江苏省苏州市5年（2018-2022）中考数学真题分类汇编-09解答题（压轴题）知识点分类

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江苏省苏州市5年（2018-2022）中考数学真题分类汇编-09解答题（压轴题）知识点分类
一．一元一次不等式的应用（共1小题）
1．某学校准备购买若干台A型电脑和B型打印机．如果购买1台A型电脑，2台B型打印机，一共需要花费5900元；如果购买2台A型电脑，2台B型打印机，一共需要花费9400元．
（1）求每台A型电脑和每台B型打印机的价格分别是多少元？
（2）如果学校购买A型电脑和B型打印机的预算费用不超过20000元，并且购买B型打印机的台数要比购买A型电脑的台数多1台，那么该学校至多能购买多少台B型打印机？
二．一次函数的应用（共1小题）
2．如图①，甲、乙都是高为6米的长方体容器，容器甲的底面ABCD是正方形，容器乙的底面EFGH是矩形．如图②，已知正方形ABCD与矩形EFGH满足如下条件：正方形ABCD外切于一个半径为5米的圆O，矩形EFGH内接于这个圆O，EF＝2EH．
（1）求容器甲、乙的容积分别为多少立方米？
（2）现在我们分别向容器甲、乙同时持续注水（注水前两个容器是空的），一开始注水流量均为25立方米/小时，4小时后，把容器甲的注水流量增加a立方米/小时，同时保持容器乙的注水流量不变，继续注水2小时后，把容器甲的注水流量再一次增加50立方米/小时，同时容器乙的注水流量仍旧保持不变，直到两个容器的水位高度相同，停止注水．在整个注水过程中，当注水时间为t时，我们把容器甲的水位高度记为h甲，容器乙的水位高度记为h乙，设h乙﹣h甲＝h，已知h（米）关于注水时间t（小时）的函数图象如图③所示，其中MN平行于横轴，根据图中所给信息，解决下列问题：
①求a的值；
②求图③中线段PN所在直线的解析式．

三．一次函数综合题（共1小题）
3．如图①，直线l表示一条东西走向的笔直公路，四边形ABCD是一块边长为100米的正方形草地，点A，D在直线l上，小明从点A出发，沿公路l向西走了若干米后到达点E处，然后转身沿射线EB方向走到点F处，接着又改变方向沿射线FC方向走到公路l上的点G处，最后沿公路l回到点A处．设AE＝x米（其中x＞0），GA＝y米，已知y与x之间的函数关系如图②所示，
（1）求图②中线段MN所在直线的函数表达式；
（2）试问小明从起点A出发直至最后回到点A处，所走过的路径（即△EFG）是否可以是一个等腰三角形？如果可以，求出相应x的值；如果不可以，说明理由．

四．抛物线与x轴的交点（共1小题）
4．如图，已知抛物线y＝x2﹣4与x轴交于点A，B（点A位于点B的左侧），C为顶点，直线y＝x+m经过点A，与y轴交于点D．
（1）求线段AD的长；
（2）平移该抛物线得到一条新抛物线，设新抛物线的顶点为C′．若新抛物线经过点D，并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线CC′平行于直线AD，求新抛物线对应的函数表达式．

五．二次函数综合题（共3小题）
5．如图，二次函数y＝x2﹣（m+1）x+m（m是实数，且﹣1＜m＜0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），其对称轴与x轴交于点C．已知点D位于第一象限，且在对称轴上，OD⊥BD，点E在x轴的正半轴上，OC＝EC，连接ED并延长交y轴于点F，连接AF．
（1）求A、B、C三点的坐标（用数字或含m的式子表示）；
（2）已知点Q在抛物线的对称轴上，当△AFQ的周长的最小值等于时，求m的值．

6．如图①，抛物线y＝﹣x2+（a+1）x﹣a与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C．已知△ABC的面积是6．
（1）求a的值；
（2）求△ABC外接圆圆心的坐标；
（3）如图②，P是抛物线上一点，Q为射线CA上一点，且P、Q两点均在第三象限内，Q、A是位于直线BP同侧的不同两点，若点P到x轴的距离为d，△QPB的面积为2d，且∠PAQ＝∠AQB，求点Q的坐标．

7．如图，二次函数y＝﹣x2+2mx+2m+1（m是常数，且m＞0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．其对称轴与线段BC交于点E，与x轴交于点F．连接AC，BD．
（1）求A，B，C三点的坐标（用数字或含m的式子表示），并求∠OBC的度数；
（2）若∠ACO＝∠CBD，求m的值；
（3）若在第四象限内二次函数y＝﹣x2+2mx+2m+1（m是常数，且m＞0）的图象上，始终存在一点P，使得∠ACP＝75°，请结合函数的图象，直接写出m的取值范围．

六．三角形综合题（共1小题）
8．（1）如图1，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，CD平分∠ACB，交AB于点D，DE∥AC，交BC于点E．
①若DE＝1，BD＝，求BC的长；
②试探究﹣是否为定值．如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
（2）如图2，∠CBG和∠BCF是△ABC的2个外角，∠BCF＝2∠CBG，CD平分∠BCF，交AB的延长线于点D，DE∥AC，交CB的延长线于点E．记△ACD的面积为S1，△CDE的面积为S2，△BDE的面积为S3．若S1•S3＝S22，求cos∠CBD的值．


七．四边形综合题（共1小题）
9．已知矩形ABCD中，AB＝5cm，点P为对角线AC上的一点，且AP＝2cm．如图①，动点M从点A出发，在矩形边上沿着A→B→C的方向匀速运动（不包含点C）．设动点M的运动时间为t（s），△APM的面积为S（cm2），S与t的函数关系如图②所示．
（1）直接写出动点M的运动速度为 　 　cm/s，BC的长度为 　 　cm；
（2）如图③，动点M重新从点A出发，在矩形边上按原来的速度和方向匀速运动，同时，另一个动点N从点D出发，在矩形边上沿着D→C→B的方向匀速运动，设动点N的运动速度为v（cm/s）．已知两动点M，N经过时间x（s）在线段BC上相遇（不包含点C），动点M，N相遇后立即同时停止运动，记此时△APM与△DPN的面积分别为S1（cm2），S2（cm2）
①求动点N运动速度v（cm/s）的取值范围；
②试探究S1•S2是否存在最大值，若存在，求出S1•S2的最大值并确定运动时间x的值；若不存在，请说明理由．

八．切线的性质（共1小题）
10．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD垂直于过点C的切线，垂足为D，CE垂直AB，垂足为E．延长DA交⊙O于点F，连接FC，FC与AB相交于点G，连接OC．
（1）求证：CD＝CE；
（2）若AE＝GE，求证：△CEO是等腰直角三角形．

九．圆的综合题（共1小题）
11．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是的中点，CD与AB交于点E．F是AB延长线上的一点，且CF＝EF．
（1）求证：CF为⊙O的切线；
（2）连接BD，取BD的中点G，连接AG．若CF＝4，BF＝2，求AG的长．


一十．相似三角形的判定与性质（共1小题）
12．问题1：如图①，在△ABC中，AB＝4，D是AB上一点（不与A，B重合），DE∥BC，交AC于点E，连接CD．设△ABC的面积为S，△DEC的面积为S′．
（1）当AD＝3时，＝　 　；
（2）设AD＝m，请你用含字母m的代数式表示．
问题2：如图②，在四边形ABCD中，AB＝4，AD∥BC，AD＝BC，E是AB上一点（不与A，B重合），EF∥BC，交CD于点F，连接CE．设AE＝n，四边形ABCD的面积为S，△EFC的面积为S′．请你利用问题1的解法或结论，用含字母n的代数式表示．

一十一．相似形综合题（共1小题）
13．如图，在矩形ABCD中，线段EF、GH分别平行于AD、AB，它们相交于点P，点P1、P2分别在线段PF、PH上，PP1＝PG，PP2＝PE，连接P1H、P2F，P1H与P2F相交于点Q．已知AG：GD＝AE：EB＝1：2，设AG＝a，AE＝b．
（1）四边形EBHP的面积 　 　四边形GPFD的面积（填“＞”、“＝”或“＜”）
（2）求证：△P1FQ∽△P2HQ；
（3）设四边形PP1QP2的面积为S1，四边形CFQH的面积为S2，求的值．


江苏省苏州市5年（2018-2022）中考数学真题分类汇编-09解答题（压轴题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．一元一次不等式的应用（共1小题）
1．某学校准备购买若干台A型电脑和B型打印机．如果购买1台A型电脑，2台B型打印机，一共需要花费5900元；如果购买2台A型电脑，2台B型打印机，一共需要花费9400元．
（1）求每台A型电脑和每台B型打印机的价格分别是多少元？
（2）如果学校购买A型电脑和B型打印机的预算费用不超过20000元，并且购买B型打印机的台数要比购买A型电脑的台数多1台，那么该学校至多能购买多少台B型打印机？
【分析】（1）设每台A型电脑的价格为x元，每台B型打印机的价格为y元，根据“1台A型电脑的钱数+2台B型打印机的钱数＝5900，2台A型电脑的钱数+2台B型打印机的钱数＝9400”列出二元一次方程组，解之可得；
（2）设学校购买a台B型打印机，则购买A型电脑为（a﹣1）台，根据“（a﹣1）台A型电脑的钱数+a台B型打印机的钱数≤20000”列出不等式，解之可得．
【解答】解：（1）设每台A型电脑的价格为x元，每台B型打印机的价格为y元，
根据题意，得：，
解得：，
答：每台A型电脑的价格为3500元，每台B型打印机的价格为1200元；

（2）设学校购买a台B型打印机，则购买A型电脑为（a﹣1）台，
根据题意，得：3500（a﹣1）+1200a≤20000，
解得：a≤5，
答：该学校至多能购买5台B型打印机．
【点评】本题主要考查一元一次不等式与二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系或不等关系，并据此列出方程组与不等式．
二．一次函数的应用（共1小题）
2．如图①，甲、乙都是高为6米的长方体容器，容器甲的底面ABCD是正方形，容器乙的底面EFGH是矩形．如图②，已知正方形ABCD与矩形EFGH满足如下条件：正方形ABCD外切于一个半径为5米的圆O，矩形EFGH内接于这个圆O，EF＝2EH．
（1）求容器甲、乙的容积分别为多少立方米？
（2）现在我们分别向容器甲、乙同时持续注水（注水前两个容器是空的），一开始注水流量均为25立方米/小时，4小时后，把容器甲的注水流量增加a立方米/小时，同时保持容器乙的注水流量不变，继续注水2小时后，把容器甲的注水流量再一次增加50立方米/小时，同时容器乙的注水流量仍旧保持不变，直到两个容器的水位高度相同，停止注水．在整个注水过程中，当注水时间为t时，我们把容器甲的水位高度记为h甲，容器乙的水位高度记为h乙，设h乙﹣h甲＝h，已知h（米）关于注水时间t（小时）的函数图象如图③所示，其中MN平行于横轴，根据图中所给信息，解决下列问题：
①求a的值；
②求图③中线段PN所在直线的解析式．

【分析】（1）连接FH，解直角三角形求出EH，可得结论．
（2）①根据6小时后的高度差为1.5米，可得﹣＝1.5，求出a即可．
②当注t小时后，由h乙﹣h甲＝0，可得﹣＝0，求出点P，N的坐标，利用待定系数法，可得结论．
【解答】解：（1）如图②中，连接FH，

∵正方形ABCD外切于一个半径为5米的圆O，
∴AB＝10米，
∴容器甲的容积＝102×6＝600（立方米），
∵∠FEH＝90°，
∴FH为直径，
在Rt△EFH中，EF＝2EH，FH＝10米，
∴EH2+4EH2＝100，
∴EH＝2（米），EF＝4（米），
∴容器乙的容积＝2×4×6＝240（立方米）．

（2）①当t＝4时，h＝﹣＝1.5，
∵MN∥t轴，
∴M（4，1.5），N（6，1.5），
∵6小时后的高度差为1.5米，
∴﹣＝1.5，
解得a＝37.5．

②当注水t小时后，由h乙﹣h甲＝0，可得﹣＝0，
解得t＝9，即P（9，0），
设线段PN所在的直线的解析式为h＝kt+m，
∵N（6，1.5），P（9，0）在直线PN上，
∴，
解得，
∴线段PN所在的直线的解析式为h＝﹣t+．
【点评】本题考查了圆的有关知识，正方形的性质，矩形的性质，立方体的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
三．一次函数综合题（共1小题）
3．如图①，直线l表示一条东西走向的笔直公路，四边形ABCD是一块边长为100米的正方形草地，点A，D在直线l上，小明从点A出发，沿公路l向西走了若干米后到达点E处，然后转身沿射线EB方向走到点F处，接着又改变方向沿射线FC方向走到公路l上的点G处，最后沿公路l回到点A处．设AE＝x米（其中x＞0），GA＝y米，已知y与x之间的函数关系如图②所示，
（1）求图②中线段MN所在直线的函数表达式；
（2）试问小明从起点A出发直至最后回到点A处，所走过的路径（即△EFG）是否可以是一个等腰三角形？如果可以，求出相应x的值；如果不可以，说明理由．

【分析】（1）根据点M、N的坐标，利用待定系数法即可求出图②中线段MN所在直线的函数表达式；
（2）分FE＝FG、FG＝EG及EF＝EG三种情况考虑：①考虑FE＝FG是否成立，连接EC，通过计算可得出ED＝GD，结合CD⊥EG，可得出CE＝CG，根据等腰三角形的性质可得出∠CGE＝∠CEG、∠FEG＞∠CGE，进而可得出FE≠FG；②考虑FG＝EG是否成立，由正方形的性质可得出BC∥EG，进而可得出△FBC∽△FEG，根据相似三角形的性质可得出若FG＝EG则FC＝BC，进而可得出CG、DG的长度，在Rt△CDG中，利用勾股定理即可求出x的值；③考虑EF＝EG是否成立，同理可得出若EF＝EG则FB＝BC，进而可得出BE的长度，在Rt△ABE中，利用勾股定理即可求出x的值．综上即可得出结论．
【解答】解：（1）设线段MN所在直线的函数表达式为y＝kx+b，
将M（30，230）、N（100，300）代入y＝kx+b，
，解得：，
∴线段MN所在直线的函数表达式为y＝x+200．
（2）分三种情况考虑：
①考虑FE＝FG是否成立，连接EC，如图所示．
∵AE＝x，AD＝100，GA＝x+200，
∴ED＝GD＝x+100．
又∵CD⊥EG，
∴CE＝CG，
∴∠CGE＝∠CEG，
∴∠FEG＞∠CGE，
∴FE≠FG；
②考虑FG＝EG是否成立．
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC∥EG，
∴△FBC∽△FEG．
假设FG＝EG成立，则FC＝BC成立，
∴FC＝BC＝100．
∵AE＝x，GA＝x+200，
∴FG＝EG＝AE+GA＝2x+200，
∴CG＝FG﹣FC＝2x+200﹣100＝2x+100．
在Rt△CDG中，CD＝100，GD＝x+100，CG＝2x+100，
∴1002+（x+100）2＝（2x+100）2，
解得：x1＝﹣100（不合题意，舍去），x2＝；
③考虑EF＝EG是否成立．
同理，假设EF＝EG成立，则FB＝BC成立，
∴BE＝EF﹣FB＝2x+200﹣100＝2x+100．
在Rt△ABE中，AE＝x，AB＝100，BE＝2x+100，
∴1002+x2＝（2x+100）2，
解得：x1＝0（不合题意，舍去），x2＝﹣（不合题意，舍去）．
综上所述：当x＝时，△EFG是一个等腰三角形．

【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及勾股定理，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数关系式；（2）分FE＝FG、FG＝EG及EF＝EG三种情况求出x的值．
四．抛物线与x轴的交点（共1小题）
4．如图，已知抛物线y＝x2﹣4与x轴交于点A，B（点A位于点B的左侧），C为顶点，直线y＝x+m经过点A，与y轴交于点D．
（1）求线段AD的长；
（2）平移该抛物线得到一条新抛物线，设新抛物线的顶点为C′．若新抛物线经过点D，并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线CC′平行于直线AD，求新抛物线对应的函数表达式．

【分析】（1）解方程求出点A的坐标，根据勾股定理计算即可；
（2）设新抛物线对应的函数表达式为：y＝x2+bx+2，根据二次函数的性质求出点C′的坐标，根据题意求出直线CC′的解析式，代入计算即可．
【解答】解：（1）由x2﹣4＝0得，x1＝﹣2，x2＝2，
∵点A位于点B的左侧，
∴A（﹣2，0），
∵直线y＝x+m经过点A，
∴﹣2+m＝0，
解得，m＝2，
∴点D的坐标为（0，2），
∴AD＝＝2；
（2）设新抛物线对应的函数表达式为：y＝x2+bx+2，
y＝x2+bx+2＝（x+）2+2﹣，
则点C′的坐标为（﹣，2﹣），
∵CC′平行于直线AD，且经过C（0，﹣4），
∴直线CC′的解析式为：y＝x﹣4，
∴2﹣＝﹣﹣4，
解得，b1＝﹣4，b2＝6，
∴新抛物线对应的函数表达式为：y＝x2﹣4x+2或y＝x2+6x+2．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点、待定系数法求函数解析式，掌握二次函数的性质、抛物线与x轴的交点的求法是解题的关键．
五．二次函数综合题（共3小题）
5．如图，二次函数y＝x2﹣（m+1）x+m（m是实数，且﹣1＜m＜0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），其对称轴与x轴交于点C．已知点D位于第一象限，且在对称轴上，OD⊥BD，点E在x轴的正半轴上，OC＝EC，连接ED并延长交y轴于点F，连接AF．
（1）求A、B、C三点的坐标（用数字或含m的式子表示）；
（2）已知点Q在抛物线的对称轴上，当△AFQ的周长的最小值等于时，求m的值．

【分析】（1）令y＝x2﹣（m+1）x+m＝0，解得x＝1或m，故点A、B的坐标分别为（m，0）、（1，0），则点C的横坐标为（m+1），即可求解；
（2）由tan∠DBC＝tan∠ODC，即CD2＝CO•BC＝（m+1）（1﹣m）＝，在Rt△AOF中，AF2＝AO2+OF2＝m2+1﹣m2＝1；点B是点A关于函数对称轴的对称点，连接FB交对称轴于点Q，则点Q为所求点，进而求解．
【解答】解：（1）令y＝x2﹣（m+1）x+m＝0，解得x＝1或m，
故点A、B的坐标分别为（m，0）、（1，0），
则点C的横坐标为（m+1），即点C的坐标为（，0）；

（2）由点C的坐标知，CO＝＝CE，
故BC＝OB﹣CO＝1﹣（m+1）＝，
∵∠BDC+∠DBC＝90°，∠BDC+∠ODC＝90°，
∴∠DBC＝∠ODC，
∴tan∠DBC＝tan∠ODC，即CD2＝CO•BC＝（m+1）（1﹣m）＝，
∵点C是OE中点，则CD为三角形EOF的中位线，
则FO2＝（2CD）2＝4CD2＝1﹣m2，
在Rt△AOF中，AF2＝AO2+OF2＝m2+1﹣m2＝1，
∵点B是点A关于函数对称轴的对称点，连接FB交对称轴于点Q，则点Q为所求点，

理由：△AFQ的周长＝AF+FQ+AQ＝1+QF+BQ＝1+BF为最小，
即1+BF＝，
则BF2＝OF2+OB2＝1﹣m2+1＝（﹣1）2，解得m＝，
∵﹣1＜m＜0，
故m＝﹣．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
6．如图①，抛物线y＝﹣x2+（a+1）x﹣a与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C．已知△ABC的面积是6．
（1）求a的值；
（2）求△ABC外接圆圆心的坐标；
（3）如图②，P是抛物线上一点，Q为射线CA上一点，且P、Q两点均在第三象限内，Q、A是位于直线BP同侧的不同两点，若点P到x轴的距离为d，△QPB的面积为2d，且∠PAQ＝∠AQB，求点Q的坐标．

【分析】（1）由y＝﹣x2+（a+1）x﹣a，令y＝0，即﹣x2+（a+1）x﹣a＝0，可求出A、B坐标结合三角形的面积，解出a＝﹣3；（2）三角形外接圆圆心是三边垂直平分线的交点，求出两边垂直平分线，解交点可求出；
（3）作PM⊥x轴，则S△BAP＝AB•PM＝×4d 由S△PQB＝S△PAB可得A、Q到PB的距离相等，得到AQ∥PB，求出直线PB的解析式，以抛物线解析式联立得出点P坐标，由于△PBQ≌△ABP，可得PQ＝AB＝4，利用两点间距离公式，解出m值．
【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+（a+1）x﹣a
令y＝0，即﹣x2+（a+1）x﹣a＝0
解得x1＝a，x2＝1
由图象知：a＜0
∴A（a，0），B（1，0）
∵S△ABC＝6
∴
解得：a＝﹣3，a＝4（舍去）
（2）∵A（﹣3，0），C（0，3），
∴OA＝OC，
∴线段AC的垂直平分线过原点，
∴线段AC的垂直平分线解析式为：y＝﹣x，
∵由A（﹣3，0），B（1，0），
∴线段AB的垂直平分线为x＝﹣1
将x＝﹣1代入y＝﹣x，
解得：y＝1
∴△ABC外接圆圆心的坐标（﹣1，1）

（3）作PM⊥x轴交x轴于M，则S△BAP＝AB•PM＝×4d
∵S△PQB＝S△PAB
∴A、Q到PB的距离相等，
∴AQ∥PB
设直线PB解析式为：y＝x+b
∵直线经过点B（1，0）
所以：直线PB的解析式为y＝x﹣1
联立
解得：
∴点P坐标为（﹣4，﹣5）
又∵∠PAQ＝∠AQB，
∴∠BPA＝∠PBQ，
∴AP＝QB，
在△PBQ与△BPA中，
，
∴△PBQ≌△ABP（SAS），
∴PQ＝AB＝4
设Q（m，m+3）
由PQ＝4得：

解得：m＝﹣4，m＝﹣8（当m＝﹣8时，∠PAQ≠∠AQB，故应舍去）
∴Q坐标为（﹣4，﹣1）

【点评】本题考查二次函数的综合应用，函数和几何图形的综合题目，抛物线和直线“曲直”联立解交点，利用三角形的全等和二次函数的性质把数与形有机的结合在一起，转化线段长求出结果．
7．如图，二次函数y＝﹣x2+2mx+2m+1（m是常数，且m＞0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．其对称轴与线段BC交于点E，与x轴交于点F．连接AC，BD．
（1）求A，B，C三点的坐标（用数字或含m的式子表示），并求∠OBC的度数；
（2）若∠ACO＝∠CBD，求m的值；
（3）若在第四象限内二次函数y＝﹣x2+2mx+2m+1（m是常数，且m＞0）的图象上，始终存在一点P，使得∠ACP＝75°，请结合函数的图象，直接写出m的取值范围．

【分析】（1）令y＝0，解方程可得A，B两点坐标，令x＝0，可得点C的坐标，证明OC＝OB，可得∠OBC＝45°；
（2）由题意D（m，（m+1）2），F（m，0），根据tan∠ACE＝＝＝＝，构建方程，求出m即可；
（3）证明∠CAO＜60°，推出2m+1＜，可得结论．
【解答】解：（1）当y＝0时，﹣x2+2mx+2m+1＝0，
解方程，得x1＝﹣1，x2＝2m+1，
∵点A在点B的左侧，且m＞0，
∴A（﹣1，0），B（2m+1，0），
当x＝0时，y＝2m+1，
∴C（0，2m+1），
∴OB＝OC＝2m+1，
∵∠BOC＝90°，
∴∠OBC＝45°；

（2）如图1中，连接AE．

∵y＝﹣x2+2mx+2m+1＝﹣（x﹣m）2+（m+1）2，
∴D（m，（m+1）2），F（m，0），
∴DF＝（m+1）2，OF＝m，BF＝m+1，
∵A，B关于对称轴对称，
∴AE＝BE，
∴∠EAB＝∠OBC＝45°，
∵∠ACO＝∠CBD，∠OCB＝∠OBC，
∴∠ACO+∠OCB＝∠CBD+∠OBC，即∠ACE＝∠DBF，
∵EF∥OC，
∴tan∠ACE＝＝＝＝，
∴＝m+1，
∴m＝1或﹣1，
∵m＞0，
∴m＝1；

（3）如图，设PC交x轴于点Q．

当点P在第四象限时，点Q总是在点B的左侧，此时∠CQA＞∠CBA，即∠CQA＞45°，
∵∠ACQ＝75°，
∴∠CAO＜60°，
∴2m+1＜，
∴m＜，
又∵∠CAQ＞15°，
同法可得m＞，
∵m＞0，
∴0＜m＜．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
六．三角形综合题（共1小题）
8．（1）如图1，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，CD平分∠ACB，交AB于点D，DE∥AC，交BC于点E．
①若DE＝1，BD＝，求BC的长；
②试探究﹣是否为定值．如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
（2）如图2，∠CBG和∠BCF是△ABC的2个外角，∠BCF＝2∠CBG，CD平分∠BCF，交AB的延长线于点D，DE∥AC，交CB的延长线于点E．记△ACD的面积为S1，△CDE的面积为S2，△BDE的面积为S3．若S1•S3＝S22，求cos∠CBD的值．


【分析】（1）①证出∠ACD＝∠DCB＝∠B，由等腰三角形的判定得出CD＝BD＝，求出CE＝DE＝1，证明△CED∽△CDB，由相似三角形的性质可求出BC的长；
②由平行线分线段成比例定理得出，同①可得，CE＝DE，证出，则可得出答案；
（2）证出，由题意可得出，设BC＝9x，则CE＝16x，证明△CDB∽△CED，由相似三角形的性质得出，求出CD＝12x，过点D作DH⊥BC于点H，则BH＝BC＝x，根据锐角三角函数的定义可得出答案．
【解答】解：（1）①∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠DCB＝∠ACB，
∵∠ACB＝2∠B，
∴∠ACD＝∠DCB＝∠B，
∴CD＝BD＝，
∵DE∥AC，
∴∠ACD＝∠EDC，
∴∠EDC＝∠DCB＝∠B，
∴CE＝DE＝1，
∴△CED∽△CDB，
∴，
∴，
∴BC＝；
②﹣是定值．
∵DE∥AC，
∴，
同①可得，CE＝DE，
∴，
∴＝1，
∴﹣是定值，定值为1；
（2）∵DE∥AC，
∴，
∵，
∴，
又∵S1•S3＝S22，
∴，
设BC＝9x，则CE＝16x，
∵CD平分∠BCF，
∴∠ECD＝∠FCD＝∠BCF，
∵∠BCF＝2∠CBG，
∴∠ECD＝∠FCD＝∠CBD，
∴BD＝CD，
∵DE∥AC，
∴∠EDC＝∠FCD，
∴∠EDC＝∠CBD＝∠ECD，
∴CE＝DE，
∵∠DCB＝∠ECD，
∴△CDB∽△CED，
∴，
∴CD2＝CB•CE＝144x2，
∴CD＝12x，
过点D作DH⊥BC于点H，

∵BD＝CD＝12x，
∴BH＝BC＝x，
∴cos．
【点评】本题是三角形综合题，考查了角平分线的定义，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，锐角三角函数的定义，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
七．四边形综合题（共1小题）
9．已知矩形ABCD中，AB＝5cm，点P为对角线AC上的一点，且AP＝2cm．如图①，动点M从点A出发，在矩形边上沿着A→B→C的方向匀速运动（不包含点C）．设动点M的运动时间为t（s），△APM的面积为S（cm2），S与t的函数关系如图②所示．
（1）直接写出动点M的运动速度为 　2　cm/s，BC的长度为 　10　cm；
（2）如图③，动点M重新从点A出发，在矩形边上按原来的速度和方向匀速运动，同时，另一个动点N从点D出发，在矩形边上沿着D→C→B的方向匀速运动，设动点N的运动速度为v（cm/s）．已知两动点M，N经过时间x（s）在线段BC上相遇（不包含点C），动点M，N相遇后立即同时停止运动，记此时△APM与△DPN的面积分别为S1（cm2），S2（cm2）
①求动点N运动速度v（cm/s）的取值范围；
②试探究S1•S2是否存在最大值，若存在，求出S1•S2的最大值并确定运动时间x的值；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）由题意得t＝2.5s时，函数图象发生改变，得出t＝2.5s时，M运动到点B处，得出动点M的运动速度为：＝2cm/s，由t＝7.5s时，S＝0，得出t＝7.5s时，M运动到点C处，得出BC＝10（cm）；
（2）①由题意得出当在点C相遇时，v＝＝（cm/s），当在点B相遇时，v＝＝6（cm/s），即可得出答案；
②过P作EF⊥AB于F，交CD于E，则EF∥BC，由平行线得出＝，得出AF＝2，DE＝AF＝2，CE＝BF＝3，由勾股定理得出PF＝4，得出EP＝6，求出S1＝S△APM＝S△APF+S梯形PFBM﹣S△ABM＝﹣2x+15，S2＝S△DPM＝S△DEP+S梯形EPMC﹣S△DCM＝2x，得出S1•S2＝（﹣2x+15）×2x＝﹣4x2+30x＝﹣4（x﹣）2+，即可得出结果．
【解答】解：（1）∵t＝2.5s时，函数图象发生改变，
∴t＝2.5s时，M运动到点B处，
∴动点M的运动速度为：＝2cm/s，
∵t＝7.5s时，S＝0，
∴t＝7.5s时，M运动到点C处，
∴BC＝（7.5﹣2.5）×2＝10（cm），
故答案为：2，10；
（2）①∵两动点M，N在线段BC上相遇（不包含点C），
∴当在点C相遇时，v＝＝（cm/s），
当在点B相遇时，v＝＝6（cm/s），
∴动点N运动速度v（cm/s）的取值范围为cm/s＜v≤6cm/s；
②过P作EF⊥AB于F，交CD于E，如图3所示：
则EF∥BC，EF＝BC＝10，
∴＝，
∵AC＝＝5，
∴＝，
解得：AF＝2，
∴DE＝AF＝2，CE＝BF＝3，PF＝＝4，
∴EP＝EF﹣PF＝6，
∴S1＝S△APM＝S△APF+S梯形PFBM﹣S△ABM＝×4×2+（4+2x﹣5）×3﹣×5×（2x﹣5）＝﹣2x+15，
S2＝S△DPM＝S△DEP+S梯形EPMC﹣S△DCM＝×2×6+（6+15﹣2x）×3﹣×5×（15﹣2x）＝2x，
∴S1•S2＝（﹣2x+15）×2x＝﹣4x2+30x＝﹣4（x﹣）2+，
∵2.5＜＜7.5，在BC边上可取，
∴当x＝时，S1•S2的最大值为．

【点评】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、函数的图象、三角形面积公式、梯形面积公式、平行线的性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度，正确理解函数图象是解题的关键．
八．切线的性质（共1小题）
10．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD垂直于过点C的切线，垂足为D，CE垂直AB，垂足为E．延长DA交⊙O于点F，连接FC，FC与AB相交于点G，连接OC．
（1）求证：CD＝CE；
（2）若AE＝GE，求证：△CEO是等腰直角三角形．

【分析】（1）连接AC，根据切线的性质和已知得：AD∥OC，得∠DAC＝∠ACO，根据AAS证明△CDA≌△CEA（AAS），可得结论；
（2）介绍两种证法：
证法一：根据△CDA≌△CEA，得∠DCA＝∠ECA，由等腰三角形三线合一得：∠F＝∠ACE＝∠DCA＝∠ECG，在直角三角形中得：∠F＝∠DCA＝∠ACE＝∠ECG＝22.5°，可得结论；
证法二：设∠F＝x，则∠AOC＝2∠F＝2x，根据平角的定义得：∠DAC+∠EAC+∠OAF＝180°，则3x+3x+2x＝180°，可得结论．
【解答】证明：（1）连接AC，
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴∠DCO＝∠D＝90°，
∴AD∥OC，
∴∠DAC＝∠ACO，
∵OC＝OA，
∴∠CAO＝∠ACO，
∴∠DAC＝∠CAO，
∵CE⊥AB，
∴∠CEA＝90°，
在△CDA和△CEA中，
∵，
∴△CDA≌△CEA（AAS），
∴CD＝CE；
（2）证法一：连接BC，
∵△CDA≌△CEA，
∴∠DCA＝∠ECA，
∵CE⊥AG，AE＝EG，
∴CA＝CG，
∴∠ECA＝∠ECG，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CE⊥AB，
∴∠ACE＝∠B，
∵∠B＝∠F，
∴∠F＝∠ACE＝∠DCA＝∠ECG，
∵∠D＝90°，
∴∠DCF+∠F＝90°，
∴∠F＝∠DCA＝∠ACE＝∠ECG＝22.5°，
∴∠AOC＝2∠F＝45°，
∴△CEO是等腰直角三角形；
证法二：设∠F＝x，则∠AOC＝2∠F＝2x，
∵AD∥OC，
∴∠OAF＝∠AOC＝2x，
∴∠CGA＝∠OAF+∠F＝3x，
∵CE⊥AG，AE＝EG，
∴CA＝CG，
∴∠EAC＝∠CGA，
∵CE⊥AG，AE＝EG，
∴CA＝CG，
∴∠EAC＝∠CGA，
∴∠DAC＝∠EAC＝∠CGA＝3x，
∵∠DAC+∠EAC+∠OAF＝180°，
∴3x+3x+2x＝180°，
x＝22.5°，
∴∠AOC＝2x＝45°，
∴△CEO是等腰直角三角形．

【点评】此题考查了切线的性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理、三角形内角和定理以及等腰三角形和等腰直角三角形的判定与性质等知识．此题难度适中，本题相等的角较多，注意各角之间的关系，注意掌握数形结合思想的应用．
九．圆的综合题（共1小题）
11．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是的中点，CD与AB交于点E．F是AB延长线上的一点，且CF＝EF．
（1）求证：CF为⊙O的切线；
（2）连接BD，取BD的中点G，连接AG．若CF＝4，BF＝2，求AG的长．


【分析】（1）如图，连接OC，OD．证明∠OCF＝90°即可；
（2）设OA＝OD＝OC＝OB＝r，则OF＝r+2，在Rt△COF中，42+r2＝（r+2）2，可得r＝3，证明GH∥DO，推出＝，可得BH＝BO＝，GH＝OD＝，由此即可解决问题．
【解答】（1）证明：如图，连接OC，OD.
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
∵FC＝FE，
∴∠FCE＝∠FEC，
∵∠OED＝∠FEC，
∴∠OED＝∠FCE，
∵AB是直径，D是的中点，
∴∠DOE＝90°，
∴∠OED+∠ODC＝90°，
∴∠FCE+∠OCD＝90°，即∠OCF＝90°，
∵OC是半径，
∴CF是⊙O的切线．

（2）解：过点G作GH⊥AB于点H．
设OA＝OD＝OC＝OB＝r，则OF＝r+2，
在Rt△COF中，42+r2＝（r+2）2，
∴r＝3，
∵GH⊥AB，
∴∠GHB＝90°，
∵∠DOE＝90°，
∴∠GHB＝∠DOE，
∴GH∥DO，
∴＝，
∵G为BD的中点，
∴BG＝BD，
∴BH＝BO＝，GH＝OD＝，
∴AH＝AB﹣BH＝6﹣＝，
∴AG＝＝＝．

【点评】本题属于圆综合题，考查了切线的判定，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．
一十．相似三角形的判定与性质（共1小题）
12．问题1：如图①，在△ABC中，AB＝4，D是AB上一点（不与A，B重合），DE∥BC，交AC于点E，连接CD．设△ABC的面积为S，△DEC的面积为S′．
（1）当AD＝3时，＝　　；
（2）设AD＝m，请你用含字母m的代数式表示．
问题2：如图②，在四边形ABCD中，AB＝4，AD∥BC，AD＝BC，E是AB上一点（不与A，B重合），EF∥BC，交CD于点F，连接CE．设AE＝n，四边形ABCD的面积为S，△EFC的面积为S′．请你利用问题1的解法或结论，用含字母n的代数式表示．

【分析】问题1：
（1）先根据平行线分线段成比例定理可得：，由同高三角形面积的比等于对应底边的比，则＝＝，根据相似三角形面积比等于相似比的平方得：＝＝，可得结论；
（2）解法一：同理根据（1）可得结论；
解法二：作高线DF、BH，根据三角形面积公式可得：＝，分别表示和的值，代入可得结论；
问题2：
解法一：如图2，作辅助线，构建△OBC，证明△OAD∽△OBC，得OB＝8，由问题1的解法可知：＝＝＝，根据相似三角形的性质得：＝，可得结论；
解法二：如图3，连接AC交EF于M，根据AD＝BC，可得＝，得：S△ADC＝S，S△ABC＝，由问题1的结论可知：＝，证明△CFM∽△CDA，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，根据面积和可得结论．
【解答】解：问题1：
（1）∵AB＝4，AD＝3，
∴BD＝4﹣3＝1，
∵DE∥BC，
∴，
∴＝＝，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝，
∴＝，即，
故答案为：；
（2）解法一：∵AB＝4，AD＝m，
∴BD＝4﹣m，
∵DE∥BC，
∴＝＝，
∴＝＝，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝，
∴＝＝＝，
即＝；
解法二：如图1，过点B作BH⊥AC于H，过D作DF⊥AC于F，则DF∥BH，
∴△ADF∽△ABH，
∴＝，
∴＝＝＝，
即＝；

问题2：如图2，
解法一：如图2，分别延长BA、CD交于点O，
∵AD∥BC，
∴△OAD∽△OBC，
∴，
∴OA＝AB＝4，
∴OB＝8，
∵AE＝n，
∴OE＝4+n，
∵EF∥BC，
由问题1的解法可知：＝＝＝，
∵＝＝，
∴＝，
∴＝＝＝，即＝；
解法二：如图3，连接AC交EF于M，
∵AD∥BC，且AD＝BC，
∴＝，
∴S△ADC＝，
∴S△ADC＝S，S△ABC＝，
由问题1的结论可知：＝，
∵MF∥AD，
∴△CFM∽△CDA，
∴＝＝＝，
∴S△CFM＝×S，
∴S△EFC＝S△EMC+S△CFM＝+×S＝，
∴＝．



【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定、平行线分线段成比例定理，熟练掌握相似三角形的性质：相似三角形面积比等于相似比的平方是关键，并运用了类比的思想解决问题，本题有难度．
一十一．相似形综合题（共1小题）
13．如图，在矩形ABCD中，线段EF、GH分别平行于AD、AB，它们相交于点P，点P1、P2分别在线段PF、PH上，PP1＝PG，PP2＝PE，连接P1H、P2F，P1H与P2F相交于点Q．已知AG：GD＝AE：EB＝1：2，设AG＝a，AE＝b．
（1）四边形EBHP的面积 　＝　四边形GPFD的面积（填“＞”、“＝”或“＜”）
（2）求证：△P1FQ∽△P2HQ；
（3）设四边形PP1QP2的面积为S1，四边形CFQH的面积为S2，求的值．

【分析】（1）分别用含a，b的代数式表示出四边形EBHP和四边形GPFD的面积作比较即可；
（2）由（1）得边的比例关系，先证△PP2F∽△PP1H得∠PFP2＝∠PHP1，得再根据对顶角相等即可得出△P1FQ∽△P2HQ；
（3）连接P1P2，FH，先证△P1PP2∽△CFH得出线段比例关系，从而得面积比例关系，再证△P1QP2∽△FQH，得出面积比例关系，最后根据面积关系得出值即可．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝90°，
∵GH∥AB，
∴∠B＝∠GHC＝90°，∠A＝∠PGD＝90°，
∵EF∥AD，
∴∠PGD＝∠HPF＝90°，
∴四边形PFCH为矩形，
同理可得，四边形AGPE、GDFP、EPHB均为矩形，
∵AG＝a，AE＝b，AG：GD＝AE：EB＝1：2，
∴PE＝a，PG＝b，GD＝PF＝2a，EB＝PH＝2b，
∴四边形EBHP的面积＝PE•PH＝2ab，四边形GPFD的面积＝PG•PF＝2ab，
故答案为：＝；
（2）∵PP1＝PG，PP2＝PE，
由（1）知PE•PH＝2ab，PG•PF＝2ab，
∴PP2•PH＝PP1•PF，
即＝，
又∵∠FPP2＝∠HPP1，
∴△PP2F∽△PP1H，
∴∠PFP2＝∠PHP1，
∵∠P1QF＝∠P2QH，
∴△P1FQ∽△P2HQ；
（3）连接P1P2、FH，
∵＝＝，＝＝，
∴＝，
∵∠P1PP2＝∠C＝90°，
∴△PP1P2∽△CFH，
∴＝＝，＝（）2＝，
由（2）中△P1FQ∽△P2HQ，得＝，
∴＝，
∵∠P1QP2＝∠FQH，
∴△P1QP2∽△FQH，
∴＝（）2＝，
∵S1＝+，S2＝S△CFH+S△FQH，
∴S1＝S△CFH+S△FQH＝S2，
∴＝．

【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
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