深圳外国语学校2021级高二下期中考试数学复习卷含参考答案

这是一份深圳外国语学校2021级高二下期中考试数学复习卷含参考答案，共26页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

深圳外国语学校2021级高二下数学复习卷2(2023.4.14)
一、单项选择题：
1、用5种不同颜色给右图所示的五个圆环涂色，要求相交的两个圆环不能涂相同的颜色，共有（ ）种不同的涂色方案．

A. 1140 B. 1520 C. 1400 D. 1280
2、某大学有两家餐厅，某同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐，如果第一天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率是；如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率是；则该同学第2天去餐厅用餐的概率是（ ）
A． B． C． D．
3、的展开式中的系数为（ ）
A. B. C. 120 D. 200
4、 已知，则（ ）
A. B. C. D.
5、 等差数列是递增数列，公差为，前项和为，满足，下列选项正确的是（ ）
A. B. C. 当时最小 D. 时的最小值为
6、设点P是函数图象上的任意一点，点P处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7、双曲线的一条渐近线方程为，，分别为该双曲线的左右焦点，为双曲线上的一点，则的最小值为（    ）
A． B． C． D．
8. 已知函数的导函数为，且对任意的实数都有(是自然对数的底数)，且，若关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：
9、甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐中取出的球是红球的事件．下列结论正确的是（ ）
A. 事件与相互独立； B. ；
C. ； D. ，，是两两互斥的事件
10、在正方体中，点在线段上，且，动点在线段上（含端点），则下列说法正确的有（ ）

A. 三棱锥的体积为定值 B. 若直线平面，则
C. 不存在点使平面平面 D. 存在点使直线与平面所成角为

11、抛物线的焦点为F，点O为坐标原点，，过点F的直线与抛物线交于P，Q两点，则（ ）
A. ，则P到y轴的距离为8 B. 直线OP，OQ的斜率之积恒为-4
C. 的最小值为
D. 若直线l：，则P到y轴的距离与到直线l的距离之和的最小值为

12. 若对任意，不等式恒成立，则实数a可能为（ ）
A. B. C. D.
三、填空题：
13、已知事件是互斥事件，且，则_________
14、公差不为零的等差数列中，，数列是等比数列，且，则等于_____
15、已知三棱锥的体积为，各顶点均在以为直径的球面上，，则该球的体积为______.
16、已知，，若，，都有，则取值范围为___________.

四、解答题：
17、在中，内角所对的边分别为，且
（1）求内角；
（2）若为的内心，且，求





18、已知数列满足，
（1）记，写出，，并猜想数列的通项公式（无需证明）；
（2）求的前20项和．




19、已知函数．
（1）求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积；
（2）过点作曲线切线，若切线有且仅有1条，求实数的值．








20、如图，在四棱锥中，平面平面PAD，，，，，，E是PD的中点．

（1）求证：；
（2）若点M在线段PC上，异面直线BM和CE所成角的余弦值为，求面MAB与面PCD夹角的余弦值．






21、已知点M，N分别是椭圆的右顶点与上顶点，原点O到直线的距离为，且椭圆的离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）斜率不为0的直线经过椭圆右焦点，并且与椭圆交于A，B两点，点P在椭圆上，O为原点，若，求直线的方程．





















22、已知函数.
（1）若函数在单调递减，求实数的取值范围；
（2）若，是函数的两个极值点，求证：.







深圳外国语学校2021级高二下复习卷2
一、单项选择题：
1、用5种不同颜色给右图所示的五个圆环涂色，要求相交的两个圆环不能涂相同的颜色，共有（ ）种不同的涂色方案．

A. 1140 B. 1520 C. 1400 D. 1280
【答案】D
【详解】从左到右依次涂色(也可以任选一个环作为开始)，第一个圆环有5种选择，
第二个圆环以及后面每个圆环均有4种选择，所以总数为：
； 故选：D.
2、某大学有两家餐厅，某同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐，如果第一天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率是；如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率是；则该同学第2天去餐厅用餐的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
由题设，应用全概率公式可直接求得该同学第2天去餐厅用餐的概率.
【详解】
设 “第1天去A餐厅用餐”，“第1天去B餐厅用餐”，“第2天去A餐厅用餐”，
由题意得：，，，
由全概率公式，得：，
因此，该同学第天去餐厅用餐的概率为. 故选：B.
3、的展开式中的系数为（ ）
A. B. C. 120 D. 200
【答案】A
【详解】展开式的通项公式为，
当时，，此时只需乘以第一个因式中的即可，得到；当时，，此时只需乘以第一个因式中的即可，得到；据此可得：的系数为. 故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题考查二项式定理具体展开项的系数求解问题，解题的关键是写出的通项，再分类讨论的值，确定的系数，考查学生的分类讨论思想与运算能力，属于中档题.
4、 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】
所以，所以
故选:B.
6、 等差数列是递增数列，公差为，前项和为，满足，下列选项正确的是（ ）
A. B. C. 当时最小 D. 时的最小值为
【答案】D
【分析】根据等差数列基本量的计算可得，进而根据递增即可判断AB,根据和即可判断CD.
【详解】由得，
由于是递增数列，所以，，故A,B错误，
，由于，
故当,时，，当时，,
当,时，， 因此当或时最小，故C错误，，由于，故解得，故时的最小值为，D正确.
6、设点P是函数图象上的任意一点，点P处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】求出，令后可求，再根据导数的取值范围可得的范围，从而可得的取值范围.
【详解】∵，∴，
∴，∴，∴，
∴，∴或. 故选：B.
7、双曲线的一条渐近线方程为，，分别为该双曲线的左右焦点，为双曲线上的一点，则的最小值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求最小值，则要尽可能小，要尽可能大,所以在双曲线的右支上,则，所以，消元转化为对勾函数求最值
【详解】若求最小值，则要尽可能小，要尽可能大
所以在双曲线的右支上 渐近线 又因为  所以

由双曲线定义，当在双曲线的右支上，

当且仅当，即时取等号因为右支上的顶点到最小，最小为
所以不到等号，当时，取最小值 最小值为：
8. 已知函数的导函数为，且对任意的实数都有(是自然对数的底数)，且，若关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
由题意得即求出解析式，利用导数研究其单调性和极值与最值，结合图象即可求解.
【详解】即，
所以，则，所以，
因为，所以，所以，
，
由得，此时单调递增，由得或，此时单调递减，
所以时，取得极大值为，当时，取得极小值，
又因为，，，且时，，

的解集中恰有两个整数等价于在下方的图象只有2个横坐标为整数的点，结合函数图象可得：则，解得，所以时，的解集中恰有两个整数，故实数的取值范围是 故选：C
【点睛】关键点点睛：的解集中恰有两个整数，需求出解析式，所以对已知条件变形可得即结合可求出，的解集中恰有两个整数等价于在下方的图象只有2个横坐标为整数的点，对求导数形结合即可求出实数的取值范围，属于难题.
二、多项选择题：
9、甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐中取出的球是红球的事件．下列结论正确的是（ ）
A. 事件与相互独立； B. ；
C. ； D. ，，是两两互斥的事件
【答案】BCD
【详解】由题意，
，和表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐中取出的球是红球的事件．显然，，，是两两互斥的事件，D正确
且，，而，A错误，
，，所以，B正确；
，C正确；
10、在正方体中，点在线段上，且，动点在线段上（含端点），则下列说法正确的有（ ）

A. 三棱锥的体积为定值 B. 若直线平面，则
C. 不存在点使平面平面 D. 存在点使直线与平面所成角为
【答案】AB
【分析】选项A连接，设正方体的棱长为，说明平面，可说明点到平面的高度为定值，为定值，利用等体积法即可说明，选项B建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可，选项C，当处于处时即可判断，选项D借助选项B中的相关结论，假设存在点使直线与平面所成角为，根据假设条件，表示出线面角，列出等式，推出结论即可.
【详解】选项A，连接，如图所示：设正方体的棱长为，

因为，所以四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，
所以平面，即平面
所以直线上的所有点到平面的距离都相等都等于正方体的棱长为定值，
所以点到平面的高度为，由为定值，
所以为定值，故A正确，
以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：

设，设正方体的棱长为1，
因为点在线段上，且，所以在线段的中点，
则，所以，
设平面的法向量为，则
，令，则，
所以平面的法向量为，由，设，
所以，又，
所以，所以，
所以，所以直线平面，所以 ，
即，解得，，故B选项正确，
当处于点时，平面即为平面，而在正方体中平面平面，
故存在点，使得平面平面，故C错误，
由B选项知，由平面,
所以为平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，
由线面角的性质有：
，
假设存在点使直线与平面所成角为，
则，即，
因为，无实数解，
所以不存在点使直线与平面所成角为，故D选项不正确， 故选：AB.
11、抛物线的焦点为F，点O为坐标原点，，过点F的直线与抛物线交于P，Q两点，则（ ）
A. ，则P到y轴的距离为8 B. 直线OP，OQ的斜率之积恒为-4
C. 的最小值为
D. 若直线l：，则P到y轴的距离与到直线l的距离之和的最小值为
【答案】BCD
【分析】对A，由抛物线定义列式，即可判断；
对B，设直线，联立直线与抛物线，结合韦达定理表示即可判断；
对C，由，结合均值不等式判断；
对D，所求距离之和的最小值为点F到直线l的距离，由点线距离可求.
【详解】对A，，故A错误；
对B，若直线过点F，设直线，联立，消去得，
设、，则，，
所以，故B正确；
对C， ，则，
当且仅当时等号成立，故C正确；
对D，设P到y轴的距离为，P到l的距离为到
则，易知+的最小值为点F到直线l的距离为，
则距离之和最小值为，故D正确. 故选：BCD.
12. 若对任意，不等式恒成立，则实数a可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABC
【分析】依题意可得对任意的恒成立，令，，利用导数说明函数的单调性，即可得到只需对任意的恒成立，令，则，再构造函数，，利用导数求出函数的最小值，即可得到，从而求出的取值范围，即可得解.
【详解】解：依题意，对任意，恒成立，
即恒成立，即恒成立，即恒成立，
设，，则恒成立，所以在上单调递增，
所以只需对任意的恒成立，
因为，令，则，即，令，，
则，所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以，
所以，所以，所以 故选：ABC
【方法点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
三、填空题：
13、已知事件是互斥事件，且，则_________（）
14、公差不为零的等差数列中，，数列是等比数列，且，则等于______.【答案】
【分析】利用等差数列的性质和等比数列的性质求解.
【详解】因为是等差数列，所以，所以，解得或，
又因为等比数列的，所以，所以，
所以，故答案为: .
15、已知三棱锥的体积为，各顶点均在以为直径的球面上，，则该球的体积为______.
【答案】
【分析】利用余弦定理求出，设为外接圆半径，利用正弦定理求出，再根据三棱锥的体积，求出到平面的距离，即可得到球心到平面的距离，再由勾股定理求出外接球的半径，即可得解.
【详解】解：由，，，
所以，即，所以，
又，所以，设为外接圆半径，
，解得，所以，
则，，即到平面的距离为2
外接球球心的中点到平面的距离为，

外接球半径，，. 故答案为：
16、已知，，若，，都有，则取值范围为___________.
【答案】【解析】
【分析】先利用导数求出函数，的最大值，将问题转化为在恒成立，构造函数，利用二次求导确定该函数的单调性和最值问题.
【详解】因为，，所以，
当时，，当时，，
即在上单调递增，在上单调递减，所以；
在恒成立，即在恒成立，
令，则，令，
则恒成立，所以在单调递增，，，
故存在，使得，，，，
即，解得，所以，
所以，即. 故答案为：.
【点睛】方法点睛：在处理不等式恒成立问题时，往往转化为求函数的最值问题，如：
（1）对于函数、，若，，都有
；
（2）对于函数、，若，，都有
.
四、解答题：
17、在中，内角所对的边分别为，且
（1）求内角；
（2）若为的内心，且，求



18、已知数列满足，
（1）记，写出，，并猜想数列的通项公式（无需证明）；
（2）求的前20项和．
【答案】（1），，； （2）300．
【分析】（1）确定，得到是以2为首项，3为公差的等差数列，计算得到答案.
（2）利用分组求和法结合等差数列求和公式计算得到答案.
【小问1详解】
显然2n为偶数，则，，所以，
即，且，
所以是以2为首项，3为公差的等差数列，于是，，．
【小问2详解】

．
19、已知函数．
（1）求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积；
（2）过点作曲线切线，若切线有且仅有1条，求实数的值．
【答案】（1） （2）或1
【解析】
【分析】（1）对求导，代入分别得到纵坐标及斜率，最后求出直线，得到围成的三角形面积；
（2）设出切点坐标，得到切线斜率，写出切线方程，
代入点坐标，化简得到，利用得到答案.
【小问1详解】，令，，，
故曲线在点处的切线方程为，分别令，
则，，则与两坐标轴交点为，，三角形面积为．
【小问2详解】
设切点为，由已知得，则切线斜率，
切线方程为
直线过点，则，化简得
切线有且仅有1条，即，化简得，
即，解得或1．
20、如图，在四棱锥中，平面平面PAD，，，，，，E是PD的中点．

（1）求证：；
（2）若点M在线段PC上，异面直线BM和CE所成角的余弦值为，求面MAB与面PCD夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析； （2）.
【解析】
【分析】（1）证明平面PAB即可;
（2）由异面直线BM和CE所成角的余弦值为可得M坐标，后可得答案.
【小问1详解】
证明：中，∵，，，
由余弦定理可得：，
即，∴，
从而∵，∴
∵平面平面PAD，平面ABCD平面PAD，AB平面ABCD.
∴平面PAD，∴平面PAD，∴.
∵，AB平面PAB，PA平面PAB，
∴平面PAB.∵平面PAB，∴．
【小问2详解】
以A为原点，以AD为y轴，建系如图所示，则，，，，
则，，
，.
设，则

设异面直线BM和CE所成角为，则

得.此时，设面MAB的一个法向量为，
有
令，则，，取 .
设面PCD的一个法向量为，
有
令，则，，取 设面MAB与面PCD的夹角为，
则.即面MAB与面PCD夹角的余弦值为.

21、已知点M，N分别是椭圆的右顶点与上顶点，原点O到直线的距离为，且椭圆的离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）斜率不为0的直线经过椭圆右焦点，并且与椭圆交于A，B两点，点P在椭圆上，O为原点，若，求直线的方程．
【答案】（1）； （2）或．
【解析】
【分析】（1）由已知可推出直线的方程为.由已知可得，解方程组即可得出答案；
（2）设的方程为.联立直线与椭圆的方程，得出，由韦达定理得出坐标之间的关系，表示出点.代入椭圆方程，整理化简即可得出，代入即可得出的值.
【小问1详解】由已知可得，，，所以直线的方程可设为，
即.所以点到直线的距离.
又椭圆的离心率为，所以.联立，解得，
故椭圆方程为．
【小问2详解】
由（1）知，椭圆的右焦点为，设直线的方程为.
设，，.
联立直线与椭圆的方程，消x得，
由韦达定理可得.因为，所以，
因为点P在椭圆上，
所以
，所以.
因为
．化简得，得，
当时，直线的方程为；当时，直线的方程为.
综上，直线的方程为或．
22、已知函数.
（1）若函数在单调递减，求实数的取值范围；
（2）若，是函数的两个极值点，求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）把函数在单调递减，转化为在恒成立，分离参数，得到恒成立，令，利用导数求得函数的单调性和最大值，即可求解；
（2）由，是函数的两个极值点，得到，是的两个变号根，
令，利用导数求得最大值，，转化为时，，是的两个变号根，进而得到，转化为证明，
令，，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.
【详解】（1）由题意，函数在单调递减，
所以在恒成立，
即在恒成立，即恒成立，所以，
令，则，当时，，单调递增；
当时，，单调递减，所以，即，
所以实数的取值范围是.
（2）因为，是函数的两个极值点，
所以，是的两个变号根，即，是的两个变号根，
令，则，
当，，函数单调递增，不可能有两个根；
当时，令，得，单调递增；
令，得，单调递减，
所以，令，得.
因为时，，时，，
所以时，，是的两个变号根，所以，，
两式相减得.设，则.
所以要证：，只需证，即，
也就是，整理为，即证.
令，则.则即证.
令，，则，
所以在t>1时单调递增，即时，，
所以时，，故原结论成立，即.
【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解与不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．