中考数学三轮冲刺专练13（一次函数与反比例函数综合）（教师版）

这是一份中考数学三轮冲刺专练13（一次函数与反比例函数综合）（教师版），共61页。试卷主要包含了，且AE=ED等内容，欢迎下载使用。

专练13（一次函数与反比例函数综合）
1．（2022·四川成都·二模）如图1，在平面直角坐标系中，矩形的边分别在x轴和y轴上，顶点B的坐标为，反比例函数的图象经过对角线的中点E，与矩形的边分别交于点F，G，设直线的函数表达式为．

(1)求k，a，b的值；
(2)利用图象，直接写出当时x的取值范围；
(3)若点P在矩形的边上，且为等腰三角形，求点P的坐标．
【答案】(1)，
(2)或
(3)或或．
【解析】
(1)
解：过点E作于点M，

∴，．
∴．
∵点E为对角线的中点，
∴．
∵，
∴，．
∴．
∵反比例函数的图象经过点E，
∴，即．
∴．
∵点F，G分别在矩形的边上，
∴设．
∵点F，G在上，
∴．
∴．
将分别代入得：
，
解得，
∴．
∴．
(2)
解：∵，
∴结合图象可知：当或时，有．
(3)
解：∵为等腰三角形，设，
∵，
∴．
当时，，
解得：．（负值舍去）
当时，同理可得：．
当时，同理可得．（舍去）
综上，点P的坐标为或或．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，反比例函数的性质，一次函数的图像和性质，等腰三角形的定义等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，运用数形结合的思想进行分析．
2．（2022·山东师范大学第二附属中学二模）如图，在矩形OABC中，AB＝2，BC＝4，点D是边AB的中点，反比例函数的图象经过点D，交BC边于点E，直线DE的解析式为．

(1)求反比例函数的解析式和E点坐标；
(2)在y轴上找一点P，使△PDE的周长最小，求出此时点P的坐标；
(3)若点M在反比例函数的图象上，点N在坐标轴上，是否存在以D、E、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)
(3)，或，
【解析】
(1)
是AB的中点，且



在反比例函数的图象上

反比例解析式：
在反比例函数的图象上

和在直线DE：上

解得：
的解析式为：
(2)
作点D关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，连接PD．
点D与点关于y轴的对称

此时的周长最小为：


设直线的解析式：
和在直线上

解得：
直线的解析式：
当时，
的坐标为：


(3)
点M在反比例函数的图象上，点N在坐标轴上
①设，
（1）当DN和ME为对角线，即
，

解得：
此时：，，不存在满足条件的平行四边形
排除
（2）当DM和NE为对角线，即
，

解得：
此时：，，存在满足条件的平行四边形
②设，
（1）当DE为对角线，即

解得：
此时：，，不存在满足条件的平行四边形
排除
（2）当DN和ME为对角线，即

解得：
此时：，，存在满足条件的平行四边形
（3）当DM和NE为对角线，即
，

解得：
此时：，，不存在满足条件的平行四边形
综上，，或，
【点睛】
本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，矩形的性质，平行四边形的性质及判定，轴对称最短路线的问题，正确的理解题意是解题的关键．
3．（2022·江苏·常州市朝阳中学一模）如图，点A在反比例函数的图像上，轴，垂足为B，．

(1)求k的值：
(2)点C在这个反比例函数图像上，且，求OC的长．
【答案】(1)8
(2)
【解析】
(1)
解：

根据k值的几何意义可知：


(2)
解：如图所示，连接OC,过点C作轴于点H，过点A作于点M．


四边形AMHB是矩形




设，则，


解得：（舍去）
则

【点睛】
本题考查了反比例函数的几何应用，涉及到勾股定理、矩形的判定与性质、以及反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数中的k值的几何意义是解决本题的关键．
4．（2022·江苏南通·一模）平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：若x，y满足，且，则称点P为平衡点．例如，点是平衡点．

(1) P1(2，2)和P2(，-5)两点中，点_________是平衡点；
(2)若平衡点P在一次函数的图象上，求点P的坐标；
(3)如图，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OC=6．反比例函数y=(x>0)的图象交边BC于点D，交边AB于点E，若D，E两点均为平衡点．求∠ODE的正切值．
【答案】(1)P2
(2)点P的坐标为(-4，4)；
(3)∠ODE的正切值为．
【解析】
(1)
解：对于P1(2，2)，
∵，2+2=4+4=8，
∴2+2，故P1(2，2)不是平衡点；
对于P2(，-5)，
∵，2+2=2×+2×5=，
∴2+2，故P2(，-5)是平衡点；
故答案为：P2；
(2)
解：∵平衡点P在一次函数的图象上，
设点P的坐标为(，-)，(x<0)
依题意得：2+2，
∵x<0，
∴整理得：，即，
解得：x1=2(舍去)，x2=-4，
∴点P的坐标为(-4，4)；
(3)
解：∵OC=6，点D在反比例函数y=(x>0)的图象上，
设点D的坐标为(，6)，
∵点D为平衡点，且k>0，
∴2+2，即k=+12，
解得k=18，
∴反比例函数的解析式为y=，点D的坐标为(3，6)，
∵点E在反比例函数y=(x>0)的图象上，
∴设点E的坐标为(a，)，
∵点E为平衡点，且a>0，
∴2+2，即18=+，
解得a=3或a=6，经检验，a=3或a=6都是原方程的解，
∴点E的坐标为(6，3)，
∴四边形OABC是正方形，且边长为6，
过点O作OF⊥DE于点F，

∵点D(3，6)，点E(6，3)，
∴CD=BD=BE=AE=3，
∴DE=3，OD=，
∵S△ODE=6×6-×6×3-×6×3-×3×3=，
S△ODE=×DE×OF=×3×OF=，
∴OF=3，
∴DF=3，
∴∠ODE的正切值=．
【点睛】
本题考查了反比例与几何的综合题，涉及待定系数法、解直角三角形、正方形性质与应用等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标、相关线段的长度．
5．（2022·山东济南·一模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和．

(1)求b、k、m的值；
(2)根据图象直接写出的解集；
(3)点P是线段AB上一点，过点P作轴于点D，连接OP，若的面积为S，求S的最大值．
【答案】(1)b＝5，k＝4，m＝1；
(2)0＜x＜1或x＞4；
(3)
【解析】
(1)
∵一次函数y＝﹣x+b与反比例函数的图象交于点A（m，4）和B（4，1），
∴﹣4+b＝1，
解得b＝5，
∴k＝4×1＝4，
∴4m＝k，
解得m＝1，
∴b＝5，k＝4，m＝1；
(2)
∵一次函数y＝﹣x+b与反比例函数的图象交于点A（1，4），B（4，1），
∴的解集为0＜x＜1或x＞4；
(3)
依题意，设P的坐标为（n，﹣n+5）（1≤n≤4），
则，
∵1≤n≤4，
∵， ，
∴当n时，．
【点睛】
本题是反比例函数的综合题，熟练掌握反比例函数的图象及性质，一次函数的图象及性质是解题的关键．
6．（2022·广东佛山·二模）已知一次函数y3x＋b的图象与反比例函数y(x＞0)的图象交于点A(m，3)，与x轴交于点B，△AOB的面积为3．

(1)求一次函数和反比例函数的表达式．
(2)根据图象直接回答，在第一象限内，当x取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？
(3)点C为x轴上一点，若△COA与△AOB相似，求AC的长．
【答案】(1)y=3x-6；y=
(2)x＞3
(3)或；
(1)
解：对于一次函数y3x＋b来说，
当y＝0时，03x＋b
解得x＝
∵一次函数y3x＋b经过点A(m，3)，△AOB的面积为3
∴
解得
∴一次函数的表达式为y3x－6
把点A(m，3)代入y3x－6得
3＝3m－6
解得m＝3
∴点A的坐标是（3，3）
∵反比例函数y(x＞0)的图象经过点A（3，3）
∴3＝
解得k＝9
∴反比例函数的表达式是y
(2)
解：根据函数图像，在第一象限内，一次函数反比例函数图像上方时，x＞3，
∴当x＞3时，一次函数的值大于反比例函数的值；
(3)
解：设点C的坐标为（t，0），
由（1）得直线AB的表达式为y3x－6，
当y＝0时，03x－6，解得 x＝2，
∴点B的坐标是（2，0）
∴ 0B＝2，
由（1）知点A的坐标是（3，3）
∴OA＝，AB＝
当t＞0且△COA∽△AOB时，如图1所示，

∴
∴
解得AC＝3，t＝9，
即当点C的坐标是（9，0），AC＝3；
当t<0且△ACO∽△AOB时，如图2所示，

则∠ACO＝∠AOB显然不成立，
∴t<0时，△COA与△AOB不可能相似，
当t＝0时，△AOC∽△AOB，此时AC＝AO＝，
综上可知，AC的长为3或．
【点睛】
此题考查了一次函数、反比例函数、相似三角形的性质、利用函数图像解不等式等知识，熟练掌握一次函数和反比例函数的性质是解题的基础，分类讨论是解决问题的关键．
7．（2022·河南新乡·二模）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数为和反比例函数图像交于A，B两点，矩形OAEC的边EC交x轴于点D，AD⊥x轴，点D的坐标为（2，0），且AE=ED．

(1)求这两个函数的解析式；
(2)点P为y轴上的一个动点，当PE-PA的值最大时，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)点P（0，4）．
【解析】
(1)
解：∵四边形OAEC是矩形，
∴∠E=∠OAE=90°，
∵AE=DE，
∴∠OAD=∠DAE=45°，
∵AD⊥x轴，
∴∠OAD=∠AOD=45°， 而
∴AD=OD=2， ∴点A（2，2），
将点A（2，2）代入和得，

∴
(2)
解：由三角形三边关系可知：当点P、A、E共线时，PE-PA最大，延长EA交y轴于点P，

过点E作EH⊥AD于H，
∵△AED是等腰直角三角形，AD=2，
∴EH=HD=1 ， ∴
设AE为：
，解得：
∴直线AE的函数关系式为：，
当x=0时，y=4， ∴点P（0，4）．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数的图象与性质，一次函数的性质，待定系数法求函数解析式，矩形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的三边关系等知识，利用数形结合思想是解题的关键．
8．（2022·河南·淅川县基础教育教学研究室一模）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为正方形，D为边BC上一点，．反比例函数的图象经过点B，反比例函数的图象经过点D，与AB交于点E，连接OD，OE，DE．

(1)求k的值．
(2)求的面积．
【答案】(1)
(2)
(1)
反比例函数图象过点，
，
，
，
，，
反比例函数图象过点，
；
(2)
设，
点E在图象上，
，
即，

．
【点睛】
本题考查反比例函数的几何意义，反比例函数图象上任意一点做x轴、y轴的垂线，组成的长方形的面积等于，灵活运用几何意义是解题关键．
9．（2022·重庆市南岸区教师进修学院一模）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象有一个交点A的横坐标为4．

(1)求与的函数表达式；
(2)直接写出使一次函数值大于反比例函数值时x的取值范围；
(3)过点A作轴，垂足为B．点P在线段AB上，且，点Q为x轴上一点．当与的面积相等时，求点Q的坐标．
【答案】(1)，
(2)或
(3)或
(1)
解：正比例函数与反比例函数图象的一个交点是A，
把代入和，
得，解得，
∴正比例函数表达式是，反比例函数表达式是；
(2)
由正比例函数表达式，反比例函数表达式，
两函数图象相交时，可得，
解得，，经检验，是该方程的解，
将代入到中，解得，
将代入到中，解得，
即两个交点分别为A（4，8）、C（-4，-8），


当直线在双曲线上方时，x的取值范围为：或；
(3)
∵点，则，
∵，
∴，
设点，则，，
∵轴，垂足为B，
∴在中，由勾股定理，得，
解得，则，
∴点，，
∴，
设点，则，
∵，
∴，解得，
∴点或．
【点睛】
本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用、勾股定理等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析解决问题．
10．（2022·山东泰安·一模）如图，一次函数的图象交x、y轴于A、B两点，以AB为斜边在第一象限内作等腰直角，，反比例函数的图象经过点C，连接OC交AB于点D．

(1)求反比例函数的表达式；
(2)求的正切值；
【答案】(1)；
(2)3
【解析】
(1)
当x=0时，y=2，
∴B（0，2），
∴OB=2，
当y=0时，，
x=4，
∴A（4，0），
∴OA=4；
由勾股定理得：，
∵△ACB是等腰直角三角形，
∴，
过C作CE⊥OA于E，作CF⊥OB于F，

∵∠ACB=∠ECF=90°，
∴∠BCF=∠ACE，
∵∠BFC=∠AEC=90°，
∴△BFC≌△AEC（AAS），
∴CE=CF，
∵∠CFB=∠BOA=∠OEC=90°，
∴四边形OECF是正方形，
∴，
∴k=9，
∴反比例函数的表达式为；
(2)
由（1）知△BFC≌△AEC，四边形OECF是正方形，
∴AE=BF，CE=CF=OF=OE，
又OB=2，OA=4，
∴2+BF=4-AE，
∴AE=BF=1，
∴CE=OF=3
∵∠ADC=∠COE+∠OAD=45°+∠OAD，
∵∠CAE=∠CAD+∠OAD=45°+∠OAD，
∴∠ADC=∠CAE，
∴tan∠ADC=tan∠CAE=；
【点睛】
本题是反比例函数和一次函数综合题，主要考查了一次函数与坐标的交点，待定系数法求反比例函数解析式，锐角三角函数等知识，注意反比例函数系数k的几何意义．
11．（2022·湖南常德·一模）如图，矩形的顶点、分别在轴和轴上，点的坐标为，双曲线的图象经过BC的中点，且与交于点，连接

(1)求的面积
(2)若点是边上一点，且∽，求点坐标．
【答案】(1)
(2)
【解析】
(1)
点为的中点，，
，
把代入得，
反比例函数解析式为，
，   点的横坐标为，
当时，，即，
的面积；
(2)
∽，
，即，解得，
，
点坐标为．
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方．也考查了反比例函数图象上的点的坐标特征．
12．（2022·山东济宁·二模）如图在平面直角示系中，直线与轴交于点，与轴交于点，在第一象限内与反比例函数的图象交于点，，过点作轴垂足为点．

(1)点的坐标是______，点的坐标是______；
(2)求反比例函数的表达式；
(3)观察图象，在第一象限内，当时，的取值范围是______．
【答案】(1)
(2)
(3)
解：如图

在直线中，令，则，，则，
，，
故答案为，；
轴，
，

，，，
，
；
把代入得，，
，
把点代入得，
反比例函数的解析式：；
直线在第一象限内与反比例函数的图象交于点，
在第一象限内，当时，的取值范围是，
故答案为．
13．（2022·江西·一模）如图，点P为函数y＝x+1与函数y＝（x＞0）图象的交点，点P的纵坐标为4，PB⊥x轴，垂足为点B．

(1)求m的值；
(2)点M是函数y＝（x＞0）图象上一动点（不与P点重合），过点M作MD⊥AP于点D，若∠PMD＝45°，求点M的坐标．
【答案】(1)24
(2)（12,2）
【解析】
(1)
∵点P为函数y=x+1图象的点，点P的纵坐标为4，
∴4=x+1，解得：x=6，
∴点P（6，4），
∵点P为函数y=x+1与函数y=（x＞0）图象的交点，
∴4=，
∴m=24；
(2)
由（1）可得反比例函数解析式为
∵∠PMD＝45°，MD⊥AP
∴△PDM是等腰直角三角形
∴DP=DM
过D作EF平行x轴，过P作PE⊥EF于E，过M作MF⊥EF于F，交x轴于N
∴
∴(AAS)，
∴DE=FM，EP=DF
∵PB⊥x轴，
∴E、P、B三点共线
∴四边形EBNF是矩形

设点D的坐标（a，a+1）
当M在AP右边时，a>6，如图

∵点P（6，4）
∴
∴
∴
∴M的坐标为
∵M在上
∴，解得或（舍去）
此时M点坐标为（12,2）
当M在AP左边时，，如图

∵点P（6，4）
∴
∴
∴
∴M的坐标为
∵M在上
∴，解得（舍去）或（舍去）
综上所述，M点坐标为（12,2）
【点睛】
本题考查一次函数和反比例函数图象和性质；熟练掌握用待定系数法求函数的表达式，利用45°构造辅助线解题是关键．
14．（2022·吉林市亚桥中学三模）如图，P是反比例函数（x＞0）的图象上的一点，PN垂直x轴于点N，PM垂直y轴于点M，矩形OMPN的面积为2，且ON＝1，一次函数y＝x＋b的图象经过点P．

(1)求该反比例函数和一次函数的解析式；
(2)设直线y＝x＋b与x轴的交点为A，点Q在y轴上，当△QOA的面积等于矩形OMPN的面积的时，直接写出点Q的坐标．
【答案】(1)，
(2)(0，1)和(0，-1)
【解析】
(1)
∵PM⊥y轴，PN⊥x轴，矩形ONPM的面积是2，ON=1，
∴PM=ON=1，
∴PN=OM=2，即P点坐标为(1,2)，
∵反比例函数和一次函数都进过P点，
∴将P点坐标分别代入得：，，
∴k=2，b=1，
∴反比例函数的解析式为：和一次函数；
(2)
将y=0代入得x=-1，
∴直线与x轴的交点A的坐标为(-1,0)，
∴OA=1，
∵，=2，
∴，
∵G点在y轴上，
∴OG⊥OA，即，
又∵OA=1，
∴OG=1，即G点到x轴的距离为1，
∵G点在y轴上，
∴在y轴的正半轴和负半轴各有一个满足要求的G点，
∴G的坐标为：(0，1)、(0，-1)．
【点睛】
本题考查了用待定系数法求解反比例函数、一次函数的解析式等知识，正确求出P点坐标是解答本题的关键．
15．（2022·辽宁沈阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，是轴正半轴上的一个动点，且四边形是平行四边形．

(1)求和的值；
(2)若点落在反比例函数的图象上，则边的长为________；
(3)当的中点落在反比例函数的图象上时，的面积是________．
【答案】(1)，
(2)
(3)10
【解析】
(1)
将点代入一次函数解析式，可得，
解得，，即一次函数解析式为；
将点代入一次函数解析式，可得；
将点代入反比例函数解析式，可得；
(2)
∵四边形是平行四边形，
∴由A到B的平移方式与由D到C的平移方式相同，
∵，，，
∴，
∵点落在反比例函数的图象上，
∴，即，
∴此时，
∴；
故答案为：．
(3)
∵四边形是平行四边形，
∴由A到B的平移方式与由D到C的平移方式相同，
∵，，，
∴，
∴AC的中点为，
∵的中点落在反比例函数的图象上，
∴，解得，
此时，，
根据割补法可得．
故答案为：10．


【点睛】
本题考查一次函数与反比例函数综合、平行四边形的性质、割补法求面积，通过两函数图象的交点即可找到两个函数之间的联系．
16．（2022·黑龙江大庆·模拟预测）如图，已知一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数的图象分别交于C，D两点，点，B是线段AD的中点．

(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)①求△COD的面积；
②当时，直接写出自变量x的取值范围．
【答案】(1)；
(2)①；②或
【解析】
(1)
解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∵，B是线段AD的中点，B在y轴上，A在x轴上，
∴．
∵点，在的图象上，
∴，
解得．
∴，
故，
(2)
解：①由，
解得，．
∵，
∴，
∴
②或．
【点睛】
本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，运用待定系数法求解析式，以及通过函数图象解决相关面积问题是解题的关键．
17．（2022·四川广元·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于M，N两点（点M在点N左侧），已知M点的纵坐标是2；

(1)求反比例函数的表达式；
(2)根据图象直接写出的解集；
(3)将直线沿y轴向上平移后得到直线，与反比例函数的图像在第二象限内交于点A，如果的面积为18，求直线的函数表达式．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【解析】

(1)
解： M点的纵坐标是2，代入直线，得

代入，得

(2)
都关于原点中心对称，与点关于原点中心对称
则
的解集为或
(3)
设直线的解析式为，
的面积为18，
，

解得

【点睛】
本题考查了一次函数与反比例函数结合，一次函数与反比例函数图象的性质，待定系数法求解析式，一次函数的平移，掌握一次函数与反比例函数的性质是解题的关键．
18．（2022·河北·新河县教师发展中心一模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点A，B．点B的横坐标为．直线AB交x轴于点C，交y轴于点D，过点A作轴于点E，且．

(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)根据函数图象直接写出不等式的解集；
(3)若直线与反比例函数、一次函数和y轴的交点中，有一个点是其他两个点的中点，求b的值．
【答案】(1)一次函数表达式为：，反比例函数表达式为：
(2)x＜-4或0＜x＜8
(3)b的值为或
【解析】
(1)
∵OE＝2OC＝4OD＝8，
∴OC＝CE＝4，OD＝2，
∴D（0，-2）．
在和中

∴△ACE≌△DCO（ASA），
∴AE＝OD＝2，
∴A（8，2）
∵反比例函数（m≠0）的图象经过点A，
∴m＝8×2＝16，
∴反比例函数的解析式为
∵一次函数y＝kx+b经过A，D点，
∴，
解得
∴一次函数的解析式为；
(2)
根据（1）的结论，得：A（8，2），点B的横坐标为-4，
由图象可知，不等式的解集为x＜-4或0＜x＜8；
(3)
y＝b与y轴、反比例函数和直线的交点分别为：P、M、N
根据题意，得：点P的横坐标为0，点M的横坐标为，点N的横坐标为2（b+2），
∵其中一个点是另外两个点的中点，且点P在y轴上，
∴点M，N在第一象限
分点M是PN的中点，点N是PM的中点两种情况考虑：
当点M是PN的中点时，如图：


∴
∴
∴，（舍去），
经检验，是原方程的根；
当点N是PM的中点时，如图


∴
∴
∴，（舍去）
经检验，是原方程的解
∴b的值为或．
【点睛】
本题考查了反比例函数、一次函数、分式方程、一元二次方程、全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握反比例函数、一次函数、分式方程、一元二次方程的性质，从而完成求解．
19．（2022·安徽合肥·二模）如图，一次函数y1=kx+b与反比例函数（x＞0）的图象交于A（1，6）、B（3，n）两点，与x轴交于点C．

(1)求k、b、m的值；
(2)根据图象，直接写出当y1＞y2时x的取值范围；
(3)点P在x轴上，且△APC的面积为12，求点P的坐标．
【答案】(1)k=-2，b=8，m=6
(2)1＜x＜3
(3)点P的坐标为（8，0）或（0，0）
【解析】
(1)
把A（1，6）代入得：m=6，
即反比例函数的表达式为y=（x＞0），
把B（3，n）代入y=得：n=2，
即B的坐标为（3，2），
把A、B的坐标代入y=kx+b得：
，解得，
即一次函数的表达式为y=-2x+8；
(2)
观察函数图象知，y1＞y2时x的取值范围为1＜x＜3．
(3)
设P（t，0），
∵一次函数y=-2x+8与x轴交于点 C，
将y=0代入得：x=4，
∴C（4，0），
∵A（1，6），点P在x轴上，且△APC的面积为12，
∴，
∴，
解得：t=8或t=0，
∴P（8，0）或（0，0）；
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式、函数与不等式的关系以及三角形的面积公式，本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据点在函数图象上求出点的坐标是关键．
20．（2022·江西赣州·一模）如图，已知点A，D是正比例函数y＝k1x的图象与反比例函数y＝的图象的交点，AB⊥x轴于点B，AB＝4．在x轴的负半轴上有一点C（﹣6，0），且∠ACB＝∠OAB．

(1)求反比例函数关系式；
(2)求点D坐标．
【答案】(1)反比例函数关系式为y=；
(2)点D坐标为（-2，-4）．
【解析】
(1)
解：∵C点坐标为（-6，0），
∴OC=6，
∵∠ACB=∠OAB，
∴Rt△BAO∽Rt△BCA，
∴OB：BA=BA：BC，即OB：4=4：(6+OB)，
解得OB=2(负值已舍)，
经检验，OB=2是方程的解，
∴A点坐标为（2，4）；
∵反比例函数y＝的图象经过A点，
∴k2=4×2=8，
∴反比例函数关系式为y=；
(2)
解：∵点A，D是正比例函数y＝k1x的图象与反比例函数y＝的图象的交点，且A点坐标为（2，4），
∴点D坐标为（-2，-4）．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，相似三角形的判定和性质，数形结合是解题的关键．
21．（2022·广东河源·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数与y轴交于点，与x轴交于点，与反比例函数相交于点M，N两点．

(1)求一次函数的解析式
(2)作∠OPQ的角平分线PD交x轴于点D，连接DM，若，求a的值．
【答案】(1)
(2)
【解析】
(1)
解：将，代入得：
，
解得，，
∴．
(2)
∵PD平分∠OPQ，，

∴，
∴，
∴，
在直角△POQ中，，
设，
∴，
∵，
∴△MDQ∽△POQ，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点M为，
∴．

【点睛】
本题主要考查了待定系数法求一次函数关系式，求反比例函数解析式，相似三角形的性质和判定，平行线的性质，勾股定理，角平分线的定义，平行线分线段成比例定理，根据三角形相似的判定和性质及平行线分线段成比例定理，求出点M的坐标，是解题的关键．
22．（2022·山东枣庄·二模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，在函数（，）的图象上，轴，线段的垂直平分线交于点，交的延长线于点，点纵坐标为2，点横坐标为1，．连接．

(1)求点的坐标及的值；
(2)求的面积．
【答案】(1)E（2，2），k=；
(2)
【解析】
(1)
解：由题意得点A的坐标为（       ，2），点B的坐标为（1，k），
又AC∥x轴，且△ACB为直角三角形，
∴点C的坐标为（1，2），
又CE＝1，
∴点E的坐标为（2，2），
∵点E在线段AB的垂直平分线上，
∴EA＝EB，
在Rt△BCE中，EB2＝BC2+CE2，
∴1+（k﹣2）2=(−2)2，
∴k＝2或，
当k＝2时，点A，B，C三点重合，不能构成三角形，故舍去，
∴k=，
∴E（2，2），k=；
(2)
解：由（1）可得，，当y=2时，x=,当x=1时，y=,
∴A（，2）, B（，2）
AC=，BC=，CE＝1，
设AB的中点为D，如图，

∴AB=，BD=AB=，
∵CB垂直平分线段AB，
∴∠BDM＝90°，
∵∠ABC＝∠MBD，∠BDM＝∠BCA＝90°，
∴△BDM∽△BCA，
∴，
∴BM=××=，
∴S△MBE=BM×CE=××1=．
【点睛】
本题是一道反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，相似三角形的判定与性质，熟知平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征，是解决此题的关键．
23．（2022·北京师大附中模拟预测）如图，一次函数y＝－2x－2的图象分别交x轴、y轴于点B、A，与反比例函数（m≠0）的图象在第二象限交于点M，△OBM的面积是1．

(1)求反比例函数的解析式；
(2)若x轴上的点P与点A，M是以AM为直角边的直角三角形的三个顶点，求点P的坐标．
【答案】(1)；
(2)点P的坐标为（－6，0）或（4，0）．
(1)
解：令x＝0，，
∴点A的坐标为；
令，解得：，，
∴点B的坐标为．即OB=1，
∵，
∴yM＝2，
当y＝－2x－2＝2时，x＝－2，
∴点M的坐标为（－2，2）．
∵点M在反比例函数（m≠0）的图象上，
∴m＝－2×2＝－4，
∴反比例函数的解析式为．
(2)
：依照题意找出点P并过点M作MC⊥x轴于点C，如图所示．
当时，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵点B（－1，0），点M（－2，2），
∴点C（－2，0），   
∴BC＝1，，
∴，
∴，
∴，
∴点P1的坐标为（－6，0）；
当时，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点A的坐标为；
∴OA=2，
∵OB=1，
∴，   
∴，
∴，
∴，
∴点的坐标为（4，0）．
综上所述：点P的坐标为（－6，0）或（4，0）．

【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象上点的坐标特征以及相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的性质找出各边之间的比例关系是解题的关键．
24．（2022·海南省直辖县级单位·一模）如图，已知抛物线的图象与x轴交于A和两点，与y轴交于，直线经过点B，且与y轴交于点D，与抛物线交于点E，与对称轴交于点F．

(1)求抛物线的解析式和m的值；
(2)在抛物线的y轴上是否存在点P，使得以D、E、P为顶点的三角形与相似，若存求出点P的坐标；若不存在，试说明理由；
(3)在x轴上有M、N两点（M在N的右侧），且，若将线段MN在x轴上平移，当它移动到某一位置时，四边形MEFN的周长会达到最小，请求出周长的最小值（结果保留根号）．
【答案】(1)，
(2)存在，、
(3)四边形MEFN周长的最小值是
【解析】
(1)
把B（-3，0）、C（0，-3）代入，
得，
解得，
∴抛物线的解析式为y=x2+2x-3，
∵直线y=x+m经过点B（-3，0），
∴-3+m=0，解得m=3；
(2)
存在．
如图，过点E作EP⊥y轴于点P，作EP′⊥DE交y轴于点P′，


∵y=x2+2x-3与y=x+3的图象交于点B、E，
∴，
解得：或，
∴E（2，5），
∴PE=2，
当EP⊥y轴于点P时，
∵B（-3，0），D（0，3），∠BOD=90°，
∴OB=OD=3，∠OBD=∠ODB=45°，
∵∠EPD=∠BOD=90°，∠BDO=∠EDP，
∴△BOD∽△EPD，
此时点P坐标为（0，5），
当EP′⊥DE交y轴于点P′时，
同上所述，得到△BOD∽△P’ED，
∵∠PDE=∠ODB=45°，
∴△P’DE是等腰直角三角形，
∴PP’=PD=2，
∴P’（0，7），
综上所述，P（0，5）或（0，7）；
(3)
如图2，将点E向左平移2个单位得到点E’，作点F关于x轴的对称点F′，
连接E’F’交x轴于点N，连接FN，将点N向右平移2 个单位得到点M，连接EM，
则NF=NF’，


∵EE’∥MN，EE’=MN，
∴四边形MEE’N是平行四边形，
∴FN=GM，
∵EF、MN的长为定值，
∴当EM+FN的值最小时，则四边形MEFN的周长最小，
∵EM+FN=E’N+F’N，且E’N+F’N≥EF’， 此时EM+FN的值最小，
∵E（2，5），
∴E’（0，5），
直线y=x+3，当x=-1时，y=2，
∴F（-1，2），
∴F’（-1，-2），
∴，
∴四边形MEFN的周长的最小值为：
【点睛】
此题重点考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识与方法，解题过程中应注意分类讨论，此题难度较大，属于考试压轴题．
25．（2022·广东广州·一模）一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．

(1)求反比例函数的解析式；
(2)以直线x=2为对称轴，作直线的轴对称图形，交x轴于点C，连接AC，求AC的长度．
【答案】(1)
(2)
【解析】
(1)
解：∵点B（-3，-4）是反比例函数图象上的点
∴m=-3 （-4）=12
∴反比例函数的解析式：
(2)
解：∵点A（2，）是反比例函数图象上的点
∴2 =12，则=6．
将A（2，6），B（-3，-4）代入得：，解得：．
∴
将代入得：．
∴一次函数与的交点为（-1，0）
∵一次函数关于直线对称的图形与轴交于点C
∴（-1，0）关于直线对称的点为点C
∴C（5，0）
根据两点间距离公式可得：AC=
∴AC=
【点睛】
本题考查了反比例函数、一次函数、轴对称图形、两点间距离公式等知识，两点间距离公式：，公式要牢记．
26．（2022·湖北恩施·一模）如图，已知直线y=−x+b与双曲线y=相交于点A(2，3)和点B．

(1)求k、b的值；
(2)连结AO并延长交双曲线于点C，连结BC交x轴于点D，连结AD，求△ABD的面积．
【答案】(1)k=6，b=5；
(2)S△ABD=2．
【解析】
(1)
解：∵直线y=−x+b与双曲线y=相交于点A(2，3)，
∴3=−2+b，3=，
解得：k=6，b=5；
(2)
解：由（1）得，直线的解析式为y=−x+5，双曲线的解析式为y=，
解方程组得：或，
∴B (3，2)，
∵AC经过原点O，且点A，C均在反比例函数的图象上，
∴A、C关于原点对称，
∵A（2，3），
∴C（-2，-3），
设直线CB的解析式为y=px+q，
∴，解得，
∴直线BC为y=x-1，
令y=0，则x=1，
∴D（1，0），
设直线AB交x轴于点E，则E（5，0），

∴S△ABD=S△ADE-S△BDE=×(5−1)×3-（5-1）×2=2．
【点睛】
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的对称性，三角形的面积以及勾股定理的应用等，求得交点坐标是解题的关键．
27．（2022·四川达州·二模）如图，一次函数y1=kx+b的图像与反比例函数y2=的图像交于A、B两点，与x轴、y轴分别交于点C、D两点，tan∠DCO=，且点B的坐标为(3，4)．

(1)求一次函数和反比例函数的解析式：
(2)求△AOB的面积；
(3)若y1≤y2，请直接写出相应自变量x的取值范围．
【答案】(1)一次函数的解析式为y1=x+2；反比例函数的解析式为y2=；
(2)△AOB的面积为9；
(3)x≤-6或0＜x≤3
【解析】
(1)
解：∵反比例函数y2=的图像经过B(3，4)，
∴4×3=12，
∴反比例函数的解析式为：y2=；
过点B作BE⊥x轴于点E，

∵点B的坐标为(3，4)，
∴BE=4，OE=3，
∵tan∠DCO=，
∴，即，
解得：OC=3，
∴C（-3，0），
把B (3，4)，C（-3，0）代入y1=kx+b中得：
，解得，
∴一次函数的解析式为：y1=x+2；
(2)
解：解方程x+2=得：x=3或x=-6，
经检验，x=3或x=-6，都是原方程的解，
当x=-6，y=x+2=-2，
∴A（-6，-2），

∴S△AOB=S△BOC+S△ACO
=OC•|yB|+OC•|yA|
=×3×4+×3×2
=9；
(3)
解：由图象得：当x≤-6或0＜x≤3时，y1≤y2．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及解直角三角形的应用，解决问题的关键是掌握待定系数法求函数解析式的方法．
28．（2022·广东广州·一模）如图，反比例函数经过点M（a，b），其中a，b满足．


(1)求反比例函数的解析式；
(2)以点M为圆心，MO为半径画圆，点N圆周上一点，∠OMN＝120°，求点N的坐标．
【答案】(1)
(2)或
【解析】
(1)
∵
∴，
∴，
∴点M（1，），
把M（1，）代入得：，解得
∴反比例函数的解析式为
(2)
过M作MA⊥x轴于A，AE⊥y轴于E


∵点M（1，），
∴，
∴
∴
∴
当N在直线OM下方时，过N作NC⊥x轴于C，过M作MB⊥NC于B，则四边形MACB是矩形
∴，
∵∠OMN＝120°
∴∠BMN＝30°
∵OM=ON
∴（AAS）
∴，
∴，
∴
当N在直线OM上方时，设圆与y轴交点为F，连接OF
∵，OM=OF
∴∠OMF＝120°
∵∠OMN＝120°
∴N、F是同一个点
∴ON=2OE=2
此时
综上所述，当∠OMN＝120°时或
【点睛】
本题考查了反比例函数综合题，涉及了待定系数法求函数解析式、三角函数、垂径定理、全等三角形的性质与判定，难点在第二问，注意分类讨论，解题的关键是利用三角函数得到．
29．（2022·山东济南·二模）已知反比例函数y图象过第二象限内的点A（﹣2，2），若直线y＝ax+b经过点A，并且经过反比例函数y的图象上另一点B（m，﹣1），与x轴交于点M．

(1)求反比例函数的解析式和直线y＝ax+b解析式．
(2)若点C的坐标是（0，﹣2），求△CAB的面积．
(3)在x轴上是否存在一点P，使△PAO为等腰三角形？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)9
(3)存在，P点坐标为或或或
【解析】
(1)
解：∵反比例函数过点A
∴将代入得
∴反比例函数解析式为；
将代入，得
∴
将，代入得
解得
∴直线y＝ax+b解析式为．
(2)
解：如图

将代入得
∴
∴


∴的面积为9．
(3)
解：存在．
设，由题意知为等腰三角形，分3种情况求解：
①当时，即
解得，（不合题意，舍去）
∴；
②当时，
∵
∴
∴的坐标为，；
③当时，即
解得
∴；
综上所述，在x轴上存在一点P，使△PAO为等腰三角形，P点坐标为或 或 或 ．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的综合，反比例函数与一次函数的解析式，等腰三角形，反比例函数与几何综合等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
30．（2022·四川成都·二模）如图，直线与反比例函数的图象交于点，以为边作，使点在第二象限，．


(1)求反比例函数的表达式；
(2)求直线的表达式；
(3)过点的反比例函数与直线的另一个交点为，求的面积．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【解析】
(1)
解：把带入得，
∴，
∴，
把带入反比例函数得，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
(2)
解：过A作轴，垂足为点，过作轴，垂足为点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
把点代入得，
解得，
∴直线的解析式为；


(3)
解：把带入反比例函数得，
∴反比例函数的表达式为，
联立，解得，
∴点，
设交轴于，则，则，
∴的面积
【点睛】
本题为反比例函数与一次函数综合题，考查了相似等知识，综合性较强，熟知相关知识，添加辅助线，构造相似是解题关键．