中考数学三轮冲刺专练11（三角函数大题）（教师版）

这是一份中考数学三轮冲刺专练11（三角函数大题）（教师版），共38页。试卷主要包含了放置最平稳等内容，欢迎下载使用。

专练11（三角函数大题）
1．（2022·浙江绍兴·一模）如图1是一种可折叠台灯，它放置在水平桌面上，将其抽象成图2，其中点均为可转动点，现测得，经多次调试发现当点都在的垂直平分线上时（如图3所示）放置最平稳．

(1)求放置最平稳时灯座与灯杆的夹角的大小；
(2)当A点到水平桌面（所在直线）的距离为时，台灯光线最佳，能更好的保护视力．若台灯放置最平稳时，将调节到，试通过计算说明此时光线是否为最佳．（参考数据：）
【答案】(1)灯座DC与灯杆DE的夹角为60°
(2)此时光线最佳
【解析】
(1)
解：延长BE交DC于点F，则由题可知EF⊥CD且FD =CD=10cm；
∴
∴∠D=60° 即灯座DC与灯杆DE的夹角为60°；

(2)
解：作AM⊥DC于点M，作BG⊥AM于点G，则四边形GMFB是矩形

∴∠GBF=90°
∵，
∴，
∵∠ABE =105°，
∴∠ABG =15°
∴cm
∴AM=37.3+5.2=42.5cm
∴此时光线最佳．
【点睛】
本题主要考查了解直角三角形的实际应用，线段垂直平分线的性质，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
2．（2022·安徽·东至县教育体育局教学研究室一模）如图1，某游乐场建造了一个大型摩天轮，工程师介绍：若你站在摩大轮下某处（A点）以的仰角恰好可以看到摩天轮圆轮的底部（C点），可测得的长度为，以的仰角可以看到摩天轮圆轮的最上方（D点），如图2，设摩天轮圆轮的直径垂地面于点B，点A，B在同一水平面上．（人的身高忽略不计，参考数据：，结果精确到个位）


(1)求的长；
(2)求摩天轮的圆轮直径（即的长）．
【答案】(1)；
(2)
【解析】
(1)
解：根据题意知，
∵．
答：的长约为．
(2)
解：根据题意知，
∴．
由（1）知，
∴
∴
∴．
答：摩天轮的圆轮直径约为．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，熟练运用三角函数解直角三角形是解题的关键．
3．（2021·陕西渭南·二模）西安汉城湖景区巨大的汉武帝塑像背北朝南，一手执剑安边，广布王道与蛮夷；一手樾泽众生，推行儒术与天下，展示了汉武帝一统江山、胸怀万里的豪迈气概（如图1）．小明想利用所学知识测量汉武帝塑像的高度，测量方法如下：如图2，在地面上的点处测得塑像顶端的仰角为，从点走到点，测得米，从点测得塑像底端的仰角为，已知，，在同一条垂直于地面的直线上，点、、在一条直线上，米，请你根据题中提供的相关信息，求塑像的高度（参考数据：，，，，，）

【答案】塑像BE的高度约为米．
【解析】
解：由题意知，在中，，米，
∴（米），
∵米，
∴（米），
在中，，
∴（米），
∵米，
∴（米），
答：塑像BE的高度约为米．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用，掌握“利用锐角三角函数求解直角三角形的边长”是解本题的关键．
4．（2022·陕西·武功县教育局教育教学研究室二模）风筝起源于中国，最早的风筝是由古代哲学家墨翟制造的，中国风筝问世后，很快被用于传递信息，飞跃险阻等军事需要，唐宋以后传入民间，成为人们休闲娱乐的玩具．上周末，小伟和爸爸一起去野外放风筝，不慎，两个风筝在空中P处缠绕在一起，如图，小伟在地面上的A处测得点P的仰角为30°，爸爸在距地面2米高的C处（即米）测得点P的仰角为60°，已知A、B、D在一条直线上，，，米，求此时风筝P处距地面的高度PD．（结果保留根号）

【答案】风筝P处距地面的高度PD为米．
【解析】
解：过点C作于点E，如图，

根据题意可得，四边形BCED为矩形，
∴米，，
设米，则米，
在中，米，
∴米．
在中，，
∴，即，
解得，
∴（米）．
即此时风筝P处距地面的高度PD为米．
【点睛】
本题主要考查了三角函数解决实际问题，解题关键是根据题意构建直角三角形并利用三角函数求解．
5．（2022·陕西·一模）如图，学校一幢教学楼的顶部竖有一块写有校训的宣传牌，小同在点用测倾器测得宣传牌的底部点的仰角为，他向教学楼前进7米到达点，测得宣传牌顶部点的仰角为，已知广告牌的高度为3米，测倾器米，点、、在同一水平面上，不考虑其他因素，求教学楼的高度．（结果保留整数，参考数据，，）

【答案】17
【解析】
连接DE并延长交BC于F，

∵DM⊥MB，EN⊥MB，
∴DM∥EN，
∵DM=EN，
∴四边形DMNE是矩形，
∴BM∥DF，DE=MN=7
∴DF⊥CB，
设AF=x，
∴CF=3+x，
在Rt△BCF中，
∵∠CEF=45°，
∴EF=FC=x+3，
∴DF=EF+DE=x+3+7=x+10，
在Rt△AED中，tan∠ADF=，
∴，
∴
∴
解得
∴AB=AF+BF=，
答：教学楼AB的高度是17米．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，结合图形利用三角函数解直角三角形是解答此题的关键．
6．（2022·河南·西峡县基础教育教学研究室一模）数学兴趣活动小组的同学们利用课余时间测量一栋教学楼的高度．如图，在C点测得楼顶A点的仰角为45°，从C点经斜面CE到达高台上E点测得A点的仰角为22°，测得CD=16米，EF=3米．已知斜面CE的坡度，∠CDF=90°，EF//CD，点B、C、E在同一平面内，且点B、C、D在同一条直线上．求楼高AB．（参考数据：sin22°≈0.38，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）

【答案】楼高AB约为12米
【解析】
解：如图所示，延长FE交AB于G，过点E作EH⊥BD，则四边形EFDH和四边形BGEH都是矩形，
∴BG=EH，DH=EF=3米，GE=BH，
∴CH=13米
∵斜面CE的坡度，
∴，
∴BG=EH=2米，
设AB=x米，则米，
∵∠ACB=45°，∠ABC=90°，
∴∠BAC=45°=∠ACB，
∴BC=AC=x米，
∴米，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴楼高AB约为12米．

【点睛】
本题主要考查了解直角三角形的实际应用，等腰直角三角形的性质与判定，矩形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
7．（2022·辽宁锦州·一模）某数学兴趣小组测量一栋高层住宅楼的高度，在住宅楼对面的多层洋房的楼底C处，测得住宅楼楼顶A的仰角为（即），在多层洋房的楼顶D处测得住宅楼楼底B的俯角为（即），已知，求高层住宅楼的高度．（结果保留整数，测量工具的高度忽略不计．参考数据：，，，，，）

【答案】高层住宅楼的高度为
【解析】
解：依题意，得，
∴．
在中，，
∵，
∴
∴
在中，，
∵，
∴
∴
答：高层住宅楼的高度为
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
8．（2022·重庆渝中·二模）2021年7月，央视财经频道献礼建党100周年大型纪录片《大国建造》第二集《栋梁之材》中专门报道了重庆来福士塔楼．王老师为了测量来福士塔楼的高度，他在江北嘴嘉陵江边处沿坡角为22°的斜坡走了80米到达点，此时正好与江对岸的朝天门广场及来福士塔楼底部在同一水平线上．点处测得观景台的仰角为24°，测得塔楼最高点的仰角为32．2°（，，，，，，在同一平面）．据央视报道可知米．（参考数据：，，；，，；，，．）

(1)求朝天门广场与嘉陵江江面的垂直距离；（结果取整数）
(2)求塔楼高度的值．（结果取整数）
【答案】(1)30米
(2)米
【解析】
(1)
过C作CM⊥AB于M

∵正好与江对岸的朝天门广场及来福士塔楼底部在同一水平线上
∴朝天门广场与嘉陵江江面的垂直距离即为CM的长度，
在Rt△CAM中，，
∴
∴朝天门广场与嘉陵江江面的垂直距离为30米；
(2)
Rt△CEF中，，
∴
Rt△CEG中，,
∴（米）．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，掌握仰角俯角的概念、坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
9．（2022·浙江台州·一模）如图所示是国际标准的篮球架，某兴趣小组想知道篮筐中心A到地面的高度，现测得如下数据：CD垂直于地面，，，平行于地面，，请你利用学过的知识帮他们求出该高度．（结果精确到1cm，参考数据：，，）

【答案】306cm
【解析】
解∶如图，过点B作BH⊥EF于点H，过点C作CG⊥BH于点G，过点A作AK⊥EF于点K，


根据题意得：AB∥EF，
∴∠ABH=∠BHF=∠AKH=∠CGH=∠CGH=∠CDH=90°，
∴四边形ABHK和CDHG是矩形，
∴AF=BH，GH=CD=255cm，
∵，
∴∠BCG=35°，
在Rt△BCG中，，，
∴，
∴AF=BH=BG+GH=51.3+255≈306cm，
答：篮筐中心A到地面的高度为306cm．
【点睛】
本题主要考查了解直角三角形的实际应用，根据题意，准确构造直角三角形是解题的关键．
10．（2022·云南·云大附中模拟预测）某工程队计划测量一信号塔OC的高度，由于特殊原因无法直接到达信号塔OC底部，因此计划借助坡面高度来测量信号塔OC的高度；如图，在信号塔OC旁山坡坡脚A处测得信号塔OC顶端C的仰角为70°，当从A处沿坡面行走13米到达P处时，测得信号塔OC顶端C的仰角刚好为45°．已知山坡的坡度i＝1：2.4，且O，A，B在同一直线上．

(1)求点P到水平地面OB的距离．
(2)求信号塔OC的高度．（侧倾器高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.7．）
【答案】(1)5米
(2)米
【解析】
(1)
解：如图，过点P作PE⊥OB于点E，PF⊥OC于点F，

∵i＝1：2.4，，
∴，
∴设PE=5x，则AE=12x，
在Rt△AEP中，由勾股定理得：(5x)2＋(12x)2=132，
解得：或（舍去），
∴PE=5，则AE=12，
∴点P到水平地面OB的距离为5米．
(2)
解：∵∠CPF=∠PCF= 45°，
∴，
设CF=PF=m米，则OC= (m＋5) 米，OA=(m－12)米，
在Rt△AOC中，，
即：，
解得：，
∴（米）
∴信号塔OC的高度约为米．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用，仰角、坡度的定义，解题的关键是要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
11．（2022·新疆乌鲁木齐·一模）如图，小明在红山塔前的平地上选择一点A，用测角仪测得塔顶G的仰角为37°，在A点和塔之间选择一点B，测得塔顶G的仰角为45°，又测得米，已知测角仪的高米，请你帮小明计算出塔CG的高度．（参考数据：，，）

【答案】10.5米
【解析】
如图，延长FE，交GC于点H，

由題意可知HC=EB= FA=1.5，EF=AB=3，∠GEH =45°，∠GFH =37°，
设GH=x米，
在Rt△GHE中，∠GHE=90°，∠GEH=45，．
∴HE=GH=x，
在Rt△GHF 中，tan∠GFH=，
即tan 37°=，
∴，
解得x=9，
∴CG=GH + HC =10.5（米）．
答：塔的高度为10.5米．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用—仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
12．（2022·河南平顶山·二模）2020年12月26日，“最美无背锁斜拉桥”鹰城大桥正式通车，作为全省唯一一座跨高铁的大型立交桥，通车后将极大缓解该区域的交通压力．某数学兴趣小组到现场测量塔AB的高度AD．如图，他们选取的测量点C与塔底部B在同一条水平线上，测得塔AB与BC所在水平线的夹角为57°，在C点处测得塔顶A的仰角为45°，已知塔底B到测量点C的距离为20.76米，求塔高AD．（结果精确到0.1米．参考数据：，，）

【答案】塔的高度AD约为59.2米．
【解析】
解：由题意可知，∠ABD=57°，∠ACD=45°，BC=20.76米，
在RtACD中，由于∠ACD=45°，
∴AD=CD，
设AD=x米=CD，则BD=（x-20.76）米，
在RtABD中，
∵tan57°=，
∴1.54（x-20.76）=x，
解得x≈59.2（米），
答：塔的高度AD约为59.2米．
【点睛】
本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的前提，理解两个直角三角形的边角之间的关系是正确解答的关键．
13．（2022·河南濮阳·一模）国家“十四五规划”减少化石能源的消耗，减少碳排放作为今后的重要任务之一，各地响应国家号召都在大力发展风电．某学校数学活动小组去实地对风电塔进行测量．如图1风电机组主要由塔杆和叶片组成，图2是由图1画出的平面图．假设站在A处测得塔杆顶端C的仰角是55°，沿FA方向水平前进25米到达坡底E处，在山顶B处发现正好一叶片到达最高位置，此时测得叶片的顶端D（D、C、F在同一直线上）的仰角是45°，已知叶片的长度为20米（塔杆与叶片连接处的长度忽略不计），坡高BE为10米，，，求塔杆CF的长（参考数据：，，，）．

【答案】52.5米
【解析】
解：过点B作于点G，


设塔杆CF的长为x米，则米，
∵，，∴四边形BEFG是矩形．
∵坡高BE为10米，∴米，
∴米．
在中，，
∴米，∴米．
∵米，∴米．
在中，，
∴，解得．
答：塔杆CF的长为52.5米．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，解答本题要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
14．（2022·辽宁抚顺·二模）如图，小明为了测量小河对岸大树BC的高度，他在点A测得大树顶端B的仰角为45°，沿斜坡走13米到达斜坡上点D，在此处测得树顶端点B的仰角为31°，且斜坡AF的坡度为1：2.4．

(1)求小明从点A到点D的过程中，他上升的高度；
(2)大树BC的高度约为多少米？（参考数据：sin31°＝0.52，cos31°＝0.86，tan31°≈0.60）
【答案】(1)小明从点A到点D的过程中，他上升的高度为5米
(2)大树的高度约为30.5米
【解析】
(1)
解：作DH⊥AE于H，如图所示：在Rt△ADH中，
∵，
∴5AH=12DH，
∵AH2+DH2=AD2，
∴DH=5，
∴AH=12．
答：小明从点A到点D的过程中，他上升的高度为5米．
(2)
延长BD交AE于点G，设BC=xm，

由题意得，∠G=31°，
∴，
∵AH=2.4，DH=12，
∴GA=GH+AH=+12=，
在Rt△BGC中，tan∠G=，
∴，
在Rt△BAC中，∠BAC=45°，
∴AC=BC=x．
∵GC-AC=AG，
∴，
解得：x=30.5．
答：大树的高度约为30.5米．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的实际应用，根据题意作出辅助线是解题的关键．
15．（2022·河南商丘·二模）2022年，中国举办了一个史无前例的冬奥会，民众对冰上运动的热情高涨．某滑雪场设计了一条滑雪道，该滑雪道由直道和停止区两部分组成．如图所示，为平台部分，为该滑道的直道部分，其与水平滑道之间均可视为平滑相连，滑道的坡角，长为120米，滑雪道的停止区长为80米．为增加安全性，滑雪场修改方案，将滑道坡度减缓，新设计另一滑道，其坡角．问：新设计的滑道停止区的长度为多少米？（结果精确到0.1米，参考数据：，，，）

【答案】新设计的滑道停止区的长度约为42.4米．
【解析】
解：过点A作AG⊥EF，垂足为G，如图：

在直角△ACG中，，，
∴，，
∴；
在直角△ADG中，，
∵，
∴，
∴（米）
答：新设计的滑道停止区的长度约为42.4米．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，解直角三角形，解题的关键是正确的作出辅助线，利用解直角三角形进行计算．
16．（2022·四川成都·二模）第31届世界大学生运动会将于2022年6月26日在成都举行，主火炬塔位于东安湖体育公园，亮灯之夜，塔身通体透亮，10余道象征太阳光芒的螺旋线全部点亮，璀璨绚丽，流光溢彩（如图1）．小杰同学想要通过测量及计算了解火炬塔CD的大致高度，当他步行至点A处，测得此时塔顶C的仰角为42°，再步行20米至点B处，测得此时塔顶C的仰角为65°（如图2所示，点A，B，D在同一条直线上），请帮小杰计算火炬塔CD的高．（sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，结果保留整数）

【答案】火炬塔CD的高31米
【解析】
解：设CD=x，
则 ，，
∵AB=AD-BD，
∴ ，
解得x=31，
故CD=31（米），
答：火炬塔CD的高31米．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用-仰角和俯角问题，解题的关键是理解仰角和俯角的定义．
17．（2022·山西阳泉·一模）2022年2月20日，举世瞩目的北京冬奥会圆满落下帷幕. 北京冬奥会为绿色办奥、科技办奥贡献了中国样本和中国智慧，让奥运精神点亮更多人的冰雪梦想，并以冰雪运动和奥林匹克精神为纽带，凝聚更团结的力量. 图①，图②分别是一名滑雪运动员在滑雪过程中某一时刻的实物图与示意图，已知运动员的小腿与斜坡垂直，大腿与斜坡平行，为头部，假设三点共线，若大腿弯曲处与滑雪板后端的距离长为，该运动员大腿长为，且其上半身长为，．

(1)求此刻滑雪运动员的身体与大腿所成的夹角的度数；
(2)求此刻运动员头部到斜坡的高度. （结果精确到，参考数据：，，，）
【答案】(1)此刻滑雪运动员的身体与大腿所成的夹角
(2)此刻运动员头部到斜坡的高度约为
【解析】
(1)
如图，连接，

∵，，三点共线，
∴
∵，
∴.
∴.
(2)
由（1）得
∴在中，.
在中，，
∴.
∴.   
答：此刻运动员头部到斜坡的高度约为
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，锐角三角函数定义，将实际问题转化为数学问题是解题的关键．
18．（2022·河南开封·一模）北京2022年冬奥会自由式滑需和单板滑雪比赛的场地首钢滑大跳台，又称“雪飞天”，从远处看就像一只绝美的“水晶鞋”．某数学活动小组准备测量大跳台主体AB的垂直高度，如图，选取的测量点C，D与AB的底部B在同一水平线上．测得CD的长度为15m．在C，D处测得跳台顶部A的仰角分别为37.5°、45°，求跳台AB的高度（结果精确到1m．参考数据：）

【答案】49 m
【解析】
解：，
设m，则，CD的长度为15m

在中，
即
解得
答：跳台AB的高度为 m．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形中边角关系是解题的关键．
19．（2022·河南·模拟预测）郑州二七纪念塔位于郑州市二七广场，是为纪念京汉铁路工人大罢工中牺牲的烈士，发扬“二七”革命传统而修建的纪念性建筑．如图，某综合实践小组为测量塔顶旗杆的高度，在马路对面建筑物楼下选取了与二七塔的底部C在同一水平线上的测量点D，在建筑物楼上选取测量点E，．已知，塔身BC高63m，，在D处测得旗杆顶部A的仰角为58°，在E处测得旗杆底部B的仰角为45°，求旗杆的高度（参考数据，， ）．

【答案】9m
【解析】
解：过E作交于点F，如图：

由题意可知：四边形CDEF为矩形，
∴，
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴旗杆高度：．
【点睛】
本题考查解直角三角形，解题的关键是构造，求出，利用求出AC．
20．（2022·山东潍坊·一模）某移动公司为了提升网络信号，在坡度的山坡上加装了信号塔（如图所示），信号塔底端Q到坡底A的距离为3.9米．为了提醒市民，在距离斜坡底A点5.4米的水平地面上立了一块警示牌，当太阳光线与水平线所成的夹角为时，信号塔顶端P的影子落在警示牌上的点E处，且长为3米．

(1)求点Q到水平地面的铅直高度；
(2)求信号塔的高度大约为多少米？（参考数据：）
【答案】(1)1.5米
(2)13.2米
【解析】
(1)
解：作，垂足为H，

由，可得，
设，则，
在中，由勾股定理可得，
∴
解得，
∴（米），
所以，点Q到水平地面的铅直高度是1.5米．
(2)
解：作，垂足为S，
则，
∴在中，，即．
∴（米），
∴（米）
所以，信号塔的高度大约为13.2米．
【点睛】
此题考查了解直角三角形的应用——坡度坡角问题，解决本题的关键是熟练掌握坡度坡角的概念．
21．（2022·北京市燕山教研中心一模）疫情防控过程中，很多志愿者走进社区参加活动．如图所示，小冬老师从A处出发，要到A地北偏东方向的C处，他先沿正东方向走了到达B处，再沿北偏东方向走，恰能到达目的地C处，求A，C两地的距离．（结果取整数，参考数据：）

【答案】
【解析】
解：∵
∴
∴
过点C作垂线交延长线于点D，
∴．   
在中，
∴
∴
又在中，．
∴
∴A，C两地的距离是．

【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，正确理解题意并作出辅助线是解题的关键．
22．（2022·山东青岛·一模）一架无人机沿水平方向飞行进行测绘工作，在点处测得正前方水平地面上某建筑物的顶端的俯角为．无人机保持飞行方向不变，继续飞行48米到达点处，此时测得该建筑物底端的俯角为．已知建筑物的高度为36米，求无人机飞行时距离地面的高度．（参考数据：，，，，，）

【答案】无人机飞行时距离地面的高度为72米
【解析】
解：如图，延长BA交PQ的延长线于点C，


由题意可得，PC⊥BC，
在Rt△PCA中，tan24°=≈，
可得，
在Rt△BCQ中，tan66°=，
QC=，
∴=，
解得AC=36，
∴BC=BA+AC=36+36=72（米）
即无人机飞行时距离地面的高度为72米．
【点睛】
本题考查锐角三角函数的实际应用—仰俯角问题，准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
23．（2022·浙江金华·模拟预测）如图是一种手机三脚架，它通过改变锁扣C在主轴AB上的位置调节三脚架的高度，其它支架长度固定不变，已知支脚DE＝AB．底座CD⊥AB，BG⊥AB，且CD＝BG，F是DE上的固定点，且EF：DF＝2：3．

（1）当点B，G，E三点在同一直线上（如图1所示）时，测得tan∠BED＝2．设BC＝5a，则FG＝__（用含a的代数式表示）；
（2）在（1）的条件下，若将点C向下移动24cm，则点B，G，F三点在同一直线上（如图2），此时点A离地面的高度是__cm．
【答案】         
【解析】
解：（1）如图1中，连接DG，EG，过点F作FH⊥BE于H，则四边形CDGB是矩形．

∴BC＝DG＝5a，
在Rt△DEG中，tan∠DEB＝＝2，
∴，，
∵FH∥DG，
∴，
∴△EFH∽△EDG，
∴，
∴，
∴DF＝，EH＝EG＝＝a，HG＝EG﹣EH＝﹣a＝，
∴，
∴；
（2）如图1中，连接DG，EG，过点F作FH⊥BE于H，则四边形CDGB是矩形．
设BC＝DG＝2xcm，
在Rt△DEG中，tan∠DEB＝＝2，
∴EG＝x（cm），（cm），
∵FH∥DG，
∴，
∴DF＝（cm），EH＝（cm），HG＝（cm），
∴（cm），
∴ （cm），
如图2中，连接DG．
∵DF2＝DG2+FG2，
∴，
解得或（舍弃），
∴cm，
作EJ⊥BF交BF的延长线于J．则EJ＝EF•sin∠EFJ＝（4+4）cm，
∴点A离地面的高度＝AB+EJ＝（19+19）cm．

【点睛】
本题考查解直角三角形的应用，涉及到相似三角形的判定及其性质、勾股定理、正切等，解题的关键是正确解读题意，学会利用参数构建方程解决问题．
24．（2022·安徽·一模）某通信公司准备逐步在合肥大蜀山上建设5G基站．如图，某处斜坡的坡度（或坡比）为，通讯塔垂直于水平地面，在C处测得塔顶A的仰角，在D处测得塔顶A的仰角，D到水平地面的距离米，求基站的高度．（参考数据：，，）

【答案】66米
【解析】
解：根据题意得：EF=DM=10米，DE=MF，
∵斜坡的坡度，
∴，
∴CM=24米，
设AE=x米，则AF=（x+10）米，
∵，AF⊥CF，
∴∠CAF=∠ACF=45°，
∴AF=CF=（x+10）米，
∴DE=MF=x+10-24=（x-14）米，
∵，
∴，即，
解得：x=56，
∴AF=66米，
答：基站的高度为66米．
【点睛】
本题主要考查了解直角三角形的实际应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．
25．（2022·安徽淮北·一模）某市为了加快5G网络信号覆盖，在市区附近小山顶部架设信号发射塔，如图所示．为了知道发射塔的高度，小兵从地面上的一点测得发射塔顶端点的仰角是，向山前走60米到达点测得点的仰角是，测得发射塔底部点的仰角是．请你帮小兵计算出信号发射塔的高度．

【答案】94米
【解析】
∵∠PAC=45°，∠PCA=90°，
∴AC=PC，
∵∠PBC=60°，∠QBC=30°，∠PCA=90°，
∴∠BPQ=∠PBQ=30°，
∴BQ=PQ，CQ=BQ，
设BQ=PQ=x，则CQ=BQ=x，
根据勾股定理可得BC==x，
∴AB+BC=PQ+QC，
即60+x=x+x
解得：，
∴PQ的高度为94米．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，找出等量关系是解题关键．
26．（2022·四川·岳池县教研室二模）2022年春节期间，成都的夜景出圈了！一场场灯光秀不仅让本地人饱了眼福，也让外地游客流连忘返．在成都交子金融城双子塔，一场流光溢彩、璀璨夺目的视觉盛宴更是刷爆了朋友圈（如图1）．如图2，小玲想利用所学的数学知识，测金融城双子塔的高度．她先在C处用高度为1.3米的测角仪测得上一点E的仰角，接着她沿方向前进50米到达G处，测得塔顶A的仰角．若米，求双子塔的高度．（结果精确到1米；参考数据：，，）

【答案】双子塔的高度约为218米
【解析】
解：由题意可得四边形和四边形都是矩形，
则米，米．
设米，则米．
在中，，
，
，
米，
米．
在中，，
，即，
解得，经检验符合题意，
（米）．
答：双子塔的高度约为218米．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
27．（2022·四川成都·二模）2022年，武侯区继续开展“武侯文化大讲堂”活动，某中学数学组以此为契机，在望江楼公园开展“感受武侯文化，领略古建风韵”的综合实践活动，测量望江楼AB的高度．如图，已知测倾器的高度为1.2米，在测点C处安置侧倾器，测得点A的仰角，在与点C相距10米的测点F处安置侧倾器，测得点A的仰角（点C，F与B在一条直线上），求望江楼AB的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：，，）

【答案】望江楼AB的高度为米
【解析】
解：延长DG与AB交于H，
由题意可知：四边形DCFG，四边形GFBH，四边形DCBH为矩形，
则 ， ，
设AH=x，
在 中， ，
，
，
，
在 中，
， ，
，
解得： ，经检验：符合题意，
，
∴望江楼AB的高度为米．


【点睛】
本题考查的是锐角三角函数，仰角的定义，解直角三角形的应用，能正确构造直角三角形是解题的关键．
28．（2022·山西晋中·一模）受新冠疫情影响，部分县市课堂教学从“线下”转到了“线上”，我市教育局承担组织全区“空中课堂”优秀课例的录制工作，手机成为学生线上学习的主要工具．如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB，BC可分别绕点A，B转动，测量知BC=8cm，AB=16cm．当AB，BC转动到∠BAE=60°，∠ABC=50°时，观看比较适宜，试求此时点C到AE的距离．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin50°≈0.766，cos50°≈0.64，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，≈1.73）

【答案】点C到AE的距离约为6.3cm．
【解析】
解：如图，过点B、C分别作AE的垂线，垂足分别为M、N，过点C作CD⊥BM于D，


在Rt△ABM中，∠A=60°，AB=16cm，
∴BM=AB•sinA
=16×
=8（cm），
∵∠ABM=90°-60°=30°，∠ABC=50°，
∴∠CBD=50°-30°=20°，
∴∠BCD=90°-20°=70°，
在Rt△BCD中，BC=8cm，∠BCD=70°，
∴BD=BC•sin70°
≈8×0.94
=7.52（cm），
CN=DM=BM-BD
=8-7.52
≈6.3（cm），
答：点C到AE的距离约为6.3cm．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
29．（2022·河南驻马店·二模）无人机是当下年轻人娱乐竞技的方式之一．某无人机兴趣小组在广场上开展竞技活动（如图），比赛谁测量某写字楼BC的高度精确，其中小明操作的无人机在离地面30米的D处，无人机测得操控者小明（点A）的俯角为37°，测得写字楼顶端点C处的俯角为45°．又经过人工测量操控者A和教学楼BC距离为57米，请帮助小明根据以上数据计算写字楼BC的高度．（注：点A，B，C，D都在同一平面上．（参考数据：，，）

【答案】13米
【解析】
解：过点D作DE⊥AB于E，过C作CF⊥DE于F，

由题意得，AB=57，DE=30，∠A=37°，∠DCF=45°，
在Rt△ADE中，∠AEF=90°，
∴tan37°=，
∴AE40，
∵DE⊥AB，CB⊥AB，CF⊥DE，
∴四边形BCFE是矩形，
∴CF=BE57-40=17，
在Rt△DCF中，∠DFC=90°，
∴∠CDF=∠DCF=45°，
∴DF=CF=17，
∴BC=EF=DE-DF30-17=13，
答：教学楼BC的高度约为13米．
【点睛】
此题考查了三角函数的实际应用，正确理解题意构造直角三角形以及熟练掌握各三角函数值的计算公式是解题的关键．
30．（2022·四川·石室中学一模）小宸想利用测量知识测算湖中小山的高度、他站在湖边看台上，清晰地看到小山倒映在平静的湖水中，如图所示，他在点O处测得小山顶端的仰角为45°，小山顶端A在水中倒影的俯角为60°．若点O到湖面的距离OD＝4m，OD⊥DB，AB⊥DB，A、B、三点共线，B＝AB，求小山的高度AB（光线的折射忽略不计；结果保留根号）．

【答案】m
【解析】
解：过点O作OE⊥AB于点E，


则BE=OD=4m，
设AE=x m，则AB=（x+4）m，=（x+8）m，
∵∠AOE=45°，
∴OE=AE=x m，
∵，
∴tan60°=，
即，
解得x=，
∴AB=
答∶小山的高度AB为m．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．