2023年福建省福州三中高考数学第十三次质检试卷（含答案解析）

2023年福建省福州三中高考数学第十三次质检试卷

1.  若集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知复数z满足，则复数z的虚部为(    )

A. 2 B.  C.  D. i

3.  若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则双曲线C的离心率为(    )

A.  B.  C. 2 D.

4.  下列说法中正确的是(    )

A. 已知随机变量X服从二项分布，则
B. “A与B是互斥事件”是“A与B互为对立事件”的充分不必要条件
C. 已知随机变量X的方差为，则
D. 已知随机变量X服从正态分布且，则

5.  已知函数，且其图象在点处的切线的倾斜角为，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  蹴鞠，又名蹴球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以脚蹴，蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录.已知某鞠的表面上有五个点P、A、B、C、D恰好构成一正四棱锥，若该棱锥的高为8，底面边长为，则该鞠的表面积为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  若，则(    )

A. 448 B.  C.  D. 112

8.  已知，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

9.  下列说法中正确的是(    )

A. 若数据，，…，的方差为0，则此组数据的众数唯一
B. 已知一组数据2，3，5，7，8，9，9，11，则该组数据的第40百分位数为6
C. 若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r的值越大
D. 在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高

10.  已知函数将的图象上所有点向右平移个单位长度，然后横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变，得到函数的图象．若为偶函数，且最小正周期为，则下列说法正确的是(    )

A. 的图象关于对称
B. 在上单调递减
C. 的解集为，
D. 方程在上有且只有两个相异实根

11.  已知圆C过点，，直线m：平分圆C的面积，过点且斜率为k的直线l与圆C有两个不同的交点M，N，则(    )

A. 圆心的坐标为 B. 圆C的方程为
C. k的取值范围为 D. 当时，弦MN的长为

12.  已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则下列命题正确的是(    )

A. 当时，
B. 函数有2个零点
C. 的解集为
D. ，，都有

13.  已知，，，则______ .

14.  已知抛物线C：上有两动点P，Q，且，则线段PQ的中点到x轴距离的最小值是______.

15.  设函数，若在区间上的值域为，则实数m的取值范围为______.

16.  用表示自然数n的所有正因数中最大的那个奇数，例如：9的正因数有1、3、9，，10的正因数有1、2、5、10，记…，则：
______；
______.

17.  在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
求A；
若D为BC上一点，且，，求的面积．

18.  已知数列的前n项的和为，且满足
求数列的通项公式及；
若数列满足，求数列的前n项的和

19.  在三棱台中，平面ABC，，且，M是AC的中点，P是CF上一点，且
求证：平面平面PBM；
当，且二面角的余弦值为时，求三棱台的体积．

20.  某公司对40名试用员工进行业务水平测试，根据测试成绩评定是否正式录用以及正式录用后的岗位等级，测试分笔试和面试两个环节．笔试环节所有40名试用员工全部参加；参加面试环节的员工由公司按规则确定．公司对40名试用员工的笔试得分笔试得分都在进行了统计分析，得到如下的频率分布直方图和列联表．

请完成上面的列联表，并判断是否有的把握认为“试用员工的业务水平优良与否”与性别有关；
公司决定：在笔试环节中得分低于85分的员工直接匋汰，得分不低于85分的员工都正式录用．笔试得分在内的岗位等级直接定为一级无需参加面试环节；笔试得分在内的岗位等级初定为二级，但有的概率通过面试环节将二级晋升为一级；笔试分数在内的岗位等级初定为三级，但有的概率通过面试环节将三级晋升为二级．若所有被正式录用且岗位等级初定为二级和三级的员工都需参加面试．已知甲、乙为该公司的两名试用员工，以频率视为概率．
①若甲已被公司正式录用，求甲的最终岗位等级为一级的概率；
②若乙在笔试环节等级初定为二级，求甲的最终岗位等级不低于乙的最昸岗位等级的概率．
参考公式：

21.  在平面直角坐标系xOy中，设F为椭圆C：的左焦点，直线与x轴交于点P，M为椭圆C的左顶点，已知椭圆长轴长为8，且
求椭圆C的标准方程；
若过点P的直线与椭圆交于两点A，B，设直线AF，BF的斜率分别为，
①求证：为定值；
②求面积的最大值．

22.  已知函数，
求函数在上的最小值；
证明：当时，

答案和解析

1.【答案】B 

【解析】解：集合，
，
则
故选：
求出集合A，B，利用交集定义能求出
本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

2.【答案】A 

【解析】解：已知复数z满足其中i为虚数单位，
则，
，
则复数z的虚部为
故选：
根据复数的模长和复数的代数运算可得答案．
本题考查复数的模长和代数运算，属于基础题．
 

3.【答案】C 

【解析】

【分析】

通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离，列出关系式，然后求解双曲线的离心率即可．
本题考查双曲线的简单性质的应用，主要是离心率的求法，考查圆的方程的应用，考查计算能力，是中档题．

【解答】

解：双曲线的一条渐近线不妨为：，
圆即为的圆心，半径为，
双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，
可得圆心到直线的距离为：，
解得：，
由，
可得，即
故选：

4.【答案】D 

【解析】解：对于A：随机变量X服从二项分布，则，故A错误；
对于B：“A与B是互斥事件”不能推出“A与B互为对立事件“，但是“A与B是互斥事件”⇐“A与B互为对立事件“，故A与B是互斥事件”是“A与B互为对立事件”的必要不充分条件，故B错误；
对于C：随机变量X的方差为，则，故C错误；
对于D：因为随机变量X服从正态分布且，所以，所以，故D正确．
故选：
根据数学期望判断A；根据充分必要条件判断B；根据方差判断C；根据正态分布判断
本题考查了命题的真假的判断，属于基础题．
 

5.【答案】B 

【解析】解：由，得，
，则，
，得，可得，

故选：
求出原函数的导函数，可得，进一步求得，可得，然后利用诱导公式及同角三角函数基本关系式化弦为切求解．
本题考查导数的几何意义及应用，考查三角函数的化简求值，是中档题．
 

6.【答案】C 

【解析】解：正四棱锥的底面是正方形，底面边长为，高为8，如图所示：

所以正四棱锥的底面对角线的长为，
设正四棱锥外接球的半径为R，则，解得，
所以球的表面积为，
即该鞠的表面积为
故选：
画出图形，根据正四棱锥的底面是正方形，利用列方程求出外接球的半径，即可求出表面积．
本题考查了外接球的表面积计算问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
 

7.【答案】D 

【解析】解：，
，
则，
故选：
由二项式定理，结合二项式展开式项系数的求法求解即可．
本题考查了二项式定理，重点考查了二项式展开式项系数的求法，属基础题．
 

8.【答案】C 

【解析】解：，，
设，则，函数在上单调递增，
，即，，，
，
故选：
利用指数函数的单调性判断，利用构造函数的单调性判断，求解即可．
本题主要考查了指数函数和构造函数的单调性，属于基础题．
 

9.【答案】AD 

【解析】解：对于A，数据，，…，的方差为0时，则此组数据与平均数相同，所以众数唯一，选项A正确；
对于B，数据2，3，5，7，8，9，9，11，且，所以该组数据的第40百分位数为第4个数，是7，选项B错误；
对于C，若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r的绝对值越接近1，所以选项C错误；
对于D，残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高，选项D正确．
故选：
根据方差和平均数、众数，百分位数，相关系数和残差图的意义，对选项中的问题分析判断即可．
本题考查了方差与平均数、众数和百分位数以及相关系数和残差图的应用问题，是基础题．
 

10.【答案】AC 

【解析】解：将的图象上所有点向右平移个单位长度，
得到，然后横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变，得到函数的图象．
即，
若的最小正周期为，则，得，此时，
为偶函数，
，，
即，，
，当时，，，
，
则当时，，则的图象关于对称，故A正确，
当，则，，此时不是单调函数，故B错误，
由得得即，即，，得，，故C正确，
由得，
则①或，②
得①不成立，
由②得，，
，
时，，
时，，
时，，则在上有且只有3个相异实根，故D错误，
故选：
根据图象变换关系求出和的解析式，根据三角函数的对称性，单调性分别进行求解判断即可．
本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象变换求出函数和的解析式，利用三角函数的性质分别进行判断是解决本题的关键，是中档题．
 

11.【答案】ABD 

【解析】解：设圆方程为²²²，
因为圆C被直线m：平分，
所以圆心在直线m上，则由，
由条件圆C过A，B两点，则，
解得，，，
所以圆心，故A正确；
圆C的方程为，故B正确；
由题可知过点且斜率为k的直线l方程为，即，
由直线l与圆C 由两个不同交点M，N，所以点C到直线l的距离小于半径r，
即，解得，故C错误；
当时，可求得点到直线l的距离，
则弦长，故D正确；
故选：
设圆方程为²²²，根据已知条件结合A，B在圆上建立关于a，b，r的方程组，即可求出圆C的方程，再利用点到直线的距离建立关于k的不等式，即可得到k的取值范围，进而也可求得当时弦MN的长，进而得出选项．
本题考查直线与圆的位置关系，考查圆标准方程的求解，点到直线的距离公式，弦长公式等，属于中档题．
 

12.【答案】ACD 

【解析】解：对于A，令，则，
则依题意有，，选项A正确；
对于B，因为，且奇函数的图象关于原点对称，
所以的零点不可能为偶数个，选项B错误；
对于C，当时，，即，解得；
当时，；当时，，即，解得；
综上，的解集为，选项C正确；
对于D，当时，令，解得，
易知在单调递减，在单调递增；
当时，令，解得，
易知在单调递增，在单调递减；
且，其大致图象如下：

由图象可知，对任意，，，选项D正确．
故选：
利用奇函数的性质可得时的解析式，然后判断A；由奇函数的性质可知的零点不可能为偶数个，从而判断B；分，及解不等式，即可判断C；利用导数研究的单调性及极值情况，作出草图，即可判断
本题考查函数与导数的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：因为，，，
所以，即，
解得，
所以，
所以
故答案为：
根据平面向量的数量积求模长即可．
本题考查了平面向量的数量积运算与模长计算问题，是基础题．
 

14.【答案】2 

【解析】解：设抛物线C的焦点为F，点P在抛物线的准线上的投影为，点Q在直线上的投影为，
线段PQ的中点为E，点E到x轴的距离为d，则，
所以，当仅当，即P、F、Q三点共线时等号成立，
所以线段PQ的中点到x轴距离的最小值为2，
故答案为：
设抛物线C的焦点为F，由，结合抛物线的定义可得线段PQ的中点到x轴距离的最小值．
本题考查抛物线的性质，数形结合思想，属于中档题．
 

15.【答案】 

【解析】解：函数的图象如图所示，结合图象易得
当时，

故答案为：
函数的图象如图所示，结合图象易得答案
本题考查了函数的值域和定义域的关系，关键是画图，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：由题意得，
由的定义易知，且若n为奇数则，
………
……

，
………
……
…
故答案为：86；
据题中对的含义，判断出，由此可求得，利用，…
本题考查等差数列的前n项和公式、等比数列的前n项和公式、逐差累加的方法．
 

17.【答案】解：在中，因为，
所以由正弦定理得：，即，
因为，，
所以，即，
因为，
所以
在中，因为，，所以，
由余弦定理得：，即，解得：舍去，
因为，
所以即，
因为，所以，解得：，
所以的面积，即的面积为 

【解析】利用三角函数恒等变形得到，即可求出角A；
先由余弦定理求得，利用向量的运算求出，直接代入面积公式即可求出的面积．
本题考查了三角函数恒等变形，余弦定理，向量的运算以及三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
 

18.【答案】解：在中，令，则，即，
由知，，
两式相减得，，即，
所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，
所以数列的通项公式，前n项和公式
，
当时，……；
当时，……
…，
综上， 

【解析】结合与等比数列的概念，可知数列是首项为1，公比为2的等比数列，再由等比数列的通项公式与前n项和公式，得解；
易知，再分和两种情况，结合等比数列的前n项和公式与分组求和法，得解．
本题考查数列的通项公式与前n项和的求法，熟练掌握利用求通项公式，等比数列的通项公式与前n项和公式，以及分组求和法是解题的关键，考查分类讨论思想，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

19.【答案】证明：在中，因为，且M为AC中点，故可得，
由平面 ABC，且面ABC，可得，
又，AC，面ACFD，故平面ACFD，
又面ACFD，故，
由可得，，
又，
故∽，可得，
又，故，
故可得，
又，PM，面PBM，
故可得平面PBM，
又平面BCD，
故平面平面
由，可得，，连接DM，
由可知，BM，MC，DM两两垂直，
故以M为坐标原点，分别以MB，MC，MD所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

易知，，，
由，可得，
设平面EBD的法向量为，
则，且，
令，得，
设平面CBD的法向量为，
则
令，得，
依题意可得，
解得，
故，
易得和的面积分别为和2，
故三棱台的体积 

【解析】由线面垂直推证，再结合三角形相似证明，即可由线线垂直推证线面垂直；
以M为坐标原点建立空间直角坐标系，根据已知二面角大小，求得，再由棱台的体积计算公式即可求得结果．
本题考查了面面垂直的证明以及棱台体积的计算，属于中档题．
 

20.【答案】解：列联表：

，
没有的把握认为“试用员工的业务水平优良与否”与性别有关．
①甲的得分不得低于85分．
若甲得分在内，，
若甲得分在内，，
若甲得分在内，，
记事件A为甲被公司正式录用，事件B为甲被评为一级．
；
乙得分在内．
若最终甲为一级，乙为一级或二级，，
若最终甲为二级，乙为二级，，
所以甲最终不低于乙的岗位概率 

【解析】根据数据填写列联表，计算的值，根据临界值表可作出判断；
①根据条件概率进行计算；
②计算甲为一级和二级的概率，可得最终结果．
本题考查了独立性检验，条件概率等概率知识，属于中档题．
 

21.【答案】解：因为，所以，又，所以，
所以，所以椭圆C的标准方程为；
①当AB的斜率为0时，显然
当AB的斜率不为0时，设，
由得，
设，故有，
所以
因为，
所以
综上所述，恒有为定值．
②，
即，
当且仅当，即时取等号此时适合，
所以面积的最大值为 

【解析】本题考查直线与椭圆的综合运用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想，涉及利用基本不等式求最值．属于较难题．
由椭圆长轴长为8知，由，得，由此能求出椭圆的标准方程；
①AB的斜率不为0时，设，由设，运用根与系数之间的关系及斜率公式化简即可．
②，运用基本不等式即可.
 

22.【答案】解：当时，令得，当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，故：
①当时，显然，故在上单调递减，在上单调递增，故此时；
②当时，在上单调递增，故；
综上可知：当时，；当时，
证明：先证时，，令，，得；得，
故在上单调递减，在上单调递增，故，
所以时，，即③恒成立，
当时，要证，即，结合③式，
即证即成立，即证在上恒成立，
令，，由得，当时，，当时，，
故在单调递减，在单调递增，故，即……④恒成立，
因为③④两式取等号的条件不一致，故当时恒成立，
即当时， 

【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性，进而求出最值解决不等式恒成立问题的解题思路，同时考查分论讨论思想的应用，属于中档题．
先求出函数的极值点，然后通过讨论极值点与的关系，确定函数的单调性，进而求出最小值；
可先证明在上恒成立，将不等式的证明转化为证明在恒成立即可．