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2023年江苏省宿迁市中考数学一模试卷(含解析)
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这是一份2023年江苏省宿迁市中考数学一模试卷(含解析)，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年江苏省宿迁市中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．﹣2的倒数是（ ）
A．﹣2 B．﹣ C． D．2
2．下列运算正确的是（ ）
A．a2+a＝a3 B．（a2）3＝a5 C．a8÷a2＝a4 D．a2•a3＝a5
3．如图，将一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．若∠2＝40°，则∠1的度数是（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
4．如图，是由4个大小相同的正方体组合而成的几何体，其主视图是（ ）
A． B． C． D．
5．若圆柱的底面半径为3cm，母线长为4cm，则这个圆柱的侧面积为（ ）
A．12cm2 B．24cm2 C．12πcm2 D．24πcm2
6．若关于x的不等式组的解集为x＜3，则k的取值范围为（ ）
A．k＞1 B．k＜1 C．k≥1 D．k≤1
7．如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF＝6，AB＝5，则AE的长为（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
8．如图，在矩形ABCD中，DC＝3，，P是AD上一个动点，过点P作PG⊥AC，垂足为G，连接BP，取BP中点E，连接EG，则线段EG的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ．
10．因式分解2a2﹣4a+2＝ ．
11．若关于x的一元二次方程x2+ax﹣6＝0的一个根是3，则a＝ ．
12．一只口袋中装有若干个形状，大小都相同的球，使得从袋中摸一个球是红球的概率为0.2，那么平均每摸100次能摸到 个红球．
13．点P（a，b）在函数y＝3x+2的图象上，则代数式6a﹣2b+1的值等于 ．
14．一个多边形的每个外角都相等，且是它相邻内角的，则此多边形是 边形．
15．关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是 ．
16．如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，且∠BAC＝50°，AD＝CD，则∠DAC＝ °．
17．如图，A，B，C三点在正方形网格线的交点处，将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，若A，C，B′三点共线，则tan∠B′CB＝ ．
18．如图，已知双曲线 和，直线OA与双曲线交于点A，将直线OA向下平移与双曲线交于点B，与y轴交于点P，与双曲线交于点C，S△ABC＝9，BP：CP＝2：1，则k的值为 ．
三、解答题（本大题共10题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．计算：2sin60°+（﹣）﹣2﹣|2﹣|﹣．
20．先化简，再求值：，其中满足a满足a2﹣4a＝﹣3．
21．某学校组织“中秋诗词大会”，全体学生参与初赛，为了更好的了解学生成绩分布情况，随机抽取了部分学生的成绩（满分100分），整理得到如下不完整的统计图表：
组别
成绩x分
频数（人数）
频率
第1组
60≤x＜70
6
a
第2组
70≤x＜80
0.24
第3组
80≤x＜90
24
第4组
90≤x≤100
b
0.16
请根据图表中所提供的信息回答下列问题：
（1）统计表中a＝ ，b＝ ；
（2）补全条形统计图；
（3）本次调查结果的中位数在第 小组；
（4）根据调查结果，请估计该学校1500名学生中，成绩不低于80分的人数．
22．2022年北京冬奥会成功举办，收到世界各国友人的一致赞扬，其中吉祥物“冰墩墩”以萌萌的形象深受人们的喜爱．某商场“五一节”搞抽奖活动，奖品为红、白、蓝、绿四种颜色的“冰墩墩”，每位顾客凭购物小票抽奖一次（决定奖品的颜色）．
（1）若花花凭购物小票抽奖一次，她抽到的是红色“冰墩墩”的概率为 ；
（2）若含含也抽奖一次，请列表或画树状图，求含含和花花抽到相同颜色“冰墩墩”的概率．
23．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）证明四边形ADCF是菱形．
24．图（1）为某大型商场的自动扶梯、图（2）中的AB为从一楼到二楼的扶梯的侧面示意图．小明站在扶梯起点A处时，测得天花板上日光灯C的仰角为37°，此时他的眼睛D与地面的距离AD＝1.8m，之后他沿一楼扶梯到达顶端B后又沿BL（BL∥MN）向正前方走了2m，发现日光灯C刚好在他的正上方．已知自动扶梯AB的坡度为1：2.4，AB的长度是13m．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）
（1）求图中B到一楼地面的高度．
（2）求日光灯C到一楼地面的高度．（结果精确到十分位）
25．如图，已知点C是以AB为直径的半圆上一点，D是AB延长线上一点，过点D作BD的垂线交AC的延长线于点E，连结CD，且CD＝ED．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若tan∠DCE＝2，BD＝1，求⊙O的半径．
26．某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如表：
售价x（元/件）
60
70
80
周销售量y（件）
100
80
60
周销售利润w（元）
2000
2400
2400
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）直接写出该商品的进价，并求出该商品周销售利润的最大值；
（3）由于某种原因，该商品进价提高了m元/件（m＞0），物价部门规定该商品售价不得超过70元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是2000元，求m的值．
27．“关联”是解决数学问题的重要思维方式．角平分线的有关联想就有很多……
【问题提出】
（1）如图①，PC是△PAB的角平分线，求证＝．
小明思路：关联“平行线、等腰三角形”，利用“三角形相似”．
小红思路：关联“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，利用“等面积法”．
请根据小明或小红的思路，选择一种并完成证明．
【作图应用】
（2）如图②，AB是⊙O的弦，在⊙O上作出点P，使得＝3．
要求：（1）用直尺和圆规作图；（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．
【深度思考】
（3）如图③，PC是△PAB的角平分线，若AC＝3，BC＝1，则△PAB的面积最大值是 ．
28．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）若点P为第三象限内抛物线上一动点，作PD⊥x轴于点D，交AC于点E，过点E作AC的垂线与抛物线的对称轴和y轴分别交于点F、G，设点P的横坐标为m．
①求PE+EG的最大值；
②连接DF、DG，若∠FDG＝45°，求m的值．
参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．﹣2的倒数是（ ）
A．﹣2 B．﹣ C． D．2
【分析】根据倒数的意义，乘积是1的两个数叫做互为倒数，据此解答．
解：∵﹣2×＝1．
∴﹣2的倒数是﹣，
故选：B．
【点评】本题主要考查倒数的意义，解决本题的关键是熟记乘积是1的两个数叫做互为倒数．
2．下列运算正确的是（ ）
A．a2+a＝a3 B．（a2）3＝a5 C．a8÷a2＝a4 D．a2•a3＝a5
【分析】直接利用合并同类项法则以及幂的乘方运算法则、同底数幂的乘法、除法运算法则计算得出答案．
解：A．a2+a，不是同类项，无法合并，故此选项不合题意；
B．（a2）3＝a6，故此选项不合题意；
C．a8÷a2＝a6，故此选项不合题意；
D．a2•a3＝a5，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了合并同类项以及幂的乘方运算、同底数幂的乘法、除法运算法则等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3．如图，将一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．若∠2＝40°，则∠1的度数是（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
【分析】由两直线平行，同位角相等，可求得∠3的度数，然后求得∠1的度数．
解：如图，
∵∠2＝50°，
∴∠3＝∠2＝40°，
∴∠1＝90°﹣40°＝50°．
故选：B．
【点评】此题考查了平行线的性质．注意两直线平行，同位角相等定理的应用是解此题的关键．
4．如图，是由4个大小相同的正方体组合而成的几何体，其主视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据几何体的三视图，即可解答．
解：根据图形可得主视图为：
故选：D．
【点评】本题考查了几何体的三视图，解决本题的关键是画物体的三视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等．
5．若圆柱的底面半径为3cm，母线长为4cm，则这个圆柱的侧面积为（ ）
A．12cm2 B．24cm2 C．12πcm2 D．24πcm2
【分析】圆柱侧面积＝底面周长×高．
解：根据侧面积公式可得：π×2×3×4＝24πcm2，
故选：D．
【点评】本题考查了圆柱的计算，解题的关键是弄清圆柱的侧面积的计算方法，圆柱的侧面积＝底面圆的周长×高．
6．若关于x的不等式组的解集为x＜3，则k的取值范围为（ ）
A．k＞1 B．k＜1 C．k≥1 D．k≤1
【分析】不等式整理后，由已知解集确定出k的范围即可．
解：不等式整理得：，
由不等式组的解集为x＜3，
得到k的范围是k≥1，
故选：C．
【点评】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
7．如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF＝6，AB＝5，则AE的长为（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
【分析】先求AB＝BE＝5，利用勾股定理求AH＝EH＝4，得AE＝8．
解：∵AG平分∠BAD，
∴∠BAG＝∠DAG，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB＝∠DAG，
∴∠BAG＝∠AEB，
∴AB＝BE＝5，
由作图可知：AB＝AF，
∠BAE＝∠FAE，
∵AH＝AH
∴△BAH≌△FAH（SAS），
∴BH＝FH＝3，
∴BF⊥AE，
由勾股定理得：AH＝＝4，
∵AB＝BE，BH⊥AE，
∴AH＝EH＝4，
∴AE＝8，
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理、角平分线的作法和定义、等腰三角形三线合一的性质，熟练掌握平行加角平分线可得等腰三角形，属于常考题型．
8．如图，在矩形ABCD中，DC＝3，，P是AD上一个动点，过点P作PG⊥AC，垂足为G，连接BP，取BP中点E，连接EG，则线段EG的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．
【分析】取AP的中点F，连接EF，作GH⊥AD于H，作ET⊥GH于T，设AP＝m，分别表示出PG，PH，PF，EF，进而表示出ET和GT，进而表示出EG，进一步得出结果．
解：取AP的中点F，连接EF，作GH⊥AD于H，作ET⊥GH于T，设AP＝m，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，AB＝CD＝3，
∴tan∠DAC＝，
∴∠DAC＝30°，
∵PG⊥AC，
∴PG＝AP＝m，∠APT＝90°﹣∠DAC＝60°，
∴PH＝PG•cos∠APG＝＝m，GH＝PG•sin∠APG＝，
∵E是BP的中点，
∴EF＝AB＝，PF＝m，
∴GT＝GH﹣HT＝GH﹣EF＝m﹣，ET＝FH＝PF﹣PH＝，
在Rt△EGT中，
EG2＝GT2+ET2＝（m﹣）2+（m）2＝（m﹣）2+，
∴当m＝时，EG的最小值为，
故选：A．
【点评】本题考查了矩形的性质，解直角三角形，勾股定理，二次函数及其图象的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造直角三角形．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．若代数式有意义，则实数x的取值范围是 x≥1 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件得出x﹣1≥0，再求出答案即可．
解：要使代数式有意义，必须x﹣1≥0，
解得：x≥1．
故答案为：x≥1．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，能熟记代数式中a≥0是解此题的关键．
10．因式分解2a2﹣4a+2＝ 2（a﹣1）2 ．
【分析】先提取公因式，再用公式法因式分解即可．
解：2a2﹣4a+2
＝2（a2﹣2a+1）
＝2（a﹣1）2，
故答案为：2（a﹣1）2．
【点评】本题考查因式分解，熟练掌握提取公因式法、公式法因式分解的方法是解题的关键．
11．若关于x的一元二次方程x2+ax﹣6＝0的一个根是3，则a＝ ﹣1 ．
【分析】直接把x＝3代入方程x2+ax﹣6＝0得到关于a的一次方程，然后解一次方程即可．
解：把x＝3代入方程x2+ax﹣6＝0得9+3a﹣6＝0，解得a＝﹣1．
故答案为﹣1．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
12．一只口袋中装有若干个形状，大小都相同的球，使得从袋中摸一个球是红球的概率为0.2，那么平均每摸100次能摸到 20 个红球．
【分析】设平均每摸100次能摸到x个红球，根据概率公式得＝0.2，解得x的值即可．
解：设平均每摸100次能摸到x个红球，
则＝0.2，
解得x＝20．
所以平均每摸100次能摸到20个红球．
故答案为：20．
【点评】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
13．点P（a，b）在函数y＝3x+2的图象上，则代数式6a﹣2b+1的值等于 ﹣3 ．
【分析】把点P的坐标代入一次函数解析式，得出3a﹣b＝﹣2，代入2（3a﹣b）+1即可．
解：∵点P（a，b）在函数y＝3x+2的图象上，
∴b＝3a+2，
则3a﹣b＝﹣2．
∴6a﹣2b+1＝2（3a﹣b）+1＝﹣4+1＝﹣3，
故答案为﹣3．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标满足函数关系式．
14．一个多边形的每个外角都相等，且是它相邻内角的，则此多边形是 八 边形．
【分析】根据正多边形的一个内角与一个外角的和为180°，一个外角等于与它相邻的内角的，列出方程组，从而求得外角的度数，最后根据任意正多边形的外角和是360°求解即可．
解：设这个多边形的一个外角的度数为x°，则
x＝（180﹣x），
解得：x＝45，
360°÷45°＝8，
故此多边形为八边形，
故答案为：八．
【点评】本题主要考查的是多边形的内角与外角，根据题意正确列出方程是解题的关键．
15．关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是 m＞2且m≠3 ．
【分析】方程两边同乘以x﹣1，化为整式方程，求得x，再列不等式得出m的取值范围．
解：方程两边同乘以x﹣1，得，m﹣3＝x﹣1，
解得x＝m﹣2，
∵分式方程的解为正数，
∴x＝m﹣2＞0且x﹣1≠0，
即m﹣2＞0且m﹣2﹣1≠0，
∴m＞2且m≠3，
故答案为m＞2且m≠3．
【点评】本题考查了分式方程的解，要注意分式的分母不为0的条件，此题是一道易错题，有点难度．
16．如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，且∠BAC＝50°，AD＝CD，则∠DAC＝ 20 °．
【分析】根据圆周角定理及已知可求得∠B的度数，从而可求得∠ADC的度数，再根据三角形内角和公式即可求得∠DAC的度数即可．
解：∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝50°，
∴∠B＝90°﹣50°＝40°．
∴∠ADC＝180°﹣40°＝140°．
∵AD＝DC．
∴∠DAC＝∠DCA＝＝20°．
故答案为：20．
【点评】本题考查的是圆周角定理，等腰三角形的性质，熟知直径所对的圆周角是直角是解题的关键．
17．如图，A，B，C三点在正方形网格线的交点处，将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，若A，C，B′三点共线，则tan∠B′CB＝ 2 ．
【分析】过点B作BE⊥AB'于点E，设小正方形的边长为a，由图可知AB＝4a，∠CAB＝45°，BE⊥AE，可得AE＝BE＝2a，即可得CE＝a，则可求tan∠B′CB的值．
解：如图，过点B作BE⊥AB'于点E，设小正方形的边长为a，
∵AB＝4a，∠CAB＝45°，BE⊥AE，
∴AE＝BE＝2a，
∵AC＝a，
∴CE＝AE﹣AC＝a，
∴tan∠B′CB＝＝2，
故答案为：2
【点评】本题考查了旋转的性质，解直角三角形，添加恰当的辅助线构造直角三角形是本题的关键．
18．如图，已知双曲线 和，直线OA与双曲线交于点A，将直线OA向下平移与双曲线交于点B，与y轴交于点P，与双曲线交于点C，S△ABC＝9，BP：CP＝2：1，则k的值为 ﹣ ．
【分析】连接OB，OC，作BE⊥OP于E，CF⊥OP于F．根据OA∥BC，得到S△OBC＝S△ABC＝9，根据已知条件得到S△OPB＝6，S△OPC＝3，根据相似三角形的性质即可得到结论．
解：如图，连接OB，OC，作BE⊥OP于E，CF⊥y轴于F．
∵OA∥BC，
∴S△OBC＝S△ABC＝9，
∵PB：PC＝2：1，
∴S△OPB＝6，S△OPC＝3，
∵S△OBE＝＝9，
∴S△PBE＝3，
∵△BEP∽△CFP，
∴S△CFP＝3×＝，
∴S△OCF＝3﹣＝，
∴k＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积的计算，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
三、解答题（本大题共10题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．计算：2sin60°+（﹣）﹣2﹣|2﹣|﹣．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及二次根式的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简，再利用实数的加减运算法则计算得出答案．
解：原式＝2×+4﹣2+﹣2
＝+4﹣2+﹣2
＝2．
【点评】本题主要考查了负整数指数幂的性质以及二次根式的性质、特殊角的三角函数值等知识，掌握运算法则是解题的关键．
20．先化简，再求值：，其中满足a满足a2﹣4a＝﹣3．
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，解方程求出a，根据分式有意义的条件确定a的值，代入计算得到答案．
解：原式＝（﹣）•
＝•
＝﹣，
解方程a2﹣4a＝﹣3，得a1＝1，a2＝3，
∵a﹣1≠0，
∴a≠1，
当a＝3时，原式＝﹣＝﹣．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
21．某学校组织“中秋诗词大会”，全体学生参与初赛，为了更好的了解学生成绩分布情况，随机抽取了部分学生的成绩（满分100分），整理得到如下不完整的统计图表：
组别
成绩x分
频数（人数）
频率
第1组
60≤x＜70
6
a
第2组
70≤x＜80
0.24
第3组
80≤x＜90
24
第4组
90≤x≤100
b
0.16
请根据图表中所提供的信息回答下列问题：
（1）统计表中a＝ 0.12 ，b＝ 8 ；
（2）补全条形统计图；
（3）本次调查结果的中位数在第 3 小组；
（4）根据调查结果，请估计该学校1500名学生中，成绩不低于80分的人数．
【分析】（1）根据70≤x＜80的频数和频率可以求得本次调查的学生数，从而可以得到a和b的值；
（2）根据（1）中的结果可以将统计图补充完整；
（3）根据中位数的定义即可求出中位数分布在哪一个分数段；
（4）利用1500乘以成绩不低于80分的频率即可求出答案．
解：（1）本次调查的学生有：12÷0.24＝50（人），
a＝6÷50＝0.12，b＝50×0.16＝8，
故答案为：0.12，8；
（2）补全条形统计图如图：
（3）中位数在第25位和26位，
∴中位数在第3组80≤x＜90，
故答案为：3；
（4）1500×（+0.16）＝1500×0.64＝960（人）．
答：估计该学校1500名学生中，成绩不低于80分的有960人．
【点评】本题考查条形统计图、用样本估计总体、频数（率）分布表，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22．2022年北京冬奥会成功举办，收到世界各国友人的一致赞扬，其中吉祥物“冰墩墩”以萌萌的形象深受人们的喜爱．某商场“五一节”搞抽奖活动，奖品为红、白、蓝、绿四种颜色的“冰墩墩”，每位顾客凭购物小票抽奖一次（决定奖品的颜色）．
（1）若花花凭购物小票抽奖一次，她抽到的是红色“冰墩墩”的概率为 ；
（2）若含含也抽奖一次，请列表或画树状图，求含含和花花抽到相同颜色“冰墩墩”的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式计算即可．
（2）画树状图得出所有等可能的结果数以及含含和花花抽到相同颜色“冰墩墩”的结果数，再利用概率公式可得出答案．
解：（1）∵共有红、白、蓝、绿四种颜色，
∴花花凭购物小票抽奖一次，她抽到的是红色“冰墩墩”的概率为．
故答案为：．
（2）画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中含含和花花抽到相同颜色“冰墩墩”的结果有4种，
∴含含和花花抽到相同颜色“冰墩墩”的概率为＝．
【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
23．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）证明四边形ADCF是菱形．
【分析】（1）根据AAS证△AFE≌△DBE；
（2）利用（1）中全等三角形的对应边相等得到AF＝BD．结合已知条件，利用“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得到ADCF是菱形，由“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”得到AD＝DC，从而得出结论．
【解答】证明：（1）∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，
∴AE＝DE，BD＝CD，
在△AFE和△DBE中，
，
∴△AFE≌△DBE（AAS）；
（2）由（1）知，△AFE≌△DBE，则AF＝DB．
∵DB＝DC，
∴AF＝CD．
∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，
∴AD＝DC＝BC，
∴四边形ADCF是菱形．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定，菱形的判定的应用，主要考查学生的推理能力．
24．图（1）为某大型商场的自动扶梯、图（2）中的AB为从一楼到二楼的扶梯的侧面示意图．小明站在扶梯起点A处时，测得天花板上日光灯C的仰角为37°，此时他的眼睛D与地面的距离AD＝1.8m，之后他沿一楼扶梯到达顶端B后又沿BL（BL∥MN）向正前方走了2m，发现日光灯C刚好在他的正上方．已知自动扶梯AB的坡度为1：2.4，AB的长度是13m．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）
（1）求图中B到一楼地面的高度．
（2）求日光灯C到一楼地面的高度．（结果精确到十分位）
【分析】（1）过点B作BE⊥MN于E，由坡度的定义和勾股定理求解即可；
（2）过点C作CF⊥MN于F交BL于G，过点D作DJ⊥CF于J交BE于H，则四边形BEFG、四边形ADJF是矩形，求出AF＝DJ＝14m，再由三角函数定义求出CJ＝10.5m，即可得出结果．
解：（1）过点B作BE⊥MN于E，如图（2）所示：
设AE＝xm，
∵AB的坡度为1：2.4，
∴＝，
∴BE＝xm，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：x2+（x）2＝132，
解得：x＝12，
∴AE＝12m，BE＝5m，
答：B到一楼地面的高度为5m；
（2）过点C作CF⊥MN于F交BL于G，过点D作DJ⊥CF于J交BE于H，
则BG＝2m，四边形BEFG、四边形ADJF是矩形，∠CDJ＝37°，
∴EF＝BG＝2m，AD＝FJ＝1.8m，AF＝DJ，
由（1）可知，AF＝AE+EF＝12+2＝14（m），
∴DJ＝14m，
在Rt△CDJ中，tan∠CDJ＝＝tan37°≈0.75，
∴CJ≈0.75DJ＝0.75×14＝10.5（m），
∴CF＝CJ+FJ＝10.5+1.8＝12.3（m），
答：日光灯C到一楼地面的高度约为12.3m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
25．如图，已知点C是以AB为直径的半圆上一点，D是AB延长线上一点，过点D作BD的垂线交AC的延长线于点E，连结CD，且CD＝ED．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若tan∠DCE＝2，BD＝1，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接OC，由CD＝DE，OC＝OA，可得∠DCE＝∠E，∠OCA＝∠OAC，而ED⊥AD，可得∠OAC+∠E＝90°，故可证∠DCO＝90°，CD是⊙O的切线；
（2）连接BC，设⊙O的半径为x，由tan∠DCE＝2，可得＝2，从而可用x的代数式表示DE和CD，再根据CD是⊙O的切线用切割线定理列方程，即可解得⊙O的半径．
解：（1）连接OC，如图：
∵CD＝DE，OC＝OA，
∴∠DCE＝∠E，∠OCA＝∠OAC，
∵ED⊥AD，
∴∠ADE＝90°，∠OAC+∠E＝90°，
∴∠OCA+∠DCE＝90°，
∴∠DCO＝90°，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）连接BC，如图：
∵CD＝DE，
∴∠DCE＝∠E，
∵tan∠DCE＝2，
∴tanE＝2，
∵ED⊥AD，
Rt△EDA中，＝2，
设⊙O的半径为x，则OA＝OB＝x，
∵BD＝1，
∴AD＝2x+1，
∴＝2，
∴ED＝x+＝CD，
∵CD是⊙O的切线，
∴CD2＝BD•AD，
∴（x+）2＝1×（2x+1），解得x＝或x＝﹣（舍去），
∴⊙O的半径为．
【点评】本题考查圆综合知识，涉及切线判定、锐角三角函数、切割线定理的应用等，解题的关键是用切割线定理列方程．
26．某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如表：
售价x（元/件）
60
70
80
周销售量y（件）
100
80
60
周销售利润w（元）
2000
2400
2400
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）直接写出该商品的进价，并求出该商品周销售利润的最大值；
（3）由于某种原因，该商品进价提高了m元/件（m＞0），物价部门规定该商品售价不得超过70元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是2000元，求m的值．
【分析】（1）依题意设y＝kx+b，解方程组即可得到结论；
（2）该商品进价是50﹣1000÷100＝40，设每周获得利润w＝（x﹣40）（﹣2x+220），再利用二次函数的性质可得到结论；
（2）根据题意得，w＝（x﹣40﹣m）（﹣2x+220）＝﹣2x2+（300+2m）x﹣8800﹣220m，把x＝70，w＝2000代入函数解析式，解方程即可得到结论．
解：（1）依题意设y＝kx+b，
则有，
解得：，
所以y关于x的函数解析式为y＝﹣2x+220；
（2）该商品进价是60﹣2000÷100＝40，
设每周获得利润为w元，
则有w＝（x﹣40）（﹣2x+220）＝﹣2x2+300x﹣8800＝﹣2（x﹣75）2+2450，
∴当售价是75元/件时，周销售利润的最大利润是2450元；
（3）根据题意得，w＝（x﹣40﹣m）（﹣2x+220）＝﹣2x2+（300+2m）x﹣8800﹣220m，
∵﹣2＜0，对称轴x＞75，
∴抛物线的开口向下，
∵x≤70，∴w随x的增大而增大，
当x＝70时，w最大＝2000，
即﹣2×702+（300+2m）×70﹣8800﹣220m＝2000，
解得：m＝5．
【点评】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，重点是掌握求最值的问题．注意：数学应用题来源于实践，用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识，总利润等于总收入减去总成本，然后再利用二次函数求最值．
27．“关联”是解决数学问题的重要思维方式．角平分线的有关联想就有很多……
【问题提出】
（1）如图①，PC是△PAB的角平分线，求证＝．
小明思路：关联“平行线、等腰三角形”，利用“三角形相似”．
小红思路：关联“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，利用“等面积法”．
请根据小明或小红的思路，选择一种并完成证明．
【作图应用】
（2）如图②，AB是⊙O的弦，在⊙O上作出点P，使得＝3．
要求：（1）用直尺和圆规作图；（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．
【深度思考】
（3）如图③，PC是△PAB的角平分线，若AC＝3，BC＝1，则△PAB的面积最大值是 3 ．
【分析】（1）作CD⊥PB于D，作CE⊥PA于E，由＝＝得出；
（2）作AB的垂直平分线CD，交AB于E，交⊙O于D，作BE的垂直平分线MN，交AB于N，作射线DN，交圆O于P，则点P就是求作的图形；
（3）作△APB的外角平分线PD，交AB的延长线于D，可得，，从而求得CD＝3，即⊙O的半径为，进一步得出结果．
【解答】（1）证明：如图1，
作CD⊥PB于D，作CE⊥PA于E，
∵PA是APB的平分线，
∴CE＝CD，
∵＝＝，
∴；
（2）解：如图2，
①作AB的垂直平分线CD，交AB于E，交⊙O于D，
②作BE的垂直平分线MN，交AB于N，作射线DN，交圆O于P，
则点P就是求作的图形；
（3）解：如图3，
作△APB的外角平分线PD，交AB的延长线于D，
∴，
∵PC是△PAB的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴BD＝2，
∴CD＝3，即⊙O的半径为，
当P运动到点P′，P′O⊥AD时，
△PAB的面积最大，最大值为AB•P′O＝＝3，
故答案为3．
【点评】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的作法确定的圆的条件等知识，解决问题的关键是掌握“阿氏圆”模型．
28．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）若点P为第三象限内抛物线上一动点，作PD⊥x轴于点D，交AC于点E，过点E作AC的垂线与抛物线的对称轴和y轴分别交于点F、G，设点P的横坐标为m．
①求PE+EG的最大值；
②连接DF、DG，若∠FDG＝45°，求m的值．
【分析】（1）运用待定系数法将B（1，0），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c，解方程组求出b、c即可；
（2）①利用待定系数法求出直线AC的解析式，过点E作EK⊥y轴于点K，设P（m，m2+2m﹣3），则E（m，﹣m﹣3），从而得出PE+EG＝﹣（m+）2+，运用二次函数求最值方法即可；
②作EK⊥y轴于K，FM⊥y轴于M，记直线EG与x轴交于点N．先证明△DGF∽△EGD，可得出DG2＝FG•EG＝×（﹣m）＝﹣2m，再运用勾股定理建立方程求解即可．
解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点B（1，0），C（0，﹣3），
∴，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为：y＝x2+2x﹣3．
（2）①当x＝0时，y＝x2+2x﹣3＝﹣3，
∴点C（0，﹣3）．
当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝1，
∴A（﹣3，0），
设直线AC的解析式为y＝mx+n，
把A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入，
得：，解得：，
∴直线AC的解析式为：y＝﹣x﹣3．
∵OA＝OC＝3，
∴∠OAC＝∠OCA＝45°．
过点E作EK⊥y轴于点K，
∵EG⊥AC，
∴∠KEG＝∠KGE＝45°，
∴EG＝＝EK＝OD，
设P（m，m2+2m﹣3），则E（m，﹣m﹣3），
∴PE＝﹣m﹣3﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣3m，
∴PE+EG＝PE+2OD＝﹣m2﹣3m﹣2m＝﹣m2﹣5m＝﹣（m+）2+，
由题意有﹣3＜m＜0，且﹣3＜﹣＜0，﹣1＜0，
当m＝﹣时，PE+EG取最大值，PE+EG的最大值为；
②作EK⊥y轴于K，FM⊥y轴于M，记直线EG与x轴交于点N．
∵EK⊥y轴，PD⊥x轴，∠KEG＝45°，
∴∠DEG＝∠DNE＝45°，
∴DE＝DN．
∵∠KGE＝∠ONG＝45°，
∴OG＝ON．
∵y＝x2+2x﹣3的对称轴为直线x＝﹣1，
∴MF＝1，
∵∠KGF＝45°，
∴GF＝＝MF＝．
∵∠FDG＝45°，
∴∠FDN＝∠DEG．
又∵∠FDG＝∠DEG，
∴△DGF∽△EGD，
∴＝，
∴DG2＝FG•EG＝×（﹣m）＝﹣2m，
在Rt△ONG中，OG＝ON＝|OD﹣DN|＝|OD﹣DE|＝|﹣m﹣（m+3）|＝|﹣2m﹣3|，OD＝﹣m，
在Rt△ODG中，
∵DG2＝OD2+OG2＝m2+（2m+3）2＝5m2+12m+9，
∴5m2+12m+9＝﹣2m，
解得m1＝﹣1，m2＝﹣．
【点评】本题主要考查了运用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，一次函数、二次函数图象与几何图形结合，二次函数最值应用等知识，解题关键是运用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
2023年江苏省宿迁市中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．﹣2的倒数是（ ）
A．﹣2 B．﹣ C． D．2
2．下列运算正确的是（ ）
A．a2+a＝a3 B．（a2）3＝a5 C．a8÷a2＝a4 D．a2•a3＝a5
3．如图，将一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．若∠2＝40°，则∠1的度数是（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
4．如图，是由4个大小相同的正方体组合而成的几何体，其主视图是（ ）
A． B． C． D．
5．若圆柱的底面半径为3cm，母线长为4cm，则这个圆柱的侧面积为（ ）
A．12cm2 B．24cm2 C．12πcm2 D．24πcm2
6．若关于x的不等式组的解集为x＜3，则k的取值范围为（ ）
A．k＞1 B．k＜1 C．k≥1 D．k≤1
7．如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF＝6，AB＝5，则AE的长为（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
8．如图，在矩形ABCD中，DC＝3，，P是AD上一个动点，过点P作PG⊥AC，垂足为G，连接BP，取BP中点E，连接EG，则线段EG的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ．
10．因式分解2a2﹣4a+2＝ ．
11．若关于x的一元二次方程x2+ax﹣6＝0的一个根是3，则a＝ ．
12．一只口袋中装有若干个形状，大小都相同的球，使得从袋中摸一个球是红球的概率为0.2，那么平均每摸100次能摸到 个红球．
13．点P（a，b）在函数y＝3x+2的图象上，则代数式6a﹣2b+1的值等于 ．
14．一个多边形的每个外角都相等，且是它相邻内角的，则此多边形是 边形．
15．关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是 ．
16．如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，且∠BAC＝50°，AD＝CD，则∠DAC＝ °．
17．如图，A，B，C三点在正方形网格线的交点处，将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，若A，C，B′三点共线，则tan∠B′CB＝ ．
18．如图，已知双曲线 和，直线OA与双曲线交于点A，将直线OA向下平移与双曲线交于点B，与y轴交于点P，与双曲线交于点C，S△ABC＝9，BP：CP＝2：1，则k的值为 ．
三、解答题（本大题共10题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．计算：2sin60°+（﹣）﹣2﹣|2﹣|﹣．
20．先化简，再求值：，其中满足a满足a2﹣4a＝﹣3．
21．某学校组织“中秋诗词大会”，全体学生参与初赛，为了更好的了解学生成绩分布情况，随机抽取了部分学生的成绩（满分100分），整理得到如下不完整的统计图表：
组别
成绩x分
频数（人数）
频率
第1组
60≤x＜70
6
a
第2组
70≤x＜80
0.24
第3组
80≤x＜90
24
第4组
90≤x≤100
b
0.16
请根据图表中所提供的信息回答下列问题：
（1）统计表中a＝ ，b＝ ；
（2）补全条形统计图；
（3）本次调查结果的中位数在第 小组；
（4）根据调查结果，请估计该学校1500名学生中，成绩不低于80分的人数．
22．2022年北京冬奥会成功举办，收到世界各国友人的一致赞扬，其中吉祥物“冰墩墩”以萌萌的形象深受人们的喜爱．某商场“五一节”搞抽奖活动，奖品为红、白、蓝、绿四种颜色的“冰墩墩”，每位顾客凭购物小票抽奖一次（决定奖品的颜色）．
（1）若花花凭购物小票抽奖一次，她抽到的是红色“冰墩墩”的概率为 ；
（2）若含含也抽奖一次，请列表或画树状图，求含含和花花抽到相同颜色“冰墩墩”的概率．
23．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）证明四边形ADCF是菱形．
24．图（1）为某大型商场的自动扶梯、图（2）中的AB为从一楼到二楼的扶梯的侧面示意图．小明站在扶梯起点A处时，测得天花板上日光灯C的仰角为37°，此时他的眼睛D与地面的距离AD＝1.8m，之后他沿一楼扶梯到达顶端B后又沿BL（BL∥MN）向正前方走了2m，发现日光灯C刚好在他的正上方．已知自动扶梯AB的坡度为1：2.4，AB的长度是13m．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）
（1）求图中B到一楼地面的高度．
（2）求日光灯C到一楼地面的高度．（结果精确到十分位）
25．如图，已知点C是以AB为直径的半圆上一点，D是AB延长线上一点，过点D作BD的垂线交AC的延长线于点E，连结CD，且CD＝ED．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若tan∠DCE＝2，BD＝1，求⊙O的半径．
26．某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如表：
售价x（元/件）
60
70
80
周销售量y（件）
100
80
60
周销售利润w（元）
2000
2400
2400
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）直接写出该商品的进价，并求出该商品周销售利润的最大值；
（3）由于某种原因，该商品进价提高了m元/件（m＞0），物价部门规定该商品售价不得超过70元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是2000元，求m的值．
27．“关联”是解决数学问题的重要思维方式．角平分线的有关联想就有很多……
【问题提出】
（1）如图①，PC是△PAB的角平分线，求证＝．
小明思路：关联“平行线、等腰三角形”，利用“三角形相似”．
小红思路：关联“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，利用“等面积法”．
请根据小明或小红的思路，选择一种并完成证明．
【作图应用】
（2）如图②，AB是⊙O的弦，在⊙O上作出点P，使得＝3．
要求：（1）用直尺和圆规作图；（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．
【深度思考】
（3）如图③，PC是△PAB的角平分线，若AC＝3，BC＝1，则△PAB的面积最大值是 ．
28．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）若点P为第三象限内抛物线上一动点，作PD⊥x轴于点D，交AC于点E，过点E作AC的垂线与抛物线的对称轴和y轴分别交于点F、G，设点P的横坐标为m．
①求PE+EG的最大值；
②连接DF、DG，若∠FDG＝45°，求m的值．
参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．﹣2的倒数是（ ）
A．﹣2 B．﹣ C． D．2
【分析】根据倒数的意义，乘积是1的两个数叫做互为倒数，据此解答．
解：∵﹣2×＝1．
∴﹣2的倒数是﹣，
故选：B．
【点评】本题主要考查倒数的意义，解决本题的关键是熟记乘积是1的两个数叫做互为倒数．
2．下列运算正确的是（ ）
A．a2+a＝a3 B．（a2）3＝a5 C．a8÷a2＝a4 D．a2•a3＝a5
【分析】直接利用合并同类项法则以及幂的乘方运算法则、同底数幂的乘法、除法运算法则计算得出答案．
解：A．a2+a，不是同类项，无法合并，故此选项不合题意；
B．（a2）3＝a6，故此选项不合题意；
C．a8÷a2＝a6，故此选项不合题意；
D．a2•a3＝a5，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了合并同类项以及幂的乘方运算、同底数幂的乘法、除法运算法则等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3．如图，将一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．若∠2＝40°，则∠1的度数是（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
【分析】由两直线平行，同位角相等，可求得∠3的度数，然后求得∠1的度数．
解：如图，
∵∠2＝50°，
∴∠3＝∠2＝40°，
∴∠1＝90°﹣40°＝50°．
故选：B．
【点评】此题考查了平行线的性质．注意两直线平行，同位角相等定理的应用是解此题的关键．
4．如图，是由4个大小相同的正方体组合而成的几何体，其主视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据几何体的三视图，即可解答．
解：根据图形可得主视图为：
故选：D．
【点评】本题考查了几何体的三视图，解决本题的关键是画物体的三视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等．
5．若圆柱的底面半径为3cm，母线长为4cm，则这个圆柱的侧面积为（ ）
A．12cm2 B．24cm2 C．12πcm2 D．24πcm2
【分析】圆柱侧面积＝底面周长×高．
解：根据侧面积公式可得：π×2×3×4＝24πcm2，
故选：D．
【点评】本题考查了圆柱的计算，解题的关键是弄清圆柱的侧面积的计算方法，圆柱的侧面积＝底面圆的周长×高．
6．若关于x的不等式组的解集为x＜3，则k的取值范围为（ ）
A．k＞1 B．k＜1 C．k≥1 D．k≤1
【分析】不等式整理后，由已知解集确定出k的范围即可．
解：不等式整理得：，
由不等式组的解集为x＜3，
得到k的范围是k≥1，
故选：C．
【点评】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
7．如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF＝6，AB＝5，则AE的长为（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
【分析】先求AB＝BE＝5，利用勾股定理求AH＝EH＝4，得AE＝8．
解：∵AG平分∠BAD，
∴∠BAG＝∠DAG，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB＝∠DAG，
∴∠BAG＝∠AEB，
∴AB＝BE＝5，
由作图可知：AB＝AF，
∠BAE＝∠FAE，
∵AH＝AH
∴△BAH≌△FAH（SAS），
∴BH＝FH＝3，
∴BF⊥AE，
由勾股定理得：AH＝＝4，
∵AB＝BE，BH⊥AE，
∴AH＝EH＝4，
∴AE＝8，
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理、角平分线的作法和定义、等腰三角形三线合一的性质，熟练掌握平行加角平分线可得等腰三角形，属于常考题型．
8．如图，在矩形ABCD中，DC＝3，，P是AD上一个动点，过点P作PG⊥AC，垂足为G，连接BP，取BP中点E，连接EG，则线段EG的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．
【分析】取AP的中点F，连接EF，作GH⊥AD于H，作ET⊥GH于T，设AP＝m，分别表示出PG，PH，PF，EF，进而表示出ET和GT，进而表示出EG，进一步得出结果．
解：取AP的中点F，连接EF，作GH⊥AD于H，作ET⊥GH于T，设AP＝m，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，AB＝CD＝3，
∴tan∠DAC＝，
∴∠DAC＝30°，
∵PG⊥AC，
∴PG＝AP＝m，∠APT＝90°﹣∠DAC＝60°，
∴PH＝PG•cos∠APG＝＝m，GH＝PG•sin∠APG＝，
∵E是BP的中点，
∴EF＝AB＝，PF＝m，
∴GT＝GH﹣HT＝GH﹣EF＝m﹣，ET＝FH＝PF﹣PH＝，
在Rt△EGT中，
EG2＝GT2+ET2＝（m﹣）2+（m）2＝（m﹣）2+，
∴当m＝时，EG的最小值为，
故选：A．
【点评】本题考查了矩形的性质，解直角三角形，勾股定理，二次函数及其图象的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造直角三角形．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．若代数式有意义，则实数x的取值范围是 x≥1 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件得出x﹣1≥0，再求出答案即可．
解：要使代数式有意义，必须x﹣1≥0，
解得：x≥1．
故答案为：x≥1．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，能熟记代数式中a≥0是解此题的关键．
10．因式分解2a2﹣4a+2＝ 2（a﹣1）2 ．
【分析】先提取公因式，再用公式法因式分解即可．
解：2a2﹣4a+2
＝2（a2﹣2a+1）
＝2（a﹣1）2，
故答案为：2（a﹣1）2．
【点评】本题考查因式分解，熟练掌握提取公因式法、公式法因式分解的方法是解题的关键．
11．若关于x的一元二次方程x2+ax﹣6＝0的一个根是3，则a＝ ﹣1 ．
【分析】直接把x＝3代入方程x2+ax﹣6＝0得到关于a的一次方程，然后解一次方程即可．
解：把x＝3代入方程x2+ax﹣6＝0得9+3a﹣6＝0，解得a＝﹣1．
故答案为﹣1．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
12．一只口袋中装有若干个形状，大小都相同的球，使得从袋中摸一个球是红球的概率为0.2，那么平均每摸100次能摸到 20 个红球．
【分析】设平均每摸100次能摸到x个红球，根据概率公式得＝0.2，解得x的值即可．
解：设平均每摸100次能摸到x个红球，
则＝0.2，
解得x＝20．
所以平均每摸100次能摸到20个红球．
故答案为：20．
【点评】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
13．点P（a，b）在函数y＝3x+2的图象上，则代数式6a﹣2b+1的值等于 ﹣3 ．
【分析】把点P的坐标代入一次函数解析式，得出3a﹣b＝﹣2，代入2（3a﹣b）+1即可．
解：∵点P（a，b）在函数y＝3x+2的图象上，
∴b＝3a+2，
则3a﹣b＝﹣2．
∴6a﹣2b+1＝2（3a﹣b）+1＝﹣4+1＝﹣3，
故答案为﹣3．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标满足函数关系式．
14．一个多边形的每个外角都相等，且是它相邻内角的，则此多边形是 八 边形．
【分析】根据正多边形的一个内角与一个外角的和为180°，一个外角等于与它相邻的内角的，列出方程组，从而求得外角的度数，最后根据任意正多边形的外角和是360°求解即可．
解：设这个多边形的一个外角的度数为x°，则
x＝（180﹣x），
解得：x＝45，
360°÷45°＝8，
故此多边形为八边形，
故答案为：八．
【点评】本题主要考查的是多边形的内角与外角，根据题意正确列出方程是解题的关键．
15．关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是 m＞2且m≠3 ．
【分析】方程两边同乘以x﹣1，化为整式方程，求得x，再列不等式得出m的取值范围．
解：方程两边同乘以x﹣1，得，m﹣3＝x﹣1，
解得x＝m﹣2，
∵分式方程的解为正数，
∴x＝m﹣2＞0且x﹣1≠0，
即m﹣2＞0且m﹣2﹣1≠0，
∴m＞2且m≠3，
故答案为m＞2且m≠3．
【点评】本题考查了分式方程的解，要注意分式的分母不为0的条件，此题是一道易错题，有点难度．
16．如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，且∠BAC＝50°，AD＝CD，则∠DAC＝ 20 °．
【分析】根据圆周角定理及已知可求得∠B的度数，从而可求得∠ADC的度数，再根据三角形内角和公式即可求得∠DAC的度数即可．
解：∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝50°，
∴∠B＝90°﹣50°＝40°．
∴∠ADC＝180°﹣40°＝140°．
∵AD＝DC．
∴∠DAC＝∠DCA＝＝20°．
故答案为：20．
【点评】本题考查的是圆周角定理，等腰三角形的性质，熟知直径所对的圆周角是直角是解题的关键．
17．如图，A，B，C三点在正方形网格线的交点处，将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，若A，C，B′三点共线，则tan∠B′CB＝ 2 ．
【分析】过点B作BE⊥AB'于点E，设小正方形的边长为a，由图可知AB＝4a，∠CAB＝45°，BE⊥AE，可得AE＝BE＝2a，即可得CE＝a，则可求tan∠B′CB的值．
解：如图，过点B作BE⊥AB'于点E，设小正方形的边长为a，
∵AB＝4a，∠CAB＝45°，BE⊥AE，
∴AE＝BE＝2a，
∵AC＝a，
∴CE＝AE﹣AC＝a，
∴tan∠B′CB＝＝2，
故答案为：2
【点评】本题考查了旋转的性质，解直角三角形，添加恰当的辅助线构造直角三角形是本题的关键．
18．如图，已知双曲线 和，直线OA与双曲线交于点A，将直线OA向下平移与双曲线交于点B，与y轴交于点P，与双曲线交于点C，S△ABC＝9，BP：CP＝2：1，则k的值为 ﹣ ．
【分析】连接OB，OC，作BE⊥OP于E，CF⊥OP于F．根据OA∥BC，得到S△OBC＝S△ABC＝9，根据已知条件得到S△OPB＝6，S△OPC＝3，根据相似三角形的性质即可得到结论．
解：如图，连接OB，OC，作BE⊥OP于E，CF⊥y轴于F．
∵OA∥BC，
∴S△OBC＝S△ABC＝9，
∵PB：PC＝2：1，
∴S△OPB＝6，S△OPC＝3，
∵S△OBE＝＝9，
∴S△PBE＝3，
∵△BEP∽△CFP，
∴S△CFP＝3×＝，
∴S△OCF＝3﹣＝，
∴k＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积的计算，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
三、解答题（本大题共10题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．计算：2sin60°+（﹣）﹣2﹣|2﹣|﹣．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及二次根式的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简，再利用实数的加减运算法则计算得出答案．
解：原式＝2×+4﹣2+﹣2
＝+4﹣2+﹣2
＝2．
【点评】本题主要考查了负整数指数幂的性质以及二次根式的性质、特殊角的三角函数值等知识，掌握运算法则是解题的关键．
20．先化简，再求值：，其中满足a满足a2﹣4a＝﹣3．
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，解方程求出a，根据分式有意义的条件确定a的值，代入计算得到答案．
解：原式＝（﹣）•
＝•
＝﹣，
解方程a2﹣4a＝﹣3，得a1＝1，a2＝3，
∵a﹣1≠0，
∴a≠1，
当a＝3时，原式＝﹣＝﹣．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
21．某学校组织“中秋诗词大会”，全体学生参与初赛，为了更好的了解学生成绩分布情况，随机抽取了部分学生的成绩（满分100分），整理得到如下不完整的统计图表：
组别
成绩x分
频数（人数）
频率
第1组
60≤x＜70
6
a
第2组
70≤x＜80
0.24
第3组
80≤x＜90
24
第4组
90≤x≤100
b
0.16
请根据图表中所提供的信息回答下列问题：
（1）统计表中a＝ 0.12 ，b＝ 8 ；
（2）补全条形统计图；
（3）本次调查结果的中位数在第 3 小组；
（4）根据调查结果，请估计该学校1500名学生中，成绩不低于80分的人数．
【分析】（1）根据70≤x＜80的频数和频率可以求得本次调查的学生数，从而可以得到a和b的值；
（2）根据（1）中的结果可以将统计图补充完整；
（3）根据中位数的定义即可求出中位数分布在哪一个分数段；
（4）利用1500乘以成绩不低于80分的频率即可求出答案．
解：（1）本次调查的学生有：12÷0.24＝50（人），
a＝6÷50＝0.12，b＝50×0.16＝8，
故答案为：0.12，8；
（2）补全条形统计图如图：
（3）中位数在第25位和26位，
∴中位数在第3组80≤x＜90，
故答案为：3；
（4）1500×（+0.16）＝1500×0.64＝960（人）．
答：估计该学校1500名学生中，成绩不低于80分的有960人．
【点评】本题考查条形统计图、用样本估计总体、频数（率）分布表，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22．2022年北京冬奥会成功举办，收到世界各国友人的一致赞扬，其中吉祥物“冰墩墩”以萌萌的形象深受人们的喜爱．某商场“五一节”搞抽奖活动，奖品为红、白、蓝、绿四种颜色的“冰墩墩”，每位顾客凭购物小票抽奖一次（决定奖品的颜色）．
（1）若花花凭购物小票抽奖一次，她抽到的是红色“冰墩墩”的概率为 ；
（2）若含含也抽奖一次，请列表或画树状图，求含含和花花抽到相同颜色“冰墩墩”的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式计算即可．
（2）画树状图得出所有等可能的结果数以及含含和花花抽到相同颜色“冰墩墩”的结果数，再利用概率公式可得出答案．
解：（1）∵共有红、白、蓝、绿四种颜色，
∴花花凭购物小票抽奖一次，她抽到的是红色“冰墩墩”的概率为．
故答案为：．
（2）画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中含含和花花抽到相同颜色“冰墩墩”的结果有4种，
∴含含和花花抽到相同颜色“冰墩墩”的概率为＝．
【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
23．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）证明四边形ADCF是菱形．
【分析】（1）根据AAS证△AFE≌△DBE；
（2）利用（1）中全等三角形的对应边相等得到AF＝BD．结合已知条件，利用“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得到ADCF是菱形，由“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”得到AD＝DC，从而得出结论．
【解答】证明：（1）∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，
∴AE＝DE，BD＝CD，
在△AFE和△DBE中，
，
∴△AFE≌△DBE（AAS）；
（2）由（1）知，△AFE≌△DBE，则AF＝DB．
∵DB＝DC，
∴AF＝CD．
∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，
∴AD＝DC＝BC，
∴四边形ADCF是菱形．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定，菱形的判定的应用，主要考查学生的推理能力．
24．图（1）为某大型商场的自动扶梯、图（2）中的AB为从一楼到二楼的扶梯的侧面示意图．小明站在扶梯起点A处时，测得天花板上日光灯C的仰角为37°，此时他的眼睛D与地面的距离AD＝1.8m，之后他沿一楼扶梯到达顶端B后又沿BL（BL∥MN）向正前方走了2m，发现日光灯C刚好在他的正上方．已知自动扶梯AB的坡度为1：2.4，AB的长度是13m．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）
（1）求图中B到一楼地面的高度．
（2）求日光灯C到一楼地面的高度．（结果精确到十分位）
【分析】（1）过点B作BE⊥MN于E，由坡度的定义和勾股定理求解即可；
（2）过点C作CF⊥MN于F交BL于G，过点D作DJ⊥CF于J交BE于H，则四边形BEFG、四边形ADJF是矩形，求出AF＝DJ＝14m，再由三角函数定义求出CJ＝10.5m，即可得出结果．
解：（1）过点B作BE⊥MN于E，如图（2）所示：
设AE＝xm，
∵AB的坡度为1：2.4，
∴＝，
∴BE＝xm，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：x2+（x）2＝132，
解得：x＝12，
∴AE＝12m，BE＝5m，
答：B到一楼地面的高度为5m；
（2）过点C作CF⊥MN于F交BL于G，过点D作DJ⊥CF于J交BE于H，
则BG＝2m，四边形BEFG、四边形ADJF是矩形，∠CDJ＝37°，
∴EF＝BG＝2m，AD＝FJ＝1.8m，AF＝DJ，
由（1）可知，AF＝AE+EF＝12+2＝14（m），
∴DJ＝14m，
在Rt△CDJ中，tan∠CDJ＝＝tan37°≈0.75，
∴CJ≈0.75DJ＝0.75×14＝10.5（m），
∴CF＝CJ+FJ＝10.5+1.8＝12.3（m），
答：日光灯C到一楼地面的高度约为12.3m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
25．如图，已知点C是以AB为直径的半圆上一点，D是AB延长线上一点，过点D作BD的垂线交AC的延长线于点E，连结CD，且CD＝ED．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若tan∠DCE＝2，BD＝1，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接OC，由CD＝DE，OC＝OA，可得∠DCE＝∠E，∠OCA＝∠OAC，而ED⊥AD，可得∠OAC+∠E＝90°，故可证∠DCO＝90°，CD是⊙O的切线；
（2）连接BC，设⊙O的半径为x，由tan∠DCE＝2，可得＝2，从而可用x的代数式表示DE和CD，再根据CD是⊙O的切线用切割线定理列方程，即可解得⊙O的半径．
解：（1）连接OC，如图：
∵CD＝DE，OC＝OA，
∴∠DCE＝∠E，∠OCA＝∠OAC，
∵ED⊥AD，
∴∠ADE＝90°，∠OAC+∠E＝90°，
∴∠OCA+∠DCE＝90°，
∴∠DCO＝90°，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）连接BC，如图：
∵CD＝DE，
∴∠DCE＝∠E，
∵tan∠DCE＝2，
∴tanE＝2，
∵ED⊥AD，
Rt△EDA中，＝2，
设⊙O的半径为x，则OA＝OB＝x，
∵BD＝1，
∴AD＝2x+1，
∴＝2，
∴ED＝x+＝CD，
∵CD是⊙O的切线，
∴CD2＝BD•AD，
∴（x+）2＝1×（2x+1），解得x＝或x＝﹣（舍去），
∴⊙O的半径为．
【点评】本题考查圆综合知识，涉及切线判定、锐角三角函数、切割线定理的应用等，解题的关键是用切割线定理列方程．
26．某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如表：
售价x（元/件）
60
70
80
周销售量y（件）
100
80
60
周销售利润w（元）
2000
2400
2400
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）直接写出该商品的进价，并求出该商品周销售利润的最大值；
（3）由于某种原因，该商品进价提高了m元/件（m＞0），物价部门规定该商品售价不得超过70元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是2000元，求m的值．
【分析】（1）依题意设y＝kx+b，解方程组即可得到结论；
（2）该商品进价是50﹣1000÷100＝40，设每周获得利润w＝（x﹣40）（﹣2x+220），再利用二次函数的性质可得到结论；
（2）根据题意得，w＝（x﹣40﹣m）（﹣2x+220）＝﹣2x2+（300+2m）x﹣8800﹣220m，把x＝70，w＝2000代入函数解析式，解方程即可得到结论．
解：（1）依题意设y＝kx+b，
则有，
解得：，
所以y关于x的函数解析式为y＝﹣2x+220；
（2）该商品进价是60﹣2000÷100＝40，
设每周获得利润为w元，
则有w＝（x﹣40）（﹣2x+220）＝﹣2x2+300x﹣8800＝﹣2（x﹣75）2+2450，
∴当售价是75元/件时，周销售利润的最大利润是2450元；
（3）根据题意得，w＝（x﹣40﹣m）（﹣2x+220）＝﹣2x2+（300+2m）x﹣8800﹣220m，
∵﹣2＜0，对称轴x＞75，
∴抛物线的开口向下，
∵x≤70，∴w随x的增大而增大，
当x＝70时，w最大＝2000，
即﹣2×702+（300+2m）×70﹣8800﹣220m＝2000，
解得：m＝5．
【点评】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，重点是掌握求最值的问题．注意：数学应用题来源于实践，用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识，总利润等于总收入减去总成本，然后再利用二次函数求最值．
27．“关联”是解决数学问题的重要思维方式．角平分线的有关联想就有很多……
【问题提出】
（1）如图①，PC是△PAB的角平分线，求证＝．
小明思路：关联“平行线、等腰三角形”，利用“三角形相似”．
小红思路：关联“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，利用“等面积法”．
请根据小明或小红的思路，选择一种并完成证明．
【作图应用】
（2）如图②，AB是⊙O的弦，在⊙O上作出点P，使得＝3．
要求：（1）用直尺和圆规作图；（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．
【深度思考】
（3）如图③，PC是△PAB的角平分线，若AC＝3，BC＝1，则△PAB的面积最大值是 3 ．
【分析】（1）作CD⊥PB于D，作CE⊥PA于E，由＝＝得出；
（2）作AB的垂直平分线CD，交AB于E，交⊙O于D，作BE的垂直平分线MN，交AB于N，作射线DN，交圆O于P，则点P就是求作的图形；
（3）作△APB的外角平分线PD，交AB的延长线于D，可得，，从而求得CD＝3，即⊙O的半径为，进一步得出结果．
【解答】（1）证明：如图1，
作CD⊥PB于D，作CE⊥PA于E，
∵PA是APB的平分线，
∴CE＝CD，
∵＝＝，
∴；
（2）解：如图2，
①作AB的垂直平分线CD，交AB于E，交⊙O于D，
②作BE的垂直平分线MN，交AB于N，作射线DN，交圆O于P，
则点P就是求作的图形；
（3）解：如图3，
作△APB的外角平分线PD，交AB的延长线于D，
∴，
∵PC是△PAB的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴BD＝2，
∴CD＝3，即⊙O的半径为，
当P运动到点P′，P′O⊥AD时，
△PAB的面积最大，最大值为AB•P′O＝＝3，
故答案为3．
【点评】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的作法确定的圆的条件等知识，解决问题的关键是掌握“阿氏圆”模型．
28．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）若点P为第三象限内抛物线上一动点，作PD⊥x轴于点D，交AC于点E，过点E作AC的垂线与抛物线的对称轴和y轴分别交于点F、G，设点P的横坐标为m．
①求PE+EG的最大值；
②连接DF、DG，若∠FDG＝45°，求m的值．
【分析】（1）运用待定系数法将B（1，0），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c，解方程组求出b、c即可；
（2）①利用待定系数法求出直线AC的解析式，过点E作EK⊥y轴于点K，设P（m，m2+2m﹣3），则E（m，﹣m﹣3），从而得出PE+EG＝﹣（m+）2+，运用二次函数求最值方法即可；
②作EK⊥y轴于K，FM⊥y轴于M，记直线EG与x轴交于点N．先证明△DGF∽△EGD，可得出DG2＝FG•EG＝×（﹣m）＝﹣2m，再运用勾股定理建立方程求解即可．
解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点B（1，0），C（0，﹣3），
∴，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为：y＝x2+2x﹣3．
（2）①当x＝0时，y＝x2+2x﹣3＝﹣3，
∴点C（0，﹣3）．
当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝1，
∴A（﹣3，0），
设直线AC的解析式为y＝mx+n，
把A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入，
得：，解得：，
∴直线AC的解析式为：y＝﹣x﹣3．
∵OA＝OC＝3，
∴∠OAC＝∠OCA＝45°．
过点E作EK⊥y轴于点K，
∵EG⊥AC，
∴∠KEG＝∠KGE＝45°，
∴EG＝＝EK＝OD，
设P（m，m2+2m﹣3），则E（m，﹣m﹣3），
∴PE＝﹣m﹣3﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣3m，
∴PE+EG＝PE+2OD＝﹣m2﹣3m﹣2m＝﹣m2﹣5m＝﹣（m+）2+，
由题意有﹣3＜m＜0，且﹣3＜﹣＜0，﹣1＜0，
当m＝﹣时，PE+EG取最大值，PE+EG的最大值为；
②作EK⊥y轴于K，FM⊥y轴于M，记直线EG与x轴交于点N．
∵EK⊥y轴，PD⊥x轴，∠KEG＝45°，
∴∠DEG＝∠DNE＝45°，
∴DE＝DN．
∵∠KGE＝∠ONG＝45°，
∴OG＝ON．
∵y＝x2+2x﹣3的对称轴为直线x＝﹣1，
∴MF＝1，
∵∠KGF＝45°，
∴GF＝＝MF＝．
∵∠FDG＝45°，
∴∠FDN＝∠DEG．
又∵∠FDG＝∠DEG，
∴△DGF∽△EGD，
∴＝，
∴DG2＝FG•EG＝×（﹣m）＝﹣2m，
在Rt△ONG中，OG＝ON＝|OD﹣DN|＝|OD﹣DE|＝|﹣m﹣（m+3）|＝|﹣2m﹣3|，OD＝﹣m，
在Rt△ODG中，
∵DG2＝OD2+OG2＝m2+（2m+3）2＝5m2+12m+9，
∴5m2+12m+9＝﹣2m，
解得m1＝﹣1，m2＝﹣．
【点评】本题主要考查了运用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，一次函数、二次函数图象与几何图形结合，二次函数最值应用等知识，解题关键是运用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
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