2023年浙江省丽水发展共同体高考数学模拟试卷（含答案解析）

2023年浙江省丽水发展共同体高考数学模拟试卷

1.  设集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  设，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知向量，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知一个圆锥的底面半径为1，其侧面积是底面积2倍，则圆锥的体积为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  有5本不同的书，其中语文书2本，数学书3本，若将其随机地并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  将函数的图像向右平移个单位长度得到的图像与原图像重合，则的最小值为(    )

A. 2 B. 3 C. 4 D. 6

7.  已知，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

8.  将菱形ABCD沿对角线AC折起，当四面体体积最大时，它的内切球和外接球表面积之比为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  已知正方体，E是中点，则(    )

A. 面 B.
C.  D. 平面

10.  已知函数定义域为R，且，为奇函数，下列说法中正确的是(    )

A. 函数对称中心为 B.
C.  D.

11.  抛物线C：，过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点点A在第一象限，，则下列说法正确的是(    )

A. 最小值为4
B. 有可能是钝角
C. 当直线l的倾斜角为时，与面积之比为3
D. 当直线AM与抛物线C只有一个公共点时，

12.  已知e为自然对数的底数，设，则下列结论正确的是(    )

A. 当时，既有极小值又有极大值
B. 当时，只有极小值无极大值
C. 当时，既有极小值又有极大值
D. 当时，只有极小值无极大值

13.  的展开式中常数项是______.

14.  已知圆：与圆：相交于A，B两点，则______.

15.  若函数的图象上存在互相垂直的切线，则实数a的值为______ .

16.  已知，是椭圆E：的左右焦点，若E上存在不同的两点A，B使得，则该椭圆离心率的取值范围为______ .

17.  已知数列的前n项和为，且，，
求；
求数列前n项和为

18.  已知锐角内角A，B，C的对边分别为a，b，若
求C；
若，求的范围.

19.  已知矩形ABCD中，，，现将沿对角线AC向上翻折得到四面体，，
求点B到平面的距离；
求二面角的大小.
 

20.  为了解学生玩手机游戏情况，随机抽取100名男生和100名女生，通过调查得到如下数据：100名女生中有10人会玩手机游戏，100名男生中有40人会玩手机游戏.
判断是否有的把握认为性别与玩手机游戏有关联：

附：其中
以样本的频率作为概率的值，在全校的学生中任取3人，记其中玩手机游戏人数为X，求X的分布列、数学期望和方差.

21.  已知，为双曲线C：左右顶点，焦点到渐近线的距离为，直线上一点P与点A连线与双曲线右支交于另一点C，点P与点B连线与双曲线右支交于另一点
求双曲线的标准方程；
直线CD是否经过定点？若是，求出该定点.

22.  已知函数
求函数在点处的切线方程：
若，为方程的两个不相等的实根，证明：
；

答案和解析

1.【答案】C 

【解析】解：，，，，
又则
故选：
先将集合B化简，按照交集定义计算即可．
本题考查集合的运算，属于基础题．
 

2.【答案】B 

【解析】解：设，
则
故选：
利用复数运算法则直接求解．
本题考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

3.【答案】C 

【解析】解：因为，所以，，即，所以，
，所以，
故选：
根据向量的数量积公式和模长公式求解即可．
本题主要考查向量的数量积，属于中档题．
 

4.【答案】B 

【解析】解：设圆锥的母线为l，
由题意得，
解得，
所以圆锥的高为，
所以圆锥的体积为，
故选：
根据圆锥的侧面积是底面积2倍，求得母线长，进而得到圆锥的高求解．
本题主要考查了圆锥的侧面积公式，考查了圆锥的体积公式，属于基础题．
 

5.【答案】A 

【解析】解：若同一科目的书都不相邻，则先将3本书排序，然后将2本语文书插入中间2个空，
所以同一科目的书都不相邻的概率是
故选：
利用插空法以及古典概型的概率公式可求得所求事件的概率．
本题主要考查了排列组合知识，考查了古典概型的概率公式，属于基础题．
 

6.【答案】B 

【解析】解：根据题意，由题有，
则，得，，又因为，得
故选：
由题有，据此可得答案．
本题主要考查函数的图象变换规律，属于基础题．
 

7.【答案】D 

【解析】解：因为，所以，所以；
设，，
则，
令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又因为，
所以，
因为，
所以，
即有，
即，，
所以
故选：
先比较b，c的大小，然后构造函数，利用导数比较a，b的大小即可．
本题考查了幂函数的性质、导数的综合运用、对数的基本运算，难点在于对a，b的大小判断，属于中档题．
 

8.【答案】C 

【解析】解：不妨设菱形的边长为，，，
外接球半径为R，内切球半径为r，
取AC中点为O，连接OB，OD，BD，

因为，所以，
当平面平面DAC时，平面平面，平面BAC，所以平面DAC，
此时四面体的高最大为，
因为，所以，
所以，，
令，解得，
令，解得，
所以在单调递增，单调递减，
所以当时最大，最大体积为，
此时，
以四面体的顶点构造长方体，长宽高为a，b，c，
则有，解得，所以，
所以外接球的表面积为，，
又因为，
所以，，
所以，
所以，
所以，所以内切球的表面积为，
所以内切球和外接球表面积之比为，
故选：
当平面平面DAC时，四面体的高最大，并利用导函数讨论体积的最大值，构造长方体求外接球的半径，利用等体积法求内切球的半径，进而可求解．
本题考查球的表面积计算，考查四面体的体积，考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查函数思想以及运算求解能力，属于中档题．
 

9.【答案】BC 

【解析】解：对于选项A，如图所示：

由图可知，AE与平面相交于点A，故A错误；
对于B，如图所示：

，，BD，面，
面，面，，故B正确；
对于选项C，如图所示：

连接，，为等边三角形，
为中点，，，则，故选项C正确；
对于D，由于，过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直，故不垂直于平面，故D错误．
故选：
AE与平面相交于点A，判断选项A，体对角线与异面的面对角线相互垂直，判断选项B，等边三角形中E为中点，判断选项C，不垂直于平面，判断选项
本题主要考查空间直线、平面位置关系的判断，考查逻辑推理能力，属于基础题．
 

10.【答案】BD 

【解析】解：令，
对A：可以认为是由向右平移l个单位，再向上平移1个单位得到，
若为奇函数，则的对称中心为，故函数对称中心为，A错误；
对B：若为定义在R上的奇函数，则，BI正确；
对C、D：若为奇函数，则，即，得，
令，得，但无法确定与是否相等，C错误；
令，得，D正确；
故选：
根据奇函数的定义与性质逐项分析判断．
本题主要考查函数奇偶性的性质，考查逻辑推理能力，属于中档题．
 

11.【答案】ACD 

【解析】解：抛物线C：的焦点为，过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，
对于A，由题意知l的斜率必存在，设直线l方程为，设，，
联立，可得，，
，，
，
，当且仅当时，等号成立，
最小值为4，正确；
对于B，，

，
，
不可能是钝角，错误；
对于C，当直线l的倾斜角为时，直线l方程为，
由A的分析知，，
解得，
与面积之比为，正确；
对于D，点A在第一象限，当直线AM与抛物线C只有一个公共点时，
直线AM与抛物线C一定相切，
又直线AM的斜率存在，设直线AM的方程为，
联立，可得，
，，
又点A在第一象限，，，
又，，
解得，，
此时直线l的斜率为，直线l的方程为，
此时，，正确．
故选：
设直线l方程为，联立抛物线方程得根与系数的关系，利用抛物线弦长公式可判断A；利用向量的夹角公式计算，可判断B；求得，根据与面积之比为，可判断C；利用直线和抛物线相切，求出切线斜率，求出切点，继而求得l的方程，可得B点坐标，即可求得，判断
本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，焦点弦问题，设而不求法与韦达定理的应用，方程思想，化归转化思想，属中档题．
 

12.【答案】BC 

【解析】解：当时，，
则，令，则，
得在上单调递增，
又，，
则，
故，，结合在上单调递增，
则，在上单调递减，，，
所以在上单调递增，
故此时在时有极小值无极大值，则选项A错误，选项B正确；
当时，，
则，注意到，
令，则，得在上单调递增，
又，，则，
因为和均在上单调递增，
则当，，在上单调递增，
当，，在上单调递减，
当，，在上单调递增．
故在时取得极大值，在时取得极小值，故选项C正确，选项D错误．
故选：
分别求，时，的导数，即可得的极值情况．
本题主要考查了导数与单调性及极值关系的应用，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：展开式的通项为
令得
所以展开式的常数项为
故答案为：
据二项展开式的通项公式求得第项，令x的指数为0得常数项．
二项展开式的通项公式是解决二项展开式特定项问题的工具．
 

14.【答案】 

【解析】解：两方程作差：，化简得，，

故答案为：
两圆的方程相减可得AB的方程，再结合点到直线的距离公式，以及垂径定理，即可求解．
本题主要考查两圆的位置关系，属于基础题．
 

15.【答案】0 

【解析】解：
，
假设函数的图象上存在互相垂直的切线，
不妨设在与处的切线互相垂直
则

因为a的值必然存在，即方程必然有解，所以
判别式
所以 
解得或  
由于，所以有，或，，且
所以变为：所以
故答案为：0
先求导函数，假设函数的图象上存在互相垂直的切线，不妨设在与处的切线互相垂直则，然后整理，根据a的值必然存在，可求出a的值．
本题主要考查了导数的几何意义，以及判别式判定方程的根，同时考查了函数与方程的思想和计算能力，属于中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：设，，又，，
，
，，
，
又，，
两式相减可得，
又E上存在不同的两点A，B，且，
，解得，
又，
故答案为：
设，，求出坐标，根据可得，把，代入椭圆方程得，根据的范围可得答案．
本题考查椭圆的几何性质，向量坐标运算，直线与椭圆的位置关系，属中档题．
 

17.【答案】解：①，
当时，②，
①-②得，
又也满足上式，
；
，，
③，
④，
③-④得，
，
 

【解析】根据数列的前n项和作差，即可求解；
由求得，再利用错位相减法，即可求解．
本题考查根据数列的前n项和求通项公式，错位相减法求和，属中档题．
 

18.【答案】解：由正弦定理，，
又，得；
因为，
所以，，
因为三角形ABC为锐角三角形，
所以，解得，
令，所以，
所以 

【解析】利用正弦定理将化为有关边长的条件，再利用余弦定理可得答案；
利用正弦定理得到，则，然后利用结合A的范围可得答案．
本题考查解三角形与三角函数的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
 

19.【答案】解：在中，，，，
所以，即，
又，，、平面，
所以平面，所以点A到平面的距离为，
设点B到平面的距离为d，
因为，所以，
所以
因为，，所以即为二面角的平面角，
在中，，
所以，即二面角的大小为 

【解析】由，，可证平面，再由，即可得解；
根据二面角的定义，可知即为所求，再由三角函数的知识，得解．
本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握线面垂直的判定定理，等体积法，二面角的定义是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

20.【答案】解：列联表如下：

，
有的把握认为性别与玩手机游戏有关联．
由题意可得，经常玩手机游戏的频率为，
则在本校中随机抽取1人玩手机游戏的概率为，
随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，
由题意可得，，
，
故X的分布列为：

故，
 

【解析】由题意得到列联表，再根据里面的数据求得，与临界值表对照下结论；
由题意得到经常玩手机游戏的频率为，再根据随机变量X服从求解．
本题主要考查了独立性检验以及离散型随机变量的分布列、期望与方差的计算，属于中档题．
 

21.【答案】解：由题意得，
因为双曲线的渐近线方程为，
所以焦点到渐近线的距离为，
所以双曲线的标准方程为；
设，，，直线CD为，
联立可得，，
所以，
因为A，P，C三点共线，则①，
B，P，D三点共线，则②，
①②联立可得，，
即，
把，代入上式整理可得，，
所以，即直线恒过定点 

【解析】由题意得，然后结合点到直线的距离公式及双曲线的性质可求b，进而可求；
设，，，直线CD为，联立直线与双曲线方程，结合方程的根与系数关系，三点共线的斜率关系可求．
本题主要考查了双曲线的性质在双曲线方程求解中的应用，还考查了直线与双曲线的位置关系的应用，属于中档题．
 

22.【答案】解：，，，
所求切线方程为：，即，
证明：令，则定义域为，，
当时，，当时，；
在上单调递减，在上单调递增，，
即，，即；
证明：，则，
令，则，
在上单调递增，又，
当时，，当时，，
在单调递减，在单调递增，
，即；
不妨设，

与的交点为，与的交点为，
由图象可知：，，
 

【解析】根据导数的几何意义求得切线斜率，结合的值可求得切线方程；
所证不等式可化为，令，利用导数求得的单调性，进而得到，从而证明结论；
根据知与的交点为，从而可知只需证明，又与的交点为，则只需证明，构造函数，利用导数可求得的单调性，从而得到，由此可得结论．
本题考查导数的综合应用，考查不等式的证明，属难题．