2023年福建省名校联盟全国优质校高考数学联考试卷（2月份）（含答案解析）

这是一份2023年福建省名校联盟全国优质校高考数学联考试卷（2月份）（含答案解析），共18页。试卷主要包含了 设圆C， 已知a=0等内容，欢迎下载使用。
2023年福建省名校联盟全国优质校高考数学联考试卷（2月份）1.  设集合，集合，则(    )A.  B.  C.  D. 2.  若复数z满足，则在复平面上所对应的点位于(    )A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3.  在梯形ABCD中，设，，若，则(    )A.  B.  C.  D. 4.  设圆C：，若直线l在y轴上的截距为1，则l与C的交点个数为(    )A. 0 B. 1 C. 2 D. 以上都有可能5.  甲、乙两选手进行羽毛球单打比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，采用3局2胜制，则甲以2：1获胜的概率为(    )A.  B.  C.  D. 6.  如图，正六边形ABCDEF的边长为6，设边AF，CD的中点分别为，，已知某几何体是由此正六边形ABCDEF绕直线旋转一周而成，则该几何体的体积为(    )A.
B.
C.
D. 7.  已知，，，则(    )A.  B.  C.  D. 8.  已知任意三次函数的图象必存在唯一的对称中心，若函数，且为曲线的对称中心，则必有其中函数若实数m，n满足，则(    )A.  B.  C.  D. 9.  设函数，则下列结论正确的为(    )A. 的最小正周期为
B. 的图象关于点对称
C. 的图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到
D. 在上的最大值为110.  如图，在棱长为2的正方体中，点E，F，G分别为，，的中点，若点P在线段EF上运动，则下列结论正确的为(    )A. 与EF为共面直线
B. 平面平面EFG
C. 三棱锥的体积为定值
D. 与平面所成角的正切值为
 11.  已知直线l经过抛物线C：的焦点F，且与C交于A，B两点，过A，B分别作直线的垂线，垂足依次记为，，若的最小值为4，则下列结论正确的为(    )A.
B. 为钝角
C.
D. 若点M，N在C上，且F为的重心，则12.  若一条直线与两条或两条以上的曲线均相切，则称该直线为这些曲线的公切线，已知直线l：为曲线：和：的公切线，则下列结论正确的为(    )A. 和关于直线对称
B. 当时，
C. 若，则
D. 当时，和必存在斜率为的公切线13.  设等差数列的前n项和为，若，，则公差______ .14.  若的展开式的二项式系数之和为32，则的展开式中的系数为______ .15.  已知，若不等式恒成立，则实数t的最小值为______ .16.  在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，记为双曲线C：的左焦点，以为直径的圆与C的一条渐近线交于O，A两点，且线段与C交于点B，若，则C的离心率的取值范围为______ .17.  设数列的前n项和为，若，
求的通项公式；
设，求数列的前n项和18.  的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且
求角B的大小；
若，D为AC边上一点，，且BD为的平分线，求的面积.19.  某校筹办运动会，设计了方案一、方案二两种方案、为了解对这两种方案的支持情况，在校内随机抽取100名同学，得到数据如下： 男女支持不支持支持不支持方案一20人40人30人10人方案二35人25人25人15人假设校内所有同学支持何种方案互不影响.
依据所给数据及小概率值的独立性检验，能否认为支持方案一与性别有关？
以抽取的100名同学的支持率高低为决策依据，应选择哪种方案？
用频率估计概率，从全校支持方案一的学生中随机抽取3人，其中男生的人数记为X，求随机变量X的分布列和数学期望.
附：，其中 20.  在四棱锥中，侧棱平面ABCD，且平面平面
证明：；
若，且，记平面BPC与平面PCD的夹角为，当时，求CD的长度.
21.  在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，点A，B分别为椭圆C：的上、下顶点，直线l：与C有且仅有一个公共点，设点D在C上运动，且D不在坐标轴上，当直线BD的斜率为时，C的右焦点恰在直线BD上.
求C的方程；
设直线BD交x轴于点P，直线AD交l于点Q，直线PQ交C于M，N两点.
证明：直线PQ的斜率为定值；
求面积的取值范围.22.  已知函数
判断在区间上的单调性；
若恰有两个不同的零点，，且，证明：
答案和解析 1.【答案】D 【解析】解：集合，
集合，
则
故选：
求出集合A，B，利用交集定义能求出
本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 2.【答案】C 【解析】解：，
则，即，
故在复平面上所对应的点位于第三象限．
故选：
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共轭复数的定义，复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，复数的几何意义，属于基础题．
 3.【答案】A 【解析】解：由题意可知，
，
故选：
利用向量的加法，即可解出．
本题考查了向量的加法，学生的数学运算能力，属于基础题．
 4.【答案】C 【解析】解：直线l在y轴上的截距为1，
直线l过定点，
，
点在圆内，
直线l与C的交点个数为2个．
故选：
利用直线过定点，判断定点在圆内即可．
本题考查直线与圆的位置关系的判断，属基础题．
 5.【答案】A 【解析】解：由题意得，
甲以2：1获胜的概率为，
故选：
利用事件的相互独立性求概率即可．
本题考查了事件的相互独立性的应用，属于基础题．
 6.【答案】B 【解析】解：连接BE交于点H，

某几何体是由此正六边形ABCDEF绕直线旋转一周而成，
该几何体为两个圆台组合而成的组合体，
由题可得，，
则，
，
则该几何体的体积为
故选：
连接BE交于点H，根据题意得到该几何体为两个圆台组合而成的组合体，利用圆台的体积公式即可求解．
本题考查了圆台的体积计算，属于中档题．
 7.【答案】D 【解析】解：根据题意，，，则，，
而，则有，则，
设，，其导数，则在上为增函数，
则有，则有，即，
综合可得：
故选：
根据题意，先比较a、c，对a、c同时去对数，比较可得，变形可得，对于a、b，设，，求出其导数，分析其单调性和最小值，即可得，即，综合可得答案．
本题考查不等式大小的比较，涉及对数的运算性质，属于中档题．
 8.【答案】A 【解析】解：令，则，，
解得，
函数的图象关于点成中心对称．
，
，
，
故选：
令，解得x，进而得出函数的对称中心．根据，即可得出
本题考查了利用导数研究函数的对称中心、函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 9.【答案】BD 【解析】解：对于函数，它的最小正周期为，故A错误；
令，求得，可得的图象关于点对称，故B正确；
把函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，故C错误；
当，，故当时，函数取得最大值为1，故D正确．
故选：
由题意，利用正弦函数的图象和性质，得出结论．
本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于基础题．
 10.【答案】BC 【解析】解：对于A：连接，如图所示：

，F分别为，的中点，
，
在正方体中，，
，
，故A错误；
对于B：连接，
点F，G分别为，的中点，
，
由选项A得，
平面EFG，平面EFG，平面，平面，
平面，平面，
又，
平面平面EFG，故B正确；
对于C：由选项B得平面，
点P在线段EF上运动，
点P到平面的距离等于点E到平面的距离，且为定值，
又的面积为定值，则三棱锥的体积为定值，故C正确；
对于D：建立以D为原点的空间直角坐标系，如图所示：

则，，，，，，
，，，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，，
平面的一个法向量为，
设与平面所成角为，
，，
，
，故D错误．
故选：
根据棱柱的结构特征可得，即可判断A；利用线面平行和面面平行的判定定理即可判断B；由题意得点P到平面的距离等于点E到平面的距离，且为定值，即可判断C；建立以D为原点的空间直角坐标系，利用向量法，即可得出答案．
本题考查棱柱的结构特征、直线与平面平面判定定理和面面平行判定定理，考查转化思想和数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 11.【答案】AC 【解析】解：对A选项，根据抛物线的几何性质可得，，选项正确；
对B选项，根据抛物线的几何性质及平行线的性质可知：
，，
从而可得为，选项错误；
对C选项，由A选项分析可知抛物线C：，，设，，
则，，
，
又根据抛物线焦点弦的性质可得，
，
，选项正确；
对D选项，设，，又，，
根据的重心公式可得，，
，选项错误．
故选：
根据抛物线的几何性质可得，从而可判断A，根据抛物线的几何性质及平行线的性质易证，从而可判断B，再根据抛物线的焦半径公式、焦点弦的性质和三角形重心公式，可分别求解C，D，从而可得正确选项．
本题考查抛物线的几何性质，抛物线的焦半径公式、焦点弦的性质和三角形重心公式，属中档题．
 12.【答案】ABD 【解析】解：选项A，在两边取对数，有，所以，
所以和互为反函数，即和关于直线对称，故A正确；
选项B，当时，：，：，
对于：，有，
因为直线l：为曲线的切线，所以，即，此时，
所以切点坐标为，
将其代入切线方程中，有，整理得，即B正确；
选项C，当时，公切线l为，
设，，则，，
所以，，
解得，，
所以，即，
因为，所以，即，故C错误；
选项D，当时，，，则，，
若和存在斜率为的公切线，则存在m和n使得，，
由选项B可知，，即，
所以，，即，，符合题意，
故当时，和必存在斜率为的公切线，即D正确．
故选：
选项A，计算证明和互为反函数，即可；
选项B，利用导数研究曲线的切线方程，可用含k的式子表示出切点的坐标，再将其代入直线l，即可得解；
选项C，设，，利用，并结合斜率的计算公式，可得；
选项D，若和存在斜率为的公切线，则存在m和n使得，，再结合选项B中所得，求出m和n的值，即可．
本题主要考查利用导数研究曲线的切线方程，反函数的性质，指数和对数的运算法则等，考查转化思想，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 13.【答案】2 【解析】解：因为等差数列的前项和为，，
则，
则公差
故答案为：
由已知结合等差数列的求和公式即可求解．
本题主要考查了等差数列的求和公式，属于基础题．
 14.【答案】 【解析】解：的展开式的二项式系数之和为，，
的展开式中的系数为
故答案为：
由题意，利用二项式展开式的通项公式，求出的展开式中的系数．
本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．
 15.【答案】 【解析】解：，
，，
不等式恒成立恒成立，
当且仅当，即时取等号，

故答案为：
原不等式可转化为，恒成立，利用基本不等式可求得的最大值，从而可得答案．
本题考查三角函数的最值的求法，考查等价转化思想与运算求解能力，属于中档题．
 16.【答案】 【解析】解：为双曲线C：的左焦点，
以为直径的圆与C的一条渐近线交于O，A两点，且线段与C交于点B，
可得，，，
记双曲线C的右焦点为，，
在中，，
为直角三角形，
，，化简得，
线段与C交于点B，且，，即，
，即，
，，
故答案为：
利用双曲线的焦点到渐近线的距离，求解，，利用余弦定理，结合直角三角形，通过的范围，推出a，b的范围，然后求解离心率的范围．
本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的范围的求法，是中档题．
 17.【答案】解：，
时，，
化为，
时，，解得，
，满足，
数列是等比数列，公比为2，首项为1，

，，
数列的前n项和…，
…，
相减可得：…，
化为 【解析】，时，，化为，时，，解得，利用等比数列的通项公式即可得出
，，利用错位相减法即可得出数列的前n项和
本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 18.【答案】解：因为，由正弦定理得，
化简得，
所以由余弦定理得，又因为，
所以
如图所示
因为，即，
化简得①，
又由余弦定理得②，
①②联立解得舍去或6，
所以 【解析】先利用正弦定理，角化边，再利用余弦定理求角B即可；
利用等面积法结合余弦定理，求出的ac值即可求得的面积．
本题主要考查解三角形，属于中档题．
 19.【答案】解：根据数据可得方案一的列联表：  支持 不支持 合计 男 20 40 60 女 30 10 40 合计 50 50 100零假设为：支持方案一与运动员的性别无关，
根据列联表中的数据，经计算得到，
依据小概率值的独立性检验，可以推断不成立，即认为支持方案一与运动员的性别有关，此推断犯错误的概率不大于
由题设表格中的数据可知，
支持方案一的频率为，
支持方案二的频率为，
，本次运动会应选择方案二．
男生支持方案一的概率为，女生支持方案一的概率为，
则的可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
所以X的分布列为： X 01 2 3 P     【解析】根据数据列出列联表，计算的值，与临界值表作比较即可得出结论；
分别计算支持两个方案的频率，比较可得结果；
，计算X取每个值的概率可得分布列，代入二项分布的期望公式计算即可求解．
本题考查了独立性检验、考查了概率中的决策问题以及二项分布的分布列与期望，属于中档题．
 20.【答案】解：证明：如图，过A作，且垂足为E，

平面平面PCD，平面平面，平面PCD，
又平面PCD，，
平面ABCD，平面ABCD，，
又，PA，平面PAD，平面PAD，
又平面PAD，
设BC的中点为F，连接AF，
，，
四边形AFCD为平行四边形，
又，，
设，以A为原点，AF，AD，AP所在的直线分别为x，y，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，
，，，
由知平面PCD，平面PCD的一个法向量为，
设为平面PBC的一个法向量，则，
即，令，得，
，，
平面BPC与平面PCD夹角的余弦值为，
，
解得， 【解析】证明平面PAD即可；建立空间直角坐标系，分别将平面BPC与平面PCD的法向量表示出来，代入夹角公式即可．
本题考查线面垂直，考查二面角，属于中档题．
 21.【答案】解：直线l：与C有且仅有一个公共点，
该公共点为椭圆C右顶点，，
当BD的斜率为时，C的右焦点恰在直线BD上，
，联立，解得，，
的方程为；
的方程为，，，
设直线BD的方程为，令，得，，
不在坐标轴上，存在且且，
联立与，可得或，，
直线AD交l于点Q，，；
直线PQ的方程为与联立，
可得：，
，，
点O到直线NM的距离，
，
，
且，， 【解析】由已知易得a，b的值，可求C的方程；
可求得A，B的坐标，直线BD的方程，求得P，Q的坐标，可求直线PQ的斜率为定值；
直线PQ与椭圆联立，可得，，可求面积的取值范围．
本考查椭圆的方程的求法，考查运算求解能力，属中档题．
 22.【答案】解：，
若，则恒成立，
所以在上单调递增，
若，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
下面判断与e的大小关系，
令，
则，
所以当时，，
所以在上单调递减，
当时，，
所以在上单调递减，
所以，
所以，即，当且仅当时，取等号，
所以当且时，在上单调递增，在上单调递减，
当时，在上单调递减，
综上所述，当，在上单调递增，
当时，在上单调递减，
当且时，在上单调递增，在上单调递减．
证明：由可知若有两个不同的零点，则，且极大值，
，
由不等式可得，
所以，
所以当时，恒成立，
又，且，
两式相减可得，
不妨设，则且，
所以，即，
所以，
，
设，
，
所以，即，
所以，
由可得，
要证，
需要证，
只要证，
即，
即，
即证，由可证，
所以即证． 【解析】求导得，分两种情况：若，若，讨论的单调性，进而可得答案．
由可知若有两个不同的零点，则，且极大值，，即，当时，又，且，两式相减可得，不妨设，则且，，进而可得，要证，即证，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中注意分类讨论思想的应用，属于中档题．