中考数学二轮复习考点精讲专题22 函数与公共点问题（教师版）

题型一：抛物线的形状、位置都固定

【例1】（2021焦作二模）如图,抛物线y=x2+2x+c与x轴的正半轴交于点B,与x轴的负半轴交于点A,与y轴的负半轴交于点C,且OA=2OB.

（1）求抛物线的解析式及顶点坐标;

（2）将抛物线y=x2+2x+c在点A,C之间的部分(含A,C两点)记为G,若二次函数y=-x2-2x+m的图象与G只有一个公共点,求m的取值范围.

【解析】解:(1)设点B的坐标为(n,0),n>0.

∵OA=2OB,且点A在x轴的负半轴上,

∴点A的坐标为(-2n,0). 

∵抛物线的对称轴为直线x=-=-1,

∴=-1,

∴n=2,∴点B的坐标为(2,0).

把B(2,0)代入y=x2+2x+c,得c=-8,

∴抛物线的解析式为y=x2+2x-8.

∵y=x2+2x-8=(x+1)2-9,

∴抛物线的顶点坐标为(-1,-9).

(2)易知A(-4,0),C(0,-8).

把C(0,-8)代入y=-x2-2x+m,得m=-8.

把A(-4,0)代入y=-x2-2x+m,得m=8.

当二次函数y=-x2-2x+m的图象的顶点为(-1,-9)时,m=-10.

结合图象分析可知,符合题意的m的取值范围是-8<m≤8或 m=-10.

题型二：抛物线的形状或位置不固定

【例2】（2021广东广州）已知抛物线y=x2-(m+1)x+2m+3.

（1）当m=0时，请判断点(2,4)是否在该抛物线上;

（2）该抛物线的顶点随着m的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标;

（3）已知点E(-1,-1)，F(3,7)，若该抛物线与线段EF只有一个交点，求该抛物线顶点横坐标的取值范围.

【解析】解:(1)当m=0时,y=x2-x+3.

当x=2时,y=4-2+3=5,

故点(2,4)不在该抛物线上.

(2)∵y=x2-(m+1)x+2m+3=(x-)2+,

∴抛物线的顶点坐标为(,).

当顶点移动到最高处时,顶点的纵坐标最大,即的值最大.

∵=-(m-3)2+5,

∴当m=3时,取得最大值,为5,此时=2,

∴当顶点移动到最高处时,该抛物线的顶点坐标为(2,5).

(3)设线段EF所在直线的表达式为y=kx+b.

将E(-1,-1),F(3,7)分别代入,

得解得

∴线段EF所在直线的表达式为y=2x+1.

联立得x2-(m+3)x+2m+2=0,

解得

当x1=x2时,该抛物线与线段EF只有一个交点,

此时=1.

当x1≠x2时,若该抛物线与线段EF只有一个交点,则m+1<-1或m+1>3,

∴<-或>.

综上所述,若该抛物线与线段EF只有一个交点,则该抛物线顶点横坐标满足=1或<-或>.

1．（2021·江苏南京市）已知二次函数的图像经过两点．

（1）求b的值．

（2）当时，该函数的图像的顶点的纵坐标的最小值是________．

（3）设是该函数的图像与x轴的一个公共点，当时，结合函数的图像，直接写出a的取值范围．

【答案】（1）；（2）1；（3）或．

【分析】

（1）将点代入求解即可得；

（2）先求出二次函数的顶点的纵坐标，再利用完全平方公式、不等式的性质求解即可得；

（3）分和两种情况，再画出函数图象，结合图象建立不等式组，解不等式组即可得．

【详解】

解：（1）将点代入得：，

两式相减得：，

解得；

（2）由题意得：，

由（1）得：，

则此函数的顶点的纵坐标为，

将点代入得：，

解得，

则，

下面证明对于任意的两个正数，都有，

，

（当且仅当时，等号成立），

当时，，

则（当且仅当，即时，等号成立），

即，

故当时，该函数的图像的顶点的纵坐标的最小值是1；

（3）由得：，

则二次函数的解析式为，

由题意，分以下两种情况：

①如图，当时，则当时，；当时，，

即，

解得；

②如图，当时，

当时，，

当时，，

解得，

综上，的取值范围为或．

2．（2021·湖南长沙市）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于轴对称，则把该函数称之为“T函数”，其图象上关于轴对称的不同两点叫做一对“T点”．根据该约定，完成下列各题．

（1）若点与点是关于的“T函数”的图象上的一对“T点”，则______，______，______（将正确答案填在相应的横线上）；

（2）关于的函数（，是常数）是“T函数”吗？如果是，指出它有多少对“T点”；如果不是，请说明理由；

（3）若关于的“T函数”（，且，，是常数）经过坐标原点，且与直线（，，且，是常数）交于，两点，当，满足时，直线是否总经过某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标；否则，请说明理由．

【答案】（1）；（2）当时，关于的函数（是常数）不是“函数”，理由见解析；当时，关于的函数（是常数）是“函数”，它有无数对“点”；（3）直线总经过一定点，该定点的坐标为．

【分析】

（1）先根据关于轴对称的点坐标变换规律可得的值，从而可得点的坐标，再将点的坐标代入“函数”即可得；

（2）分和两种情况，当时，设点与点是一对“点”，将它们代入函数解析式可求出，与矛盾；当时，是一条平行于轴的直线，是“函数”，且有无数对“点”；

（3）先将点代入可得，再根据“函数”的定义可得，从而可得，与直线联立可得是方程的两实数根，然后利用根与系数的关系可得，最后根据化简可得，从而可得，由此即可得出答案．

【详解】

解：（1）由题意得：点与点关于轴对称，

，

，

，

将点代入得：，

故答案为：；

（2）由题意，分以下两种情况：

①当时，

假设关于的函数（，是常数）是“函数”，点与点是其图象上的一对“点”，

则，

解得，与相矛盾，假设不成立，

所以当时，关于的函数（是常数）不是“函数”；

②当时，

函数是一条平行于轴的直线，是“函数”，它有无数对“点”；

综上，当时，关于的函数（是常数）不是“函数”；当时，关于的函数（是常数）是“函数”，它有无数对“点”；

（3）由题意，将代入得：，

，

设点与点是“函数”图象上的一对“点”，

则，解得，

，

联立得：，

“函数”与直线交于点，，

是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，

，

，

，即，

解得，

则直线的解析式为，

当时，，

因此，直线总经过一定点，该定点的坐标为．

3．（2021·湖北）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，顶点坐标记为．抛物线的顶点坐标记为．

（1）写出点坐标；

（2）求，的值（用含的代数式表示）；

（3）当时，探究与的大小关系；

（4）经过点和点的直线与抛物线，的公共点恰好为3个不同点时，求的值．

【答案】（1）；（2），；（3）当时，，当时，，当时，，当或时，；（4），，，

【分析】

（1）令，解出x即可，

（2）把函数顶点式，即可得出结论，

（3）令，结合函数图像分类讨论即可，

（4）由题意可得：直线的解析式为：，再根据已知条件画出函数图像分三类情况讨论，进而得出n的值；

【详解】

（1）∵，令，，

∴，，

∴．

（2），

∴，

∵，

∴．

（3）∵，，

当时，，

此时或，

．

由如图1图象可知：

当时，，

当时，，

当时，，

当或时，．

（4）设直线的解析式为：，

则，

由（1）-（2）得，，

∴，

直线的解析式为：．

第一种情况：如图3，

当直线经过抛物线，的交点时，

联立抛物线与的解析式可得：

①

联立直线与抛物线的解析式可得：

，

则，②

当时，把代入得：，

把，代入直线的解析式得：

，

∴，

∴．

此时直线与抛物线，的公共点恰好为三个不同点．

当时，把代入①得：

，

该方程判别式，所以该方程没有实数根．

第二种情况：如图4，

当直线与抛物线或者与抛物线只有一个公共点时．

当直线与抛物线只有一个公共点时，

联立直线与抛物线可得，

∴，

此时，即，

∴，

∴．

由第一种情况而知直线与抛物线公共点的横坐标为，，

当时，，∴．

所以此时直线与抛物线，的公共点恰好为三个不同点．

如图5，

当直线与抛物线只有一个公共点，

∵，，

∴，

联立直线与抛物线，

，

，

当时，，

此时直线与抛物线，的公共点只有一个，

∴．

综上所述：∴，，，．

4．（2021·湖北）抛物线交轴于，两点（在的左边）．

（1）的顶点在轴的正半轴上，顶点在轴右侧的抛物线上．

①如图（1），若点的坐标是，点的横坐标是，直接写出点，的坐标；

②如图（2），若点在抛物线上，且的面积是12，求点的坐标；

（2）如图（3），是原点关于抛物线顶点的对称点，不平行轴的直线分别交线段，（不含端点）于，两点，若直线与抛物线只有一个公共点，求证的值是定值．

【答案】（1）①，；②点的坐标是．（2）见解析

【分析】

（1）①根据函数图象与x轴的交点，令y=0，求出，点E在抛物线上，求出纵坐标为，再根据平行四边形的性质，求出；

②连，过点作轴垂线，垂足为，过点作，垂足为，设点坐标为，点坐标为，根据平行四边形的性质，与点在抛物线上，得到，再由则，列出方程求解；

（2）方法一：先求出G、H两点的横坐标，再利用求解即可；方法二：先用待定系数法求出直线与直线l的表达式，根据直线l与抛物线有唯一的交点，求出点坐标为，点坐标为，再求出结果．

【详解】

（1）解：①∵抛物线交轴于，两点（在的左边），

∴令=0，解得：，，

∴，

∵点E在抛物线上，点的横坐标是，

∴，

∵四边形ACDE是平行四边形，

∴

∴；

②设点坐标为，点坐标为．

∵四边形是平行四边形，

∴将沿平移可与重合，点坐标为．

∵点在抛物线上，∴．

解得，，所以．

连，过点作轴垂线，垂足为，过点作，垂足为．

则，

∵，，

∴．

∴，解得，（不合题意，舍去）．

∴点的坐标是．

（2）方法一：证明：依题意，得，，∴

设直线解析式为，则，解得．

∴直线的解析式为．

同理，直线的解析式为．

设直线的解析式为．

联立，消去得．

∵直线与抛物线只有一个公共点，

∴，．

联立，且，解得，，

同理，得．

∵，两点关于轴对称，∴．

∴．

∴的值为．

方法二：证明：同方法一得直线的解析式为．

设直线的解析式为，与抛物线唯一公共点为．

联立，消去得，∴．

解得．∴直线的解析式为．

联立，且，解得．

∴点坐标为．同理，点坐标为．

∵，∴．

∴的值为．

5．（2021·湖南）已知函数的图象如图所示，点在第一象限内的函数图象上．

（1）若点也在上述函数图象上，满足．

①当时，求的值；

②若，设，求w的最小值；

（2）过A点作y轴的垂线，垂足为P，点P关于x轴的对称点为，过A点作x轴的线，垂足为Q，Q关于直线的对称点为，直线是否与y轴交于某定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由．

【答案】（1）①；②；（2）直线与轴交于定点，定点的坐标为．

【分析】

（1）①先确定，再根据代入求解即可得；

②先确定，从而可得，再代入可得一个关于的二次函数，利用二次函数的性质即可得；

（2）先分别求出点的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，从而可得点的坐标，然后利用待定系数法求出直线的解析式，由此即可得出结论．

【详解】

解：（1）①对于二次函数，

在内，随的增大而增大，

，

，

则当时，，解得或（舍去），

当时，，解得；

②，

，

，

则，

化成顶点式为，

由二次函数的性质可知，在内，当时，取最小值，最小值为；

（2）由题意，设与交于点，画图如下，

在已知函数的第一象限内的图象上，

，即，

轴，轴，点关于轴的对称点为，

，

设直线的解析式为，

将点代入得：，解得，

则直线的解析式为，

关于直线的对称点为，

，

设直线的解析式为，

将点代入得：，解得，

则直线的解析式为，

联立，解得，即，

设点的坐标为，

则，解得，即，

设直线的解析式为，

将点代入得：，

解得，

则直线的解析式为，

当时，，

即直线与轴交于定点．

6．（2021·浙江金华市）背景：点A在反比例函数的图象上，轴于点B，轴于点C，分别在射线上取点，使得四边形为正方形．如图1，点A在第一象限内，当时，小李测得．

探究：通过改变点A的位置，小李发现点D，A的横坐标之间存在函数关系．请帮助小李解决下列问题．

（1）求k的值．

（2）设点的横坐标分别为，将z关于x的函数称为“Z函数”．如图2，小李画出了时“Z函数”的图象．

①求这个“Z函数”的表达式．

②补画时“Z函数”的图象，并写出这个函数的性质（两条即可）．

③过点作一直线，与这个“Z函数”图象仅有一个交点，求该交点的横坐标．

【答案】（1）4；（2）①；②图见解析，性质如下（答案不唯一）：函数的图象是两个分支组成的曲线；函数的图象关于直角坐标系的原点成中心对称；当时，函数值z随自变量x的增大而增大，当时，函数值z随自变量x的增大面增大；③2，3，4，6．

【分析】

（1）利用待定系数法解题；

（2）①设点A坐标为，继而解得点D的横坐标为，根据题意解题即可；②根据解析式在网格中描点，连线即可画出图象，根据图象的性质解题；③分两种种情况讨论，当过点的直线与x轴垂直时，或当过点的直线与x轴不垂直时，结合一元二次方程解题即可．

【详解】

解：（1）由题意得，，

点A的坐标是，所以；

（2）①设点A坐标为，所以点D的横坐标为，

所以这个“Z函数”表达式为；

②画出的图象如图：

性质如下（答案不唯一）；

（a）函数的图象是两个分支组成的，是两条曲线

（b）函数的图象关于直角坐标系的原点成中心对称．

（c）当时，函数值z随自变量x的增大而增大，当时，函数值z随自变量x的增大面增大．

③第一种情况，当过点的直线与x轴垂直时，；

第二种情况，当过点的直线与x轴不垂直时，设该直线的函数表达式为，

，即，

，

由题意得，

，

（a）当时，，解得；

（b）当时，，

解得，

当时，．解得；

当时，，解

所以x的值为．