中考数学二轮复习考点精讲专题36 几何最值之将军饮马问题（教师版）

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专题36 几何最值之将军饮马问题


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方法技巧



“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现．
【抽象模型】如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小？

【模型解析】作点A关于直线的对称点A’，连接PA’，则PA’=PA，所以PA+PB=PA’+PB

当A’、P、B三点共线的时候，PA’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短）

题型精讲


题型一：两定一动模型
模型
作法
结论

当两定点A、B在直线l异侧时，在直线l上找一点P，使PA＋PB最小．

连接AB交直线l于点P，点P即为所求作的点．
PA＋PB的最小值为AB


当两定点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使得PA＋PB最小．

作点B关于直线l的对称点B'，
连接AB'交直线l于点P，点P即为所求作的点．
PA＋PB的最小值为AB'

当两定点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使得最大．

连接AB并延长交直线l于点P，点P即为所求作的点．
的最大值为AB

当两定点A、B在直线l异侧时，在直线

l上找一点P，使得最大．

作点B关于直线I的对称点B'，连接AB'并延长交直线l于点P，点P即为所求作的点．
的最大值为AB'

当两定点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使得最小．

连接AB，作AB的垂直平分线交直线l于点P，点P即为所求作的点．
的最小值为0
【例1】如图，点C的坐标为（3，y），当△ABC的周长最短时，求y的值．

【解析】解：解：（1）作A关于x=3的对称点A′，连接A′B交直线x=3与点C．
∵点A与点A′关于x=3对称，∴AC=A′C．∴AC+BC=A′C+BC．
当点B、C、A′在同一条直线上时，A′C+BC有最小值，即△ABC的周长有最小值．
∵点A与点A′关于x=3对称，∴点A′的坐标为（6，3）．
设直线BA′的解析式y=kx+b，将点B和点A′的坐标代入得：k＝，b＝−．
∴y=x-．
将x=3代入函数的解析式，∴y的值为
【例2】如图，正方形ABCD中，AB＝7，M是DC上的一点，且DM＝3，N是AC上的一动点，求|DN－MN|
的最小值与最大值．

【解析】解：当ND=NM时，即N点DM的垂直平分线与AC的交点，|DN-MN|=0，
因为|DN-MN|≤DM，当点N运动到C点时取等号，此时|DN-MN|=DM=3，
所以|DN-MN|的最小值为0，最大值为3
【例3】如图1（注：与图2完全相同），在直角坐标系中，抛物线经过点三点,,．

（1）求抛物线的解析式和对称轴；
（2）是抛物线对称轴上的一点，求满足的值为最小的点坐标（请在图1中探索）；
（3）在第四象限的抛物线上是否存在点，使四边形是以为对角线且面积为的平行四边形？若存在，请求出点坐标，若不存在请说明理由.（请在图2中探索）
【答案】（1），函数的对称轴为：；（2）点；（3）存在，点的坐标为或．
【解析】
解：根据点,的坐标设二次函数表达式为：，
∵抛物线经过点，
则，解得：，
抛物线的表达式为： ，
函数的对称轴为：；
连接交对称轴于点，此时的值为最小，

设BC的解析式为：，
将点的坐标代入一次函数表达式：得：
解得：
直线的表达式为：，
当时，，
故点；
存在，理由：
四边形是以为对角线且面积为的平行四边形，
则 ，
点在第四象限，故：则，
将该坐标代入二次函数表达式得：
，
解得：或，
故点的坐标为或．

题型二：一定两动模型
模型
作法
结论


点P在∠AOB内部，在OB边上找点D，OA边上找点C，使得△PCD周长最小．

分别作点P关于OA、OB的对称点P′、P″，连接P′P″，交OA、OB于点C、D，点C、D即为所求．
△PCD周长的最小值为P′P″

点P在∠AOB内部，在OB边上找点D，OA边上找点C，使得PD＋CD最小．

作点P关于OB的对称点P′，过P′作P′C⊥OA交OB于D，点C、点D即为所求．
PD＋CD的最小值为P′C
【例4】如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB=30°，OP=8，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，则△PMN周长的最小值为___________．

【分析】△PMN周长即PM+PN+MN的最小值，此处M、N均为折点，分别作点P关于OB、OA对称点P’、P’’，化PM+PN+MN为P’N+MN+P’’M．

当P’、N、M、P’’共线时，得△PMN周长的最小值，即线段P’P’’长，连接OP’、OP’’，可得△OP’P’’为等边三角形，所以P’P’’=OP’=OP=8．

【例5】如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB
上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（　　）

A．140° B．100° C．50° D．40°
【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，
连接P1P2，交OA于M，交OB于N，则OP1＝OP＝OP2，∠OP1M＝∠MPO，∠NPO＝∠NP2O，
根据轴对称的性质，可得MP＝P1M，PN＝P2N，则△PMN的周长的最小值＝P1P2，
∴∠P1OP2＝2∠AOB＝80°，∴等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1＝100°，
∴∠MPN＝∠OPM+∠OPN＝∠OP1M+∠OP2N＝100°，故选：B．
【例6】如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，连接DF，过点E作EH⊥DF，垂足为H，EH的延长线交DC于点G．
（1）猜想DG与CF的数量关系，并证明你的结论；
（2）过点H作MN∥CD，分别交AD，BC于点M，N，若正方形ABCD的边长为10，点P是MN上一点，求△PDC周长的最小值．

【答案】（1）结论：CF=2DG，理由见解析；（2）△PCD的周长的最小值为10+2．
【详解】
（1）结论：CF=2DG．
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC=CD=AB，∠ADC=∠C=90°，
∵DE=AE，
∴AD=CD=2DE，
∵EG⊥DF，
∴∠DHG=90°，
∴∠CDF+∠DGE=90°，∠DGE+∠DEG=90°，
∴∠CDF=∠DEG，
∴△DEG∽△CDF，
∴==，
∴CF=2DG．
（2）作点C关于NM的对称点K，连接DK交MN于点P，连接PC，

此时△PDC的周长最短．周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK．
由题意：CD=AD=10，ED=AE=5，DG=，EG=，DH==，
∴EH=2DH=2，
∴HM==2，
∴DM=CN=NK==1，
在Rt△DCK中，DK===2，
∴△PCD的周长的最小值为10+2．
【例7】如图，抛物线y=ax2﹣5ax+c与坐标轴分别交于点A，C，E三点，其中A（﹣3，0），C（0，4），点B在x轴上，AC=BC，过点B作BD⊥x轴交抛物线于点D，点M，N分别是线段CO，BC上的动点，且CM=BN，连接MN，AM，AN．
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）当△CMN是直角三角形时，求点M的坐标；
（3）试求出AM+AN的最小值．

【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+x+4；D点坐标为（3，5）；（2）M点的坐标为（0，）或（0，）；（3）AM+AN的最小值为．
【详解】
（1）把A（﹣3，0），C（0，4）代入y=ax2﹣5ax+c得，解得，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+4；
∵AC=BC，CO⊥AB，
∴OB=OA=3，
∴B（3，0），
∵BD⊥x轴交抛物线于点D，
∴D点的横坐标为3，
当x=3时，y=﹣×9+×3+4=5，
∴D点坐标为（3，5）；
（2）在Rt△OBC中，BC==5，
设M（0，m），则BN=4﹣m，CN=5﹣（4﹣m）=m+1，
∵∠MCN=∠OCB，
∴当时，△CMN∽△COB，则∠CMN=∠COB=90°，
即，解得m=，此时M点坐标为（0，）；
当时，△CMN∽△CBO，则∠CNM=∠COB=90°，
即，解得m=，此时M点坐标为（0，）；
综上所述，M点的坐标为（0，）或（0，）；
（3）连接DN，AD，如图，
∵AC=BC，CO⊥AB，
∴OC平分∠ACB，
∴∠ACO=∠BCO，
∵BD∥OC，
∴∠BCO=∠DBC，
∵DB=BC=AC=5，CM=BN，
∴△ACM≌△DBN，
∴AM=DN，
∴AM+AN=DN+AN，
而DN+AN≥AD（当且仅当点A、N、D共线时取等号），
∴DN+AN的最小值=，
∴AM+AN的最小值为．

题型三：两定两动模型
模型
作法
结论

点P、Q在∠AOB内部，在OB边上找点D，OA边上找点C，使得四边形PQDC周长最小．
分别作点P、Q关于OA、OB的对称点P′、Q′，连接P′Q′，分别交OA、OB于点C、D，点C、D即为所求．
PC＋CD＋DQ的最小值为P′Q′，所以四边形PQDC周长的最小值为PQ＋P′Q′

【例8】如图，在矩形中， ， ，为的中点，若为边上的两个动点，且，若想使得四边形的周长最小，则的长度应为__________.

【答案】
【详解】

解：如图，在AD上截取线段AF=DE=2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点．
∵E为CD的中点，∴CE=2
∴GH=DF=5，EH=2+4=6，∠H=90°，
∵BC//GH
∴,
∴,
∴，
∴CQ=，
∴BP=CB-PQ-CQ=7-2-．
故答案为．
【例9】如图，已知直线l1∥l2，l1、l2之间的距离为8，点P到直线l1的距离为6，点Q到直线l2的距离为4，PQ=，在直线l1上有一动点A，直线l2上有一动点B，满足AB⊥l2，且PA+AB+BQ最小，此时PA+BQ=______．

【答案】16．
【详解】
作PE⊥l1于E交l2于F，在PF上截取PC=8，连接QC交l2于B，作BA⊥l1于A，此时PA+AB+BQ最短．作QD⊥PF于D．在Rt△PQD中，∵∠D=90°，PQ=，PD=18，∴DQ==，∵AB=PC=8，AB∥PC，∴四边形ABCP是平行四边形，∴PA=BC，CD=10，∴PA+BQ=CB+BQ=QC===16．故答案为16．

题型四：两定点一定长
模型
作法
结论
B
A
l
d

如图，在直线l上找M、N两点
(M在左)，使得AM＋MN＋NB最
小，且MN＝d.

B
A
l
M
N
A′
A"

将A向右平移d个单位到A′，作A′
关于l的对称点A"，连接A"B与直线l交于点N，将点N向左平移d个单位即为M，点M，N即为所求.

AM＋MN＋NB的最小值为A"B＋d

A
B
l2
l1

如图，l1∥l2，l1、l2间距离为d，
在l1、l2分别找M、N两点，使
得MN⊥l1，且AM＋MN＋NB最小．

A
B
l2
l1
A′

N

M


将A向下平移d个单位到A，连接A′B交直线l2于点N，过点N作MN⊥l1，连接AM.点M、N即为所求．

AM＋MN＋NB的最小值为A'B＋d.

【例10】在平面直角坐标系中，矩形OABC如图所示，点A在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上，且OA＝6，OC＝4，D为OC中点，点E、F在线段OA上，点E在点F左侧，EF＝2.当四边形BDEF的周长最小时，求点E的坐标．

【解析】如图，将点D向右平移2个单位得到D'(2，2)，作D'关于x轴的对称点D"(2，－2)，连接BD"交x轴于点F，将点F向左平移2个单位到点E，此时点E和点F为所求作的点，且四边形BDEF周长最小.
理由：
∵四边形BDEF的周长为BD＋DE＋EF＋BF，BD与EF是定值.
∴BF＋DE最小时，四边形BDEF周长最小，
∵BF＋ED＝BF＋FD'＝BF＋FD"＝BD"
设直线BD"的解析式为y＝kx＋b，把B(6，4)，D"(2，－2)代入，
得6k＋b＝4，2k＋b＝－2，解得k＝，b＝－5，∴直线BD"的解析式为y＝x－5．
令y＝0，得x＝，∴点F坐标为(，0)．∴点E坐标为(，0)．
【例11】村庄A和村庄B位于一条小河的两侧，若河岸彼此平行，要架设一座与河岸垂直的桥，桥址应如
何选择，才使A与B之间的距离最短？
A
B
l2
l1

【解答】
设l1和l2为河岸，作BD⊥l2，取BB'等于河宽，连接AB'交l1于C1，作C1C2⊥l2于C2，
则A→C1→C2→B为最短路线，即A与B之间的距离最短.







提分作业


1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6．AB=12，AD平分∠CAB，点F是AC的中点，点E是AD上的动点，则CE+EF的最小值为　　

A．3 B．4 C． D．
【解析】此处E点为折点，可作点C关于AD的对称，对称点C’在AB上且在AB中点，化折线段CE+EF为C’E+EF，当C’、E、F共线时得最小值，C’F为CB的一半，故选C．

2．如图，在锐角三角形ABC中，BC=4，∠ABC=60°， BD平分∠ABC，交AC于点D，M、N分别是BD，BC上的动点，则CM+MN的最小值是　　

A． B．2 C． D．4
【解析】此处M点为折点，作点N关于BD的对称点，恰好在AB上，化折线CM+MN为CM+MN’．

因为M、N皆为动点，所以过点C作AB的垂线，可得最小值，选C．


3．如图，在正方形ABCD中，AB=9，点E在CD边上，且DE=2CE，点P是对角线AC上的一个动点，则PE+PD的最小值是（　　）

A． B． C．9 D．
【答案】A
【详解】
解：如图，连接BE，设BE与AC交于点P′，∵四边形ABCD是正方形，∴点B与D关于AC对称，∴P′D=P′B，∴P′D+P′E=P′B+P′E=BE最小．即P在AC与BE的交点上时，PD+PE最小，为BE的长度．∵直角△CBE中，∠BCE=90°，BC=9，CE=CD=3，∴BE==．故选A．

4．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AB＝8，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值_____．

【答案】10
【详解】
解：如图：

连接DE交AC于点P，此时PD＝PB，
PB+PE＝PD+PE＝DE为其最小值，
∵四边形ABCD为正方形，且BE＝2，AB＝8，
∴∠DAB＝90°，AD＝AB＝8，AE＝AB-BE＝6，
在Rt△ADE中，根据勾股定理，得
DE＝
＝
＝10．
∴PB+PE的最小值为10．
故答案为10．
5．如图，∠AOB的边OB与x轴正半轴重合，点P是OA上的一动点，点N（3，0）是OB上的一定点，点M是ON的中点，∠AOB=30°，要使PM+PN最小，则点P的坐标为______．

【答案】（，）．
【详解】
解：作N关于OA的对称点N′，连接N′M交OA于P，则此时，PM+PN最小，∵OA垂直平分NN′，∴ON=ON′，∠N′ON=2∠AON=60°，∴△NON′是等边三角形，∵点M是ON的中点，∴N′M⊥ON，∵点N（3，0），∴ON=3，∵点M是ON的中点，∴OM=1.5，∴PM=，∴P（，）．故答案为：（，）．

6．如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE＝2，当EF＋CF取得最小值时，则∠ECF的度数为多少？

【答案】∠ECF＝30º
【解析】过E作EM∥BC，交AD于N，如图所示：
∵AC＝4，AE＝2，∴EC＝2＝AE，∴AM＝BM＝2，∴AM＝AE，
∵AD是BC边上的中线，△ABC是等边三角形，∴AD⊥BC，∵EM∥BC，∴AD⊥EM，
∵AM＝AE，∴E和M关于AD对称，连接CM交AD于F，连接EF，则此时EF＋CF的值最小，
∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60º，AC＝BC，∵AM＝BM，∴∠ECF＝∠ACB＝30º.
7．在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，A(3，
0)，B(0，4)，D为边OB的中点．
（1）若E为边OA上的一个动点，求△CDE的周长最小值；
（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF＝1，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标．


【解析】(1)如图，作点D关于x轴的对称点D'，连接CD'与x轴交于点E，连接DE，由模型可知△CDE的周长最小．
∵在矩形OACB中，OA＝3，OB＝4，D为OB的中点，
∴D(0，2)，C(3，4)，D'(0，－2).
设直线CD'为y＝kx＋b，把C(3，4)，D'(0，－2)代入，
得3k＋b＝4，b＝－2，解得k＝2，b＝－2，
∴直线CD'为y＝2x－2.
令y＝0，得x＝1，
∴点E的坐标为(1，0).
∴OE＝1，AE＝2.
利用勾股定理得CD＝，DE＝，CE＝2，
∴△CDE周长的最小值为＋3．

(2)如图，将点D向右平移1个单位得到D'(1，2)，作D'关于x轴的对称点D″(1，－2)，连接CD″交x轴于点F，将点F向左平移1个单位到点E，此时点E和点F为所求作的点，且四边形CDEF周长最小．
理由：∵四边形CDEF的周长为CD＋DE＋EF＋CF，CD与EF是定值，
∴DE＋CF最小时，四边形BDEF周长最小，∴DE＋CF＝D'F＋CF＝FD″＋CF＝CD″，
设直线CD″的解析式为y＝kx＋b，把C(3，4)，D(1，－2)代入，
得3k＋b＝4，k＋b＝－2，解得k＝3，b＝－5．∴直线CD″的解析式为y＝3x－5，
令y＝0，得x＝，∴点F坐标为(，0)，∴点E坐标为(，0)．
8．如图所示抛物线过点，点，且
（1）求抛物线的解析式及其对称轴；
（2）点在直线上的两个动点，且，点在点的上方，求四边形的周长的最小值；
（3）点为抛物线上一点，连接，直线把四边形的面积分为3∶5两部分，求点的坐标.

【答案】（1），对称轴为直线；（2）四边形的周长最小值为；（3）
【详解】
（1）∵OB=OC，∴点B（3，0），
则抛物线的表达式为：y=a（x+1）（x-3）=a（x2-2x-3）=ax2-2ax-3a，
故-3a=3，解得：a=-1，
故抛物线的表达式为：y=-x2+2x+3…①；
对称轴为：直线
（2）ACDE的周长=AC+DE+CD+AE，其中AC=、DE=1是常数，
故CD+AE最小时，周长最小，
取点C关于函数对称点C（2，3），则CD=C′D，
取点A′（-1，1），则A′D=AE，
故：CD+AE=A′D+DC′，则当A′、D、C′三点共线时，CD+AE=A′D+DC′最小，周长也最小，

四边形ACDE的周长的最小值=AC+DE+CD+AE=+1+A′D+DC′=+1+A′C′=+1+；
（3）如图，设直线CP交x轴于点E，

直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分，
又∵S△PCB：S△PCA=EB×（yC-yP）：AE×（yC-yP）=BE：AE，
则BE：AE，=3：5或5：3，
则AE=或，
即：点E的坐标为（，0）或（，0），
将点E、C的坐标代入一次函数表达式：y=kx+3，
解得：k=-6或-2，
故直线CP的表达式为：y=-2x+3或y=-6x+3…②
联立①②并解得：x=4或8（不合题意值已舍去），
故点P的坐标为（4，-5）或（8，-45）．
9．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边交轴于点，轴，反比例函数的图象经过点，点的坐标为，．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点为轴上一动点，当的值最小时，求出点的坐标．

【答案】（1）；（2）
【详解】
解：（1）∵是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵轴，
∴，
∴，
∵
∴，即
把点 代入的得，
∴反比例函数的解析式为：．
答：反比例函数的解析式为：．
（2）过点作垂足为，
∵，，
∴，
∴，
∴，
则点关于轴的对称点，直线与轴的交点就是所求点，此时最小，
设直线AB1的关系式为，将 ,，代入得，
解得：，，
∴直线的关系式为，
当时，，
∴点
答：点的坐标为．

10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；
（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；
（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；直线AC的解析式为y=3x+3；（2）点M的坐标为（0，3）；
（3）符合条件的点P的坐标为（，）或（，﹣），
【详解】
解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），
即y=ax2﹣2ax﹣3a，
∴﹣2a=2，解得a=﹣1，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；
当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，则C（0，3），
设直线AC的解析式为y=px+q，
把A（﹣1，0），C（0，3）代入得，解得，
∴直线AC的解析式为y=3x+3；
（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点D的坐标为（1，4），
作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），

∵MB=MB′，
∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此时MB+MD的值最小，
而BD的值不变，
∴此时△BDM的周长最小，
易得直线DB′的解析式为y=x+3，
当x=0时，y=x+3=3，
∴点M的坐标为（0，3）；
（3）存在．
过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，

∵直线AC的解析式为y=3x+3，
∴直线PC的解析式可设为y=﹣x+b，
把C（0，3）代入得b=3，
∴直线PC的解析式为y=﹣x+3，
解方程组，解得或，则此时P点坐标为（，）；
过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P，直线PC的解析式可设为y=﹣x+b，
把A（﹣1，0）代入得+b=0，解得b=﹣，
∴直线PC的解析式为y=﹣x﹣，
解方程组，解得或，则此时P点坐标为（，﹣）.
综上所述，符合条件的点P的坐标为（，）或（，﹣）.