上海市长宁区2023届高三上学期数学一模试卷含答案

 高三上学期数学一模试卷

一、填空题

1．已知集合，则　     　

2．的二项展开式中的系数为　     　

3．　     　

4．若线性方程组的增广矩阵为，解为，则 　     　

5．在直角坐标系中，角的始边为正半轴，顶点为坐标原点，若角的终边经过点，则　     　

6．3位同学被推荐担任进博会3个指定展馆服务志愿者，每人负责1个展馆，每个展馆只需1位同学，则共有　     　种不同的安排方法.

7．已知双曲线的左，右焦点为，过的直线与双曲线的左、右支分别交于点.若为等边三角形，则的边长为　     　

8．在复平面内，复数所对应的点分别为，对于下列四个式子：

⑴；

⑵；

⑶；

⑷，其中恒成立的是　           　（写出所有恒成立式子的序号）

9．设，若，则的最大值为　     　

10．已知公差不为0的等差数列的前项和为，若，则的最小值为　     　

11．已知点在抛物线上，点在的准线上，线段的中点均在抛物线上，设直线与轴交于点，则的最小值为　     　．

12．设曲线与函数的图像关于直线对称，若曲线仍然为某函数的图象，则实数的取值范围为　     　

二、单选题

13．“ ”是“ ”的（        ） 

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

14．给定一组数据，设这组数据的平均数为，中位数为，众数为，则（　　）

A． B． C． D．

15．已知平面经过圆柱的旋转轴，点是在圆柱的侧面上，但不在平面上，则下列个命题中真命题的个数是（　　）

①总存在直线且与异面；   

②总存在直线且；

③总存在平面且；     

④总存在平面且.

A．l B．2 C．3 D．4

16．若函数的值域为，则的取值范围为（　　）

A． B． C． D．

三、解答题

17．在直三棱柱中，.

（1）求四棱锥的体积；

（2）求直线与平面所成角的正切值.

18．已知三个内角所对的边分别为

（1）若，求的面积；

（2）设线段的中点为，若，求外接圆半径的值.

19．随着人们生活水平的提高，很多家庭都购买了家用汽车，使用汽车共需支出三笔费用；购置费、燃油费、养护保险费，某种型号汽车，购置费共20万元；购买后第1年燃油费共2万元，以后每一年都比前一年增加0.2万元.

（1）若每年养护保险费均为1万元，设购买该种型号汽车年后共支出费用为万元，求的表达式；

（2）若购买汽车后的前6年，每年养护保险费均为1万元，由于部件老化和事故多发，第年起，每一年的养护保险费都比前一年增加，设使用年后养护保险年平均费用为，当时，最小，请你列出时的表达式，并利用计算器确定的值（只需写出的值）

20．已知函数.

（1）求证：函数是上的减函数；

（2）已知函数的图像存在对称中心的充要条件是的图像关于原点中心对称，判断函数的图像是否存在对称中心，若存在，求出该对称中心的坐标，若不存在，说明理由；

（3）若对任意，都存在及实数，使得，求实数的最大值.

21．城市道路大多是纵横交错的矩形网格状，从甲地到乙地的最短路径往往不是直线距离，而是沿着网格走的直角距离，在直角坐标系中，定义点的“直角距离”为：，设.

（1）写出一个满足的点的坐标；

（2）过点作斜率为2的直线，点分别是直线上的动点，求的最小值；

（3）设，记方程的曲线为，类比椭圆研究曲线的性质（结论不要求证明），并在所给坐标系中画出该曲线；

1．

2．24

3．1

4．-1

5．

6．6

7．4

8．（2）（3）

9．1

10．-12

11．

12．

13．B

14．B

15．C

16．A

17．（1）解：因为直三棱柱中，平面，

所以，

因为，

所以平面，

因为，所以

所以四棱锥的体积.

（2）解：因为直三棱柱中，平面，

所以

因为，

所以平面，

因为在直三棱柱中，，

所以平面，

故连接，，则是直线与平面所成角，

所以，

所以直线与平面所成角的正切值为.

18．（1）解：因为，所以，

因为，

所以，

因为，所以，

所以的面积为.

（2）解：因为线段的中点为，，，

所以在中，由，解得（舍），

所以在中，，即，

因为，所以，

所以由正弦定理得外接圆半经满足，

所以外接圆半径

19．（1）解：根据题意，购买后第1年燃油费共2万元，以后每一年都比前一年增加0.2万元，

所以购买该车后，每年的燃油费构成等差数列，首项为2，公差为0.2，

所以购买该种型号汽车第年的燃油费用为，

所以购买该种型号汽车年后燃油的总费用是，

因为每年养护保险费均为1万元，所以购买该种型号汽车年后养护费用共万元，

所以.

（2）解：当时，由于每一年的养护保险费都比前一年增加，

所以从第七年起，养护保险费满足等比数列，首项为，公比为，

所以从第七年起，第年的养护保险费用为，

所以购买该种型号汽车年后，养护保险费为，

所以当时，使用年后，养护保险费的年平均费用为.

经计算器计算得时，最小.

20．（1）解：设对于任意的实数，，

则，

因为，所以，

所以，即

所以函数是上的减函数

（2）解：假设函数的图像存在对称中心，

则的图像关于原点中心对称，

由于函数的定义域为，

所以恒成立，

即恒成立，

所以，解得 ，

所以函数的图像存在对称中心

（3）解：因为对任意，都存在及实数，使得，

所以，即，

所以，即

因为，所以

因为，所以

所以，即

所以，所以，即实数的最大值为2.

21．（1）解：设点的坐标为，若，

所以，

所以点在直线上，故满足要求.

（2）解：由题可知，，

因此

所以，

令，则，

所以，

所以当时，取得最小值1.

（3）解：因为，

所以，

所以，类比椭圆的几何性质，曲线的性质的性质有：

对称性：曲线即是以轴、轴为对称轴的对称图形，也是以原点为对称中心的中心对称图形；

顶点：

范围：

图像如图所示：