2023年辽宁省大连市中山区人教版中考数学一模试卷(含解析)

2023年辽宁省大连市中山区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  实数的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列几何体中，主视图为三角形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  如图，已知，于点，若，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  一个多边形的内角和是其外角和的倍，则这个多边形是(    )

A. 六边形 B. 七边形 C. 八边形 D. 九边形

6.  不等式的解集在数轴上表示正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

7.  某中学青年志愿者协会的名志愿者，一周的社区志愿服务时间如表所示：

关于志愿者服务时间的描述正确的是(    )

A. 众数是 B. 平均数是 C. 中位数是 D. 方差是

8.  关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，在中，分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别相交于，两点，作直线，分别交线段，于点，，若，的周长为，则的长度为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  公元前世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即：阻力阻力臂动力动力臂，小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力分别和，则动力单位：关于动力臂单位：的函数解析式正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  二元一次方程组的解是        ．

12.  在一个不透明的口袋中，有个红球和个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个球，摸到红球的概率是        ．

13.  如图，以▱对角线的交点为原点，平行于边的直线为轴，建立平面直角坐标系，若点坐标为，则点坐标为        ．

14.  如图，在矩形中，，，将线段绕点按逆时针方向旋转，使点落在边上的点处，弧的长是        结果保留．

15.  算法统宗是中国古代重要的数学著作，其中记载：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空，其大意为：今有若干人住店，若每间住人，则余下人无房可住：若每间住人，则余下一间无人住，设店中共有间房，可列方程为        ．

16.  如图，将矩形纸片折叠，使点落在上的点处，为折痕，然后将矩形纸片展开铺在一个平面上，点不动，将边折起，使点落在上的点处，连接，若，，则的长为        ．

三、解答题（本大题共10小题，共102.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
如图，在四边形中，，，平分，求证：四边形是菱形．

19.  本小题分
中华文化源远流长，中华诗词寓意深广，为了传承优秀传统文化，我市某校团委组织了一次全校名学生参加的“中国诗词大会“海选比赛为了更好地了解本次海选比赛的成绩分布情况，随机选取其中名学生的海选比赛成绩总分分作为样本进行整理，得到海选成绩统计表与扇形统计图如下：
抽取的名学生成绩统计表

请根据所给信息解答下列问题：
填空：        ，        ，        度；
规定海选成绩不低于分记为“优秀”，请估计该校参加这次海选比赛的名学生中成绩“优秀”的有多少人？

20.  本小题分
甲乙二人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做个，甲做个所用时间与乙做个所用时间相等．求甲、乙每小时各做多少个零件？

21.  本小题分
如图，星海湾大桥是中国首座海上地锚式悬索跨海大桥和中国首座双层通车钢桁架悬索桥，是大连市“七纵七横”道路网中的重要一横，已知大桥主塔垂直于上层桥面于点，小明要测量主塔的高度，他在上层桥面处测得主塔顶端的仰角约，在处测得主塔顶端的仰角约，已知米，求主塔的高度结果保留整数参考数据：，，，，，
 

22.  本小题分
庄河草莓是大连庄河市特产，全国农产品地理标志，小明家今年种植的庄河草莓喜获丰收，采摘上市天全部销售完，小明对销售情况进行统计后发现，在该草莓上市第天取整数时，日销售量单位：千克与之间的函数关系式为，草莓价格单位：元千克与之间的函数关系如图所示．
第天小明家草莓的日销售量为        千克；
当时，求与之间的函数关系式；
设日销售额元，当时，求的最大值．

23.  本小题分
如图，是的外接圆，点在上，点在上，连接交于点，过点作的切线与的延长线交于点，．

求证：；
如图，连接，若，，求的长．

24.  本小题分
如图，在中，，，，点在上，，于点，点是边上一动点，过点作于点，点与点关于直线对称，当点与点重合时，点停止运动，设，与四边形重叠部分的面积为．
求的长；
求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围．

25.  本小题分
综合与实践
问题情境：数学活动课上，李老师出示了一个问题：
如图，在中，点，分别在边，上，连接，，求证：．
独立思考：请解答李老师提出的问题．
实践探究：在原有问题条件不变的情况下，李老师增加下面的条件，并提出新问题，请你解答．
“如图，延长至点，连接，使，延长交于点，点在上，，，在图中找出与相等的线段，并证明．
问题解决：数学活动小组同学对上述问题进行特殊化研究之后发现，当时，点与点重合，若给出中任意两边长，则图中所有已经用字母标记的线段长均可求，该小组提出下面的问题，请你解答．
“如图，在的条件下，若，，，求的长．
 

26.  本小题分
在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点坐标为，点坐标为，点为第一象限内抛物线上一点．
的值为        ；
如图，连接，，与交于点，若，求点坐标；
如图，设直线与线段所夹锐角为，若，求点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：实数的相反数是，
故选：．
根据相反数的意义，即可解答．
本题考查了实数的性质，相反数，熟练掌握相反数的意义是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、正方体的主视图是正方形，故此选项不符合题意；
B、圆锥的主视图是三角形，故此选项符合题意；
C、圆柱的主视图是长方形，故此选项不符合题意；
D、长方体的主视图是长方形，故此选项不符合题意．
故选：．
主视图是从找到从正面看所得到的图形，注意要把所看到的棱都表示到图中．
此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握主视图所看的位置．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
利用二次根式的加法的法则，完全平方公式，同底数幂的乘法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查二次根式的加减法，积的乘方，同底数幂的乘法，完全平方公式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

4.【答案】 

【解析】解：在中，，，
则，
，
，
故选：．
根据直角三角形的性质求出，再根据平行线的性质解答即可．
本题考查的是直角三角形的性质、平行线的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：设多边形的边数是，根据题意得，
，
解得：，
这个多边形为六边形．
故选：．
根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于，外角和等于，然后列方程求解即可．
本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：不等式的解集为：，
故选：．
解不等式求得不等式的解集，然后根据数轴上表示出的不等式的解集，再对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的解一元一次不等式以及在数轴上表示不等式解集，熟知实心圆点与空心圆点的区别是解答此题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：这组数据出现次数最多的是和，分别出现次，所以众数是和，因此选项A不符合题意；
这组数据的平均数为，因此选项B正确，符合题意；
将这个数据从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为，因此选项C不符合题意；
这组数据的方差为，因此选项D不符合题意；
故选：．
根据众数、中位数、平均数、方差的计算方法分别进行计算即可．
本题考查平均数、中位数、众数、方差，掌握平均数、中位数、众数以及方差的计算方法是正确解答的前提．
 

8.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程没有实数根，
，
，
，
．
故选A．
利用的符号求出的范围．
本题考查一元二次方程解的情况，掌握一元二次方程没有实数根的条件是求解本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：由题意得，直线为线段的垂直平分线，
，
的周长为，
．
故答案为：．
由题意得，直线为线段的垂直平分线，则，的周长为，即可得出答案．
本题考查作图基本作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：阻力阻力臂动力动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是和，
动力单位：关于动力臂单位：的函数解析式为：，
则，
故选：．
直接利用阻力阻力臂动力动力臂，进而将已知量据代入得出函数关系式．
此题主要考查了反比例函数的应用，正确读懂题意得出关系式是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
把代入，得，
解得：，
把代入，得，
所以方程组的解是．
故答案为：．
把代入得出，求出，再把代入求出即可．
本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：在一个不透明的口袋中，有个红球和个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个球，
摸到红球的概率是：．
故答案为：．
直接利用概率公式，进而计算得出答案．
本题主要考查了概率公式，正确掌握概率求法是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：▱对角线的交点为原点，
▱的点和点关于点中心对称，
点坐标为，
点的坐标为，
故答案为：．
根据平行四边形是中心对称图形，再根据▱对角线的交点为原点和点的坐标，即可得到点的坐标．
本题考查平行四边形的性质、坐标与图形性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行四边形的性质解答．
 

14.【答案】 

【解析】解：作于，
四边形是矩形，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
弧的长．
故答案为：．
作于，由矩形的性质得到，推出，由弧长公式即可求出弧的长．
本题考查矩形的性质，弧长，旋转的性质，关键是作于，构造直角三角形，求出的度数．
 

15.【答案】 

【解析】解：每间住人，则余下人无房可住：若每间住人，则余下一间无人住，
客人可表示为个，也可表示为个，
，
故答案为：．
由等量关系“一房七客多七客，一房九客一房空”，即可列出一元一次方程即可．
本题考查一元一次方程的应用，理清题中的等量关系是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：在矩形中，，，，
，
，
，
，
根据第二次折叠可知，，，，，
，
，
，
根据第一次折叠可知，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
在中，根据勾股定理，得，
，
，
，
故答案为：．
根据矩形的性质和，可得，根据折叠的性质可证≌，根据全等三角形的性质可得，从而可得的长，根据，再在中，根据勾股定理求出的长，可得的长，从而可得的长．
本题考查了翻折变换折叠问题，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式
． 

【解析】直接利用立方根的性质以及负整数指数幂的性质、完全平方公式分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
 

18.【答案】证明：，
，
平分，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形． 

【解析】根据平行线的性质和菱形的判定解答即可．
此题考查菱形的判定，关键是根据邻边相等的平行四边形是菱形解答．
 

19.【答案】     

【解析】解：由题意得，；
；
的度数为；
故答案为：；；；
名，
估计该校参加这次海选比赛的名学生中成绩“优秀”的学生约有人．
用乘组所占比例可得的值，进而得出的值；用乘组所占比例可得的值；
根据频数分布表中的数据，可以计算出该校参加这次海选比赛的名学生中成绩“优秀”的有多少人．
本题考查频数分布表、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

20.【答案】解：设乙每小时做个零件，甲每小时做个零件，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
个．
答：乙每小时做个零件，甲每小时做个零件． 

【解析】设乙每小时做个零件，甲每小时做个零件，根据时间总工作量工作效率，即可得出关于的分式方程，解之并检验后即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

21.【答案】解：由题意知，，，米，
设米，
在中，
，，
，
，
在中，
，
，
，
，
解得，
米．
答：信号塔的高度约为米． 

【解析】设米，在中，根据正切三角函数的定义得到，在中，根据正切三角函数的定义得到，由即可求出．
本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握正切三角函数形是解答此题的关键．
 

22.【答案】 

【解析】解：当时，，
当时，千克，
第天小颖家草莓的日销售量是千克，
故答案为：；
当时，设草莓价格与之间的函数关系式为，
点，在的图象上，
，
解得：，
函数解析式为：；
当时，，
，
随的增大而增大，
当时，的最大值为，
当时，，
，
当时，随的增大而增大，
，
当时，的最大值为，
，
的最大值为．
当时，，把代入，求出其解即可；
利用待定系数法即可求得草莓价格与之间的函数关系式；
当时，，因为，所以随的增大而增大，当时，的最大值为，
当时，，因为，当时，随的增大而增大，因为，
当时，的最大值为，即可得答案．
此题考查了二次函数的应用，理解题意，利用待定系数法求得函数解析式，注意数形结合思想与函数思想的应用是解题的关键．
 

23.【答案】证明：连接，

是的切线，
，
，
，
，
是直径，
，
；
解：连接，

，
，
，，
，
，
，
，
四边形是圆内接四边形，
，
，
，
∽，
，
，
． 

【解析】由切线的性质可得，由圆周角的定理可求，，可得结论；
由勾股定理可求的长，通过证明∽，可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

24.【答案】解：，
，

，
，
；
当时，
点与点关于直线对称，
，，
，
，
，
，
，
；

当时，
，，，
，，
的面积，
的面积，
的面积的面积，

与的函数关系式：当时，；当时，． 

【解析】由锐角的余弦即可求出的长；
分两种情况，由锐角的正切，三角形面积公式表示出，即可解决问题．
本题考查函数关系式，勾股定理，解直角三角形，关键是分两种情况讨论．
 

25.【答案】证明：，，，，
；
解：，理由如下：
以点为圆心，为半径画弧，交延长线于点，

，
，
，
，
，，
，
≌，
，
以点为圆心，为半径画弧，交延长线于点，
，
，，
，
，
，
，
，
≌，
；
解：过点作于点，

，
，
，
，
，，
，
，
，
∽，
，
，
，
设，，
，
，，
∽，
，
，
，
，
，
在中，． 

【解析】根据三角形内角和定理解答即可；
以点为圆心，为半径画弧，交延长线于点，根据证明≌，进而利用全等三角形的性质解答即可；
过点作于点，根据相似三角形的判定和性质解答即可．
本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理以及三角形内角和定理等知识，本题综合性强，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．
 

26.【答案】 

【解析】解：将点的坐标代入抛物线表达式得：，
解得：，
故答案为：；

由点、的坐标得，直线的表达式为：，
由知抛物线的表达式为：，
设点，
，
，
解得：舍去或，
故点的坐标为：；

过点作于点，过点作轴于点，过点作轴于点，

则为等腰直角三角形，则，
在中，若，则设，则，
则，
轴、轴，则，
，即，则，
则，
即点，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
联立得：，
解得：不合题意的值已舍去，
则点的坐标为：
将点的坐标代入抛物线表达式得：，即可求解；
设点，由，即可求解；
求出点的坐标，得到直线的表达式，即可求解．
本题考查了二次函数的综合运用，涉及到二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和三角形相似、解直角三角形等，有一定的综合性，难度适中．