江苏省南通市2023届高三下学期数学二模试题含答案

这是一份江苏省南通市2023届高三下学期数学二模试题含答案，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 高三下学期二模数学模拟试题一、单选题1．已知P，Q为R的两个非空真子集，若，则下列结论正确的是（　　）A．， B．，C．， D．，2．已知，则的取值范围是（　　）A． B． C． D．3．将一个骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数能组成成等差数列的概率为（　　）A． B． C． D．4．已知复数z的实部和虚部均为整数，则满足的复数z的个数为（　　）A．2 B．3 C．4 D．55．1471年米勒提出了一个问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆看上去最长即可见角最大后人称其为“米勒问题”.我们把地球表面抽象为平面，悬杆抽象为直线l上两点A，，则上述问题可以转化为如下模型：如图1，直线l垂直于平面，l上的两点A，B位于平面同侧，求平面上一点C，使得最大.建立图2所示的平面直角坐标系.设，当最大时，（　　）A．2ab B．C． D．ab6．在三棱锥中，平面BCD，，则已知三棱锥外接球表面积的最小值为（　　）A． B． C． D．7．双曲线和椭圆的右焦点分别为，，，分别为上第一象限内不同于的点，若，，则四条直线的斜率之和为（　　）A．1 B．0 C． D．不确定值8．函数的定义域均为，且，关于对称，，则的值为（　　）A．-24 B．-32 C．-34 D．-40二、多选题9．下列命题中正确是（　　）A．中位数就是第50百分位数B．已知随机变量X~，若，则C．已知随机变量~，且函数为偶函数，则D．已知采用分层抽样得到的高三年级男生、女生各100名学生的身高情况为：男生样本平均数172，方差为120，女生样本平均数165，方差为120，则总体样本方差为10．重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱.古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长”.荣昌折扇平面图为下图的扇形COD，其中，，动点P在上（含端点），连结OP交扇形OAB的弧于点Q，且，则下列说法正确的是（　　）A．若，则 B．若，则C． D．11．在长方体中，，则下列命题为真命题的是（　　）A．若直线与直线所成的角为，则B．若经过点的直线与长方体所有棱所成的角相等，且与面交于点，则C．若经过点的直线与长方体所有面所成的角都为，则D．若经过点的平面与长方体所有面所成的二面角都为，则12．过平面内一点P作曲线两条互相垂直的切线、，切点为、、不重合，设直线、分别与y轴交于点A、B，则（　　）A．、两点的纵坐标之积为定值B．直线的斜率为定值C．线段AB的长度为定值D．面积的取值范围为三、填空题13．若函数的最大值为，则常数的值为　     　．14．的展开式中的系数为　     　.（用数字作答）.15．若对于任意的x，．不等式恒成立，则b的取值范围为　            　．16．弓琴（如图），也可称作“乐弓”，是我国弹弦乐器的始祖．古代有“后羿射十日”的神话，说明上古生民对善射者的尊崇，乐弓自然是弓箭发明的延伸．在我国古籍《吴越春秋》中，曾记载着：“断竹、续竹，飞土逐肉”．弓琴的琴身下部分可近似的看作是半椭球的琴腔，其正面为一椭圆面，它有多条弦，拨动琴弦，音色柔弱动听，现有某研究人员对它做出改进，安装了七根弦，发现声音强劲悦耳．下图是一弓琴琴腔下部分的正面图．若按对称建立如图所示坐标系，为左焦点，均匀对称分布在上半个椭圆弧上，为琴弦，记，数列前n项和为，椭圆方程为，且，则取最小值时，椭圆的离心率为　     　.四、解答题17．如图，在三棱锥中，为等腰直角三角形，，，为正三角形，D为AC的中点..（1）证明：平面平面；（2）若二面角的平面角为锐角，且三棱锥的体积为，求二面角的正弦值.18．在数列 中， .  （1）求 的通项公式.  （2）设 的前n项和为 ，证明： .  19．设是一个二维离散型随机变量，它们的一切可能取的值为，其中i，，令，称是二维离散型随机变量的联合分布列．与一维的情形相似，我们也习惯于把二维离散型随机变量的联合分布列写成下表形式：现有个相同的球等可能的放入编号为1，2，3的三个盒子中，记落下第1号盒子的球的个数为X，落入第2号盒子中的球的个数为
 （1）当时，求的联合分布列；（2）设，且，求20．记的内角，，的对边分别为，，，已知.（1）若，证明：；（2）若，证明：.21．已知椭圆的左、右焦点分别为，焦距与短轴长均为4．（1）求E的方程；（2）设任意过的直线为l交E于M，N，分别作E在点M，N上的两条切线，并记它们的交点为P，过作平行于l的直线分别交于A，B，求的取值范围．22．设连续正值函数定义在区间上，如果对于任意，都有，则称为“几何上凸函数”．已知，．（1）讨论函数的单调性；（2）若，试判断是否为上的“几何上凸函数”，并说明理由．
 1．B2．B3．A4．C5．B6．B7．B8．C9．A,C,D10．A,B,D11．A,B,C12．B,C,D13．14．-4215．16．17．（1）证明：∵，D为AC中点，∴.又为等边三角形，，∴.∵，BD，平面PDB，∴平面PDB.∵平面PAC，∴平面平面.（2）解：∵为正三角形，，∴的面积为，设三棱锥的底面上的高为，，作于O，由(1)平面，所以，又，所以，所以O是DB的中点，记的中点为，以为轴，建立空间直角坐标系，则，，，∴，，设是平面PAB的一个法向量，取设是平面PBC的一个法向量取，设二面角的平面角为，则.18．（1）解：∵ ，∴ ，  又 ，∴数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，从而 ，则 （2）证明：∵ ，  ∴ .设 ，则 ，两式相减得 ，从而 ，故 .19．（1）解：由题意知，的可能取值为，的可能取值为则，，，，，，，所以的联合分布列为：（2）解：当时，，所以，所以，设，则由二项分布的期望公式得.20．（1）证明：由正弦定理可得，，所以，由余弦定理及其推论可得，，，所以，由已知可得，，即，因为，所以.（2）证明：由已知得，，又由正弦定理可得，，因为，所以.由（1）知，，则，又由正弦定理可得，，又，则，将以及代入可得，，整理可得，，因为，，，所以，则.令，则，，则，所以，当，恒成立，所以在上单调递减.所以，，即.综上所述，.21．（1）解：由题意，，，解得，，故椭圆（2）解：由题意，，显然的斜率不为0，故设的方程为，，则，即，故，.联立过的切线方程，即，相减可得，即，化简可得.代入可得，故.设的中点为，则，，故.因为，，故，所以三点共线.又作平行于l的直线分别交于A，B，易得，取中点，根据三角形的性质有四点共线，结合椭圆的对称性有，当且仅当时取等号.故22．（1）解：定义域为，的导函数当时，，故在单调递减；当时，得：；由得：；于是在单调递减，在单调递增，综上，当时，在单调递减；当时，在单调递减，在单调递增．（2）解：是上的几何上凸函数，证明如下：由（1）可知，当时，在单调递减，在单调递增．故，故为连续正值函数由于，要证是上的几何上凸函数．需证，即证，而，则，需证由，故只需证下面给出证明：设，则，即在上，递减，所以，即．综上，成立，故，得证．