山西省太原市2023届高三下学期理数模拟试卷含答案

 高三下学期理数模拟试卷

一、单选题

1．设 是全集 的子集, ,则满足 的 的个数是（　　）  

A．5 B．4 C．3 D．2

2．复数的虚部为（　　）

A． B． C． D．

3．设非零向量满足，则（　　）

A． B． C． D．

4．已知，则的值为（　　）

A． B．2 C． D．-2

5．某班准备从甲、乙等5人中选派3人发言，要求甲乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有（　　）

A．18种 B．36种 C．54种 D．60种

6．已知双曲线与抛物线的准线交于A，B两点，且 (O为坐标原点)，则双曲线的渐近线方程为（　　）

A． B．

C． D．

7．已知数列的前n项和则数列的前n项和=（　　）

A． B． C． D．

8．在一个棱长为4的正方体内，你认为最多放入的直径为1的球的个数为（　　）

A．64 B．65 C．66 D．67

9．抛物线的焦点为，已知点为抛物线上的两个动点，且满足．过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为（　　）

A． B．1 C． D．2

10．斐波那契数列，又称黄金分割数列，该数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域有着非常广泛的应用，在数学上，斐波那契数列是用如下递推方法定义的： 已知     是该数列的第100项，则m=（　　）

A．98 B．99 C．100 D．101

11．设，则（　　）

A． B． C． D．

12．对于任意的实数，总存在三个不同的实数，使得成立，则实数的取值范围是（　　）

A． B．

C． D．

二、填空题

13．设某总体是由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列数字开始，从左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体编号为　     　.

1818   0792   4544   1716   5809   7983   8619

6206   7650   0310   5523   6405   0526   6238

14．若（ax2+ ）6的展开式中x3项的系数为20，则a2+b2的最小值为　     　． 

15．已知向量与的夹角为，且，若且，则实数的值为　     　．

16．已知函数，下面四个结论：①的图象是轴对称图形；②的图象是中心对称图形；③在上单调；④的最大值为．其中正确的有　     　．

三、解答题

17．已知锐角△ABC中，

（1）求

（2）若AB=7，求△ABC的面积S.

18．现有5张扑克牌，其中有3张梅花，另外2张是大王、小王，进行某种扑克游戏时，需要先从5张牌中一张一张随机抽取，直到大王和小王都被抽取到，取牌结束.以表示取牌结束时取到的梅花张数，以Y表示取牌结束时剩余的梅花张数.

（1）求概率；

（2）写出随机变量Y的分布列，并求数学期望E(Y).

19．已知三角形PAD是边长为2的正三角形，现将菱形ABCD沿AD折叠，所成二面角的大小为，此时恰有.

（1）求BD的长；

（2）求二面角的余弦值.

20．已知椭圆过点离心率为

（1）求椭圆C的方程；

（2）当过点M(4，1)的动直线与椭圆C相交于不同的两点A，B时，在线段AB上取点N，满足求线段PN长的最小值.

21．已知函数.

（1）若函数的图像与直线y=-x+1相切，求实数a的值；

（2）若函数有且只有一个零点，求实数a的取值范围.

22．在极坐标系中，已知曲线，过极点作射线与曲线交于点，在射线上取一点，使.

（1）求点的轨迹的极坐标方程；

（2）以极点为直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立直角坐标系，若直线与（1）中的曲线相交于点（异于点），与曲线（为参数）相交于点，求的值.

23．已知函数，且的解集为．

（1）求m的值；

（2）设a，b，c为正数，且，求的最大值.

1．B

2．A

3．B

4．B

5．C

6．C

7．A

8．C

9．A

10．B

11．D

12．D

13．19

14．2

15．1

16．①③④

17．（1）解：∵，∴，.

∴

又，故，

∴，两式相除，

∴

（2）解：由正弦定理得，

∴

∴，

又锐角△ABC，，所以，，

∴，

∴

∴

18．（1）解：由题，即一共取了4张，共种取法，其中第4张为大王或小王，前3张中有一张王和两张梅花，故

（2）解：Y的可能取值为0，1，2，3，

，，，

Y的分布列为

19．（1）解：取中点，连接，，

∵是正三角形，

∴，

又∴，，平面

∴平面，平面，

∴，

∴在菱形中，， 则，

∴

（2）解：取为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，， ，，

设平面PCD的法向量为，

∵

∴，令，则，，∴，

设平面PCB的法向量为

∵

∴，令，则，，所以

所以，

又二面角为钝二面角，二面角的余弦值为；

20．（1）解：根据题意， 解得，

椭圆C的方程为

（2）解：设A（，），B（，），N（x，y），

由，

得 ，

∴，

又，

∴，

∴点N在直线上，

∴.

21．（1）解：，设切点为，

则∴

时，显然不成立，∴

消去a得

∴；

（2）解：令，即有且只有一个解，

当时，显然不成立，

∴，令，

∴与有且只有一个交点，

∵，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

又当时，→0，当

当时，，当时，

如图所示，

综上，a的取值范围是.

22．（1）解：设，则

又

∴为所求C1的极坐标方程．

（2）解：C2的极坐标方程为，

把代入C2得，

把代入C1得

23．（1）解：由，得

所以

又的解集为，

所以，解得

（2）解：由（1）知，

由柯西不等式得

所以，

所以，

当且仅当，即时等号成立，

所以的最大值为3