2023年上海市长宁区高考数学二模试卷（含答案解析）

2023年上海市长宁区高考数学二模试卷

1.  已知，，则______ .

2.  若“”是“”的充分条件，则实数a的取值范围为______ .

3.  已知事件A与事件B相互独立，如果，，那么______ .

4.  当时，幂函数的图像总在的图像上方，则a的取值范围为______ .

5.  已知圆锥侧面展开图的圆心角为，底面周长为则这个圆锥的体积为______ .

6.  若函数为奇函数，则实数a的值为______ .

7.  设随机变量X服从正态分布，若，则______ .

8.  某小学开展劳动教育，欲在围墙边用栅栏围成一个2平方米的矩形植物种植园，矩形的一条边为围墙，如图，则至少需要______ 米栅栏.

9.  若函数，满足，且，则______ .

10.  若对任意，均有，则实数a的取值范围为______ .

11.  已知空间向量、、、满足：，，，，则的最大值为______ .

12.  已知、是双曲线的左、右焦点，l是的一条渐近线，以为圆心的圆与l相切于点若双曲线的离心率为2，则______ .

13.  在下列统计最中，用来描述一组数据离散程度的量是(    )

A. 平均数 B. 众数 C. 百分位数 D. 标准差

14.  设复平面上表示和的点分别为点A和点B，则表示向量的复数在复平面上所对应的点位于(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

15.  已知正方体，点P在直线上，Q为线段BD的中点.则下列说法不正确的是(    )

A. 存在点P，使得
B. 存在点P，使得
C. 直线PQ始终与直线异面
D. 直线PQ始终与直线异面

16.  设各项均为实数的等差数列和的前n项和分别为和，对于方程①，②，③下列判断正确的是(    )

A. 若①有实根，②有实根，则③有实根 B. 若①有实根，②无实根，则③有实根
C. 若①无实根，②有实根，则③无实根 D. 若①无实根，②无实根，则③无实根

17.  盒子中有5个乒乓球，其中2个次品，3个正品.现从中不放回地随机摸取2次小球，每次一个.
记“第二次摸出的小球是正品”为事件B，求证：；
用X表示摸出的2个小球中次品的个数，求X的分布和期望.

18.  如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，，E、F分别为棱BC、BP中点．
求证：平面平面DCP；
若平面平面ABCD，直线AP与平面PBC所成的角为，且，求二面角的大小．

19.  某地新能源汽车保有量符合阻滞型增长模型，其中为自统计之日起，经过t年后该地新能源汽车保有量，和r为增长系数，M为饱和量.
下表是该地近6年年底的新能源汽车的保有量万辆的统计数据：

假设该地新能源汽车饱和量万辆.
若，假定2018年数据满足公式，计算的值精确到并估算2023年年底该地新能源汽车保有量精确到万辆；
设，则与t线性相关，请依据以上表格中相关数据，利用线性回归分析确定和r的值精确到
附：线性回归方程中回归系数计算公式如下：
，

20.  已知抛物线：的焦点为F，准线为l，直线经过点F且与交于点A、
求以F为焦点，坐标轴为对称轴，离心率为的椭圆的标准方程；
若，求线段AB的中点到x轴的距离；
设O为坐标原点，M为上的动点，直线AM、BM分别与准线l交于点C、求证：为常数.

21.  求简谐振动的振幅、周期和初相位；
若函数在区间上有唯一的极大值点，求实数m的取值范围；
设，，若函数在区间上是严格增函数，求实数a的取值范围.

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，

故答案为：
找出A与B的公共元素，即可确定出交集．
此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：“”是“”的充分条件，，，
即实数a的取值范围为
故答案为：
由充分条件定义直接求解即可．
本题主要考查充分必要条件的定义，考查运算求解能力，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：事件A与事件B相互独立，
事件A与事件也相互独立，
，
，
故答案为：
根据独立事件的积事件的概率乘法公式，对立事件的概率公式，即可求解．
本题考查独立事件的积事件的概率乘法公式，对立事件的概率公式，属基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：由得，，解得，
当时，幂函数的图像总在的图像上方，此时
，
的取值范围为：
故答案为：
根据题意，解不等式得出，从而得出当时，幂函数的图像总在的图像上方，然后即可求出a的取值范围．
本题考查了函数在的图象上方时，满足，考查了计算能力，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：设该圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，
则根据题意可得，
，，，
这个圆锥的体积为
故答案为：
设该圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，则根据题意可得，解得，，从而可得，再代入圆锥的体积公式，计算即可得解．
本题考查圆锥的体积的求解，属基础题．
 

6.【答案】1 

【解析】解：，，
又函数为上的奇函数，
在上恒成立，
即在上恒成立，
在上恒成立，
在上恒成立，

故答案为：
根据奇函数的概念，建立恒等式，即可求解．
本题考查奇函数的概念，属基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：随机变量X服从正态分布，
则，
故
故答案为：
根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解．
本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
 

8.【答案】4 

【解析】解：设该矩形的长为a米，宽为b米，
由题意可知，，
故，当且仅当，即，时，等号成立，
故至少需要4米栅栏．
故答案为：
根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解．
本题主要考查函数的实际应用，考查转化能力，属于中档题．
 

9.【答案】3 

【解析】解：因为，
所以，则，
因为，
所以，
故，
所以
故答案为：
由求出，然后对进行求导，将的值代入求解即可．
本题考查了函数求值问题，常见函数的求导公式的应用，考查了化简运算能力与逻辑推理能力，属于中档题．
 

10.【答案】 

【解析】解：在绝对值不等式中，
当a，b同号时，有，
又，
在恒成立，
或在恒成立，即或在恒成立，即或，
综上所述，实数a的取值范围为
故答案为：
根据已知条件，推得，再分类讨论，即可求解．
本题主要考查函数恒成立问题，考查转化能力，属于中档题．
 

11.【答案】3 

【解析】解：根据题意，，且，，且设与的夹角为，
①时，





，
，当时取等号，
时，取最大值3；
②时，



，
，当时取等号，
时，取最大值2，
综上得，的最大值为
故答案为：
根据题意可得出，先看的情况：可得出，进行数量积的运算即可得出，然后配方即可求出的最大值，同样的方法可得出在时的最大值，最后即可得出的最大值．
本题考查了共线向量基本定理，向量数乘和数量积的运算，配方法的应用，向量数量积的计算公式，考查了计算能力，属于难题．
 

12.【答案】 

【解析】解：不妨设双曲线的一条渐近线为l：，
则到直线l：的距离为，
以为圆心的圆与l相切于点P，
则，
故，
双曲线的离心率为2，
则，即，，
在中，，
在中，，解得，
，
故
故答案为：
根据已知条件，结合点到直线的距离公式推得，再结合离心率公式，求得，，并根据余弦定理，即可求解．
本题主要考查双曲线的性质，考查转化能力，属于中档题．
 

13.【答案】D 

【解析】解：平均数、众数都是描述一组数据的集中趋势的量，
所以说平均数、众数都是描述一组数据的集中趋势的统计量，故A、B不正确；
百分位数是指将一组数据从小到大排列，并计算相应的累计百分位，
则某一个百分位所对应的数据的值称为这一百分位数的百分位数，
所以百分位数不能用来描述一组数据离散程度的量，故C不正确；
标准差反映了数据分散程度的大小，所以说标准差都是描述一组数据的离散程度的统计量，故D正确．
故选：
根据中位数，平均数、百分位数和标准差的定义即可判断．
本题主要考查中位数，平均数、百分位数和标准差的定义，属于基础题．
 

14.【答案】A 

【解析】解：根据题意知，表示向量的复数为，
在复平面上所对应的点为位于第一象限．
故选：
根据条件可写出表示向量的复数，然后即可得出该复数所位于的象限．
本题考查了复数和复平面内的点的对应关系，复数和向量的对应关系，考查了计算能力，属于基础题．
 

15.【答案】C 

【解析】解：正方体中，易得平面，
点P在直线上，Q为线段BD的中点，
当点P和重合时，平面，
，故A正确；
连接，如图所示：

当点P为线段的中点时，PQ为三角形的中位线，即，故B正确；
平面，当点P和点A重合时，平面，
则直线PQ和在同一平面内，故C错误；
平面，平面，，
故直线PQ始终与直线不相交，且不平行，是异面直线，故D正确．
故选：
根据已知条件，结合线面垂直的判断，异面直线的定义，中位线定理，即可依次求解．
本题主要考查空间中直线与直线之间的位置关系，考查转化能力，属于中档题．
 

16.【答案】B 

【解析】解：若①有实根，由题意得：，
其中，，
代入上式得，
设方程与方程的判别式分别为和，
则等号成立的条件是
又，
如果②有实根，则，则或者，所以③有实根或者没有实根，
如，，，，满足，
，但是，所以③没有实根，所以A错误；
如果②没实根，则，则，所以③有实根，所以B正确；
若①无实根，则，②有实根，则，
设，，，，所以，，
此时，则③有实根，所以C错误；
若①无实根，则，②无实根，则，
设，，，，所以，，
此时，则③有实根，所以D错误．
故选：
若①有实根，得到，设方程与方程的判别式分别为和，得到，结合举反例可以判断选项AB；通过举反例可以判断选项
本题主要考查等差数列的性质，等差数列的前n项和，解答本题的关键是排除法的灵活运用，要证明一个命题是假命题，证明比较困难，只需举一个反例即可．
 

17.【答案】证明：记“第一次摸出的小球是正品”为事件A，
，，
，，
因为，
所以
，，，
所以X的分布为

故 

【解析】由已知结合古典概率公式及对立事件的概率先求，，然后结合互斥事件的概率加法公式即可求；
结合古典概率公式先求出，1，2时的概率即可求解分布列，再由期望公式可求．
本题主要考查了离散型随机变量的分布列及期望值，属于中档题．
 

18.【答案】解：证明：因为E、F分别为棱BC、BP中点，
所以在中，，
因为平面PCD，平面PCD，
所以平面PCD，
因为，，E为棱BC中点．
所以，，
所以四边形ADCE是平行四边形，
所以，
因为平面PCD，平面PCD，
所以平面PCD，
因为，AE，平面AEF，
所以平面平面DCP；
因为平面平面ABCD，平面平面，，平面ABCD，
所以平面PBC，
所以是直线AP与平面PBC所成的角，
因为直线AP与平面PBC所成的角为，
所以，
所以，
因为PC，平面PBC，
所以，，
因为，，AB，平面ABP，
所以平面ABP，
因为平面ABP，
所以，即为直角三角形，
所以在中，由可得，
所以，即，
因为，，
所以是二面角的平面角，
所以二面角的大小为 

【解析】证明平面PCD，平面PCD，即可证明结论；
根据面面垂直性质定理得，进而得，再根据题意证明平面ABP可得为直角三角形，再根据几何关系得，进而根据是二面角的平面角求解即可．
本题考查面面平行的判定以及二面角的求解，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．
 

19.【答案】解：因为，
所以，
因为，
所以估计2023年底该地新能源汽车保有量为万辆；
设，则，

，，
，即，
，
故 

【解析】根据已知条件，先求出，再结合公式，即可求解；
根据已知条件，结合换元法，以及最小二乘法公式，即可求解．
本题主要考查线性回归方程的应用，考查转化能力，属于中档题．
 

20.【答案】解：的焦点为，
设椭圆方程为，半焦距为c，
则，，
所以，，
故椭圆的标准方程为
设，，
因为，所以，
由题意可知，直线AB过点，
则可设直线AB的方程为，
联立，化简整理可得，，
由韦达定理可得，，得，
设线段AB的中点，
则，
所以线段AB的中点C到x轴的距离为1；
证明：抛物线：，
则准线方程，
设，，，，，
直线AM的斜率为，直线BM的斜率为，
直线AM的方程为，
直线BM的方程为，
所以，，
设直线AB的方程为，
代入抛物线方程得，
所以，
所以
，
故为常数． 

【解析】根据已知条件，结合椭圆的性质，以及离心率公式，即可求解；
根据已知条件，结合抛物线的定义，求出，设出直线AB的方程，并与抛物线方程联立，再根据韦达定理，即可求解；
先求出抛物线的准线方程，再结合直线的斜率公式，以及韦达定理，即可求证为常数．
本题主要考查直线与圆锥曲线的综合，考查转化能力，属于难题．
 

21.【答案】解：，
所以振幅为，周期为，初相为
，
设，则，
当时，y取得极大值，
由题意，方程在区间上有唯一解，
所以，得，
故m的取值范围为；
，
当时，
因为，
所以，
进而，，
此时，在区间上是严格增函数，
当时，，不是严格增函数；
当时，设，则，进而，，
此时，在区间上是严格减函数，
综上，若函数在区间上是严格增函数，则，
故a的取值范围为 

【解析】根据已知条件，先对函数y化简，再结合振幅、周期、初相的定义，即可求解；
根据已知条件，结合换元法，以及二次函数的性质，即可求解；
根据已知条件，先对求导，再对a分类讨论，即可求解．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，以及三角函数的周期性，属于中档题．