北师大版 (2019)必修 第一册1.1 利用函数性质判定方程解的存在性精品课件ppt
展开利用函数性质判定方程解的存在性
【教学目标】
1.学习函数零点的概念,领会方程的根与函数零点之间的关系,提升直观想象素养。
2.通过结合图像与解函数零点问题,培养数学抽象、数学运算素养。
【教学重难点】
1.了解函数零点的概念,领会方程的根与函数零点之间的关系。(易混点)
2.掌握函数零点存在的判定方法。(重点)
3.能结合图像求解零点问题。(难点)
【教学过程】
一、基础铺垫
1.函数的零点:
①定义:函数f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点。
②方程的根、函数的图像、函数的零点三者之间的联系。
2.函数零点的判定定理:
若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图像是连续曲线,并且在区间端点的函数值符号相反,即f(a)·f(b)<0,则在区间(a,b)内,函数y=f(x)至少有一个零点,即相应的方程f(x)=0在区间(a,b)内至少有一个实数解。
思考:(1)函数的零点是点吗?
(2)若f(a)·f(b)>0,则y=f(x)在区间(a,b)内一定没有零点吗?
[提示] (1)不是点,是数。
(2)不一定,如y=x2-1,在区间(-2,2)上有两个零点。
二、新知探究
1.求函数的零点
【例1】 判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出。
(1)f(x)=;
(2)f(x)=x2+2x+4;
(3)f(x)=2x-3;
(4)f(x)=1-log3x。
[解] (1)令=0,解得x=-3,
所以函数f(x)=的零点是-3.
(2)令x2+2x+4=0,由于Δ=22-4×4=-12<0,
所以方程x2+2x+4=0无解,
所以函数f(x)=x2+2x+4不存在零点。
(3)令2x-3=0,解得x=log23,
所以函数f(x)=2x-3的零点是log23.
(4)令1-log3x=0,解得x=3,
所以函数f(x)=1-log3x的零点是3.
【教师小结】
函数零点的求法,求函数y=f(x)的零点通常有两种方法:其一是令y=f(x)=0,根据解方程y=f(x)=0的根求得函数的零点;其二是画出函数y=y=f(x)的图像,图像与x轴的交点的横坐标即为函数的零点。
2.判断零点所在的区间
【例2】 (1)已知函数f(x)的图像是连续不断的,有如下x,f(x)的对应值表:
x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
f(x) | 15 | 10 | -7 | 6 | -4 | -5 |
则函数f(x)在区间[1,6]上的零点至少有( )
A.2个 B.3个
C.4个 D.5个
(2)函数f(x)=ln x-的零点所在的大致区间是( )
A.(1,2) B.(2,3)
C.和(3,4) D.(e,+∞)
(1)B (2)B [(1)由已知数表可知f(2)·f(3)=10×(-7)<0,
f(3)·f(4)=(-7)×6<0,f(4)×f(5)=6×(-4)<0,
故函数f(x)在(2,3),(3,4),(4,5)上分别存在零点,故至少有3个零点。
(2)∵f(1)=-2<0,f(2)=ln 2-1<0,
∴在(1,2)内f(x)无零点,A错;
又f(3)=ln 3->0,∴f(2)·f(3)<0,
∴f(x)在(2,3)内有零点。]
【母题探究】
1.(变条件)已知函数f(x)=x3-x-1仅有一个正零点,则此零点所在区间是( )
A.(3,4) B.(2,3)
C.(1,2) D.(0,1)
C [因为f(1)=-1<0,f(2)=5>0,
所以f(1)·f(2)<0,
所以f(x)在区间(1,2)内至少有一个零点,
又f(x)仅有一个正零点,故选C.]
2.(变结论)探究1中,函数y=f(x)有负零点吗?
[解] 当x≤-1时,f(x)=x3-x-1=x(x2-1)-1<-1,当-1<x<0时,f(x)=x3-x-1=x3-(x+1)<-(x+1)<0,综上知,当x<0时,f(x)<0,
因此,f(x)没有负零点。
【教师小结】
(1)确定函数零点、方程解所在的区间,通常利用函数零点的存在性定理,转化为确定区间两端点对应的函数值的符号是否相反。
(2)若要判断零点(或根)的个数,还需结合函数的其他性质,如单调性。
3.函数零点个数的判定
【例3】 (1)函数f(x)=的零点个数为( )
A.3 B.2
C.1 D.0
(2)函数f(x)=ln x+x2-3的零点的个数是________。
(1)B (2)1 [(1)当x≤0时,令x2+2x+3=0,解得x=-3;当x>0时,令-2+ln x=0,解得x=e2,所以已知函数有两个零点,故选B.
(2)因为f(1)=-2,f(2)=ln 2+1>0;
所以f(1)·f(2)<0.
又f(x)=ln x+x2-3的图像在(1,2)上是不间断的,所以f(x)在(1,2)上必有零点。
又f(x)在(0,+∞)上是递增的,
所以零点只有1个。]
【教师小结】
判断函数零点个数的三种方法
(1)方程法:若方程y=f(x)=0的解可求或能判断解的个数,可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判定零点的个数。
(2)图像法:由y=f(x)=y=g(x)-h(x)=0,得g(x)=h(x),在同一平面直角坐标系内作出y1=g(x)和y2=h(x)的图像,根据两个图像交点的个数来判定函数零点的个数。
(3)定理法:函数y=f(x)的图像在区间[a,b]上是一条连续不断的曲线,由f(a)·f(b)<0即可判断函数y=y=f(x)在区间a,b内至少有一个零点。若函数y=f(x)在区间a,b上是单调函数,则函数y=f(x)在区间a,b内只有一个零点。
三、课堂总结
1.在函数零点存在定理中,要注意三点:(1)函数图像在区间[a,b]上是连续的;(2)定理不可逆;(3)在区间(a,b)内,函数至少存在一个零点。
2.方程f(x)=g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图像交点的横坐标,也是函数y=f(x)-g(x)的图像与x轴交点的横坐标。
3.函数与方程有着密切的联系,有些方程问题可以转化为函数问题求解,同样,函数问题有时可以转化为方程问题,这正是函数与方程思想的基础。
四、课堂检测
1.思考辨析
(1)零点即函数y=f(x)的图像与x轴的交点。( )
(2)若方程f(x)=0有两个不等实根x1,x2,则函数y=f(x)有两个零点。( )
(3)若函数y=f(x)在区间(a,b)上有零点,则一定有f(a)·f(b)<0.( )
[答案] (1)× (2)√ (3)×
2.y=x+1的图像与x轴的交点坐标及其零点分别是( )
A.-1,(-1,0) B.(-1,0),0
C.(-1,0),-1 D.-1,-1
C [由y=x+1=0,得x=-1,
故交点坐标为(-1,0),零点是-1.]
3.若函数f(x)唯一的零点在区间(1,3)或(1,4)或(1,5)内,则
①函数f(x)的零点在(1,2)或(2,3)内;
②函数f(x)在(3,5)内无零点;
③函数f(x)在(2,5)内有零点;
④函数f(x)在(2,4)内不一定有零点;
⑤函数f(x)的零点必在(1,5)内。
以上说法错误的是________(将序号填在横线上)。
①②③ [由于三个区间是包含关系,而(1,5)范围最大,零点位置可能在区间(1,5)的任何一个子区间内,①②③错误。]
4.判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出。
(1)y=;(2)y=x2-2x+4;(3)y=1-log5x。
[解] (1)令y=0,得=0,无解。故函数不存在零点。
(2)令y=0,得x2-2x+4=0,Δ=4-4×4=-12<0.故函数不存在零点。
(3)令y=0,得1-log5x=0,log5x=1,解得x=5.故函数的零点为5.
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