故，
设点P的坐标为，
过点P作轴于点，如图：

∴OB=2，，OE=m，EC=4-m，





∴当m=4时，S△BCP的值最大，最大值为4；
(3)解：存在；
如图：过点P作轴于点F，

∴，
又∵BP⊥BQ，
∴，
，
在△QBO与△BPF中，

∴△QBO≌△BPF(AAS)，
∴OQ=BF，OB=FP=2，
即点P的横坐标为2，则纵坐标为：，
∴OF=3，
∴BF=OF-OB=3-2=1，
∴OQ=BF=1，
∴点Q的坐标为(1,0)；
如图：

同理可证得△QBO≌△BPF(AAS)，
∴OQ=BF，OB=FP=2，
即点P的横坐标为-2，则纵坐标为：，
∴OF=3，
∴BF=OF+OB=3+2=5，
∴OQ=BF=5，
∴点Q的坐标为(5,0)；
综上，点Q的坐标为(1,0) 或(5,0)．
【点睛】
本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，利用二次函数求不规则图形面积最值问题，全等三角形的判定与性质，作出辅助线是解决本题的关键．
7．（2021·山东菏泽·三模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3）

(1)求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；
(2)若动点P在第二象限内的抛物线上，动点N在对称轴l上．
①当PA⊥NA，且PA＝NA时，求此时点P的坐标；
②当四边形PABC的面积最大时，求四边形PABC面积的最大值及此时点P的坐标．
【答案】(1)抛物线的解析式为y=-x2-2x+3，顶点坐标为(-1，4)；(2)①P(−−1，2)
②当x＝−时，S四边形PABC最大=，此时P(-，)．
【分析】
(1)把点A、B、C的坐标代入二次函数表达式，即可求解；
(2)①由PA⊥NA，且PA=NA，可证△PAD≌△ANQ(AAS)，则PD=AQ，PD=AQ=AO-QO=3-1=2，即：即y=-x2-2x+3=2，即可求解；②利用S四边形PABC=S△OBC+S△CPO+S△POA，求解即可．
(1)解：把点A、B、C的坐标代入二次函数表达式得：
，解得，
故：抛物线的解析式为y=-x2-2x+3，
∵y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4，
∴顶点坐标为(-1，4)；
(2)∵A(-3，0)，B(1，0)，
OA=3，OB=1，
如解图，作PD⊥x轴于点D，设对称轴l与x轴交于点Q，连接AC，OP，

∵点P在y=-x2-2x+3上，
∴设点P(x，-x2-2x+3)，
∵PA⊥NA，且PA=NA，
∴∠PAD+∠APD=∠PAD+∠NAQ=90°，
∴∠APD=∠NAQ，
又∵∠PDA=∠AQN=90°，
∴△PAD≌△ANQ(AAS)，
∴PD=AQ，
∴PD=AQ=AO-QO=3-1=2
即：y=-x2-2x+3=2
解得：x＝−1(舍去)或x＝−−1，
∴点P坐标为(−−1，2)；
②连接OP，设P(x，-x2-2x+3)，且-3＜x＜0
S四边形PABC=S△OBC+S△CPO+S△POA
∵S△OBC=OB×OC=×1×3=，S△OCP=OD×OC=|x|×3
又-3＜x＜0，所以S△OCP=−x，
S△OAP=×3×|yP|=(-x2-2x+3)=−x2−3x+
∴S四边形PABC=S△OBC+S△CPO+S△POA
=+(−x)+(−x2−3x+)=−x2−x+6，
∴当x＝−时，S四边形PABC最大=，
此时P(-，)．
【点睛】
本题考查的是二次函数知识的综合运用．涉及到待下系数法求二次函数解析式，三角形全等、三角形的面积等知识，其中(2)，S四边形PABC=S△OBC+S△CPO+S△POA是本题的难点．
8．（2021·四川泸州·一模）如图，已知直线y＝﹣2x+6与y轴交于点A，与x轴交于点B，抛物线y＝﹣2x2+mx+n经过A，B两点．

(1)求该抛物线的解析式．
(2)若点D是第一象限抛物线上的点，连接OD交直线AB于点C，求的最大值．
(3)若抛物线上有且仅有三个点F1，F2，F3，使得△ABF1，△ABF2，△ABF3的面积均为定值S，求定值S及F1，F2，F3这三个点的坐标．
【答案】(1)y＝﹣2x2+4x+6(2)(3)，F1（，），F2（，3﹣），F3（，﹣3﹣）
【分析】
（1）根据直线y=-2x+6与y轴交于点A，与x轴交于点B，求出A点和B点的坐标，再用待定系数法求抛物线的解析式即可；
（2）作DEAO交AB于点E，证△AOC∽△DEC，得出=，设出D点坐标为（a，-2a2+4a+6），则E（a，-2a-6），用a示出DE，再根据比例关系得出关于a的二次函数，利用二次函数求最值即可；
（3）将直线AB向上平移至与抛物线只有一个交点F1，平移后的直线交y轴于E，联立直线EF1和抛物线的解析式，根据Δ=0，求出k值，将直线AB向下平移，交抛物线于点F2，F3，联立直线EF1和抛物线的解析式，求出点F1的坐标，联立F2F3和抛物线的解析式，求出F2和F3的坐标，在利用F1的坐标求三角形面积即可．
(1)解：∵直线y＝﹣2x+6与y轴交于点A，与x轴交于点B，
∴令x＝0，则y＝6，令y＝0，则x＝3，
∴A（0，6），B（3，0），
把A点和B点坐标代入抛物线解析式，
得，
解得，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣2x2+4x+6；
(2)解：作DEAO，交AB于点E，

∴∠OAC＝∠DEC，∠AOC＝∠EDC
∴△COA∽△CDE，
∴＝，
设D（a，﹣2a2+4a+6），则E（a，﹣2a﹣6），
∴DE＝（﹣2a2+4a+6）﹣（﹣2a﹣6）＝﹣2a2+6a，
∴＝＝＝﹣a2+a＝﹣（a﹣）2+，
∴当a＝时，有最大值为；
(3)解：由题知，F1在直线AB的上方，F2、F3在直线AB的下方，

将直线AB向上平移至与抛物线只有一个交点F1，平移后的直线交y轴于E，
设直线EF1的解析式为：y＝﹣2x+k，
联立直线EF1和抛物线的解析式，得，
整理得﹣2x2+6x+（6﹣k）＝0，
∵直线EF1和抛物线有且只有一个交点，
∴Δ＝62﹣4×（﹣2）k＝0，
解得k＝，
∴EF1的解析式为：y＝﹣2x+，
∴E（0，），
∴EA＝﹣6＝，
同理，将直线AB向下平移与抛物线交于点F1和F2，
令△ABF1的AB边上的高为h1，△ABF2的AB边上的高为h2，
∵S＝S△ABF1＝S△ABF2＝S△ABF3，
∴h1＝h2，
∵F2F3ABEF1，且直线AB到直线EF1和直线F2F3的距离相等，设直线F2F3交y轴于G，
∴AG＝EA＝，OG＝OA﹣AG＝6﹣＝，
∴G（0，），
∴直线F2F3的解析式为y＝﹣2x+，
①联立EF1和抛物线解析式，得，
解得，
∴F1（，）；
②联立F1F2和抛物线解析式，得，
解得或，
∴F2（，），F3（，）；
过F1作F1Hy轴，交AB于H，
∴四边形AEF1H为平行四边形，
∴F1H＝AE＝，
∴S＝S△ABF1＝F1H•（xB﹣xA）＝××（3﹣0）＝，
∴定值S为．
【点睛】
本题主要考查二次函数的性质，一次函数的性质等知识，熟练运用一次函数的平移来解决问题是解题的关键．
9．（2021·山东枣庄·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+2(a≠0)与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，抛物线经过点D(-2,-3)和点E(3,2)，点P是第一象限抛物线上一个动点．

(1)求直线DE和抛物线的表达式；
(2)在y轴上取点F(0,1)，连接PF，PB，当四边形OBPF的面积是7时，求点P的坐标；
(3)在(2)的条件下，当点P在抛物线对称轴的右侧时，直线DE上存在两点M，N(点M在点N的上方)，且MN=2，动点Q从点P出发，沿的路线运动到终点A，当点Q的运动路程最短时，请直接写出此时点N的坐标．
【答案】(1)y=x-1；(2)点P(2，3)或(3)N
【分析】
(1)将点D、E的坐标代入函数表达式，即可求解；
(2) 设点P(x, )，过点P作轴于点H，S四边形OBPF=S梯形OHPF+S△PHB，即可得到关于x的方程，解即可求解；
(3)过点A作，使得，作点A'关于直线DE的对称点A″，连接P A″交直线DE于点M，此时，点Q的运动路程最短．
(1)解：将点D、E的坐标分别代入二次函数表达式得：
，解得 ，
故抛物线的表达式为：，
设直线DE的表达式为y=kx+c(k≠0)，
将点D、E的坐标分别代入一次函数表达式得：
，解得，
故直线DE的表达式为：y=x-1；
(2)解：如图，过点P作轴于点H，

在中，令，得，
解得x=4或x=-1，
故A(-1,0)，B(4,0)，
设点P(m, )，
∵点P是第一象限抛物线上一个动点，
∴m>0，，
∵F(0,1)，B(4,0)，
∴OF=1，OB=4，
S四边形OBPF=S梯形OHPF+S△PHB





，
∵S四边形OBPF=7，
∴，
解得m=2或，
故点P(2,3)或；
(3)解：当点P在抛物线对称轴的右侧时，点P(2,3)，
过点A作，使得，作点A'关于直线DE的对称点A″，连接P A″交直线DE于点M，过点A作交直线DE于点N，
此时，点Q的运动路程为：
，路程最短，

∵MN=2，相当于向上、向右分别平移2个单位，故点A′(1,2)，
，则直线A′A″过点A′，则其表达式为：y=-x+3，
由解得，则A′A″中点坐标为(2,1)，
由中点坐标公式得：点A″(3,0)，
同理可得：直线A″P的表达式为：y=-3x+9，
由解得，即点M，
点M沿ED向下平移2个单位得：N．
【点睛】
本题考查的是一次函数与二次函数综合题，涉及待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式，图形的平移、面积的计算等，采用数形结合的方法是解决本题的关键．
10．（2021·山东滨州·一模）如图，抛物线y＝ax2＋bx﹣5（a≠0）经过x轴上的点A（1，0）和点B（5，0）及y轴上的点C，经过B、C两点的直线为y＝kx＋b（k≠0）．
(1)求抛物线的解析式．
(2)点P从A出发，在线段AB上以每秒1个单位的速度向B运动，同时点E从B出发，在线段BC上以每秒2个单位的速度向C运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t秒，求t为何值时，△PBE的面积最大并求出最大值．
(3)过点A作AM⊥BC于点M，过抛物线上一动点N（不与点B、C重合）作直线AM的平行线交直线BC于点Q．若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点N的横坐标．

【答案】(1)y＝﹣x2+6x﹣5(2)当t＝2时，S△BEP最大为2(3)4或或
【分析】
（1）将A（1，0）和点B（5，0）代入y=ax2+bx-5计算出a，b的值即可；
（2）作ED⊥x轴于D，表示出ED，从而表示出S△BEP，利用二次函数求最值；
（3）过A作AE∥y轴交直线BC于E点，过N作NF∥y轴交直线BC于点F，则NF=AE=4，设N（m，-m2+6m-5），则F（m，m-5），从而有NF=|-m2+5m|=4，解方程即可求出N的横坐标．
(1)将A（1，0）和点B（5，0）代入y＝ax2+bx﹣5得：
，
解得，
∴抛物线y＝﹣x2+6x﹣5，
(2)作ED⊥x轴于D，

由题意知：BP＝4﹣t，BE＝2t，
∵B（5，0），C（0，﹣5），
∴OB＝OC＝5，
∴∠OBC＝45°，
∴ED＝sin45°×2t＝，
∴S△BEP＝＝﹣，
当t＝﹣ 时，S△BEP最大为2．
∴当t＝2时，S△BEP最大为2．
(3)过A作AE∥y轴交直线BC于E点，过N作NF∥y轴交直线BC于点F，

则NF＝AE＝4，
设N（m，﹣m2+6m﹣5），则F（m，m﹣5），
∴NF＝|﹣m2+5m|＝4，
∴m2﹣5m+4＝0或m2﹣5m﹣4＝0，
∴m1＝1（舍），m2＝4，或m3＝，m4＝，
∴点N的横坐标为：4或或．
【点睛】
本题主要考查了待定系数法求函数解析式、利用二次函数求最值、以及平行四边形的判定与性质等知识，将AM=NQ转化为NF=AE是解题的关键．
四、与二次函数有关的角度问题
例题．（2021·广东阳江·一模）如图，点B，C分别在x轴和y轴的正半轴上，OB，OC的长分别为x2-8x+12=0的两个根（OC＞OB），点A在x轴的负半轴上，且OA=OC=3OB，连接AC．

(1)求过A，B，C三点的抛物线的函数解析式；
(2)点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿CA运动到点A，点Q从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OC运动到点C，连接PQ，当点P到达点A时，点Q停止运动，求S△CPQ的最大值；
(3)M是抛物线上一点，是否存在点M，使得∠ACM=15°？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=−x2−2x+6；(2)最大值为；
(3)存在，点M的坐标为(−4−，)或(−4−2，−4)．
【分析】
（1）先确定点B和点C的坐标，再由OA=OC得出点A的坐标，用待定系数法即可确定抛物线的解析式；
（2）先用含t的式子表示出PC和CQ的长，然后表示出点P的横坐标，利用三角形的面积公式把S△CPQ用含t的式子表示出来，利用二次函数的性质即可确定
S△CPQ的最大值；
（3）分点M在AC的上方和下方两种情况讨论，设出点M的坐标，根据特殊三角形的性质即可确定M的坐标．
(1)解：由x2-8x+12=0得x=6或x=2，
又∵OC＞OB，
∴点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，6），
∵OA=OC，
∴点A的坐标为（-6，0），
设抛物线的函数解析式为y=ax2+bx+c，
将点A，B，C的坐标代入y=ax2+bx+c中，
得，
解得，
∴过A，B，C三点的抛物线的函数解析式为y=−x2−2x+6；
(2)解：∵OA=OC，
∴∠ACO=45°，
由题意得PC=2t，CQ=6-t，
∴|xP|＝PC•sin45°=t，
∴S△CPQ=×CQ×|xP|=×(6−t)×t=− (t2−6t)，
∵−＜0，
∴当t=3时，S△CPQ有最大值，最大值为；
(3)解：存在，
①如图，当点M在AC上方时，过点M作ME⊥x轴于点E，
作MF⊥y轴于点F，连接MC，

∵∠ACM=15°，∠ACO=45°，
∴∠OCM=60°，
设点M的坐标为(m，−m2−2m+6)(−6＜m＜0)，则MF=-m，
在Rt△MCF中，
∵CF，
∴CF=MF=−m．
∴OF＝OC−CF＝6+m，
∵∠MEO=∠EOF=∠MFO=90°，
∴四边形MEOF是矩形，
∴ME=OF，
即−m2−2m+6=6+m，
解得m1=0（舍去），m2=−4−，
∴ME=6+m=，
∴点M的坐标为(−4−，)；
②如图，当点M在AC下方时，过点M作MH⊥x轴于点H，

设MC与x轴交于点G，连接MC，
设点M的坐标为(n，−n2−2n+6)(n＜−6)，
则OH=-n，MH=n2+2n−6，
∵∠ACM=15°，∠CAO=45°，
∴∠CGO=∠HGM=∠CAG+∠ACM=60°，
在Rt△CGO中，
∵OC=6，
∴OG，
∴GH=OH−OG=−n−2，
在Rt△MGH中，MH=GH•tan∠HGM=GH，
∴n2+2n−6=−n−6，
解得n1=0（舍去），n2＝−4−2，
∴GH=−n−2=4，MH=GH=4，
∴点M的坐标为(−4−2，−4)，
综上所述，存在点M，使得∠ACM=15°，
且点M的坐标为(−4−，)或(−4−2，−4)．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的应用，关键是要能确定点A，B的坐标，然后用待定系数法确定抛物线的解析式，当出现三角形求面积时，一般是将三角形的面积用一个二次函数表示出来，然后再用二次函数的性质确定它最值．
练习题
1．（2021·广东·佛山市三水区三水中学附属初中二模）如图，抛物线y=ax2-bx-3与x轴交于点A、C，交y轴于点B，OB=OC=3OA．

(1)求抛物线的解析式及对称轴方程；
(2)如图1，连接AB，点M是对称轴上一点且在第四象限，若△AMB是以∠MBA为底角的等腰三角形，求点M的坐标；
(3)如图2，连接AB，点P在抛物线上，当∠PAC=2∠ABO时，求点P的坐标．
【答案】(1)，；
(2)M坐标为（1，）或（1，﹣1）；
(3)点P的坐标是（，）或（，-）．
【分析】
（1）在y=ax2-bx-3中，令x=0得y=-3，B（0，-3），根据OB=OC=3OA，可得A（-1，0）、C（3，0），用待定系数法即可得抛物线的解析式为y=x2-2x-3，对称轴方程为x=1；
（2）设M（1，m），而A（-1，0）、B（0，-3），可得MA2=4+m2，MB2=1+（m+3）2，AB2=10，①若MA=AB，则MA2=AB2，4+m2=10，解得M（1，），②若MB=MA，则MA2=MB2，4+m2=1+（m+3）2，解得M（1，-1）；
（3）作A关于y轴的对称点E，连接BE，过A作AF⊥BE于F，则∠ABE=2∠ABO，根据S△ABE=AE•OB=BE•AF，可得AF的长，利用勾股定理求得BF的长，tan∠ABE的定义求解即可．
(1)a解：在y=ax2-bx-3中，令x=0得y=-3，
∴B（0，-3），
∴OB=3，
∵OB=OC=3OA，
∴OA=1，OC=3，
∴A（-1，0）、C（3，0），
把A（-1，0）、C（3，0）代入y=ax2-bx-3得：
，解得，
∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3，
而y=x2-2x-3=（x-1）2-4，
∴对称轴方程为x=1；
(2)解：设M（1，m），而A（-1，0）、B（0，-3），
∴MA2=4+m2，MB2=1+（m+3）2，AB2=10，
△AMB是以∠MBA为底角的等腰三角形，分两种情况：
①若MA=AB，则MA2=AB2，如图：

∴4+m2=10，
解得m=或m=-，
∵M是对称轴上一点且在第四象限，
∴M（1，），
②若MB=MA，则MA2=MB2，如图：

∴4+m2=1+（m+3）2，
解得m=-1，
∴M（1，-1），
综上所述，M坐标为（1，）或（1，-1）；
(3)解：作A关于y轴的对称点E，连接BE，过A作AF⊥BE于F，如图：

∵∠ABO=∠EBO，
∴∠ABE=2∠ABO，
∵A（-1，0），B（0，-3），
∴BE=AB=，
∵S△ABE=AE•OB=BE•AF，
∴AF=，
在Rt△ABF中，BF=，
∴tan∠ABE=，
设P（n，n2-2n-3），
∵∠PAC=2∠ABO=∠ABE，
∴tan∠PAC=，即，
当P在第一象限时，，
解得n=或n=-1（舍去），
∴P（，），
当P在第四象限时，，
解得n=或n=-1（舍去），
∴P（，-），
综上所述，点P的坐标是（，）或（，-）．
【点睛】
本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、等腰三角形的判定、二次函数图象上点坐标特征等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标和相关线段的长度，再根据题意列方程．
2．（2021·山东·日照港中学一模）在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A，B两点且与x轴负半轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点D为直线AB上方抛物线上的一个动点，当时，求点D的坐标；
（3）已知E是x轴上的点，F是抛物线上的动点，当B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，求出所有符合条件的E的坐标．

【答案】（1）；（2）（2,3）；（3）或．
【分析】
（1）首先由直线表达式求出点A，点B的坐标，然后代入抛物线表达式列出二元一次方程组求解即可．
（2）如图，过点B做x轴的平行线交抛物线于点E，过点D作BE的垂线，垂足为F，证明∠DEB=∠BAC，设D点的坐标为（x, ），利用等角的正切值相等建立方程即可得到答案；
（3）分BC是平行四边形的边和对角线时两种情况讨论，分别画出相应的图形，表示出点B，C，E，F的坐标，根据平行四边形的性质列出方程求解即可．
【详解】
解：（1）在中，
令y=0，得x=4，令x=0，得y=2，
∴A（4,0），B（0,2），
把A（4,0），B（0,2）代入，
得，
解得：．
∴　抛物线得表达式为．
（2）如图，过点B做x轴的平行线交抛物线与点E，过点D作BE的垂线，垂足为F，

∵BEx轴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∴，
设D点的坐标为，
则BF=x，DF=，
∵
∴，
即，
解得：
经检验：不合题意，舍去，
∴
当x=2时，，
∴点D的坐标为（2,3）．
（3）令y=0，得，
解得：
∴C（-1，0），A（4，0），
设F点坐标为．
当BC是平行四边形的边时，如图所示，
当F点在线段AB上方抛物线上时，

∵BCEF是平行四边形，
∴，
所以点F的纵坐标等于点B的纵坐标，
∴，
解得：（舍去），．
∴F点坐标为．
当点F在A点下方抛物线上时，BF与CE交于点H，如图所示，

∵四边形BCFE是平行四边形，
所以点H是BF的中点，
∴，
∴，
∴．
即，
解得：（舍去），
∴F点的坐标为．
当BC是对角线时，
由题意可得，以B，C，E，F为顶点围不成平行四边形．
综上所述，点F的坐标为或．
【点睛】
此题考查了抛物线综合题型，待定系数法求表达式，平行四边形存在性问题等内容，找到线段和点的坐标的关系并列出方程是解题的关键．
3．（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知直线与抛物线相交于A，B两点，抛物线的顶点是，点B在x轴上．

（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M是y轴上一点，点N是坐标平面内一点，当以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形时，求点M的坐标．
（3）在抛物线上是否存在点Q，使，若存在，请直接写出点Q的横坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）；（2）或；（3）存在，或
【分析】
（1）根据直线与抛物线的交点求得直线解析式，根据点B在x轴上，求得的坐标，设抛物线的解析式为，待定系数法求解析式即可；
（2）分类讨论，①当时, 如图，过点作轴于点，轴于点，证明，可得,求得，进而求得的坐标；②当时，证明，可得，求得,进而求得的坐标，综合①②即可；
（3）分类讨论，当在抛物线对称轴左边和右边两种情形讨论，①在左侧时，首先找到，延长交于抛物线的点即为所求的点，求得直线的解析式，联立抛物线的解析式，即可求得点的坐标；当点在抛物线的对称轴的右侧时，辅助线见解析图，求得直线的解析式，同理求得点再对称轴右侧的坐标．
【详解】
（1）点在直线上，
，
解得，
直线解析式为，
点B在x轴上，
，
解得，
，
抛物线的顶点是，
设抛物线的解析式为，
将代入，得：
，
解得，
，
即；
（2）①当时, 如图，过点作轴于点，轴于点，

，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
解得，
，
，
②当时，如图，

，
，
，
，
，
，
，
即，
解得，
，
综上所述点M的坐标为：或；
（3）存在，理由如下：
①当在的左侧时，如图，取点，连接并延长交二次函数于点，过点作轴，轴，

，
，
,，
，
是等腰，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
直线与抛物线交于点，
则，
解得，，
，
②当在的右侧时，过点作交二次函数于点延长线交轴于点，过点作于点，过点作轴于点,

，
，
,，
四边形是正方形 ，
，，
，
，
，
，
，，
,，
，
设直线的解析式为，
则，
解得，
直线的解析式为；
直线与抛物线交于点，则：
；
解得，；
．
综上所述，或．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图像与性质，求一次函数解析式，相似三角形的性质与判定，矩形的性质，根据题意分类讨论和作出图形是解题的关键．
4．（2022·全国·九年级专题练习）如图坐标系中，矩形ABCD的边BC在 y轴上，B（0，8），BC＝10，CD＝5，将矩形ABCD绕点B逆时针旋转使点C落在x轴上．现已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）过点D、C′和原点O．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将矩形A′BC′D′沿直线BC′翻折，点A′的对应点为M，请判断点M是否在所给抛物线上，并简述理由；
（3）在抛物线上是否存在一点P，使∠POC′＝2∠CBD，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；

【答案】（1）；（2）点M不在抛物线上，见解析；（3）P坐标为（，），（，）
【分析】
（1）由旋转得BC′=BC=10，由勾股定理求OC′的长，得到点C′的坐标，将O、C′、D的坐标代入y=ax2+bx+c，列方程组求出a、b、c的值；
（2）由相似三角形的性质求出点M的坐标即可判断点M是否在抛物线上；
（3）先证明∠OC′B=2∠CBD，然后过点O作射线交抛物线与另一点P，使∠POC′=∠OC′B，再求射线OP所在直线的解析式与抛物线的解析式联立方程组，解方程组求出点P的坐标．
【详解】
解：（1）由旋转得BC′=BC=10，
∵OB=8，∠BOC′=90°，
∴OC′=，
∴C′（6，0），
∵OC=10-8=2，CD=5，
D（5，-2）；
把O（0，0）、C′（6，0）、D（5，-2）代入y=ax2+bx+c，
得，
解得，
∴抛物线的解析式为．
（2）点M不在所给抛物线上．
理由：如图1，作ME⊥y轴于点E，则∠MEB=∠BOC′=90°，

∵∠EMB=90°-∠EBM=∠OBC′，
∴，
∵BM=CD=5，
∴BE=×5=3，
∴，
∴M （-4，5）．
当x=-4时，，
∴点M不在所给抛物线上．
（3）如图2，作C′F平分∠OC′B交OB于点F，作FG⊥BC′于点G，则OF=GF=BF•sin∠OBC′=BF，
∴BF=OF，
∴OF+OF=8，
解得OF=3；
∴，
∵tan∠OC′F=tan∠CBD=，
∴∠OC′F=∠CBD，
∴∠OC′B=2∠CBD．
①取BC′中点Q，作射线OQ交抛物线于另一点P1，

∵OQ=BC=C′Q，
∴∠P1OC′=∠OC′B=2∠CBD．
设直线OQ的解析式为y=px，
∵Q（3，4），
∴3p=4，
∴P=，
∴y=x．
由，得，，
∴P1；
②过点O作OP2∥BC′交抛物线于另一点P2，则∠P2OC′=∠OC′B=2∠CBD．
设直线BC′的解析式为y=rx+8，则6r+8=0，解得r=−，
∴y=−x+8，
∴直线OP2的解析式为y=−x，
由，得，，
∴P2．
综上所述，抛物线上存在使∠POC′=2∠CDB的点P，点P的坐标为或．
【点睛】
此题重点考查二次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、用待定系数法求函数解析式、用解方程组的方法求函数图象的交点坐标等知识与方法，解题的关键是正确地作出所需的辅助线，解第（3）题时要分类讨论，此题难度较大，属于考试压轴题．
5．（2021·江苏盐城·二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝2，点A的坐标为（1，0）．
（1）求该抛物线的表达式及顶点坐标；
（2）点P为抛物线上一点（不与点A重合），连接PC．当∠PCB＝∠ACB时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，在对称轴上是否存在一点Q，连接PQ，将线段PQ绕点Q顺时针旋转90°，使点P恰好落在抛物线上？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y=x2-4x+3，顶点（2，-1）；（2）（，）；（3）（2，）或（2，）
【分析】
（1）由对称轴为直线，点的坐标为，得出，通过交点式得出函数关系式；
（2）作于，可知在对称轴上，求出的坐标，得出直线的关系式与抛物线求交点即可；
（3）分在上方和下方两种情况，当在上方时，构造出，得代入抛物线即可，当在上方时，得出．
【详解】
解：（1）对称轴为直线，点的坐标为，
，
，
当时，，
顶点，
（2）作于，交于，

，，
，
，
，
，
，
，
，
直线的关系式为：，
，
（舍，，
，
（3）点旋转后的对应点为，作对称轴于，对称轴于，
当在上方时，

则，设，
将线段绕点顺时针旋转得线段，
∴∠PQP′=90°，则∠PQD+∠P′QE=90°，
又∠PQD+∠DPQ=90°，
∴∠P′QE=∠DPQ，又PQ=P′Q，∠PDQ=∠QEP′=90°，
（AAS），
，，
，
恰好落在抛物线上，
，
解得，（舍），
∴点Q的纵坐标为；
，
当在上方时，作对称轴于，

可知：△PQP′为等腰直角三角形，
∴，
∴点Q的纵坐标为，
，
综上：或．
【点睛】
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数关系式、等腰直角三角形的性质以及运算能力，用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
6．（2021·广西柳州·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．直线：过点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）当直线经过点时，取线段的中点，作直线的平行线，恰好与抛物线有一个交点时，判断以点，，，为顶点的四边形是什么特殊的平行四边形，并说明理由；
（3）在直线上是否存在唯一一点，使得？若存在，请求出此时的解析式；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）菱形，理由见解析；（3）存在，或或．
【分析】
（1）将，两点代入二次函数解析式，待定系数法求解析式即可；
（2）根据题意，通过计算即可证明；
（3）分情况讨论，①当过点时，将点代入直线的解析式即可；②当不过点时，当以为直径的圆恰好与相切时，切点即为点，设与轴的交点为，的中点为,根据求得,代入代入直线的解析式即可．
【详解】
解：（1）由题意
，
∴，
∴抛物线解析式为：．
（2）菱形，理由如下：
∵：过点，
∴，
∴，
设过点且与平行的直线的解析式为
，
由，
得：，
由，
∴，
由，
得，
∴，
∴．
∵为中点，
∴，
∴．
又，
，
．
∴，
∴四边形为菱形．

（3）存在，理由如下：
分两种情况
①当过点时，
显然在上存在唯一点，使得，
此时，的解析式为：．
②当不过点时，
当以为直径的圆恰好与相切时，切点即为点，
取的中点为圆心，则半径为，
设与轴的交点为，则，
如图所示．
有，
∴，
∴，
解得，
综上所述，的解析式为：或或．

【点睛】
本题考查了二次函数的图像与一次函数综合，待定系数法求二次函数与一次函数解析式，菱形的判定 ，圆的性质，直径所对的圆周角是直角，熟悉以上知识点是解题的关键．
7．（2021·黑龙江绥化·中考真题）如图，已知抛物线与轴交于点，点，（点在点的左边），与轴交于点，点为抛物线的顶点，连接．直线经过点，且与轴交于点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点是抛物线上的一点，当是以为腰的等腰三角形时，求点的坐标；
（3）点为线段上的一点，点为线段上的一点，连接，并延长与线段交于点（点在第一象限）．当且时，求出点的坐标．
【答案】（1）；（2）； ；（3）
【分析】
（1）直接利用待定系数法求出a、b的值即可得出抛物线解析式；
（2）当时，根据抛物线对称性可求得N的坐标；当时，在的垂直平分线上，与抛物线产生两个交点，将两点坐标求出即可；
（3）在上取一点，作的垂直平分线交轴于点，连接，则，在上点的右侧作，移动点，当时，点为所求，过点作垂直于轴于点，过点作垂直于轴于点，则，设，根据相似三角形性质列比例求解，解出点F的坐标即可．
【详解】
（1）将代入得：

解得：
∴抛物线的解析式
（2）顶点
①当时，根据抛物线对称性，与重合

②方法一：如图一
当时，在的垂直平分线上
如图的垂直平分线交于，交轴于点，与轴交点为

，
在中，，
，
是的中点，，
，
，
，
设，
代入得，
解得：，
，
联立得，
，
解得，
，
，

方法二：如图二，
过作轴垂线交轴于，
过作交于，
设，
，
，
，
，
，
解得：，
把代入，，
，
综上，
，

（3）如图一，在上取一点，作的垂直平分线交轴于点，连接，则，在上点的右侧作，
，
，
移动点，当时，点为所求．
过点作垂直于轴于点，过点作垂直于轴于点，
，
，，
设，
，
，
，
，
，，
∴在中，
，
，
，
，
，
，
，
，
代入，
解得代入得，
，
．
【点睛】
本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数与几何图形综合，二次函数与一次函数综合，解直角三角形，相似三角形等知识点，题型难度大，属于中考压轴题．
8．（2021·湖南株洲·中考真题）已知二次函数．

（1）若，，求方程的根的判别式的值；
（2）如图所示，该二次函数的图像与x轴交于点、，且，与y轴的负半轴交于点C，点D在线段OC上，连接AC、BD，满足 ，．
①求证：；
②连接BC，过点D作于点E，点在y轴的负半轴上，连接AF，且，求的值．
【答案】（1） （2）①证明见解析；②=2
【分析】
（1）根据判别式公式代入求解即可．
（2）①通过条件，得到OC=OB，再根据ASA即可得到两个三角形角形全等．
②通过分析条件，证明，得到，再根据相关的线段转换长度，代入求解即可.
【详解】
解：（1）当，时，方程为：，
，
（2）①证明：∵，且，
∴，
∴，
在与中，
   ，
∴．
②解：，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，且，
∴,，
在中，，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，，
∴，
∵，
∴ ，
即：，
∴=2或=-1（舍），
【点睛】
本题考查的是二次函数与一元二次方程的关系，韦达定理，以及一元二次方程的解法，三角形全等和相似等相关知识点，根据题意能够找见相关等量关系是解题关键 .
9．（2021·辽宁沈阳·二模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点（点在点的左侧），与轴交于点．

（1）求抛物线的表达式；
（2）如图，点是第一象限抛物线上一点，过作轴于点，交于点．若点为中点，求点的坐标，并直接写出此时直线的表达式．
（3）在（2）的条件下，点为轴右侧抛物线上一点，过点作直线的垂线，垂足为，若，请直接写出点的坐标．
【答案】（1）；（2）D(2，2)，；（3点E的坐标为(1，3)或(，)
【分析】
（1）将点A，C的坐标代入求出b，c即可；
（2）分别设出点D，M，N的坐标，进而再求出直线的解析式，将点N的坐标代入，最后即可求得点D的坐标及直线的解析式；
（3）过点D作DG⊥轴于点G，推出∠GDF=∠CDG =∠OAF，分点E在直线AD上方和点E在直线AD下方两种情况讨论，进而即可求得E点坐标．
【详解】
解：（1）抛物线经过点，

解得
抛物线的表达式为；
（2）当时，
，


直线为：
根据题意，设点点的坐标为
则的坐标为
的坐标为
∵点为中点

∴
解得，（不符合题意舍去）
当时，
∴点的坐标是
此时直线的表达式为：；
（3）∵C(0，3)，D(2，2)，A(−2，0)，
过点D作DG⊥轴于点G，
∴DG=OA=2，DG∥OA，∠GDF=∠OAF，
∴GF=FO=GO=1，则GF=FO=CG=1，
∵DG⊥轴，
∴DG平分∠BCF，则∠GDF=∠CDG =∠OAF，
①当点E在直线AD上方时，

∵∠ECP=∠DAB，
∴∠ECP=∠CDG，
∴CE∥DG∥轴，
∴点E的纵坐标与点D的纵坐标相同，
解方程，得：
．
∴点E的坐标为(1，3)；
②当点E在直线AD下方时，
过点E作EH⊥轴于点H，交CD的延长线于点I，如图：

∵DG⊥轴，
∴DG∥HI，
∴∠CIH=∠CDG，
∴∠CIH=∠CDG=∠GDF=∠DAB，
∵∠ECP=∠DAB，
∴∠ECP=∠CIH，
又∵EP⊥CI，
∴CE=EI，
设点E的坐标为(，)，则点E的坐标为(，)，
CE2=，EI2=，
∴，
解得：或(舍去)，
∴点E的坐标为(，)．
综上，点E的坐标为(1，3)或(，)．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的综合应用，熟练掌握相关几何求解方法是解决本题的关键．
10．（2021·江苏连云港·二模）如图，二次函数的图像与x轴交于点A、B，已知与y轴交于点，该抛物线的顶点为点D．

（1）二次函数的表达式为 ，点D的坐标为 ；
（2）连接BC．
①在抛物线上存在一点P，使得，求点P的坐标；
②若是抛物线上动点，则是否存在点，使得？若存在，直接写出点的横坐标的取值范围；若不存在，说明理由．
【答案】（1），；（2）①（2，3）；②存在，
【分析】
（1）把AC两个点坐标代入解析式即可求出二次函数解析式和顶点D的坐标；
（2）①由直线平行则k相等即可求出DP解析式，再求与抛物线交点即可；
②找点Q，使得∠DAB -∠BCQ＞45°，即关键是找到点Q，使得∠DAB -∠BCQ=45°．注意到第①问中点P的坐标为（2，3），且∠PAB=45°，所以关键是找点Q，使得∠QCB=∠DAP ，进而把原问题转化为探究两个角相等问题．
【详解】
（1）∵二次函数的图像过、
∴
解得
∴二次函数的表达式为
顶点D的坐标为（1,4）
（2）①由（1）可知抛物线的对称轴为直线，所以易得点B坐标为（3，0）．
设直线BC的函数表达式为．
则有解得
∴直线BC的函数表达式为．
∵
∴设DP解析式为
代入D（1,4）得：，
∴直线ED的函数表达式为．
令，解得（D点舍去），．
当时，，所以点P坐标为．
（3）设点Q的横坐标为t，
所以关键是找点Q，使得∠QCB=∠DAP ，
过P作PM⊥AB于M
∵点P的坐标为（2，3），A（-1,0）
∴PM=AM=3
∴∠PAB=45°，
∵找点Q，使得∠DAB -∠BCQ＞45°，
∴找到点Q，使得∠DAB -∠BCQ=45°．
∵∠DAB -∠DAP=45°．
∴找点Q，使得∠QCB=∠DAP ，
∵D（1,4）
∴
∴
∴△PAD是直角三角形
当Q在BC上方时，过B作BG⊥BC交CQ于G，过G作GH⊥AB于H

则
∴
∵∠QCB=∠DAP
∴
∴GH=BH=1
∴G点坐标（4,1）
∴CG的解析式为
∵Q为抛物线与CG交点
∴令，解得
当x=0时为C点
∴Q点横坐标
同理：当Q在BC下方时，求得Q点横坐标为4
综上存在点，使得，点的横坐标的取值范围是
【点睛】
本题考查二次函数与相似综合，难度比较大，解题的关键是能察觉隐藏条件∠PAB=45°，最终利用一线三垂直模型构造相似.
五、与二次函数有关的特殊平行四边形问题
例题（2021·江苏盐城·三模）如图，直线y＝﹣2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A、E，点E的坐标是（5，3），抛物线交x轴于另一点C（6，0）．
（1）求抛物线的解析式．       
（2）设抛物线的顶点为D，连接BD，AD，CD，动点P在BD上以每秒2个单位长度的速度由点B向点D运动，同时动点Q在线段CA上以每秒3个单位长度的速度由点C向点A运动，当其中一个点到达终点停止运动时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒，PQ交线段AD于点H．
①当∠DPH＝∠CAD时，求t的值；
②过点H作HM⊥BD，垂足为点M，过点P作PN⊥BD交线段AB于点N．在点P、Q的运动过程中，是否存在以点P，N，H，M为顶点的四边形是矩形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y＝﹣x2+8x﹣12；（2）①；②存在，
【分析】
（1）先由直线解析式求得点A、B坐标，根据两点式设抛物线解析式，将点E坐标代入抛物线解析式求得a的值，从而得出答案；
（2）①由点A，点B，点C，点D坐标可求AD=CD，，可证四边形PDQC是平行四边形，可得PD=CQ，即3t=4-2t，解之即可； ②分点N在AB上和点N在AD上两种情况分别求解．
【详解】
解：（1）在直线中，
令时，，
∴点B坐标（0，4），
令时，得：，
解得：，
∴点A（2，0），
∵抛物线经过点A（2，0），C（6，0），E（5，3），
∴可设抛物线解析式为，
将E（5，3）代入，得：，
解得：，
∴抛物线解析式为： ；
（2）①∵抛物线解析式为：，
∴顶点D（4，4），
∵点B坐标（0，4），
∴，，
∵与x轴交于点A，点C，
∴点C（6，0），点A（2，0），
∴，
∵点D（4，4），点C（6，0），点A（2，0），
∴，
∴，
∵，
∴，
且，
∴，

∴，且，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴；

②存在以点P，N，H，M为顶点的四边形是矩形，此时．
如图，若点N在AB上时，，

，
∵点B坐标（0，4），A（2，0），点D（4，4），
∴，，，
∴，
∴tan∠OAB tan∠DBA，
∴，
∴当时，四边形是矩形，

∵2，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴（舍去），；
若点N在AD上，即 ，
∵，
∴点E、N重合，此时以点P，N，H，M为顶点的矩形不存在，
综上所述：当以点P，N，H，M为顶点的四边形是矩形时，t的值为1．
【点评】
本题是一道关于二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、平行四边形的判定与性质、勾股定理，相似三角形的判定与性质，矩形性质等知识点．灵活运用相似三角形的性质求线段的长度是本题的关键．

练习题
1．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；
(3)若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝﹣x上的动点，判断有几个位置能使以点P，Q，B，O为顶点的四边形为平行四边形（要求），直接写出相应的点Q的坐标．
【答案】(1)
(2)： 当m＝﹣2时，S的最大值为4
(3)或或（﹣4，4）．
【分析】
（1）先假设出函数解析式，利用待定系数法求解函数解析式即可；
（2）设出M点的坐标，利用S＝S△AOM+S△OBM﹣S△AOB，即可进行解答；
（3）由，则OB，PQ是平行四边形的边，根据平行四边形的对边相等，列出方程求解即可．
(1)解：设此抛物线的函数解析式为：y＝ax2+bx+c（a≠0），
将A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三点代入函数解析式得：
，
解得，
所以此函数解析式为：；
(2)解：连接

∵M点的横坐标为m，且点M在这条抛物线上，
∴M点的坐标为，
∴S＝S△AOM+S△OBM﹣S△AOB＝×4×（﹣m+4）+×4×（﹣m）﹣×4×4
＝﹣（m+2）2+4，
∵﹣4＜m＜0，
当m＝﹣2时，S有最大值为：S＝0+4＝4．
答：m＝﹣2时，S的最大值为4；
(3)解：设P（x，x2+x﹣4）．
根据平行四边形的性质知，且PQ＝OB，则OB，PQ为平行四边形的边，
∴Q的横坐标等于P的横坐标，
又∵直线的解析式为y＝﹣x，
则Q（x，﹣x）．
由PQ＝OB，得，
整理得：
所以或
解得x＝0或﹣4或（不符合题意，舍去）．
由此可得：或或（﹣4，4）．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到平行四边形的性质、面积的计算等，有一定的综合性，熟练的利用二次函数的性质与平行四边形的性质解题是关键．
2．（2021·重庆一中三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），且点A的坐标为，连接BC，过点A作AD∥BC交y轴于点D，OB＝3OA．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点E为射线AD上一点，点P为第二象限内抛物线上一动点，求四边形PBEC面积的最大值及此时点P的坐标；
(3)如图2，将原抛物线沿x轴正方向平移得到新抛物线y'，y'经过点C，平移后点A的对应点为点A'，点N为线段AD的中点，点Q为新抛物线y'的对称轴上一点，在新抛物线上存在一点M，使以点M、Q、A'、N为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点M的坐标，并选择一个你喜欢的点写出求解过程．
【答案】(1)yx2x+3
(2)四边形PBEC面积的最大值为，此时，点P的坐标为（，）
(3)点M的坐标为（，）或（，）或（，）
【分析】
（1）由先A得到OA，得到OB＝3OA＝3，然后得到点B（﹣3，0），进而将点A和点B代入解析式求得a与b的值，得到抛物线的解析式；
（2）通过AE∥BC得到△BCE的面积与△ABC的面积相等，过点P作PH⊥x轴交BC于点H，先求得直线BC的解析式，然后设点P的坐标，得到点H的坐标，进而得到△PBC的面积，再利用二次函数的性质求得△PBC面积的最大值，从而求得四边形PBEC面积的最大值和点P的坐标；
（3）先由点A和点B的坐标得到对称轴，然后由点C的坐标得到平移的距离，再求得平移后的抛物线y'的解析式，得到点A'的坐标和新的对称轴，由直线BC∥AE，求得直线AE的解析式，然后求得点D的坐标，从而得到点D的坐标，设点Q和点M的坐标，然后根据平行四边形的对称性列出方程求得点Q和点M的坐标．
(1)
解：∵点A的坐标为，
∴OA，
∴OB＝3OA＝3，
∴点B（﹣3，0），
将点A和点B代入y＝ax2+bx+3，得
，解得：，
∴抛物线的解析式为yx2x+3；
(2)解：如图，连接AC，过点P作PH⊥x轴交BC于点H，
∵AD∥BC，
∴S△BCE＝S△ABC，
∵A（，0），B（﹣3，0），C（0，3），
∴AB＝4，OC＝3，
∴S△ABC6，

设直线BC的解析式为y＝kx+b，则
，解得：，
∴直线BC的解析式为yx+3，
设点P的坐标为（x，x2x+3），则点H的坐标为（x，x+3），
∴，
∴S△PBC（x）2，
∵S四边形PBEC＝S△PBC+S△EBC＝S△PBC+S△ABC（x）26，
∴当x时，四边形PBEC面积的最大值为6，
此时，点P的坐标为（，）；
(3)解：∵点A（，0），点B（﹣3，0），
∴抛物线y的对称轴为x，
∵抛物线y向右平移后经过点C，
∴平移的距离为2，
∴抛物线y'的解析式为y（x）2（x）+3x2x+3，点A'的坐标为（3，0），新的对称轴为x，
∵直线BC∥AE，直线BC的解析式为yx+3，
∴直线AE的解析式可设为yx+b，
将点A（，0）代入得，b＝﹣1，
∴点D（0，﹣1），
∴点N的坐标为（，），
设点Q的坐标为（，q），点M的坐标为（m，m2m+3），
①以A'N为对角线时，
，解得：，
∴点M的坐标为（，）；
②以A'M为对角线时，
，解得：，
∴点M的坐标为（，）；
③以A'Q为对角线时，
，解得：，
∴点M的坐标为（，）；
综上所述，以点M、Q、A'、N为顶点的四边形为平行四边形时，点M的坐标为（，）或（，）或（，）．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质，平行四边形的性质，并能够利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键．
3．（2022·山东·嘉祥县第三中学九年级开学考试）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A（－3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．

(1)求这个二次函数的解析式；
(2)点Q是线段AC上方的抛物线上一动点，过点Q作QE垂直于x轴，垂足为E．是否存在点Q，使以点B、Q、E为顶点的三角形与相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由；
(3)点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A，C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，或
(3)存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形．Q点坐标为：，，，
【分析】
（1）把点A、B的坐标代入二次函数解析式，利用待定系数法求二次函数解析式解答；
（2）设点E的横坐标为c，表示出BE、QE，然后根据相似三角形对应边成比例，分OA和BE，OA和QE是对应边两种情况列出比例式求解即可．
（3）①当MC//AQ且MC=AQ时，M与C关于对称轴x=-1对称，AQ=MC=2，即可求解；
②当AC//MQ且AC=MQ时，点M到x轴的距离为3，设M（m，-m2-2m+3），则-m2-2m+3=-3，即可求解．
(1)∵抛物线过点A（－3，0），B（1，0）
∴，解得：
∴二次函数的关系解析式为．
(2)存在点Q（-2，2）或使以点B、Q、E为顶点的三角形与△AOC相似．
理由如下：如图①，

设点E的横坐标为c，则点Q的坐标为（c，），
∴BE=1-c，，
①OA和BE是对应边时，∵△BEQ∽△AOC，
∴，
即，
整理得，c2+c-2=0，
解得c1=-2，c2=1（舍去），
此时，，
点Q（-2，2）；
②OA和QE是对应边时，∵△QEB∽△AOC，
∴，
即，
整理得，4c2-c-3=0，
解得，c2=1（舍去），
此时，，
点Q，
综上所述，存在点Q（-2，2）或使以点B、Q、E为顶点的三角形与△AOC相似．
(3)①如图2，

当MC//AQ且MC=AQ时，M与C关于对称轴x=-1对称，
∴AQ=MC=2，
∴Q1（-1，0），Q2（-5，0），
②如图3，

当AC//MQ且AC=MQ时，
因为平行四边形是中心对称图形并且中心对称点在x轴上，所以点M到x轴的距离为2．
设M（m，），
∴=-2，
∴m2+2m-6=0，
∴m=-1±，
∵QG=3，
∴Q3（2+，0），Q4（2−，0）．
综上所述，满足条件的点Q的坐标为：Q1（-5，0），Q2（-1，0），Q3（2+，0），Q4（2−，0）．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
4．（2022·重庆一中九年级开学考试）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC、BC，点P为直线BC上方抛物线上一动点，连接OP交BC于点Q．


(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当的值最大时，求点P的坐标和的最大值；
(3)把抛物线沿射线AC方向平移个单位得新抛物线，M是新抛物线上一点，N是新抛物线对称轴上一点，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出N点的坐标，并把求其中一个N点坐标的过程写出来．
【答案】(1)
(2)点P的坐标为（2，4）
(3)点N的坐标为（2，-5.5）或（2，2.5）或（2，-2.5），求N点坐标的过程见详解．
【分析】
（1）把，两点代入抛物线解出b、c即可．
（2）设P（m，），m＞0，利用待定系数法求出直线BC和直线OP的解析式，联立后可得点Q坐标，分别过点P、点Q向x轴作垂线，垂足分别为点F、点E，利用平行线分线段成比例定理得到用m表示的式子，利用配方法可求得当的值最大时m的值，将m值代入点P坐标，结论可得．
（3）把原抛物线解析式化为顶点式，利用平移求出新抛物线解析式再结合图像，根据平行四边形的性质，确定M、N、B、C四点坐标后分类讨论：①BC为对角线，②BN为对角线，③BM为对角线，利用平行四边形的性质，找出横纵坐标之间的关系，即可求解．
(1)解：把，两点代入抛物线得，

∴
∴
(2)解：如图，分别过点P、点Q向x轴作垂线，垂足分别为点F、点E，那么

EQFP
∴=
因为点P是抛物线上的动点且点P在第一象限，所以设点P的坐标为（m，），（m＞0，＞0）
在抛物线上当x=0时，y=4，所以点C（0，4）
设直线BC为y=kx+4，把点代入得：
4k+4=0
解得：k=-1
∴直线BC为y=-x+4
设直线OP为y=k’x，把点P代入得：
mk’=
解得：k’=
∴直线OP为y=（）x
联立直线BC和直线OP得，

解得：
∴点Q坐标为（， ）
∴OE=，OF=m，
∴EF=OF-OE=m-
∴===
∵
∴当m=2时，有最大值
∴点P的坐标为（2，4）
(3)解法一：∵OA=2，OC=4，线段AC===，而
∴把抛物线沿射线AC方向平移个单位，即是把抛物线y=向右平移1个单位，再向上平移2个单位．所以新抛物线为=

如图抛物线=的对称轴为x=2，
∵点C（0，4）、点B（4，0）；设点N（2，n）点M（t，）则，
设直线BC为y=kx+4，把点C(0，4)代入得，
k=-1
∴直线BC为y=-x+4
∵点M、N、B、C连成的四边形是平行四边形
∴分情况讨论：
①当BC=MN，BC∥MN时，四边形MNBC是平行四边形
设直线MN为y=-x+d，把点N（2，n）点M（t，）代入得，
＝-t+d
解得：d=-0.5t2+3t+4.5
∴直线MN为y=-x-0.5t2+3t+4.5
∴点N的坐标为（2，-0.5t2+3t+2.5）
∵BC=＝，MN＝，
∴=
化简得：t2-4t-12=0
解得：t1=-2；t2=6
把t的值代入点N的坐标（2，-0.5t2+3t+2.5）
∴点N的坐标为（2，-5.5）或（2，2.5）
②当BC为平行四边形NBMC的对角线时，设直线BC：y=-x+4与直线x=2的交点为R，则R的坐标为（2，2），
把x=2代入
解得：
∴点M的坐标（2，6.5）
∴MR=6.5-2=4.5
∵MR=RN
∴RN=4.5
∴点N的坐标为（2，-2.5）
综合①②可得：点N的坐标为（2，-5.5）或（2，2.5）或（2，-2.5）
解法二：∵OA=2，OC=4，线段AC===，而
∴把抛物线沿射线AC方向平移个单位，即是把抛物线y=向右平移1个单位，再向上平移2个单位．所以新抛物线为=即
如图抛物线的对称轴为x=2，
由题意知点C（0，4）、点B（4，0）；设点N（2，n）点M（t，）
以点M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形的条件是这个四边形的对角线相互平分，则根据中点坐标公式分情况讨论：
①当BC为平行四边形的对角线时，则有
解得
∴点N（2，-2.5）
②当BN为平行四边形的对角线时，则有
解得
∴点N（2，2.5）
③当BM为平行四边形的对角线时，则有
解得
∴点N（2，-5.5）
综合①②③可得：点N的坐标为（2，-5.5）或（2，2.5）或（2，-2.5）
【点睛】
本题考查了求二次函数解析式、二次函数图像的动点问题、以及二次函数抛物与平行四边形的综合问题。解题的关键是根据抛物线设动点坐标找等量关系以及数形结合求解．利用中点坐标公式，可更快的求出结果．本题是一道压轴题．
5．（2022·重庆市第七中学校九年级开学考试）如图，已知抛物线y=ax2+bx-4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且点A的坐标为（-2，0），直线BC的解析式为y=x-4．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，过点A作AD∥BC交抛物线于点D（异于点A），P是直线BC下方抛物线上一点，过点P作PQ∥y轴，交AD于点Q，过点Q作QR⊥BC于点R，连接PR．求△PQR面积的最大值及此时点P的坐标；

(3)如图2，点C关于x轴的对称点为点C′，将抛物线沿射线C′A的方向平移2个单位长度得到新的抛物线y′，新抛物线y′与原抛物线交于点M，原抛物线的对称轴上有一动点N，平面直角坐标系内是否存在一点K，使得以D，M，N，K为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)y=x2-x-4；
(2)S△PQR的最大值为9，P（4，-6）；
(3)K点坐标为（-1，-）或（7，）或（13，-1）或（13，3）．
【分析】
（1）由题可知B点既在x轴上，又在y=x-4上，则B（8，0），再将A、B代入y=ax2+bx-4即可求解析式；
（2）先求出直线AD的解析式为y=x+1，过点B作BG⊥AD，在Rt△ABG中，AB=10，tan∠BAG=，求出BG=2，设P（m，m2-m-4），R（n，n-4），则Q（m，m+1），QR=2，代入点的坐标可得n-m=2，则R（m+2，m-3），S△PQR=-（m-4）2+9，当m=4时，S△PQR有最大值9，则可求P（4，-6）；
（3）求出C'（0，-4），直线AC的解析式为y=2x+4，由平移可知抛物线沿着x轴负方向平移2个单位长度，沿着y轴负方向平移4个单位长度，可得平移后抛物线解析式，联立可求两抛物线交点M（6，-4），D（10，6），设N（3，t），K（x，y），分①当DM与KN为矩形对角线时，②当DN与MK为矩形对角线时，③当KD与MN为矩形对角线时，三种情况求解即可．
(1)解：∵B点在x轴上，且B点在y=x-4上，
∴B（8，0），
∵A（-2，0），B（8，0），都在抛物线y=ax2+bx-4上，
∴x=-2，x=8是方程ax2+bx-4=0的两个根，
∴-16=-，=6，
∴a=，b=-，
∴y=x2-x-4；
(2)解：∵AD∥BC，直线BC的解析式为y=x-4，
设直线AD的解析式为y=x+b1，
把A（-2，0）代入得：0=+b1，
解得：b1=1，
∴直线AD的解析式为y=x+1，
过点B作BG⊥AD交点G，

∵QR⊥BC，
∴QR=BG，
在Rt△ABG中，AB=10，tan∠BAG=，
∴由勾股定理得：BG=2，
设P（m，m2-m-4），R（n，n-4），则Q（m，m+1），
∵QR=2，
∴（2）2=（m-n）2+(m−n+5) 2，
∴n-m=2，
∴R（m+2，m-3），
S△PQR=×（m+1-m2+m+4）×2=-m2+2m+5=-（m-4）2+9，
∴当m=4时，S△PQR有最大值9，
∴P（4，-6）；
(3)
解：∵点C关于x轴的对称点为点C′，
∴C'（0，4），
∴直线AC的解析式为y=2x+4，
∵抛物线沿射线C′A的方向平移2个单位长度，
∴抛物线沿着x轴负方向平移2个单位长度，沿着y轴负方向平移4个单位长度，

∵y=x2-x-4=（x-3）2-，
∴y'=（x-1）2-，
联立（x-3）2-=（x-1）2-，解得x=6，
∴M（6，-4），
联立x+1=x2-x-4，解得x=10或x=-2，
∵D异于点A，
∴D（10，6），
∵y=x2-x-4的对称轴为直线x=3，
设N（3，t），K（x，y），
①当DM与KN为矩形对角线时，
DM的中点与KN的中点重合，
∴8=，1=，
∴x=13，t=2-y，
∵DM=KN，
∴16+100=（3-x）2+（t-y）2，
∴y=-1或y=3，
∴K（13，-1）或K（13，3）；
②当DN与MK为矩形对角线时，
DN的中点与MK的中点重合，
∴=，，
∴x=7，t=y-10，
∵DN=MK，
∴49+（6-t）2=（6-x）2+（y+4）2，
∴y=，
∴K（7，）；
③当KD与MN为矩形对角线时，
KD的中点与MN的中点重合，
∴，，
∴x=-1，t=10+y，
∵KD=MN，
∴（x-10）2+（6-y）2=9+（t+4）2，
∴y=-，
∴K（-1，-）；
综上所述：以D，M，N，K为顶点的四边形是矩形时，K点坐标为（-1，-）或（7，）或（13，-1）或（13，3）．
【点睛】
本题考查了二次函数的综合应用，解决本题有两个关键点，①能将抛物线沿直线平移转化为抛物线左右平移与上下平移时解题；②熟练掌握矩形对角线平分且相等的性质，将此性质与中点坐标公式与两点间距离公式相结合解题．
6．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于点A和C（1，0），交y轴于点B（0，3），抛物线的对称轴交x轴于点E，交抛物线于点F．

(1)求抛物线的解析式；
(2)将线段OE绕着点O沿顺时针方向旋转得到线段，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接，求的最小值；
(3) M为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点N的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y＝﹣x2﹣2x+3
(2)
(3)N的横坐标为，，﹣1，2．
【分析】
（1）根据待定系数法即可求出解析式；
（2）先取OE的三等分点D，得出，当B，，D三点共线时即为最小值，再利用勾股定理求解即可；
（3）先设出点N的坐标，根据矩形的性质列出关于N点坐标的方程，即可求出N点的坐标．
(1)
解：（1）把C（1，0），B（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c中，
得：，
∴b＝﹣2，c＝3，
∴y＝﹣x2﹣2x+3，
(2)解：在OE上取一点D，使得OD＝OE，
连接，BD，

∵，对称轴x＝﹣1，
∴E（﹣1，0），OE＝1，
∴，OA＝3，
∴，
又∵，
，

∴，
∴，
当三点共线时，BE′+DE′最小为BD，
，
∴的最小值为；
(3)解：存在，理由如下：
y＝﹣x2﹣2x+3，令

解得：
A（﹣3，0），而B（0，3），
设N（n，﹣n2﹣2n+3），
则AB2＝18，AN2＝（n2+2n﹣3）2+（n+3）2，BN2＝n2+（n2+2n）2，
∵以点A，B，M，N为顶点构成的四边形是矩形，
∴△ABN是直角三角形，
若AB是斜边，则AB2＝AN2+BN2，
即18＝（n2+2n﹣3）2+（n+3）2+n2+（n2+2n）2，
整理得：
解得：，（不合题意舍去）
∴N的横坐标为或，
若AN是斜边，则AN2＝AB2+BN2，
即（n2+2n﹣3）2+（n+3）2＝18+n2+（n2+2n）2，
解得n＝0（与点B重合，舍去）或n＝﹣1，
∴N的横坐标是﹣1，
若BN是斜边，则BN2＝AB2+AN2，
即n2+（n2+2n）2＝18+（n2+2n﹣3）2+（n+3）2，
解得n＝﹣3（与点B重合，舍去）或n＝2，
∴N的横坐标为2，
综上N的横坐标为，，﹣1，2．
【点睛】
本题主要考查二次函数的综合应用，利用待定系数法求解二次函数的解析式，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，构建相似三角形求解线段和的最小值是解本题的关键．
7．（2022·重庆南开中学九年级开学考试）如图1，二次函数与轴交于点、点（点在点左侧），与轴交于点，．

图1                                        图2
(1)求二次函数解析式；
(2)如图2，点是直线上方抛物线上一点，轴交于，交轴于点，求的最大值及此时点的坐标；
(3)在（2）的条件下，当取最大值时，连接，将绕原点顺时针旋转至；将原抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点在新抛物线的对称轴上，点为平面内任意一点，当以点，，，为顶点的四边形是矩形时，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)二次函数解析式为；
(2)m=3时，函数有最大值，点P（3，）；
(3)以点，，，为顶点的四边形是矩形时，点的坐标为（）或（）．
【分析】
（1）根据．求出OB=6，根据二次函数与轴交于点、点（6，0），与轴交于点代入坐标得：，解方程组即可；
（2）设点P的横坐标为m，点P（m, ），用待定系数法求BC的解析式为，得出DF=，求出PD=PF-DF=， 根据PE∥BC，得出∠PEF=∠CBO，利用，求出BE=-(6-m)，求出PD+BE，根据函数性质可求m=3时，函数有最大值即可；
（3）根据当取最大值时，点P（3，），点D（3，）点C（0，3）
绕点O顺时针旋转90°，求出点C′（3，0），D′（，-3），根据AC=，得出抛物线向下平移单位，再先作平移1个单位，平移后的抛物线为，新抛物线的对称轴为x=1，设点N（x,y），点M（1，n），分两种情况四边形MD′C′N为矩形，延长P′D′交新抛物线对称轴与H，过C′作C′I⊥D′P′于I，证明△MDH∽△D′C′I，当四边形MND′C′为矩形，新抛物线对称轴与x轴交于G，△MGC′∽△DIC′即可求解．
(1)
解：∵，
∴OC=3，
∴．
∴OB=6，
点B（6，0），
∵二次函数与轴交于点、点（6，0），与轴交于点代入坐标得：
，
解得：，
∴二次函数解析式为；
(2)解：设点P的横坐标为m，
∴点P（m, ），
设BC的解析式为代入坐标得：
，
解得：，
∴BC的解析式为，
∴DF=，
∴PD=PF-DF=，
∵PE∥BC，
∴∠PEF=∠CBO，
∵，
∴EF=2PF=，
∴BE= EF-FB=-(6-m)，
∴PD+BE=，
∵，
∴m=3时，函数有最大值，
，
此时点P（3，）；

(3)解：当取最大值时，点P（3，），点D（3，）点C（0，3）
绕点O顺时针旋转90°，点C′（3，0），
CD纵坐标之差为3-=，
C′D′横坐标之差为，点D′的横坐标为3-=，
∴D′（，-3），
将抛物线配方，
∵AC=，
∴，
∴抛物线向下平移单位，再先作平移1个单位，
平移后的抛物线为即，
新抛物线的对称轴为x=1，
设点N（x,y），点M（1，n）,
分两种情况:
四边形MD′C′N为矩形，延长P′D′交新抛物线对称轴与H，过C′作C′I⊥D′P′于I，
D′H=，点H（1，-3），
∵∠MD′C′=90°,
∴∠MD′H+∠C′D′I=90°，∠HMD′+∠HD′M=90°，
∴∠C′D′I=∠HMD′,
∵∠MHD′=∠C′ID′=90°，
∴△MDH∽△D′C′I，
∴即，
解得，
∴点M（1，），
∴3-x=，解得x=，
∴y-0=+3，解得y=，
∴点N（）；

当四边形MND′C′为矩形，新抛物线对称轴与x轴交于G，
∵∠M′C′D=90°，
∴∠MC′G+∠GC′D′=∠GC′D′+∠D′C′I=90°，
∴∠MC′G=∠D′C′I，
∵∠MGC′=∠D′IC′=90°，
∴△MGC′∽△DIC′，
∴即，
解得：n=1
∴x+3=1+，解得，
∴y+0=1-3，解得y=-2，
点N（），
综合以点，，，为顶点的四边形是矩形时，点的坐标为（）或（）．

【点睛】
本题考查待定系数法求抛物线解析式，锐角三角函数，解三元一次方程组，平行线性质，函数的最值，勾股定理，矩形性质，三角形相似判定与性质，本题难度大，知识应用多，集难点于一题，利用辅助线画出准确图形，以及利用分类思想是问题得以全面解决是解题关键．
8．（2021·广东·东莞市石龙第二中学一模）抛物线y＝ax2+bx﹣4交x轴于点A（﹣6，0），B（2，0），交y轴于点C．CD∥AB交抛物线于点D．点E从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段CD方向运动．设点E的运动时间为t（0＜t＜4）．过点E作CD的垂线分别交AC，AB于点F，G，以EF为边向左作正方形EFMN．

(1)求抛物线的解析式；
(2)当点M落在抛物线上时，求出t的值；
(3)设正方形EFMN与△ACD重合部分的面积为S．请直接写出S与t的函数关系式与相应的自变量t的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)S＝
【分析】
（1）将，代入，列方程组求、的值；
（2）由相似三角形对应边成比例的性质，用含的代数式表示线段、的长，从而用含的代数式表示点的坐标，代入抛物线的解析式列方程求出的值；
（3）在点的运动过程中，正方形与重合部分的图形分别为正方形、五边形和梯形，用含的代数式分别表示正方形的边长及线段、的长，分三种不同的情况求出关于的函数关系式和相应的自变量的取值范围．
(1)解：把，代入，
得，解得，
抛物线的解析式为．
(2)解：抛物线与轴交于点，
，
，，
，
，
，
，，，，，
当点落在抛物线上时，则，
整理，得，，（不符合题意，舍去），
．
(3)解：由点，关于抛物线的对称轴对称，得该抛物线的对称轴为直线，
点与点关于直线对称，
，
当点与点重合时，则，解得；
当点落在上，如图1，

由，得，
，
，
，
，
，
解得．
当时，如图2，

，
当时，如图3，

交于点，作轴于点，
，
，
，
；
当时，如图4，

交于点，交于点，则，
，
，
．
综上所述，．
【点睛】
此题重点考查二次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、用待定系数法求函数关系式以及动点问题中的求函数关系式和自变量的取值范围等知识，解题的关键是根据相似三角形对应边成比例的性质，用转化法将图形的面积用含的代数式表示，最后整理出关于的函数关系式，特别是解第（3）题时要进行分类讨论，以免漏掉某种情况．此题涉及的知识点和方法较多，难度较大，属于考试压轴题．
9．（2021·广东佛山·二模）如图1，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线BC的解析式为y＝x﹣4；线段OC的垂直平分线交抛物线于点M、N，点M、N横坐标分别为x1、x2且满足x1+x2＝3．

(1)求抛物线的解析式；
(2)设点Q是直线MN上一动点，当点Q在什么位置上时，△QOB的周长最小？求出此时点Q的坐标及△QOB周长的最小值；
(3)如图2，P线段CB上的一点，过点P作直线PF⊥x轴于F，交抛物线于G，且PF＝PG；点H是直线BC上一个动点，点Q是坐标平面内一点，以点H，Q，P，F为顶点的四边形是菱形，求所有满足条件的Q点坐标（写出其中一个点的坐标的详细求解过程，其余的点的坐标直接写出即可）．
【答案】(1)y＝x2﹣3x﹣4
(2)Q（﹣2，﹣2），△QOB周长最小值4+4
(3)点Q的坐标为：Q1（，），Q2（，），Q3（4，-3）,Q4（，）
【分析】
（1）根据直线BC：，求出点，由MN是线段OC的垂直平分线，可求出对称轴为直线x=，运用待定系数法即可求得答案；
（2）根据点Q是直线MN上一动点，O、B是定点，求△QOB周长的最小值，即求OQ+BQ的最小值，连接CQ，则CQ＝OQ，当点C、Q、B在同一直线上时，OQ+BQ＝CQ+BQ＝BC最短，由此即可求得答案；
（3）设P(m，m-4)，且0＜m＜4，则F(m，0)，G(m，)，进行分类讨论即可：①PF为菱形的边且点H在点P左侧，②PF为菱形的边且点H在点P右侧，点Q在PH上方，③PF为菱形的边且点H在点P右侧，点Q在PH下方，④PF为菱形的对角线．
(1)
由直线BC：，可得与x轴交点为B(4，0)，与y轴交点为C(0，-4），
∵MN是线段OC的垂直平分线，
∴ 轴，
∴M、N关于抛物线对称轴对称，
∴抛物线对称轴为直线，
∴抛物线与x轴的另一个交点为A(-1，0)，
设抛物线解析式为，将C(0，-4)代入，
得：-4a=-4，
解得：a=1，
∴，
故该抛物线解析式为．
(2)
如图，连接CQ，

∵MN是线段OC的垂直平分线，
∴CQ=OQ，
∴当点C、Q、B在同一直线上时，OQ+BQ=CQ+BQ=BC最短，
当时，解得：x=-2，
∴Q(-2，-2)，
∵OB=OC=4，
∴，
∴△QOB周长最小值=OQ+BQ+OB=BC+OB=；
(3)
设P(m，m-4)，且0＜m＜4，
则F(m，0)，G(m，)，
∵PF=PG，
∴，
解得：（舍），
∴F(1，0)，P(1，-3)，
∴FP=3．
①如图，PF为菱形的边且点H在点P左侧，

延长HQ交x轴于点N，
∵
∴
∴，
∴，
∵Q点在第三象限，
∴Q1(， )；
②如图，PF为菱形的边且点H在点P右侧，点Q在PH上方时

设QH交x轴于点E，
∵，
∴
∵，
∴
∴
∴，
∴，
∴Q2(，)，
③如图，PF为菱形的边且点H在点P右侧，点Q在PH下方时

∵轴，
∴菱形为正方形．
∵，
∴H点和B点重合．
∴，即Q3 (4，-3)；
④如图，PF为菱形的对角线，连接QH交PF于点E，

∵PQFH是菱形，
∴，，
∵轴，
∴轴，
∴Q、E、H的纵坐标都等于，
∴，
解得：，
∴H(，)，
∵E(1，)，EQ=EH，
∴Q４(,)．
综上所述，点Q的坐标为：Q1(， )，Q2(，)，Q3 (4，-3)，Q４(,)．
【点睛】
本题为二次函数与几何的综合．涉及的知识点主要有线段垂直平分线的性质、利用待定系数法求函数解析式、勾股定理、菱形的性质等．为压轴题，困难题型．利用数形结合和分类讨论的思想是解答本题的关键．
10．（2021·重庆·字水中学三模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交x轴于点A、B，交y轴于点C．
（1）求线段BC的长；
（2）点P为第三象限内抛物线上一点，连接BP，过点C作交x轴于点E，连接PE，求面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，以y轴为对称轴，将抛物线对称，对称后点P的对应点为点，点M为对称后的抛物线对称轴上一点，N为平面内一点，是否存在以点A、、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点N的坐标，若不存在，则请说明理由．

【答案】（1）（2）面积的最大值为4；此时P的坐标为．（3）或．
【分析】
（1）由抛物线表达式，求出点B的坐标，当时求出点C的坐标，然后根据勾股定理即可求出BC的长度．
（2）由把的面积转化为△BPC的面积，作PF∥y轴交BC于点F，交x轴于点H，根据点B和点C的坐标求出BC所在直线的表达式，然后设出点P和F的坐标，表示出△BPC的面积，根据二次函数的最值求解即可．
（3）分A是菱形的边长或对角线时两种情况讨论，首先根据点A和点的坐标求出A的长度，然后设出点M的坐标，根据菱形的临边相等列出方程求出点M的坐标，最后根据菱形对角线互相平分，利用中点坐标公式列出方程即可求出点N的坐标．
【详解】
（1）∵抛物线交x轴于点A、B，
∴当y=0时，即，
整理得：，
解得：．
∴A点坐标为，B点坐标为．
∴OB=4．
当时，y=-2，
∴C点坐标为，
∴OC=2．
∴．
（2）如图所示，连接PC，作PF∥y轴交BC于点F，交x轴于点H．

∵，
∴△BPE和△BPC是同底等高的三角形，
∴，
∴求△BPE面积的最大值即求△BPC面积的最大值．
∵B，C，
∴设BC所在直线表达式为，
将B，C两点代入得：，
解得：．
∴BC所在直线表达式为．
∴设P点坐标为，F点坐标为，
∴．
∴，
即，
∴面积的最大值为4，
将m=-2代入得，
∴此时P点坐标为．
（3）∵抛物线表达式为，
∴对称轴，
∵以y轴为对称轴，将抛物线对称，
∴对称后的抛物线的对称轴．
∵对称后点P的对应点为点，点P的坐标为，
∴点的坐标为，
又∵A点坐标为，
∴．
设M点坐标为，
∴．
分两种情况，①当A是菱形的边长时，如图所示，

∵四边形AMNP是菱形，
∴，
∴，
解得：，
∴，．
∵四边形AMNP是菱形，
∴对角线AN和互相平分，
∴根据平面直角坐标系中中点坐标公式可得：，
代入可得：或，
解得：，，，
∴，．
②当A是菱形的对角线时，如图所示，

∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
解得：．
∴，
又∵，
∴此时M点在线段上，以点A、、M、N为顶点构不成菱形，
故此种情况不存在．
综上所述，N点的坐标为或．
【点睛】
此题考查了二次函数综合，二次函数中三角形面积最值问题，菱形存在性问题，解题的关键是根据题意作出辅助线，找到坐标和线段长度之间的关系．