中考数学三轮冲刺专练06（填空题-压轴）（教师版）

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专练06（填空题-压轴）
1．（2022·黑龙江·一模）如图，是直角边长为2的等腰直角三角形，以等腰直角三角形的斜边为直角边作第二个等腰直角三角形，连接，得到；再以等腰直角三角形的斜边为直角边作第三个等腰直角三角形，连接，得到；再以等腰直角三角形的斜边为直角边作第四个等腰直角三角形，连接，得到，…记…的面积分别为…，如此下去，则__________．

【答案】
【解析】
解：∵是直角边长为2的等腰直角三角形，，
∴OA=AA1=2，，，，
∵是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，
∵是等腰直角三角形，
，，，
，
，
，
，
同理可得：，
，
故，
故，
故答案为：．
【详解】
本题考查了等腰直角三角形的性质、三角形面积的计算、规律型等知识；熟练掌握等腰直角三角形的性质与三角形面积的计算，找出规律是解题的关键．
2．（2021·山东济南·二模）对于实数a，b，定义符号min{a，b}，其意义为：当a≥b时，min{a，b}＝b；当a＜b时，min{a，b}＝a．例如：min{2，﹣1}＝﹣1，若关于x的函数y＝min{﹣x2+x+1，﹣x﹣2}，则该函数的最大值为_____．
【答案】-1
【解析】
解：当-x2+x+1≥-x-2时，可得-1≤x≤3，
则y=min{-x2+x+1，-x-2}=-x-2，
∴当x=-1时，y=-x-2取得最大值，此时y=-1；
当-x2+x+1≤-x-2时，可得x≤-1或x≥3，
则y=min{-x2+x+1，-x-2}=-x2+x+1=-（x- ）2+ ，
∴当x=-1时，y=-x2+x+1取得最大值，此时y=-1；
由上可得，该函数的最大值为-1，
故答案为：-1．
【点睛】
本题考查二次函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想解答．
3．（2021·湖北黄石·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边分别平行于坐标轴，原点O恰好为矩形对角线的交点，反比例函数y＝的图象与矩形ABCD的边交于点M、N、P、Q，记矩形ABCD的面积为S1，四边形MNPQ的面积为S2，若S1＝3S2，则MN：MQ的值为_____．

【答案】2﹣##﹣ + 2
【解析】
解：如图，连接AC和BD，

∵矩形ABCD关于点O中心对称，反比例函数关于点O中心对称，
∴四边形NMQP是平行四边形，对角线MP、NQ经过点O，
设D（a，b），则M（，b），N（a，），Q（﹣a，），
∵S1＝3S2，
∴ab＝3[ab﹣﹣﹣（a﹣）（b﹣）]，
∴a2b2＝3k2，
∵ab＞0，k＞0，
∴ab＝k，
∴＝b，＝a，
∵MQ＝
=
＝
NM＝
＝
＝
∴＝ ＝＝2﹣
故答案为：2﹣．
【点睛】
本题考查了反比例函数的性质，学会利用参数解决问题是解题的关键．
4．（2021·广东·佛山市华英学校一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝4．点M1，N1，P1分别在AC，BC，AB上，且四边形M1CN1P1是正方形，点M2，N2，P2分别在P1N1，BN1，BP1上，且四边形M2N1N2P2是正方形，…，点Mn，Nn，Pn分别在Pn﹣1Nn﹣1，BNn﹣1，BPn﹣1上，且四边形MnNn﹣1NnPn是正方形，则线段MnPn的长度是_____．

【答案】
【解析】
∵，
∴，
同理
∴，
设M1P1＝x，则，
解得：x＝，
∴BN1＝BC﹣x＝4﹣＝＝2M1P1，
∴
∵
∴
∴M2P2＝＝，
M3P3＝＝×2×＝×22×，
…，
∴MnPn的长度是＝．
故答案为：．
【点睛】
本题是图形规律探索问题，考查了相似三角形的判定与性质，关键是由特殊出发找出规律．
5．（2021·浙江绍兴·一模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+4x﹣3交x轴于A，B两点（点B在点A的右侧），交y轴于点C，M点为抛物线上任意一点，且满足∠MAC＝3∠ACO，则M点坐标为 __________________．

【答案】
【解析】
解：如图，作点A关于y轴的对称点A'，连接A'C，过点A'作A'G⊥AC于G，过A作AH∥y轴，过点M作MN⊥x轴于N，


当y＝0时，﹣x2+4x﹣3＝0，
解得：x1＝1，x2＝3，
∴OA＝1，
当x＝0时，y＝﹣3，
∴OC＝3，
设∠ACO＝x，则∠MAC＝3x，∠ACA'＝2x，
∵OC∥AH，
∴∠HAC＝∠ACO＝x，
∴∠HAM＝2x，
∵△AA'C的面积＝×2×3＝××A'G，
∴A'G＝，
由勾股定理得：CG＝，
∴tan∠A'CA＝tan2x＝＝tan∠AMN，
设M（m，﹣m2+4m﹣3），
∴，
解得：m1＝1（舍），m2＝，
∴M（，﹣）．
故答案为：（，﹣）．
【点睛】
本题考查二次函数与坐标轴的交点，三角形的面积，三角函数的定义，平行线的性质等知识，正确作辅助线构建平行线利用角相等与角的和差关系是本题的关键．
6．（2022·安徽安庆·模拟预测）如图．直线与坐标轴相交于A、B两点，动点P在线段AB上，动点Q在线段OA上、连结OP，且满足，则当______度时，线段OQ的最小值为______．

【答案】     30，     2
【解析】
如图，过点O作OE⊥AB于点E，过点Q作QF⊥AB于点F，设OQ=m，PE=n

∵直线与坐标轴相交于A、B两点，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
在 中, ,
,
在 Rt 中，
，
，
,
整理得, ,
,
,
,
解得, 舍弃 或 ,
的最小值为 2 ,
的最小值为 2 , 此时 ,
,


∴

故答案为：30,2
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质，一元二次方程的根的判别式等知识，学会添加常用
辅助线，构造相似三角形解决问题是解题的关键．
7．（2022·广东·江门市新会东方红中学二模）在平面直角坐标系xOy中，已知，，三点，其中，函数的图象分别与线段BC，AC交于点P，Q．若，则t的值为______．

【答案】2
【解析】
解：如图所示，


∵A（2t，0），C（2t，4t），
∴AC⊥x轴，
当x=2t时，y=，
∴Q（2t，），
∵B（0，﹣2t），C（2t，4t），
设直线BC的解析式为：，将两点代入可得：
，
解得：，
∴直线BC的解析式为：y=3x﹣2t，
则3x﹣2t=，
解得：x1=t，x2=（舍），
∴P（t，t），
∵S△PAB=S△BAC﹣S△APC，S△PQB=S△BAC﹣S△ABQ﹣S△PQC，
∵S△PAB﹣S△PQB=t﹣1，
∴（S△BAC﹣S△APC）﹣（S△BAC﹣S△ABQ﹣S△PQC）=t﹣1，
S△ABQ+S△PQC﹣S△APC=，
解得：t=2，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查的知识点是待定系数法求一次函数解析式、反比例函数的图像及其性质以及三角形的面积公式，一元二次方程的应用，解题关键是利用双曲线函数图象解题．
8．（2021·黑龙江·哈尔滨市虹桥初级中学校一模）已知，，点为中点，，，若，，则__________．

【答案】
【解析】
延长AF交BC的延长线于点M，连接EM，如图
∵∠ACB=∠ACM=90°，AC=AC ，
∴△ACB≌△ACM(ASA)
∴AB=AM，BC=MC
∴
∵E点是AB的中点
∴AB=2AE，
∴
∴EF×AM=BC×AC
即EF×AM=BC×AC
∴
即AE×EF=AC
∴
在Rt△ABC和R t△AEF中，由勾股定理得： ，
设，则
即
解得：x=4或x=9
即AE=2或AE=3
当AE=2时，由AF=1及EF⊥AF，得∠AEF=30°，则∠EAF=60°，∠BAC=30°；但此时AC=2，AB=2AE=4，由∠ACB=90°，得∠ABC=30°，则∠ACB=120°，这与△ABC为直角三角形矛盾
∴AE=3
∴
故答案为：．     


【点睛】
本题考查了全等三角形的判断与性质，勾股定理，三角形中线平分三角形的面积等知识，用到了等积思想，方程思想，关键和难点是构造全等三角形．
9．（2021·广东·江门市第二中学二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y＝kx与反比例函数的图象交于A，B（-2，a）两点，过原点O的另一条直线l与双曲线y＝交于P，Q两点（Q点在第四象限），若以点A，B，P，Q为顶点的四边形面积为24，则点P的坐标是_______．

【答案】（-4，2）或（-1，8）
【解析】
解：∵点B（﹣2，a）在反比例函数上，
∴把x＝﹣2代入反比例函数，
解得y＝4，
∴点B（﹣2， 4），
∵点A与B关于原点对称，
∴A点坐标为（2，﹣4），
把点A（2，﹣4）代入反比例函数 ，得k＝﹣2，
∴正比例函数为y＝﹣，
∵反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形，
∴OP＝OQ，OA＝OB，
∴四边形AQBP是平行四边形，
∴S△POB＝S平行四边形AQBP×＝×24＝6，
设点P的横坐标为m（m＜0且m≠﹣2），
得P（m，﹣），
过点P、B分别做x轴的垂线，垂足为M、N，
∵点P、B在双曲线上，
∴S△POM＝S△BON＝4，
若m＜﹣2，如图1，
∵S△POM+S梯形PMNB＝S△POB+S△POM，
∴S梯形PMNB＝S△POB＝6．
∴（4﹣）•（﹣2﹣m）＝6．
∴m1＝﹣4，m2＝1（舍去），
∴P（﹣4，2）；

若﹣2＜m＜0，如图2，
∵S△POM+S梯形BNMP＝S△BOP+S△BON，
∴S梯形BNMP＝S△POB＝6．
∴（4﹣）•（m+2）＝6，
解得m1＝﹣1，m2＝4（舍去），
∴P（﹣1，8）．
∴点P的坐标是P（﹣4，2）或P（﹣1，8），
答案为：（﹣4，2）或（﹣1，8）．

【点睛】
此题考查一次函数和反比例函数的综合，解题关键在于做出辅助线，运用分类讨论的思想解决问题．
10．（2022·江苏扬州·一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，B（﹣8，0），CB与y轴交于点D，，点C在反比例函数的图象上，且x轴平分∠ABC，则k的值为______．

【答案】##
【解析】
解：过C作CE⊥y轴，垂足为E，
∵B（-8，0），
∴OB=8，
∵∠CED=∠BOD=90°，∠CDE=∠BDO
∴△CDE∽△BDO，
∵BD=4CD，
∴，
∴CE=2；
   又∵x轴平分∠CBA，BO⊥AD，
∴AO=OD，
∵∠CAB=90°，
∴∠OBD=∠DCE=∠CAE，
∴△CAE∽△DBO，
∴ ，
  设DE=n，则AO=OD=4n，AE=9n，
∴，解得，
，
∴，
故答案为： ．

【点睛】
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，综合利用相似三角形的性质，全等三角形的性质求C的坐标，依据C在反比例函数的图象上的点，根据坐标求出k的值．综合性较强，注意转化思想方法的应用．
11．（2020·内蒙古·北京八中乌兰察布分校一模）如图，边长为4的正方形ABCD中，P是BC边上一动点（不含B、C点）．将沿直线AP翻折，点B落在点E处；在CD上有一点M，使得将沿直线MP翻折后，点C落在直线PE上的点F处，直线PE交CD于点N，连接MA，NA．则以下结论中正确的有_____（写出所有正确结论的序号）．

①；
②当P为BC中点时，AE为线段NP的中垂线；
③四边形AMCB的面积最大值为10；
④线段AM的最小值为；
⑤当≌时，．
【答案】①③⑤
【解析】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴，，
由折叠知，，，
∴，，
在和中，

∴≌，
∴，
在和中，
，
∴≌，
∴，
∵，，
∴，
故①正确；
当时，
由折叠知，，
设，
在中，，
解得，
即NE＝，
∴，故②错误；
设，则，
由沿直线AP翻折，沿直线MP翻折知，
∠APB＝∠APE＝∠BPN，∠CPM＝∠MPF＝∠CPN，
∴∠APB＋∠CPM＝∠BPN＋∠CPN＝∠BPC＝90°，
又∵∠APB＋∠BAP＝90°，
∴∠CPM＝∠BAP，
∵∠C＝∠B，
∴∽，
∴，
∴，
∴，
∴时，四边形AMCB面积最大值为10，故③正确；
作于G，
∵，
∴AG最小时AM最小，
∵，
∴时，AG最小值是3，
∴AM的最小值，故④错误；
当≌时，∠DAN＝∠BAP，
又∵ ，，
∴＝＝∠BAD＝，
在AB上取一点点K使得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵AK＋BK＝AB，
∴，
解得，故⑤正确．
故答案为：①③⑤．

【点睛】
此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题．
12．（2022·安徽芜湖·一模）如图所示，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点P为y轴上一点，且满足条件PQ⊥AP，∠QAP＝30°．
（1）当OP＝时，OQ＝_______________；
（2）若点P在y轴上运动，则OQ的最小值为_____________________．

【答案】         
【解析】
解：（1）如图，过作轴于

则











故答案为：
（2）设 过作轴于
同理：




当时，的最小值为
的最小值为：
故答案为：
【点睛】
本题考查的是坐标与图形，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线构建相似三角形与二次函数的模型是解本题的关键.
13．（2021·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣x＋4的图象与x轴、y轴交于A、B点，点C在线段OA上，点D在直线AB上，且CD＝2，△DEC是直角三角形（∠EDC＝90°），DE＝DC，连接AE，则AE的最大值为_________．

【答案】
【解析】
解：如图，以CD为边作等边三角形DCG，以G点为圆心，DG为半径作⊙G，

在直线y＝中，当x＝0时，y＝4，
当y＝0时，x＝，
∴A点坐标为（，0），B点坐标为（0，4），
在Rt△AOB中，OA＝，OB＝4，
∴tan∠DAC＝，
∴∠DAC＝30°，
∴点A在⊙G上，
∴AG＝DG＝DC＝2，
∵DEC是直角三角形（∠EDC＝90°），DE＝DC，
∴∠DEC＝30°，DE＝2，
在Rt△DGH中，∠HDH＝30°，
∴DE＝，GH＝1，
在Rt△EHG中，EG＝＝＝2，
当A、G、E三点共线时，AE最大，最大值为2+2．
【点睛】
本题考查了定边对定角模型的建立，圆周角定理，勾股定理，一次函数图象上点的特征，解题关键是线段最值问题时看三角形，已知两边，第三边的最大值就是三点共线时．
14．（2022·河南·息县教育体育局基础教育教学研究室二模）如图，在矩形ABCD中，，，点E，F分别为BC和AB的中点，连接AE和CF交于点G，点H和M分别为CF和AE的中点，则MH的长为________．

【答案】
【解析】
解：连接AC，EF，如图，

∵四边形ABCD是矩形
∴∠B=90°，
∴AC=
∵点E，F分别为BC和AB的中点
∴EF= ，EF∥AC
∴△EFG∽△ACG
∴
∵点H和M分别为CF和AE的中点，
∴EM=AM，CH=FH
∴
∴EM=3GM
∴EG=2GM
同理
∴
又∵∠MGH=∠EGF
∴△MGH∽△EGF
∴
∴
故答案为：．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据是熟练运用矩形的性质和三角形的中位线定理，去证明△EFG∽△ACG和△MGH∽△EGF．
15．（2022·四川广元·一模）如图，等边三角形ABC的边长为2，D，E是AC，BC上两个动点，且AD＝CE，AE，BD交于点F，连接CF，则CF长度的最小值为______．

【答案】
【解析】
解：∵AD＝CE，
∴点F的路径是一段弧，
∴当点D运动到AC的中点时，CF长度的最小，
即点F为△ABC的中心，
过B作于，过A点作交于点，

∴，
∵△ABC是等边三角形，BC＝2，
∴，
∴．
∴CF长度的最小值是．
故答案为：．
【点睛】
本题考查等边三角形的性质，三角形中心的定义，求线段的最小值，解题的关键是能够构造合适的辅助线求解．
16．（2022·辽宁葫芦岛·二模）如图，正方形的边长为4，点E是对角线上的动点（点E不与A，C重合），连接交于点F，线段绕点F逆时针旋转得到线段，连接．下列结论：①；②；③若四边形的面积是正方形面积的一半，则的长为；④．其中正确的是_________．（填写所有正确结论的序号）

【答案】①②④
【解析】
解：过E作EM⊥BC，EN⊥CD

∵四边形ABCD是正方形，AC平分∠BCD
∴EM=EN
∵∠EMC=∠MCN=∠ENC=90°
∴∠MEN=90°
∵EF⊥BE
∴∠BEM+∠MEF=∠FEN+∠MEF=90°
∴∠BEM=∠FEN
∵∠EMB=∠ENF=90°，EM=EN
∴△BEM≌△FEN
∴BE=EF
故①正确；
∵∠BEF=∠EFG=90°，EF=FG，BE=EF
∴BE=FG，BE∥FG
∴四边形BEFG是平行四边形
∵∠BEF=90°，BE=EF
∴四边形BEFG是正方形
∴∠EBG=90°，BE=BG
∵∠ABC=90°
∴∠ABE+∠EBC=∠EBC+∠CBG=90°
∴∠ABE=∠CBG
又∵AB=BC，BE=BG
∴△ABE≌△CBG
∴∠BAE=∠BCG∵∠BAE+∠BCA=90°
∴∠BCA+∠BCG=90°，即∠ACG=90°
故②正确；
∵
∴
∴BE=
过E作EH⊥AB
∵四边形ABCD是正方形
∴∠BAC=45°
∵∠AHE=90°
∴∠AEH=180°-∠BAC-∠AHE=45°
∴AH=HE
设AH=HE=x，则BH=4-x
∵
∴
解得
∴AH=HE=2
∴
故③错误；
由②可知，△ABE≌△CBG
∴AE=CG
∴CG+CE=AE+CE=AC
∵∠ACB=45°
∴AC=
∴CG+CE=
故④正确，
所以答案为：①②④．
【点睛】
本题是正方形综合题，主要考查了旋转的性质，正方形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，综合运用正方形的判定与性质定理，勾股定理等知识是解题的关键．
17．（2021·江苏·无锡市江南中学二模）如图，菱形ABCD的边长为2，∠A＝60°，E是边AB的中点，F是边AD上的一个动点，将线段EF绕着点E顺时针旋转60°得到EG，连接DG、CG，则DG+CG的最小值为 _____．

【答案】
【解析】
如图，取AD的中点N．连接EN，EC，GN，作EH⊥CB交CB的延长线于H．

∵四边形ABCD是菱形
∴AD＝AB，
∵∠A＝60°，
∴△ADB是等边三角形，
∴AD＝BD，
∵AE＝ED，AN＝NB，
∴AE＝AN，
∵∠A＝60°，
∴△AEN是等边三角形，
∴∠AEN＝∠FEG＝60°，
∴∠AEF＝∠NEG，
∵EA＝EN，EF＝EG，
∴△AEF≌△NEG（SAS），
∴∠ENG＝∠A＝60°，
∵∠ANE＝60°，
∴∠GND＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴点G的运动轨迹是射线NG，
∴D，E关于射线NG对称，
∴GD＝GE，
∴GD+GC＝GE+GC≥EC，
在Rt△BEH中，∠H＝90°，BE＝1，∠EBH＝60°，
∴BH＝BE＝，EH＝，
在Rt△ECH中，EC＝＝，
∴GD+GC≥，
∴GD+GC的最小值为．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识是解题的关键．
18．（2022·广东佛山·一模）如图是一张矩形纸片ABCD，点M是对角线AC的中点，点E在BC边上，把沿直线DE折叠，使点C落在对角线AC上的点F处，连接DF，EF．若，则_________．

【答案】18°
【解析】
解：连接，如图：

∵四边形是矩形，
．
∵M是的中点，
，
，．
∵与DC关于DE对称，
，
．
∵MF=AB，，，
．
．
∵∠DFC=∠FDM+∠FMD，
．
∵∠DMC=∠FAD+∠ADM，
．
设，则，
．
∵∠DMC+∠MCD+∠MDC=180°，
．
．
故答案为：18°．
【点睛】
本题主要考查了矩形的性质，折叠问题，三角形的内角和定理及其推论，利用三角形内角和定理列出方程是解题的关键．
19．（2022·河南南阳·一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=3，点D是AB的中点，点E是以点B为圆心，BD长为半径的圆上的一动点，连接AE，点F为AE的中点，则CF长度的最大值是______．

【答案】
【解析】
解：如图，延长AC到T，使得CT=AC，连接BT，TE，BE．

∵AC=CT，BC⊥AT，
∴BA=BT，
∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=3，
∴∠BAT=60°，AC=BC•tan30°=3，
∴AB=2AC=6，
∴△ABT是等边三角形，
∴BT=AB=6，
∵AD=BD=BE，
∴BE=3，
∵ET≤BT+BE，
∴ET≤9，
∴ET的最大值为9，
∵AC=CT，AF=FE，
∴CF=ET，
∴CF的最大值为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查点与圆的位置关系、三角形中位线定理、等边三角形的判定和性质等知识，正确添加常用辅助线、构造三角形的中位线是解答本题的关键．
20．（2022·湖北·崇阳县桃溪中学一模）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，D是的中点，DH⊥AB于H交AC于点E，BD交AC于点F，下列结论正确的是_______（把所有正确结论的序号都填上）
①   AE=DE     ②△DEF是等边三角形     ③   DH=AC   ④若tan∠BAC=，则

【答案】①③④
【解析】
解：由题意知，
∴，
∴
∴
故①正确；
∵
∴
∴
∴是等腰三角形
∵与值不一定相等，
∴不一定是等边三角形
故②错误；
如图1，连接，交于
由题意知，
∴
在和中
∵
∴
∴
故③正确；
如图2，连接，
由题意知，，
∵
∴
设，
在中，由勾股定理得
∴
在中，由勾股定理得
∵
∴
故④正确；
故答案为：①③④．


【点睛】
本题考查了等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为90°，等腰三角形的判定，垂径定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理以及三角函数值．解题的关键在于对知识的灵活运用．