中考数学二轮专题复习专题06 几何最值问题（教师版）

这是一份中考数学二轮专题复习专题06 几何最值问题（教师版），共63页。试卷主要包含了最短路径问题，线段最值问题，周长，隐形圆问题等内容，欢迎下载使用。

专题六 几何最值问题
一、最短路径问题
例题（2022·全国·八年级）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，AC＝8，点P为AC边上的一个动点，过点P作PD⊥AB于点D，求PB+PD的最小值．请在横线上补充其推理过程或理由．

解：如图2，延长BC到点B′，使得BC＝B′C，连接PB′
∵ ∠ACB＝90°（已知）
∴ 　 （垂直的定义）
∴ PB＝　 （线段垂直平分线的性质）
∴ PB+PD＝PB′+PD（等式性质）
∴ 过点B′作B′D⊥AB于点D，交AC于点P，此时PB+PD取最小值，连接AB′，
在△ABC和△AB′C中，
∵ AC＝AC，∠ACB＝∠ACB′＝90°， 　 　∴ △ABC≌△AB′C（理由：　 　）
∴ S△ABB′＝S△ABC+ 　 ＝2S△ABC（全等三角形面积相等）
∵ S△ABB′＝AB﹒B'D＝×10×B′D＝5B′D
又∵S△ABB′=2S△ABC＝2×BC﹒AC＝2××6×8＝48
∴ 　 （同一三角形面积相等）
∴ B′D＝
∴ 　 　
【答案】AC⊥BB'；PB'；BC=B′C；SAS；S△AB'C；AB•B′D＝48；PB+PD的最小值为
【分析】
作点B关于AC的对称点B′，过点B′作B′D⊥AB于点D，交AC于点P，点P即为所求作的点，此时PB+PD有最小值，连接AB′，根据对称性的性质，BP=B′P，证明△ABC≌△AB′C，根据S△ABB′=S△ABC+S△AB′C=2S△ABC，即可求出PB+PD的最小值．
【详解】
解：如图2，延长BC到点B′，使得BC=B′C，连接PB′，
∵∠ACB=90°（已知），
∴ AC⊥BB'（垂直的定义），
∴PB=PB'（线段垂直平分线的性质），
∴PB+PD=PB′+PD（等式性质），
∴过点B′作B′D⊥AB于点D，交AC于点P，此时PB+PD取最小值，连接AB′．
在△ABC和△AB′C中，
∵AC=AC，∠ACB=∠ACB′=90°，BC=B′C，
∴△ABC≌△AB′C（理由：SAS），
∴SABB′=S△ABC+S△AB'C=2S△ABC（全等三角形面积相等），
∵S△ABB′=×AB×B'D=×10×B′D=5B′D，
又∵S△ABB′=2S△ABC=2××BC×AC=2××6×8=48，
∴ AB•B′D＝48（同一三角形面积相等），
∴B′D=，
∴ PB+PD的最小值为．
故答案为：AC⊥BB'；PB'；BC=B′C；SAS；S△AB'C；AB•B′D＝48；PB+PD的最小值为．
【点睛】
本题考查了轴对称-最短路线问题，解决本题的关键是轴对称-最短路线问题的处理：作对称点．
练习题
1．（2020·山东·东营市实验中学三模）如图，正方形ABCD的边长为8，点M在DC上且DM＝2，N是AC上的一动点，则DN＋MN的最小值是______．

【答案】10
【分析】
要求DN＋MN的最小值，DN，MN不能直接求，可考虑通过作辅助线转化DN，MN的值，从而找出其最小值求解．
【详解】
解：∵正方形是轴对称图形，点B与点D是关于直线AC为对称轴的对称点，
∴连接BN，BD，

∴BN＝ND，
∴DN＋MN＝BN＋MN，
连接BM交AC于点P，
∵点 N为AC上的动点，
由三角形两边和大于第三边，
知当点N运动到点P时，BN＋MN＝BP＋PM＝BM，
BN＋MN的最小值为BM的长度，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC＝CD＝8，CM＝8﹣2＝6，∠BCM＝90°，
∴BM＝＝10，
∴DN＋MN的最小值是10．
故答案为：10．
【点睛】
本题主要考查正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用．
2．（2022·广西·上思县教育科学研究所八年级期末）如图，正△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD+CD的最小值是_____．

【答案】4
【分析】
根据等边三角形的性质及轴对称的性质得到∠ABC=∠B=60°，B=AB=BC=2，证明△CBD≌△BD，得到CD=D，推出当A、D、三点共线时，AD+CD最小，此时AD+CD=B+AB=4．
【详解】
解：如图，连接D，
∵正△ABC的边长为2，△ABC与△A′BC′关于直线l对称，
∴∠ABC=∠B=60°，B=AB=BC=2，
∴∠CB=60°，
∴∠CB=∠B，
∵BD=BD，
∴△CBD≌△BD，
∴CD=D，
∴AD+CD=D+CD，
∴当A、D、三点共线时，AD+CD最小，此时AD+CD=B+AB=4，
故答案为：4．
．
【点睛】
此题考查了等边三角形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定及性质，最短路径问题，正确掌握全等三角形的判定是解题的关键．
3．（2022·甘肃庆阳·八年级期末）如图，在等边△ABC中，E为AC边的中点，AD垂直平分BC，P是AD上的动点．若AD=6，则EP+CP的最小值为_______________．

【答案】6
【分析】
要求EP+CP的最小值，需考虑通过作辅助线转化EP，CP的值，从而找出其最小值求解．
【详解】
解：作点E关于AD的对称点F，连接CF，

∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中垂线，
∴点E关于AD的对应点为点F，
∴CF就是EP+CP的最小值．
∵△ABC是等边三角形，E是AC边的中点，
∴F是AB的中点，
∴CF=AD=6，
即EP+CP的最小值为6，
故答案为6．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质和轴对称等知识，熟练掌握等边三角形和轴对称的性质是本题的关键．
4．（2021·贵州·峰林学校八年级期中）如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A，B，C都是格点．
（1）画出△ABC关于直线MN对称的．
（2）若B为坐标原点，请写出、、的坐标，并直接写出的长度．．
（3）如图2，A，C是直线同侧固定的点，D是直线MN上的一个动点，在直线MN上画出点D，使最小．（保留作图痕迹）

【答案】（1）画图见解析；（2），；（3）画图见解析
【分析】
（1）分别确定关于对称的对称点 再顺次连接从而可得答案；
（2）根据在坐标系内的位置直接写其坐标与的长度即可；
（3）先确定关于的对称点，再连接 交于 则 从而可得答案.
【详解】
解：（1）如图1，是所求作的三角形，

（2）如图1，为坐标原点，
则
   
（3）如图2，点即为所求作的点.

【点睛】
本题考查的是画轴对称图形，建立坐标系，用根据点的位置确定点的坐标，轴对称的性质，掌握“利用轴对称的性质得到两条线段和取最小值时点的位置”是解本题的关键.
5．（2022·湖南师大附中博才实验中学九年级开学考试）如果有一条直线经过三角形的某个顶点，将三角形分成两个三角形，其中一个三角形与原三角形相似，则称该直线为三角形的“自相似分割线”．如图1，在△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=108°，DE垂直平分AB，且交BC于点D，连接AD．

(1)证明直线AD是△ABC的自相似分割线；
(2)如图2，点P为直线DE上一点，当点P运动到什么位置时，PA+PC的值最小？求此时PA+PC的长度．
(3)如图3，射线CF平分∠ACB，点Q为射线CF上一点，当取最小值时，求∠QAC的正弦值．
【答案】(1)直线AD是△ABC的自相似分割线；
(2)当点运动到点时，PA+PC的值最小，此时；
(3)∠QAC的正弦值为
【分析】
（1）根据定义证明△DBA∽△ABC即可得证；
（2）根据垂直平分线的性质可得，当点与重合时，,此时最小，设，则
根据，列出方程，解方程求解即可求得，进而即可求得的长，即最小值；
（3）过点作于点，过点作于点，连接，设与交于点，根据已知条件求得，进而转化为，则当点落在上时，点与点重合，此时的值最小，最小值为，进而根据求解即可．
(1)∵△ABC中，AB=AC=1，∠BAC = 108°
∴∠B =∠C =（180°-∠BAC）= 36°
∵DE垂直平分AB
∴AD = BD
∴∠B =∠BAD = 36°
∴∠C =∠BAD
又∵∠B =∠B
∴△DBA∽△ABC
∴直线AD是△ABC的自相似分割线．
(2)如图，连接，，

垂直平分AB，


当点与重合时，,此时最小，
，


设，则




解得：



PA+PC=
当点运动到点时，PA+PC的值最小，此时；
(3)如图，过点作于点，过点作于点，连接，设与交于点，

，

由（2）知，
平分






点落在上时，点与点重合，
即此时的值最小，最小值为




∠QAC的正弦值为
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质与判定，求角的正弦，垂直平分线的性质，两点之间线段最短，垂线段最短，胡不归问题，转化线段是解题的关键．
6．（2021·江苏·南京郑和外国语学校九年级期中）问题情境：如图1，P是⊙O外的一点，直线PO分别交⊙O于点A，B，则PA是点P到⊙O上的点的最短距离．
（1）探究证明：如图2，在⊙O上任取一点C（不与点A，B重合），连接PC，OC．求证：PA＜PC．
（2）直接应用：如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，以BC为直径的半圆交AB于D，P是弧CD上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是 　 　．
（3）构造运用：如图4，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A1MN，连接A1B，则A1B长度的最小值为 　 　．
（4）综合应用：如图5，平面直角坐标系中，分别以点A（﹣2，3），B（4，5）为圆心，以1，2为半径作⊙A，⊙B，M，N分别是⊙A，⊙B上的动点，P为x轴上的动点，直接写出PM+PN的最小值为 　 　．

【答案】（1）见解析；（2）；（3）﹣1；（4）7.
【分析】
（1）根据题意可知在△POC中，根据“三角形两边之差小于第三边”可求证；
（2）由题意先连接OA交⊙O于点P，然后根据勾股定理求得OA，进而求得AP；
（3）由题意可知A′的轨迹是以M为圆心，半径是1的圆，故连接BM，求得BM，进而求得A′B的最小值；
（4）根据题意作点A关于x轴的对称点C，连接CB交x轴于点P，求出BC的长，进而求得PM+PN得最小值．
【详解】
解：（1）证明：如图1，

∵PO﹣OC＜PC，
∴（AP+OA）﹣OC＜PC，
∵OA＝OC，
∴AP＜PC；
（2）如图2，

连接OA角半⊙O于P，则AP最小，
在Rt△AOC中，
OA＝
＝
＝，
∴AP＝OA﹣OP＝，
故答案为：；
（3）如图3，

连接BM，交⊙M（半径是1）于A1，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
∵∠BAM＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∵M是AD的中点，
∴∠AMB＝90°，
∴BM＝AB•sin60°＝，
∴A1B＝-1；
故答案为：﹣1；
（4）如图4，

作点A关于x轴的对称点C，连接BC，交⊙B于点N，交x轴于点P，
连接PA交⊙A于M，
∴PA＝PC，
∴PA+PB＝PC+PB＝BC，
∵C（﹣2，﹣3），B（4，5），
∴BC＝＝10，
∴PM+PN＝PA+PB﹣AM﹣BN＝10﹣1﹣2＝7，
故答案为：7．
【点睛】
本题考查轴对称性质和圆的定义以及勾股定理和三角形三边关系等知识，解决问题的关键是熟悉“将军饮马”模型．
二、线段最值问题
例题在锐角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．
（1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数；
（2）如图2，连接AA1，CC1．若△ABA1的面积为4，求△CBC1的面积；
（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值．
【答案】（1）∠CC1A1=90°．
（2）S△CBC1=．
（3）最小值为：EP1=﹣2．
最大值为：EP1= 7．
【分析】
（1）由旋转的性质可得：∠A1C1B=∠ACB=45°，BC=BC1，又由等腰三角形的性质，即可求得∠CC1A1的度数．
（2）由旋转的性质可得：△ABC≌△A1BC1，易证得△ABA1∽△CBC1，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△CBC1的面积．
（3）由①当P在AC上运动至垂足点D，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小；②当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大，即可求得线段EP1长度的最大值与最小值．
【详解】
解：（1）∵由旋转的性质可得：∠A1C1B=∠ACB=45°，BC=BC1，
∴∠CC1B=∠C1CB=45°．
∴∠CC1A1=∠CC1B+∠A1C1B=45°+45°=90°．
（2）∵由旋转的性质可得：△ABC≌△A1BC1，
∴BA=BA1，BC=BC1，∠ABC=∠A1BC1．
∴，∠ABC+∠ABC1=∠A1BC1+∠ABC1
∴∠ABA1=∠CBC1．
∴△ABA1∽△CBC1
∴．
∵S△ABA1=4，∴S△CBC1=．
（3）过点B作BD⊥AC，D为垂足，

∵△ABC为锐角三角形，∴点D在线段AC上．
在Rt△BCD中，BD=BC×sin45°=．
①如图1，当P在AC上运动至垂足点D，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小．最小值为：EP1=BP1﹣BE=BD﹣BE=﹣2．

②如图2，当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大．最大值为：EP1=BC+BE=5+2=7．

练习题
1．（2021·广东·铁一中学九年级期中）如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为（       ）

A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】
【详解】
思路引领：由Rt△APB中AB＝2OP知要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，据此求解可得．
答案详解：连接OP，
∵PA⊥PB，
∴∠APB＝90°，
∵AO＝BO，
∴AB＝2PO，
若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，
连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，
过点M作MQ⊥x轴于点Q，
则OQ＝3、MQ＝4，
∴OM＝5，
又∵MP′＝2，
∴OP′＝3，
∴AB＝2OP′＝6，
故选：D．
2．（2019·广西玉林·中考真题）如图，在中，，，，点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，M，N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最小值和最大值之和是（       ）

A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】
设⊙O与AC相切于点D，连接OD，作垂足为P交⊙O于F，此时垂线段OP最短，PF最小值为，当N在AB边上时，M与B重合时，MN经过圆心，经过圆心的弦最长，根据图形与圆的性质即可求解.
【详解】
如图，设⊙O与AC相切于点D，连接OD，作垂足为P交⊙O于F，
此时垂线段OP最短，PF最小值为，
∵，，
∴
∵，
∴
∵点O是AB的三等分点，
∴，，
∴，
∵⊙O与AC相切于点D，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴MN最小值为，
如图，当N在AB边上时，M与B重合时，MN经过圆心，经过圆心的弦最长，
MN最大值，
,
∴MN长的最大值与最小值的和是6．
故选B．

【点睛】
此题主要考查圆与三角形的性质，解题的关键是熟知圆的性质及直角三角形的性质.
3．（2021·四川师范大学附属中学九年级阶段练习）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E，F分别在边AB，边BC上运动，点G在矩形内，且DG⊥CG，EF⊥FG，FG：EF＝1：2，则线段GF的最小值为_______．

【答案】
【分析】
取CD的中点M，取EF的中点N，连接GM，GN、NB、BM，根据矩形的性质和题中所给的条件得GM=DM=CM=1，设FG=a，则EF=2a，因为N是EF的中点，所以FN=EN=a，根据和勾股定理得，因为，所以当且仅当B、N、G、M四点共线时，值最小，解得，即可得线段GF的最小值为：．
【详解】
解：如图所示，取CD的中点M，取EF的中点N，连接GM，GN、NB、BM，

∴,
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=2，AD=BC=3，,
∵，
∴，
∴，
∴GM=DM=CM=1，
∵，
∴设FG=a，则EF=2a，
∵N是EF的中点，
∴FN=EN=a，
∵，
∴BN=EN=FN=a，
∵，FG=FN=a，
∴
在中，根据勾股定理
，
在中，BC=3，CM=1，根据勾股定理，
，
∵，
∴当且仅当B、N、G、M四点共线时，值最小，
∴，



则线段GF的最小值为：，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，勾股定理和直角三角形的性质解题的关键是构造辅助线，当B、N、G、M四点共线时，值最小，则线段GF有最小值．
4．（2021·全国·九年级专题练习）如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为______．

【答案】
【分析】
【详解】
解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动

将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到△EFB≌△EHG
从而可知△EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上
作CM⊥HN，则CM即为CG的最小值
作EP⊥CM，可知四边形HEPM为矩形，
则CM＝MP+CP＝HEEC＝1

故答案为．
5．（2021·全国·九年级专题练习）在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，若线段MA绕点M旋转得线段MA′．
（1）如图①，线段MA'的长＝___．
（2）如图②，连接A'C，则A'C长度的最小值是___．

【答案】     1    
【分析】
【详解】
思路引领：（Ⅰ）由中点的定义和旋转的性质可求解；
（Ⅱ）当A'在MC上时，线段A'C长度最小，作ME⊥CD于点E，首先在直角△DME中利用三角函数求得ED和EM的长，然后在直角△MEC中利用勾股定理求得MC的长，然后减去MA的长即可求解．
答案详解：（Ⅰ）∵M是AD边的中点，
∴MA＝1，
∵线段MA绕点M旋转得线段MA'．
∴MA'＝1，
故答案为：1；
（Ⅱ）如图②，作ME⊥CD于点E．
∵菱形ABCD中，∠A＝60°，
∴∠EDM＝60°，
在直角△MDE中，DE＝MD•cos∠EDM1，ME＝MD•sin∠EDM，
则EC＝CD+ED＝2，
在直角△CEM中，MC，
当A'在MC上时A'C最小，则A′C长度的最小值是：1，
故答案为1．
6．（2020·江苏扬州·中考真题）如图，在中，，，，点E为边AB上的一个动点，连接ED并延长至点F，使得，以EC、EF为邻边构造，连接EG，则EG的最小值为________．

【答案】9．
【分析】
连接FC，作DM//FC，得△DEM∽△FEO，△DMN∽△CON，进一步得出DM=，EO=，过C作CH⊥AB于H，可求出CH=，根据题意，EG必过点N，当EN⊥CD时，EG最小，此时四边形EHCN是矩形，故可得EN=CH=，代入EO=求出EO即可得到结论．
【详解】
解：连接FC，交EG于点O，过点D作DM//FC，交EG于点M，如图所示，

∵
∴
∵DM//FC，
∴△DEM∽△FEO，
∴，
∵DM//FC，
∴△DMN∽△CON，
∴,
∵四边形ECGF是平行四边形，
∴CO=FO，
∴
∴,
∴,
过点C作CH⊥AB于点H，
在Rt△CBH，∠B=60︒，BC=8，
∴CH=BCsin60︒=4，
根据题意得，EG必过点N，当EN⊥CD时，EG最小，此时四边形EHCN是矩形，
∴EN=CH=4，
∴EO=,
∴EG=2EO=9．
故答案为：9．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．
三、周长、面积最值问题
例题（2021·云南昭通·八年级期中）如图，在中，已知，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接．

（1）若，求的度数；
（2）若点P为直线上一点，，求周长的最小值．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）利用三角形的内角和及等腰三角形的性质求得的度数，继而求得；
（2）利用最短路线模型计算即可；
【详解】
解：（1）∵，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴；
（2）当点P与点E重合时，的周长最小，
理由：∵，
∴当点P与点E重合时，，此时最小值等于的长，
∴的周长最小值为．
【点睛】
本题考查了最短路线问题问题以及等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟记性质是解题的关键．
练习题
1．（2021·陕西·西安交通大学附属中学航天学校八年级阶段练习）如图，凸四边形中，，若点M、N分别为边上的动点，则的周长最小值为（       ）

A． B． C．6 D．3
【答案】C
【分析】
由轴对称知识作出对称点，连接两对称点，由两点之间线段最短证明最短，多次用勾股定理求出相关线段的长度，平角的定义及角的和差求出角度的大小，最后计算出的周长最小值为6．
【详解】
解：作点关于、的对称点分别为点和点，
连接交和于点和点，，连接、；
再和上分别取一动点和（不同于点和，
连接，，和，如图1所示：

，
，，
，
又，
，，
，
时周长最小；
连接，过点作于的延长线于点，
如图示2所示：

在中，，，
，
，
，，
又，
，
，，
，
，
又，
，
，，
在△中，由勾股定理得：
．
，
故选：C．
【点睛】
本题综合考查了轴对称最短路线问题，勾股定理，平角的定义和两点之间线段最短等相关知识点，解题的关键是掌握轴对称最短路线问题，难点是构建直角三角形求两点之间的长度．
2．（2021·河南省直辖县级单位·八年级期末）如图，在直角坐标系中，点A（2，2），C（4，4）是第一象限角平分线上的两点，点B的纵坐标为2，且BA＝CB，在y轴上取一点D，连接AB，BC，AD，CD，使得四边形ABCD的周长最小，则这个周长的最小值为____．

【答案】
【分析】
根据点的坐标和平行线的性质得到∠BAC=45°，从而得到∠B=90°，得出AC=BC=2，作C关于y轴的对称点C′，连接AC′交y轴于D′，则此时，四边形ABCD′的周长最小，这个最小周长的值=AB+BC+AC′，过根据勾股定理即可得到结论．
【详解】
解：∵点A（2，2），点B的纵坐标为2，
∴AB∥x轴，
∵OC是第一象限的角平分线
∴∠BAC=45°，
∵CA=CB，
∴∠ACB=∠BAC=45°，
∴∠B=90°，
∵C（4，4）
∴B（4，2），
∴AB=BC=2，
作C（4，4）关于y轴的对称点C′（-4，4），
连接AC′交y轴于D′，
则此时，四边形ABCD′的周长最小，且CD= C′D，
则这个最小周长的值=AB+BC+AC′，
∵C′（-4，4），A（2，2）
∴，
∴四边形ABCD的最小周长值= ，
故答案为：

【点睛】
本题考查了轴对称-最短路线问题，坐标与图形的性质，勾股定理，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．
3．（2021·全国·九年级专题练习）如图，∠AOB＝45°，角内有一点P，PO＝10，在角两边上有两点Q、R（均不同于点O），则△PQR的周长最小值是____；当△PQR周长最小时，∠QPR的度数＝__．

【答案】     10     90°
【分析】
【详解】
思路引领：根据轴对称图形的性质，作出P关于OA、OB的对称点M、N，连接AB，根据两点之间线段最短得到最小值线段，再构造直角三角形，利用勾股定理求出MN的值即可．
根据对称的性质求得∠OMN+∠ONM＝∠OPQ+∠OPR，即可求得∠QPR的度数．
答案详解：分别作P关于OA、OB的对称点M、N．
连接MN交OA、OB交于Q、R，则△PQR符合条件．
连接OM、ON，
则OM＝ON＝OP＝10，
∠MON＝∠MOP+∠NOP＝2∠AOB＝2×45°＝90°，
故△MON为等腰直角三角形．
∴MN10．
根据对称的性质得到∠OMN＝∠OPQ，∠ONM＝∠OPR，
∴∠OMN+∠ONM＝∠OPQ+∠OPR，
∵△MON为等腰直角三角形，
∴∠OMN+∠ONM＝90°，
∴∠OPQ+∠OPR＝90°，
即∠QPR＝90°．
故答案为10，90°．

4．（2021·湖北武汉·八年级期中）如图，将△ABC沿AD折叠使得顶点C恰好落在AB边上的点M处，D在BC上，点P在线段AD上移动，若AC＝6，CD＝3，BD＝7，则△PMB周长的最小值为 ___．

【答案】18
【分析】
首先明确要使得△PMB周长最小，即使得PM+PB最小，再根据翻折的性质可知PM=PC，从而可得满足PC+PB最小即可，根据两点之间线段最短确定BC即为最小值，从而求解即可．
【详解】
解：由翻折的性质可知，AM=AC，PM=PC，
∴M点为AB上一个固定点，则BM长度固定，
∵△PMB周长=PM+PB+BM，
∴要使得△PMB周长最小，即使得PM+PB最小，
∵PM=PC，
∴满足PC+PB最小即可，
显然，当P、B、C三点共线时，满足PC+PB最小，如图所示，
此时，P点与D点重合，PC+PB=BC，
∴△PMB周长最小值即为BC+BM，
此时，作DS⊥AB于S点，DT⊥AC延长线于T点，AQ⊥BC延长线于Q点，
由题意，AD为∠BAC的角平分线，
∴DS=DT，
∵，，
∴，
即：，
∴，
解得：AB=14，
∵AM=AC=6，
∴BM=14-6=8，
∴△PMB周长最小值为BC+BM=3+7+8=18，
故答案为：18．

【点睛】
本题考查翻折的性质，以及最短路径问题等，掌握翻折的基本性质，利用角平分线的性质进行推理求解，理解并熟练运用两点之间线段最短是解题关键．
5．（2021·云南红河·八年级期末）在平面直角坐标系中，矩形纸片AOBC按如图方法放置，点A、B分别在y轴和x轴上，已知OA=2，OB=4，点D在边AC上，且AD=1．

解答下列问题．
（1）点C的坐标为 _______；
（2）在x轴上有一点E，使得△CDE的周长最短，求出点E的坐标及直线CE的解析式．
（3）在平面直角坐标系内是否存在点P，使得以C、D、P、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）（4，2）；（2）点E的坐标为（，0）；直线的解析式为；（3）在平面直角坐标系内存在点P1(，0)或P2(−，0)或P3(，4)，使得以C、D、P、E为顶点的四边形是平行四边形．
【分析】
（1）由OB及OA长度可写出C点的坐标；
（2）作C点关于x轴的对称点F，连接FD交OB于E，进而求出E点坐标；
（3）分别以CD为平行四边形的边，CD为对角线求出P点的坐标即可．
【详解】
解：（1）∵OA=2，OB=4，且点C在第一象限，
∴点C的坐标为（4，2）；
故答案为：（4，2）；
（2）过点D(1，2)作关于x轴的对称点D1(1，−2)，
连接D1C交x轴于点E，由轴对称性知D1E=DE，由两点之间线段最短得D1C=D1E+EC=DE+CE最短，即ΔCDE的周长最短．


设直线D1C的解析式为y=kx+b，把D1(1，−2)和C(4，2)分别代入得：
，解得，
∴直线CE的解析式为．
∵点E在x轴上，
∴当y=0时，x=，点E的坐标为（，0）；
（3）设P(x，0)，
∵四边形AOBC是矩形，
∴AC=OB=4．
∵AD=1，
∴DC=AC−AD=4−1=3．
分情况讨论：
①当CD为平行四边形的边时，
∵以点C、D、P、E为顶点的四边形是平行四边形，
∴PE//CD且PE=CD．
∴=3，
∴x−=3或x−=−3，
∴x1=， x2=−，
∴P1(，0)或P2(−，0)；
②当CD为平行四边形的对角线时，
∵四边形是以点C、D、P、E为顶点的平行四边形，并且点E在x轴上，
∵OE=，
∴点P在AC的上方，且EP⊥DC．
∴P3(，4)．
综上所述，在平面直角坐标系内存在点P1(，0)或P2(−，0)或P3(，4)，
使得以C、D、P、E为顶点的四边形是平行四边形．
．
【点睛】
本题考查了求一次函数的解析式和平行四边形的判定和分类，解决问题的关键是熟悉“将军饮马”模型和平行四边形分类的方法．
6．（2021·山东·日照市田家炳实验中学一模）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过原点O和点A(3，﹣3)，F(1，)是该抛物线对称轴上的一个定点，过y轴上的点B(0，)作y轴的垂线l．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P(m，n)是抛物线上的任意一点，过点P作直线l的垂线，垂足为M．求证：点P在线段FM的垂直平分线上；
（3）点E为线段OA的中点，在抛物线上是否存在点Q，使QEF周长最小？若存在，求点Q的坐标和QEF周长的最小值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y＝﹣x2+2x；（2）见解析；（3）存在，QEF周长的最小值为，Q．
【分析】
（1）将原点O与点A（3，﹣3）、对称轴为直线x＝1，直接代入y＝ax2+bx+c中即可解题；
（2）设P（m，﹣m2+2m），表示出PM2＝（m2﹣2m+）2，PF2＝（m﹣1）2+（m2﹣2m+）2，将m﹣1看成整体，进行变形即可解题；
（3）借助（2）中结论，将周长最小转化为只要使EQ+QN最小，最终通过垂线段最短来解决问题．
【详解】
解：（1）∵y＝ax2+bx+c（a≠0）过原点O和点A（3，﹣3），
∴c＝0，9a+3b＝﹣3，
∵对称轴为：直线x＝1，
∴，
∴b＝﹣2a，
∴a＝﹣1，b＝2，
∴抛物线y＝﹣x2+2x，
（2）设P（m，﹣m2+2m），
∴PM2＝（m2﹣2m+）2
＝（m﹣1）4+（m﹣1）2+，
PF2＝（m﹣1）2+（m2﹣2m+）2，
＝（m﹣1）2+（m﹣1）4﹣（m﹣1）2+
＝（m﹣1）4+（m﹣1）2+，
∴PM2＝PF2，
∴PM＝PF，
∴点P在MF的垂直平分线上，
（3）如图，为的中点，
E（），EF＝，

作QN⊥l于N，由（2）知：QN＝QF，
∴要想△QEF的周长最小，只要使EQ+QN最小，
作EN'⊥l于N'，交抛物线于Q'，
∵EQ+QN≥EN'，
∴E、Q、N三点共线时，EQ+QN最小，
此时EN'＝，Q（）
∴QEF周长的最小值为，此时Q．
【点睛】
本题考查二次函数综合题，考查待定系数法求函数的解析式、线段垂直平分线的判定、线段和最小问题，涉及整体思想，是重要考点，有难度，掌握相关知识是解题关键．
7．（2021·重庆市万盛经济技术开发区溱州中学九年级阶段练习）已知如图，在中，点是边上一点，连接，点是上一动点，连接．
（1）如图1，当时，连接，延长交于点，求证：；
（2）如图2，以为直角边作等腰，连接，若，当点在运动过程中，求周长的最小值．

【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】
（1）通过证明△CEK≌△BEF及△KED≌△FED即可证明；
（2）延长CE到点P，使EP＝CE，先证明点G在过点P且与CE垂直的直线PN上运动，再作点E关于点P的对称点Q，连接BQ交PN于点G，此时△BEG的周长最小，求出此时GE+GB+BE的值即可．
【详解】
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴∠K＝∠ABE，
∵BF⊥AB，
∴∠ABF＝90°，
∴∠ABE＝90°﹣∠EBF＝∠BFE，
∴∠K＝∠BFE，
∵BE＝CE，
∴△CEK≌△BEF（AAS），
∴CK＝BF，EK＝EF，
∵，
∴∠KED＝∠EBC，∠FED＝∠ECB，
∵BE＝CE，
∠EBC＝∠ECB，
∴∠KED＝∠FED，
∴ED＝ED，
∴△KED≌△FED（SAS），
∴DK＝DF，
（2）如图，作BN⊥BE，GN⊥BN于点N，延长NG交射线CE于点P，

则∠EBN＝∠FBG＝90°，
∴∠NBG＝∠EBF＝90°﹣∠GBE，
∵∠N＝∠BEF＝90°，BG＝BF，
∴△BNG≌△BEF（AAS），
∴BN＝BE；
∵∠EBN＝∠N＝∠BEP＝90°，
∴四边形BEPN是正方形，
∴PE＝BE＝CE，
∴当点F在CE上运动时，点G在PN上运动；
延长EP到点Q，使PQ＝PE，连接BQ交PN于点G，
∵PN垂直平分EQ，
∴点Q与点E关于直线PN对称，
∵两点之间，线段最短，
∴此时GE+GB＝GQ+GB＝BQ最小，
∵BE为定值，
∴此时GE+GB+BE最小，即△BEG的周长最小；
作DH⊥CE于点H，则∠DHE＝∠DHC＝90°，
∵∠ECB＝∠EBC＝45°，
∴∠HED＝∠ECB＝45°，
∴∠HDE＝45°＝∠HED，
∴DH＝EH，
∴DH2+EH2＝2DH2＝DE2＝，
∴DH＝EH＝1；
∴CH＝，
∴BE＝CE＝EH+CH＝1+2＝3，
∴EQ＝2PE＝2BE＝6，
∵∠BEQ＝90°，
∴BQ＝，
∴GE+GB+BE＝，
∴△BEG周长的最小值为．
【点睛】
本题重点考查平行四边形的性质、正方形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、以及运用轴对称的性质求线段和的最小值问题的求解等知识与方法，深入探究与挖掘题中的隐含条件并且正确地作出辅助线是解题的关键，此题综合性强，难度大，属于考试压轴题．
8．（2022·广东广州·八年级期末）在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点P、Q为BC边上的两个动点（点P位于点Q的左侧，P、Q均不与顶点重合），PQ＝2

(1)如图①，若点E为CD边上的中点，当Q移动到BC边上的中点时，求证：AP＝QE；
(2)如图②，若点E为CD边上的中点，在PQ的移动过程中，若四边形APQE的周长最小时，求BP的长；
(3)如图③，若M、N分别为AD边和CD边上的两个动点（M、N均不与顶点重合），当BP＝3，且四边形PQNM的周长最小时，求此时四边形PQNM的面积．
【答案】(1)见解析(2)4(3)4
【分析】
（1）由“SAS”可证△ABP≌△QCE，可得AP=QE；
（2）要使四边形APQE的周长最小，由于AE与PQ都是定值，只需AP+EQ的值最小即可．为此，先在BC边上确定点P、Q的位置，可在AD上截取线段AF=DE=2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，则此时AP+EQ=EG最小，然后过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点，那么先证明∠GEH=45°，再由CQ=EC即可求出BP的长度；
（3）要使四边形PQNM的周长最小，由于PQ是定值，只需PM+MN+QN的值最小即可，作点P关于AD的对称点F，作点Q关于CD的对称点H，连接FH，交AD于M，交CD于N，连接PM，QN，此时四边形PQNM的周长最小，由面积和差关系可求解．
(1)解：证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=4，BC=AD=8，
∵点E是CD的中点，点Q是BC的中点，
∴BQ=CQ=4，CE=2，
∴AB=CQ，
∵PQ=2，
∴BP=2，
∴BP=CE，
又∵∠B=∠C=90°，
∴△ABP≌△QCE（SAS），
∴AP=QE；
(2)如图②，在AD上截取线段AF=PQ=2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点．

∵GH=DF=6，EH=2+4=6，∠H=90°，
∴∠GEH=45°，
∴∠CEQ=45°，
设BP=x，则CQ=BC-BP-PQ=8-x-2=6-x，
在△CQE中，∵∠QCE=90°，∠CEQ=45°，
∴CQ=EC，
∴6-x=2，
解得x=4，
∴BP=4；
(3)如图③，作点P关于AD的对称点F，作点Q关于CD的对称点H，连接FH，交AD于M，交CD于N，连接PM，QN，此时四边形PQNM的周长最小，连接FP交AD于T，

∴PT=FT=4，QC=BC-BP-PQ=8-3-2=3=CH，
∴PF=8，PH=8，
∴PF=PH，
又∵∠FPH=90°，
∴∠F=∠H=45°，
∵PF⊥AD，CD⊥QH，
∴∠F=∠TMF=45°，∠H=∠CNH=45°，
∴FT=TM=4，CN=CH=3，
∴四边形PQNM的面积=×PF×PH-×PF×TM-×QH×CN=×8×8-×8×4-×6×3=7．
【点睛】
本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称求最短距离，直角三角形的性质；通过构造平行四边形和轴对称找到点P和点Q位置是解题的关键．
9．（2021·湖北·沙市中学九年级阶段练习）如图，抛物线交x轴于两点，交y轴于点C，点Q为线段上的动点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）求的最小值；
（3）过点Q作交抛物线的第四象限部分于点P，连接，记与的面积分别为，设，当S最大时，求点P的坐标，并求S的最大值．
【答案】（1）x2−2x−6；（2）QO＋QA有最小值10；（3）P（3，−）时，S有最大值
【分析】
（1）运用待定系数法设y＝a（x＋2）（x−6），将C（0，−6）代入，即可求得答案；
（2）如图1，作点O关于直线BC的对称点O′，连接AO′，QO′，CO′，BO′，由O、O′关于直线BC对称，得出四边形BOCO′是正方形，根据QA＋QO′≥AO′，QO′＝QO，得出答案；
（3）运用待定系数法求出直线BC、AC、PQ的解析式，设P（m，m2−2m−6），联立方程组，得：，求得Q（，），再运用三角形面积公式求得答案．
【详解】
解：（1）∵抛物线交x轴于A（−2，0），B（6，0）两点，
∴设y＝a（x＋2）（x−6），将C（0，−6）代入，
得：−12a＝−6，
解得：a＝，
∴y＝（x＋2）（x−6）＝x2−2x−6，
∴抛物线的解析式为x2−2x−6；
（2）如图1，作点O关于直线BC的对称点O′，连接AO′，QO′，CO′，BO′，

∵OB＝OC＝6，∠BOC＝90°，
∴∠BCO＝45°，
∵O、O′关于直线BC对称，
∴BC垂直平分OO′，
∴OO′垂直平分BC，
∴四边形BOCO′是正方形，
∴O′（6，−6），
在Rt△ABO′中，AO′＝，
∵QA＋QO′≥AO′，QO′＝QO，
∴QO＋QA＝QA＋QO′≥AO′＝5，即点Q位于直线AO′与直线BC交点时，
QO＋QA有最小值10；

（3）设直线BC的解析式为y＝kx＋d，
∵B（6，0），C（0，−6），
∴，解得：，
∴直线BC的解析式为y＝x−6，
设直线AC的解析式为y＝mx＋n，
∵A（−2，0），C（0，−6），
∴，解得：，
∴直线AC的解析式为y＝−3x−6，
∵PQ∥AC，
∴直线PQ的解析式可设为y＝−3x＋b，
由（1）可设P（m，m2−2m−6），代入直线PQ的解析式，
得：m2−2m−6＝−3m＋b，
解得：b＝m2＋m−6，
∴直线PQ的解析式为y＝−3x＋m2＋m−6，
联立方程组，得：，
解得：，
∴Q（，），
由题意：S＝S△PAQ＋S△PBQ＝S△PAB−S△QAB，
∵P，Q都在第四象限，
∴P，Q的纵坐标均为负数，
∴S＝|AB|•（−m2＋2m＋6）−|AB|•（）
＝，
由题意，得0＜m＜6，
∴m＝3时，S最大，
即P（3，−）时，S有最大值．
【点睛】
本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数图象和性质，待定系数法求函数解析式，将军饮马的最值问题，利用二次函数求最值等，熟练掌握二次函数图象和性质等相关知识，运用数形结合思想是解题关键．
四、隐形圆问题
例题（2021·全国·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E，F分别是边CD，BC上的动点，且∠AFE＝90°
（1）证明：△ABF∽△FCE；
（2）当DE取何值时，∠AED最大．

【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）根据题意可得∠B＝∠C＝90°，∠AFB＝∠FEC，即可得出结论；
（2）取AE的中点O，连接OD、OF，根据∠AFE＝∠ADE＝90°，得出A、D、E、F四点共圆，当⊙O与BC相切时，∠AFD的值最大，根据相似三角形的性质解答即可．
【详解】
解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°，
∵∠AFE＝90°，
∴∠AFB+∠EFC＝90°，∵∠EFC+∠FEC＝90°，
∴∠AFB＝∠FEC，
∴△ABF∽△FCE．
（2）取AE的中点O，连接OD、OF．

∵∠AFE＝∠ADE＝90°，
∴OA＝OD＝OE＝OF，
∴A、D、E、F四点共圆，
∴∠AED＝∠AFD，
∴当⊙O与BC相切时，∠AFD的值最大，
∴BF＝CF＝4，
∵△ABF∽△FCE，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，的值最大．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，四点共圆，根据题意得出⊙O与BC相切时，∠AFD的值最大是解题的关键．
练习题
1．（2021·山东济南·二模）如图，菱形ABCD的边AB=8，∠B=60°，BP=3，Q是CD边上一动点，将梯形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点为A′．当CA′的长度最小时，CQ的长为（　　）

A．5 B．7 C．8 D．6.5
【答案】B
【分析】
作CH⊥AB于H，如图，根据菱形的性质可判断△ABC为等边三角形，可求得CH，BH，PH，在Rt△CHP中，利用勾股定理计算出CP，再根据折叠的性质得点A′在以P点为圆心，PA为半径的弧上，利用点与圆的位置关系得到当点A′在PC上时，CA′的值最小，然后证明CQ=CP即可．
【详解】
解：作CH⊥AB于H，如图，

∵菱形ABCD的边AB=8，∠B=60°，
∴△ABC为等边三角形，BC=8
∴BH=4，，
∵PB=3，
∴HP=BH-BP=4-3=1，
在Rt△CHP中，，
∵梯形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点A′，
∴点A′在以P点为圆心，PA为半径的弧上，
∴当点A′在PC上时，CA′的值最小，
∴∠APQ=∠CPQ，而，
∴∠APQ=∠CQP，
∴∠CQP=∠CPQ，
∴CQ=CP=7．
故选：B．
【点睛】
本题考查了折叠的性质，菱形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，求圆外一点到圆的距离的最值问题，解决本题的关键是确定点A′在PC上时，CA′的值最小．
2．（2021·全国·九年级课时练习）如图，在中，，cm，cm．是边上的一个动点，连接，过点作于，连接，在点变化的过程中，线段的最小值是（     ）

A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【分析】
由∠AEC＝90°知，点E在以AC为直径的⊙M的上（不含点C、可含点N），从而得BE最短时，即为连接BM与⊙M的交点（图中点E′点），BE长度的最小值BE′＝BM−ME′．
【详解】
如图，

由题意知，，
在以为直径的的上（不含点、可含点，
最短时，即为连接与的交点（图中点点），
在中，，，则．
，
长度的最小值，
故选：．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理，圆周角定理，三角形的三边关系等知识点，难度偏大，解题时，注意辅助线的作法．
3．（2022·湖北荆州·九年级期末）如图，长方形ABCD中，，BC=2，点E是DC边上的动点，现将△BEC沿直线BE折叠，使点C落在点F处，则点D到点F的最短距离为________．

【答案】2
【分析】
由题意易得点F的运动轨迹是以点B为圆心，BC长为半径的圆弧，连接BD，然后根据隐圆问题可进行求解．
【详解】
解：由题意得：点F的运动轨迹是以点B为圆心，BC长为半径的圆弧，
连接BD，交圆弧于点H，如图所示：

∴当点F与点H重合时，点D到点F的距离为最短，
∵四边形ABCD是矩形，，BC=2，
∴，
∴，
∴，即点D到点F的最短距离为2；
故答案为2．
【点睛】
本题主要考查隐圆问题，矩形与折叠，勾股定理，解题的关键是分析得出点F的运动轨迹．
4．（2022·重庆·一模）如图，已知，外心为，，，分别以，为腰向形外作等腰直角三角形与，连接，交于点，则的最小值是______．

【答案】
【分析】
由与是等腰直角三角形，得到，，根据全等三角形的性质得到，求得在以为直径的圆上，由的外心为，，得到，如图，当时，的值最小，解直角三角形即可得到结论．
【详解】
解：与是等腰直角三角形，
，
，
在与中，
，
≌，
，
，
，
在以为直径的圆上，
的外心为，，
，
如图，当时，的值最小，
，
，

，，
．
则的最小值是，
故答案为：．

【点睛】
本题考查了三角形的外接圆与外心，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
5．（2021·江苏泰州·九年级期中）如图，在RtABC中，∠ACB＝90°，D为AC的中点，M为BD的中点，将线段AD绕A点任意旋转（旋转过程中始终保持点M为BD的中点），若AC＝8，BC＝6，那么在旋转过程中，线段CM长度的取值范围是____．

【答案】3≤CM≤7
【分析】
由勾股定理可求AB＝10，由三角形中位线定理可求OM＝2，点M在以O为圆心，OM长为半径的圆上运动，即可求解．
【详解】
解：如图，取AB中点O，连接OC，OM，

∵AC＝8，BC＝6，
∴AB＝，
∵D为AC的中点，点O是AB中点，
∴AD＝4，CO＝5，
∵M为BD的中点，点O是AB中点，
∴OM＝AD＝2，
∴点M在以O为圆心，OM长为半径的圆上运动，
∴当点M在线段OC上时，CM有最小值＝5﹣2＝3，
当点M在线段CO的延长线时，CM有最大值＝5+2＝7，
∴线段CM长度的取值范围3≤CM≤7，
故答案为：3≤CM≤7．
【点睛】
本题主要考查三角形中位线及隐圆问题，熟练掌握三角形的中位线及动点的运动轨迹是解题的关键．
6．（2021·山东潍坊·九年级期中）如图，点，的坐标分别为，，为坐标平面内一动点，且，点为线段的中点，连接，当取最大值时，点的纵坐标为____．

【答案】
【分析】
根据同圆的半径相等可知：点C在半径为2的⊙B上，通过画图可知，C在AB的延长线上时，AC最大，根据中点坐标公式可得结论．
【详解】
解：如图，∵点C为坐标平面内一点，BC=2，
∴C在⊙B上，且半径为2，

∴当C在AB的延长线上时，AC最大，
过点C作CD⊥x轴，
∵点，的坐标分别为，，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴．
∵CD⊥x轴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，即，
解得：，
∴C点的纵坐标为，
∵点为线段的中点，
∴点的纵坐标为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了坐标和图形的性质，动点线段最值问题，勾股定理等知识，确定AC为最大值时点C的位置是解题的关键．
7．（2021·全国·九年级课时练习）如图，是的直径，，点C为上一点，，点为上一动点，点是的中点，求的最小值．

【答案】．
【分析】
【详解】
解：如解图，连接、，
∵，，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
取的中点为，以为圆心，长为半径作圆，则点在圆上．
连接，作于点，连接交于点，则为所求的最小值，
∵，，，
∴，，，
∵，∴，
∴由勾股定理得，
∴，即的最小值为．

8．（2021·湖北·武汉第三寄宿中学九年级阶段练习）问题背景如图（1），△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，直线l绕着点A顺时针旋转，过B，C两点分别向直线l作垂线BD，CE，垂足为D，E，此时△ABD可以由△CAE通过旋转变换得到，请写出旋转中心、旋转方向及旋转角的大小（取最小旋转角度）．
尝试应用如图（2），△ABC为等边三角形，直线l绕着点A顺时针旋转，D、E为直线l上两点，∠BDA＝∠AEC＝60°．△ABD可以由△CAE通过旋转变换得到吗？若可以，请指出旋转中心O的位置并说明理由；
拓展创新如图（3）在问题背景的条件下，若AB＝2，连接DC，直接写出CD的长的取值范围．

【答案】（1）旋转中心为BC边的中点O，旋转方向为逆时针，旋转角度为90°；（2）可以，旋转中心为为等边△ABC三边垂直平分线的交点O，理由见解析；（3）
【分析】
问题背景（1）根据等腰直角三角形的性质，以及旋转的性质确定即可；
尝试应用（2）首先通过证明△ABD和△CAE全等说明点A和点B对应，点C和点A对应，从而作AB和AC的垂直平分线，其交点即为旋转中点；
拓展创新（3）首先确定出D点的运动轨迹，然后结合点与圆的位置关系，分别讨论出CD最长和最短时的情况，并结合勾股定理进行求解即可．
【详解】
解：问题背景（1）如图所示，作AO⊥BC，交BC于点O，
由等腰直角三角形的性质可知：∠AOC=90°，OA=OC，
∴点A是由点C绕点O逆时针旋转90°得到，
同理可得，点B是由点A绕点O逆时针旋转90°得到，
点D是由点E绕点O逆时针旋转90°得到，
∴△ABD可以由△CAE通过旋转变换得到，旋转中心为BC边的中点O，旋转方向为逆时针，旋转角度为90°；

尝试应用（2）∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵∠DAC=∠DAB+∠BAC=∠AEC+∠EAC，∠BAC=∠AEC=60°，
∴∠DAB=∠ECA，
在△ABD和△CAE中，

∴△ABD≌△CAE(AAS)，
∴△ABD的A、B、D三点的对应点分别为△CAE的C、A、E三点，
则AC、AB分别视作两组对应点的连线，
此时，如图所示，作AC和AB的垂直平分线交于点O，
∵△ABC为等边三角形，
∴由等边三角形的性质可知，OC=OA=OB，∠AOC=120°，
∴△ABD可以由△CAE通过旋转变换得到，旋转中心为为等边△ABC三边垂直平分线的交点O；

拓展创新（3）由（1）知，在直线l旋转的过程中，总有∠ADB=90°，
∴点D的运动轨迹为以AB为直径的圆，
如图，取AB的中点P，连接CP，交⊙P于点Q，
则当点D在CP的延长线时，CD的长度最大，
当点D与Q点重合时，CD的长度最小，即CQ的长度，
∵AB=AC，AB=2，
∴AP=1，AC=2，
在Rt△APC中，，
由圆的性质，PD=AP=1，
∴PD=PQ=1，
∴，，
∴CD的长的取值范围为：．

【点睛】
本题主要考查旋转三要素的确定，以及旋转的性质，主要涉及等腰直角三角形和等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，以及动点最值问题，掌握旋转的性质，确定出动点的轨迹，熟练运用圆的相关知识点是解题关键．
9．（2022·重庆忠县·九年级期末）已知等腰直角与有公共顶点，，，．现将绕点旋转．
(1)如图①，当点，，在同一直线上时，点为的中点，求的长；

(2)如图②，连接，．点为的中点，连接交于点，求证：；

(3)如图③，点为的中点，以为直角边构造等腰，连接，在绕点旋转过程中，当最小时，直接写出的面积．

【答案】(1)(2)见解析(3)
【分析】
（1）连接并延长交于，可得，，，再运用勾股定理可得结论；
（2）延长到，使，连接，根据SAS证明得，运用中位线定理证明，再证明，得，故可得结论；
（3）根据点F在AB上时BN的值最小，求出BN的值，运用等腰直角三角形的性质求出NG和AB，运用三角形面积公式求解即可．
(1)连接并延长交于，

，点是的中点，
，
与都是等腰直角三角形，
，
，
，
又，
，
由已知可得，，
，
；
(2)证明：延长到，使，连接，

，
．
，
，
又，
，
．即；
又，
，
，
，A分别是，的中点，
．
，
，
，
，
；
(3)∵AE=AD=4，∠EAF=90°，
∴DE=，
∵点F是DE的中点，
∴AF=DE=2，
∴点F在以A为圆心，2为半径的⊙A上移动，如图，

当点F在AB上时，BF最小，
∵是等腰直角三角形，
∴BF最小时，BN也最小，
∴的最小值为：AB-AF=
此时，
∵
∴
∴
∵是等腰直角三角形，
∴
∴的最小值为：
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质，旋转变换，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形是解决问题的关键．