中考数学三轮冲刺专练02（选择题-提升）（教师版）

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专练02（选择题-提升）
1．（2022·广东·育才三中一模）设的整数部分为，小数部分为，则的值是（       ）
A．6 B． C．1 D．-1
【答案】D
【解析】
解：∵3＜＜4，
∴7-的小数部分为b，整数部分为3，
∴a=3，b=4-；
∴==-1．
故选：D．
【点睛】
本题考查了估算无理数的大小，实数的运算，准确熟练地求出a，b的值是解题的关键．
2．（2022·江苏南通·模拟预测）计算的结果是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
解：





故选：A
【点睛】
本题考查了二次根式的运算，平方差公式，积的乘方的逆运算等知识，熟练掌握相关运算法则是关键．
3．（2021·山东临沂·二模）已知a﹣b＝1，则a3﹣a2b+b2﹣2ab的值为（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【答案】C
【解析】
解：∵a﹣b＝1，
∴a3﹣a2b+b2﹣2ab
＝a2（a﹣b）+b2﹣2ab
＝a2+b2﹣2ab
＝（a﹣b）2
＝1
故选：C．
【点睛】
本题考查了因式分解，完全平方公式，整式的化简求值，采用整体代入是解决此类题的关键．
4．（2021·四川省内江市第六中学二模）已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（　　）
A．20或16 B．20
C．16 D．以上答案均不对
【答案】B
【解析】
解：根据题意得
，
解得，
①若4是腰长，则三角形的三边长为：4、4、8，
不能组成三角形；
②若4是底边长，则三角形的三边长为：4、8、8，
能组成三角形，周长为4+8+8＝20．
故选：B．
【点睛】
本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，等腰三角形的定义，三角形三边关系，分类讨论是解题的关键．
5．（2022·安徽·由南翔学校合并一模）已知关于x的一元二次方程有一个根为m，记，下列说法正确的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
解：∵关于x的一元二次方程有一个根为m
∴
∴
∴



故选：C
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的定义，根的判别式等知识，关键在于灵活变形，利用整体代入的方法解决问题．
6．（2021·河南省淮滨县第一中学模拟预测）如图，赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形两条直角边长分别为和，若，大正方形的边长为，则小正方形的面积为（       ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
解：由题意可知：中间小正方形的边长为：，
每一个直角三角形的面积为：，
，
，
正方形的面积为，
故选：A．
【点睛】
本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．
7．（2022·重庆·模拟预测）估计的值在（       ）之间．
A．4和5 B．5和6 C．6和7 D．7和8
【答案】D
【解析】
解：，
=，
=，
=，
∵，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】
本题考查二次根式混合运算，估值，掌握二次根式混合运算法则和估值方法是解题关键．
8．（2021·浙江宁波·一模）我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数、琎价各几何？”意思是：一起去买琎（一种像玉的石头），每个人出两，则多4两；每个人出两，则不足3两．问人数、琎的价格分别是多少？如果设人数x人，琎的价格为y两，那么可列成的方程组为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
解：由题意知，可列方程为：
故选B．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用．解题的关键在于理解题意．
9．（2022·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是（       ）．
A．m<－2且 B．m<2且 C．m>－3且 D．m>－3且
【答案】C
【解析】
解：方程两边同时乘以（x﹣1）得，2x﹣3（x﹣1）＝﹣m，
解得x＝m+3．
∵x为正数，
∴m+3＞0，解得m＞﹣3．
∵x≠1，
∴m+3≠1，即m≠﹣2．
∴m的取值范围是m＞﹣3且m≠﹣2．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是分式方程的解，熟知求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解是解答此题的关键．
10．（2022·广东·珠海市第十一中学一模）若不等式-1＞0的解都能使关于的不等式(m-2)＜2m-1成立，则m的取值范围是(        )
A．m＞1 B．1＜m≤2 C．0≤m≤1 D．-1≤m＜2
【答案】D
【解析】
解：-1＞0

不等式-1＞0的解都能使关于的不等式(m-2)＜2m-1成立，
且
即
解得
即
故选D
【点睛】
本题考查了一元一次不等式组，不等式的性质，根据题意列出不等式组是解题的关键．
11．（2021·山东烟台·模拟预测）若关于x的不等式组无解，则m的取值范围为（       ）
A．m＞2 B．m＜2 C．0＜m≤2 D．m≥2
【答案】D
【解析】
解：
解不等式①得，x≥m．
解不等式②得，x＜2，
∵不等式组无解，
∴m≥2，
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
12．（2022·山东济南·一模）对于一个函数：当自变量x取a时，其函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．若二次函数y＝x2+2x+c（c为常数）有两个不相等且都小于1的不动点，则c的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
设a是二次函数y=x2+2x+c的不动点，则a=a2+2a+c，即a2+a+c=0，
∵二次函数y=x2+2x+c（c为常数）有两个不相等且都小于1的不动点，
∴关于a的方程a2+a+c=0有两个不相等的实数根，且两个实数根都小于1，
设这两个实数根为a1、a2，则a1+a2=-1，a1•a2=c，
∴Δ＞0，a1＜1，a2＜1，
∴Δ=1-4c＞0①，
且（a1-1）+（a2-1）＜0②，
（a1-1）（a2-1）＞0③，
由①得c＜，
∵a1+a2=-1，
∴②总成立，
由③得：a1•a2-（a1+a2）+1＞0，即c-（-1）+1＞0，
∴c＞-2，
综上所述，c的范围是-2＜c＜，
故选：C．
【点睛】
本题考查二次函数综合应用，涉及新定义、一元二次方程解的判定、韦达定理等知识，解题的关键是根据已知得到关于a的方程a2+a+c=0有两个不相等的实数根，且两个实数根都小于1．
13．（2021·河北省保定市第二中学分校一模）若函数y＝kx﹣b的图象如图所示，则关于x的不等式k（x+3）﹣b≤0的解集为（　　）

A．x≤5 B．x≤﹣1 C．x≥﹣1 D．x≥5
【答案】C
【解析】
解：∵一次函数y＝kx﹣b的图象经过点（2，0），
∴2k﹣b＝0，b＝2k．
∵由图象可知：函数值y随x的增大而减小，
∴k＜0；
∴关于x的不等式k（x+3）﹣b≤0可化为k（x+3）﹣2k≤0，
移项得：kx≤﹣3k+2k，
即kx≤﹣k，
两边同时除以k得：x≥﹣1，
故选：C．
【点睛】
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点((交点、原点等))，做到数形结合．
14．（2021·山东滨州·三模）新定义：关于x的一元二次方程a1(x﹣m)2+k＝0与a2(x﹣m)2+k＝0称为“同族二次方程”．如2(x﹣3)2+4＝0与3(x﹣3)2+4＝0是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程2(x﹣1)2+1＝0与(a+2)x2+(b﹣4)x+8＝0是“同族二次方程”，那么代数式ax2+bx+2026能取的最小值是（　　）
A．2020 B．2021 C．2023 D．2018
【答案】B
【解析】
解：∵2（x﹣1）2+1＝0与（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝0是“同族二次方程”，
∴（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝（a+2）（x﹣1）2+1，
即（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝（a+2）x2﹣2（a+2）x+a+3，
∴，
解得：，
∴ax2+bx+2026＝5x2﹣10x+2026＝5（x﹣1）2+2021，
则代数式ax2+bx+2026能取的最小值是2021．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了配方法的应用，解二元一次方程组的方法，理解同族二次方程的规律是解答本题的关键．
15．（2022·黑龙江·模拟预测）若关于x的分式方程无解，则m的值为（　　）
A．﹣3或 B．或
C．﹣3或或 D．﹣3或
【答案】C
【解析】
解：当（x+3）（x﹣3）＝0时，x1＝3或x2＝﹣3，
原分式方程可化为：1，
去分母，得x（x+3）＝（x+3）（x﹣3）﹣（mx﹣2），
整理得（3+m）x＝﹣7，
∵分式方程无解，
∴3+m＝0，
∴m＝﹣3，
把x1＝3或x2＝﹣3，分别代入（3+m）x＝﹣7，
得m或m，
综上所述：m的值为m或m或m＝﹣3，
故选：C．
【点睛】
本题考查分式方程的解，解题的关键是掌握在本题中分式方程无解满足的两个条件：一次项系数为0，最简公分母为0．
16．（2021·山东威海·模拟预测）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根x1，x2．若，则m的值是（       ）
A．2 B．﹣1 C．2或﹣1 D．不存在
【答案】A
【解析】
解：∵关于x的一元二次方程mx2−(m+2)x+=0有两个不相等的实数根x1、x2，
∴，
解得：m>−1且m≠0，
∵x1、x2是方程mx2−(m+2)x+=0的两个实数根，
∴，，
∵，
∴，
∴m=2或−1，
∵m>−1，
∴m=2．
故选：A．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义以及根的判别式，解题的关键是：(1)根据二次项系数非零及根的判别式，找出关于m的不等式组；(2)牢记，．
17．（2021·山东枣庄·一模）若关于的方程有实数根，则的取值范围是（　　）
A． B． C．且 D．且
【答案】B
【解析】
解：当k=0时，方程为-6x+9=0，此时方程的解为 ，符合题意；
当k≠0时，∵关于的方程有实数根，
∴ ，
∴ ，
又k≠0，
∴ 且k≠0，
综上所述，当时，关于的方程有实数根.
故选：B.
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，以及分类讨论数学思想，进行分类讨论是解题的关键.
18．（2021·广西梧州·一模）如图，反比例函数与正比例函数的图象相交于点A、B，其中A(2，2). 若，则x的取值范围是（       ）

A． B．或
C． D．或
【答案】B
【解析】
∵反比例函数与正比例函数的图象相交于点A、B，其中A(2，2)
∴B(-2，-2)
∵
∴或
故选：B．
【点睛】
本题考查了反比例函数、正比例函数、中心对称的知识；解题的关键是熟练掌握反比例函数、正比例函数、中心对称的性质，从而完成求解．
19．（2022·广西·南宁市三美学校模拟预测）甲、乙两地之间是一条直路，在全民健身活动中，王强跑步从甲地往乙地，李刚骑自行车从乙地往甲地，两人同时出发，李刚先到达目的地，两人之间的距离s（km）与运动时间t（h）的函数关系大致如图所示，下列说法中错误的是（）

A．两人出发0.5小时后相遇
B．李刚到达目的地时两人相距8km
C．甲乙两地相距12km
D．王强比李刚晚0.75h到达目的地
【答案】B
【解析】
解：由图可知：当时间为0h时，两人相距12km，
即甲乙两地相距12km，故C不符合题意．
当时间为0.5h时，甲乙两人之间距离为0，
即此时两人相遇，故A不符合题意；
∵李刚比王强先到目的地，
∴王强全程花费的时间为1.5h，
∴王强的速度为12÷1.5=8km/h，
∵12÷0.5=24km/h，
∴李刚的速度为16km/h，
∴李刚花费的时间=12÷16=0.75h，
∴李刚到达目的地时两人相距0.75×8=6km，王强比李刚晚0.75h到达目的地，故B选项符合题意，D选项不符合题意；
故选B．
【点睛】
本题考查了动点问题的函数图象，解题时要充分理解题意，读懂函数图象的意义．
20．（2021·江苏省锡山高级中学实验学校三模）如图，的顶点B、C在第二象限，O为原点，点，反比例函数的图像经过点C和边的中点D，若，则k的值为（       ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
解：如图所示，过点C作CE⊥x轴于E，过点D作DF⊥x轴于F，
∴，
∴∠DAF=∠COE，
又∵∠AFD=∠OEC，
∴△DFA∽△CEO，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=OC，∠AOC=∠B=60°，
∵D是AB的中点，
∴OC=AB=2AD，
∴，
∴CE=2DF，OE=2AF
设AF=m，则点C的坐标为，点D的坐标为 ，
∴，
解得（经检验是原方程的解），
∴CE=2，
∴，
∴，
故选A．

【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质，反比例函数与几何综合，相似三家形的性质与判定，锐角三角函数，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．
21．（2022·河南信阳·一模）已知点，，都在反比例函数的图象上，那么，，的大小关系是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
解：∵点，，都在反比例函数的图象上，
∴，，．
∴，
故选：B．
【点睛】
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，根据函数解析式求出三个点的横坐标是求解本题的关键．
22．（2022·湖南娄底·一模）已知二次函数的图象经过与两点，关于x的方程有两个根，其中一个根是5．则关于x的方程有两个整数根．这两个整数根是（       ）
A．﹣2或4 B．﹣2或6 C．0或4 D．﹣3或5
【答案】A
【解析】
解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过(3,0)与(-1,0)两点，
∴当y=0时，0=ax2+bx+c的两个根为3和-1，函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=1，
又∵关于x的方程ax2+bx+c+m=0(m>0)有两个根，其中一个根是5，
∴方程ax2+bx+c+m=0(m>0)的另一个根为−3，函数y=ax2+bx+c的图象开口向下，
∵关于x的方程ax2+bx+c+n=0(0 ∴这两个整数根是−2和4，
故选：B．
【点睛】
本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的关系解答．
23．（2022·四川成都·一模）如图，点在反比例函数的图像上，点在反比例函数的图像上，且轴，，垂足为点，交轴于点，则的面积为（       ）

A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解析】
解：过B点作BH⊥y轴于H点，BC交x轴于D，如图，

∵BC//y轴，AC⊥BC，
∴四边形ACDO和四边形ODBH都是矩形，
∴S矩形OACD=|-4|=4，S矩形ODBH=|8=8，
∴S矩形ACBH=4+8=12，
∴△ABC的面积=S矩形ACBH=6．
故选：C．
【点睛】
本题考查了反比例函数系数k的几何意义,在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
24．（2022·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC上一点，过点E作EF⊥AE，交DC于点F，连接AF，则AF的最小值是（       ）

A．5 B． C． D．3
【答案】A
【解析】
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝90°，
∴∠BAE+∠BEA＝90°，
∵EF⊥AE，
∴∠AEF＝90°，
∴∠BEA+∠CEF＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF，
又∵∠B＝∠C＝90°，
∴△ABE∽△ECF；
设BE＝x，则CE＝4﹣x，
∵△ABE∽△ECF，
∴，即，
∴CF（x﹣2）2+1，
当x＝2时，CF取最大值1，此时DF有最小值3，
∵在Rt△ADF中，AF，
∴当DF＝3时，AF取最小值，AF的最小值为5，
∴AF长度的最小值为5．
故选：A
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质进行几何计算．也考查了二次函数的性质和正方形的性质．
25．（2022·安徽·太湖县江塘初级中学一模）如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P、Q同时从点A出发，在正方形的边上，分别按A→D→C，A→B→C的方向且都以1cm/s的速度运动，到达点C运动终止，连接PQ，设运动时间为xs，ΔAPQ的面积为ycm2，则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是（       ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
如图，当时，
正方形ABCD的边长为2cm

∴图象是开口向上，y随x的增大而增大的抛物线，
当时，



∴图象是开口向下，y随x的增大而减小的抛物线，
∴y与x的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有A选项图象符合；
故选：A．
【点睛】
本题考查了动点问题的函数图象，能够根据题意列出关系式是解题的关键．
26．（2022·山西·阳高县第三中学校一模）如图，将函数的图象沿轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点，平移后的对应点分别为点、．则曲线段扫过的面积为（       ）

A．4 B．6 C．9 D．12
【答案】B
【解析】
解：如图，连接 由抛物线平移及抛物线的性质可得：
曲线段AB扫过的面积矩形的面积，

而将函数的图象沿轴向上平移得到一条新函数的图象，
则抛物线向上平移了2个单位长度，

∵A（1，m），B（4，n），

∴曲线段AB扫过的面积=，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了二次函数图象与几何变换，根据已知得出的长度，扫过的面积为矩形，都是解本题关键．
27．（2022·海南省直辖县级单位·一模）在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx+k与y（k≠0）的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
解：①当k>0时，y=kx+k过一、二、三象限；y=过一、三象限；
②当k<0时，y=kx+k过二、三、四象限；y=过二、四象限．
观察图形可知，只有D选项符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数的图象和一次函数的图象，熟悉两函数中k和b的符号对函数图象的影响是解题的关键．
28．（2022·江苏宿迁·一模）如图，在中，，，，若内接正方形的边长是x，则h、c、x的数量关系为（       ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
解：设CH与GF交于点M，
正方形，
，，
，
，
，
，
四边形DHMG是矩形，
，
，，正方形的边长是x，
，
，
，
整理得，
故选：D．

【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
29．（2022·广东·梅华中学一模）如图，矩形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为（        ）


A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解析】
解：∵四边形ABCD是矩形，AD=8，
∴BC=8，
∵△AEF是△AEB翻折而成，
∴BE=EF=3，AB= AF，△CEF是直角三角形，
∴CE=8－3=5，
在Rt△CEF中，由勾股定理得：，
设，
在在Rt△ABC中，由勾股定理得：，
即：，
解得：，
∴．
故选：C．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、翻折变换及勾股定理，熟知折叠是种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．
30．（2021·辽宁抚顺·一模）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，连接，，，若，则的大小为（       ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
解：在⊙O中，∠CBD=25°，
∴∠CAD=25°，
∵点E是△ABC的内心，
∴∠BAC=2∠CAD=50°，
∴∠EBC+∠ECB=（180°-50°）÷2=65°，
∴∠BEC=180°-65°=115°．
故选：C．
【点睛】
本题考查了三角形的内心，圆周角定理，三角形内角和定理，关键是得到∠EBC+∠ECB的度数．
31．（2019·河南·漯河市郾城区第二初级实验中学一模）如图，在半径为，圆心角等于45°的扇形AOB内部作一个矩形CDEF，使点C在OA上，点D、E在OB上，点F在弧AB上，且．则图中阴影那分的面积（       ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
连接OF，设CD＝x，则DE＝2x

∵∠O＝45°，则OD＝x，
在RtΔOEF中，由勾股定理得OE2+EF2＝OF2，
即，
解得x＝±1（舍去负数），
∴OD＝1，
S阴影＝S扇形AOB﹣S△OCD﹣S矩形CDFE
，
，
．
故选B．
【点睛】
本题考查了扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积的计算公式S=是解题的关键．
32．（2022·安徽·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，AE⊥BD于点E，若∠DAE：∠BAE=3：1，则∠EAC为（     ）

A．22.5° B．30° C．45° D．35°
【答案】C
【解析】
四边形ABCD是矩形


∠DAE：∠BAE=3：1





故选：C．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
33．（2021·辽宁鞍山·一模）如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交于点D，点E为半径OB上一动点，若OB＝2，则阴影部分周长的最小值为（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
解：阴影部分的周长=CE+ED+的长，由于C和D均为定点，E为动点，故只要CE+ED最小即可，作C点关于OB的对称点A，连接DA，此时即为阴影部分周长的最小值，如下图所示：

∵A、C两点关于OB对称，∴CE=AE，
∴CE+DE=AE+DE=AD，
∵OD平分∠COB，∠COB=60°，
∴∠DOA=∠DOB+∠BOA=30°+60°=90°，
在Rt△ODA中，，
的长为，
∴阴影部分周长的最小值为，故C正确．
故选：C．
【点睛】
本题考查了轴对称图形求线段的最小值，弧长公式，勾股定理等，本题的关键是找出阴影部分周长最小值时点E的位置进而求解．
34．（2022·浙江舟山·模拟预测）如图，矩形纸片ABCD中，AD＝9，E是CD上一点，连结AE，∆ADE沿直线AE翻折后点D落到点F，过点F作FG⊥AD，垂足为G．若AG＝2GD，则DE的值为（       ）

A． B． C．5 D．
【答案】D
【解析】
解：如图，过点E作EH⊥FG，交FG于点H，

由翻折可知AF＝AD＝9，DE＝EF．
∵AD＝6，AG＝2GD，
∴GD＝3．
∴AG＝AD-DG＝9-3＝6．
∵FG⊥AD，
∴．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°．
∵FG⊥AD，EH⊥FG，
∴四边形GHED为矩形．
∴GH＝DE，HE＝GD＝3．
设DE＝x，则GH＝EF＝x，HF＝-x，
∵在Rt△HEF中，，
∴．
解得：．
∴．
故选：D．
【点睛】
本题考查矩形的判定和性质，折叠的性质以及勾股定理．利用数形结合的思想是解题关键．
35．（2022·广西·一模）如图，小文准备测量自己所住楼房与对面楼房的水平距离，他在对面楼房处放置一个3米长的标杆CD，然后他在A处测得C点的俯角β为53°，再测得D点的俯角α为45°，则两座楼房之间的水平距离大约为（       ）米．（参考数据：，，）

A．9 B．9.25 C．9.5 D．9.75
【答案】A
【解析】
解：延长CD交水平线于点E

则四边形ABCE是矩形，
∴AE=BC
设AE=BC=xm，
在Rt△AEC中，∠EAC=53°，
∴EC=AEtan53°≈ m，
在Rt△AED中，∠EAD=45°，
∴ED=AEtan45°=xm，
∵CD=3m，
∴CE-DE=3,
∴，
解得x=9,
∴AE=BC=9（m）
∴两座楼房之间的水平距离大约为9米，
故选：A．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，正确添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．
36．（2022·河南信阳·一模）如图，边长为2的正六边形放置于平面直角坐标系中，边在轴的负半轴上，顶点在轴正半轴上，将正六边形绕坐标原点旋转后，顶点恰好落在双曲线上，那么该双曲线是（       ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
解：将正六边形绕坐标原点旋转后，如图，

延长DC交x轴于M，则DM⊥OM，
∵ABCDEF是正六边形且边长为2，
∴AB=BC=CD=2，∠FAB=∠ABC=∠BCD=120°，
∴∠OAB=∠BCM=180°－120°=60°，
在Rt△AOB中，AB=2，∠OAB=60°，
∴OA=1，OB=，
在Rt△BCM中，BC=2，∠BCM=60°，
∴CM=1，BM=，
∴点D的坐标为：（，3），
∵旋转后点D在反比例函数的图象上，
∴把点D（，3）代入反比例函数，
得：，
∴反比例函数的关系式为：．
故选：B．
【点睛】
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，正六边形的性质，求出点D的坐标是解决问题的关键．
37．（2022·河南安阳·一模）如图，将矩形沿折叠，使顶点C恰好落在边的中点上，若，，则的值为（       ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
解：设，则由折叠的性质可知：，，
∵是边的中点，，
∴，
∵，
∴，即，解之得，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】
本题考查矩形中折叠的性质，勾股定理，正切的定义，解题的关键是利用折叠的性质表示出：，，再利用勾股定理求出的长．
38．（2021·陕西榆林·二模）如图，在等腰△ABC中，AB＝BC＝4，∠ABC＝45°，F是高AD和高BE的交点，则线段DF的长度为（　　）

A．2 B．2 C．4﹣2 D．
【答案】C
【解析】
解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠ABD＝∠DAB=45°，
∴BD＝AD，
∵∠CAD+∠AFE＝90°，∠CAD+∠C＝90°，∠AFE＝∠BFD，
∴∠AFE＝∠C，
∵∠AFE＝∠BFD，
∴∠C＝∠BFD，
在△BDF和△ADC中，
，
∴△BDF≌△ADC（AAS），
∴DF＝CD，
∵AB＝BC＝4，∠ABC＝45°，
∴，
∴DF＝CD＝4-，故C正确．
故选：C．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形．
39．（2021·河南商丘·一模）如图，在平面直角坐标系中，A(3，0)，B(0，4)，将△AOB绕点O顺时针旋转一定角度得到△COD，点A，B的对应点分别为点C，D，若OD恰好经过AB的中点E，则点D的坐标为（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
解：∵A（3，0），B（0，4），AE＝EB
∴E（，2）
∴直线OD的解析式为y＝x
设D（m，m）
∵OD＝OB＝4
∴m2+（m）2＝16
∴m＝或﹣（﹣舍弃）
∴D（，）
故选：C．
【点睛】
本题考查坐标与图形变化-旋转，一次函数的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会构建一次函数解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
40．（2021·河南·模拟预测）正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（2，4），将正方形ABCD平移，使点B落在点D的位置上（即平移后点B的对应点为点D），则点C平移后的对应点的坐标为（　　）

A．（2，﹣1） B．（3，﹣1） C．（2，﹣3） D．（1，﹣3）
【答案】A
【解析】
解：如图，正方形ABCD平移后得到正方形A′B′C′D′，作BE⊥y轴于点E，DF⊥y轴于点F，CG⊥DF交FD的延长线于点G，如图所示：

∵A（0，3），B（2，4），
∴E（0，4），
∴AE＝1，BE＝2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BA＝AD＝DC，∠BAD＝∠ADC＝90°，
∵∠BEA＝∠AFD＝∠DGC＝90°，
∴∠BAE＝90°﹣∠DAF＝∠ADF＝90°﹣∠CDG＝∠DCG，
∴△BAE≌△ADF≌△DCG（AAS），
∴BE＝AF＝DG＝2，AE＝DF＝CG＝1，
∴OF＝4﹣1﹣2＝1，FG＝1+2＝3，
∴F（0，1），D（1，1），G（3，1），
∴C（3，2），
∵将正方形ABCD平移，使点B落在点D的位置上，
∴正方形ABCD向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，
∴xC′＝3﹣1＝2，yC′＝2﹣3＝﹣1，
∴C′（2，﹣1），故A正确．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，图形的平移，正确作出辅助线是解题的关键．
41．（2022·广东·珠海市第十一中学一模）如图，A(4，0)、B(0，3)，在第一象内作Rt△ABC，其中∠BAC=90°且 tan∠ABC=2，点P是直线AC上的动点，点Q是直线BC上的动点，则PB+PQ的最小值是(        )

A．5 B．10 C． D．
【答案】D
【解析】
延长BA到，使，过点作于点Q，交AC于点P如图所示：


∵A(4，0)、B(0，3)，
∴，，
在Rt△OAB中根据勾股定理可知，，
∴，
∵∠CAB=90°，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵直线外一点与直线上各个点的连线中垂线段最短，
此时最小，即最小，
∵，
∴设，则，
∵在中，根据勾股定理可知，，
∴，
解得：，（舍去），
则，
∴最小值为，故D正确．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理，垂直平分线的性质，三角函数的应用，作出辅助线，找出什么情况下最小是解决本题的关键．
42．（2022·河南信阳·一模）信阳是河南传统餐饮历史文化名城，信阳菜历经千年的积淀和发展，以鲜、香、爽、醇、中的独特味道传遍大江南北.某游客慕名而来，决定从“筒鲜鱼”“固始鹅块”“石凉粉”“罗山大肠汤”“闷罐肉”这5个特色美食中随机选取2 个进行品尝，则他抽到“筒鲜鱼”和“固始鹅块”的概率为（     ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
记“筒鲜鱼”“固始鹅块”“石凉粉”“罗山大肠汤”“闷罐肉”分别为A、B、C、D、E．抽到“筒鲜鱼”和“固始鹅块”即为AB或BA，则5个特色美食中随机选取2个进行品尝的所有可能情况列表为：

A
B
C
D
E
A

AB
AC
AD
AE
B
AB

BC
BD
BE
C
AC
BC

CD
CE
D
AD
BD
CD

DE
E
AE
BE
CE
DE


共有20种等可能事件，其中抽到AB或BA的有2种，
到AB或BA的概率为
即抽到“筒鲜鱼”和“固始鹅块”的概率为．
故选：C．
【点睛】
本题考查了列表法或画树状图法求概率，即一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包括其中的m种结果，那么事件A发生的概率．
43．（2021·河南南阳·三模）甲、乙是两个不透明的纸箱，甲中有三张标有数字，，1的卡片，乙种有三张标有数字1，2，3的卡片，卡片除所标数字外无其他差别，现制定一个游戏规则：从甲种任取一张卡片，将其数字记为a，从乙中任取一张卡片，将其数字记为b，若a，b能使关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0有两个不相等的实数根，则甲获胜；否则乙获胜．则乙获胜的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
画树状图如下：

一共9种可能出现的结果，即，；，；，；，；，；，；，；，；，．
则，方程有两个相等的实数根；
，方程有两个不相等的实数根；
，方程有两个不相等的实数根；
，方程有没有实数根；
，方程有两个不相等的实数根；
，方程有两个不相等的实数根；
，方程没有的实数根；
，方程有两个相等的实数根；
，方程有两个不相等的实数根．
可知有两个不相等的实数根有5种，甲获胜的概率是，乙获胜的概率是．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了用树状图求概率，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用根的判别式判断一元二次方程的根的情况是解题的关键．
44．（2021·山东济南·三模）某校举行“弘扬传统文化”诗词背诵活动，为了解学生一周诗词背诵数量，随机抽取50名学生进行一周诗词背诵数量调查，依据调查结果绘制了折线统计图．下列说法正确的是（　　）

A．一周诗词背诵数量的众数是6
B．一周诗词背诵数量的中位数是6
C．一周诗词背诵数量从5到10首人数逐渐下降
D．一周诗词背诵数量超过8首的人数是24
【答案】B
【解析】
解：因为5出现了13次，出现的次数最多，所以一周诗词背诵数量的众数是5，故选项A错误，不符合题意；
一周诗词背诵数量最中间的两个数字都为6，所以该组数据的中位数为6，故选项B正确，符合题意；
从折线图可以看出，一周诗词背诵数量从5到7首人数逐渐下降，从7到9首人数逐渐上升，从9到10首人数逐渐下降，故选项C错误，不符合题意；
一周诗词背诵数量超过8首的人数是6+2＝8，故选项D错误，不符合题意．
故选：B．
【点睛】
本题考查了折线统计图、众数及中位数的定义等知识点，掌握众数、中位数的定义，并能从统计图中得到必要的信息是解决本题的关键．
45．（2021·山东临沂·一模）某学习小组进行“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率如下表，则符合这一结果的试验可能是（　　）
试验次数
100
200
500
800
1000
1200
实验频率
0.343
0.326
0.335
0.330
0.331
0.330

A．先后两次抛掷一枚质地均匀的硬币，两次都是反面朝上
B．先后两次掷一枚质地均匀的骰子，两次的点数和不大于6
C．将一个篮球和一个足球随机放入三个不同的篮子中，恰有一个篮子为空
D．从两男两女四人中抽取两人参加朗读比赛，两人性别相同
【答案】D
【解析】
解：由表格可知：此实验的频率最后稳定在0.33左右，
如下树状图：

故先后两次抛掷一枚质地均匀的硬币，两次都是反面朝上的概率为，与表格不符，不符合题意；
B．如下表：

1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12

先后两次掷一枚质地均匀的骰子，两次的点数和不大于6的概率为，与表格不符，不符合题意；
C．将一个篮球和一个足球随机放入三个不同的篮子中，恰有一个篮子为空的概率为1，与表格不相符，不符合题意；
D．如下树状图：

故从两男两女四人中抽取两人参加朗读比赛，两人性别相同的概率为，与表格相符，符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查利用频率估计概率，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．