2.1.4方法探究：四　三角函数与平面向量

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四　三角函数与平面向量 【必 记 结 论】1.诱导公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－α－α＋α正弦sin α－sin α－sin αsin αcos αcos α余弦cos α－cos αcos α－cos αsin α－sin α正切tan αtan α－tan α－tan α  口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限 2．三种三角函数的性质函数y＝sin xy＝cos xy＝tan x图象单调性在(k∈Z)上单调递增；在(k∈Z)上单调递减在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上单调递增；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上单调递减　　　　在(k∈Z)上单调递增对称性对称中心：(kπ，0)(k∈Z)；对称轴；x＝＋kπ(k∈Z)　　　对称中心：(＋kπ，0)(k∈Z)；对称轴：x＝kπ(k∈Z)对称中心：(k∈Z) 3.三角函数图象的变换由函数y＝sin x的图象变换得到y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法4．两角和与差的正弦、余弦、正切公式sin (α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.cos (α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β.tan (α±β)＝.sin (α＋β)sin (α－β)＝sin2α－sin2β(平方正弦公式)．cos(α＋β)cos (α－β)＝cos2α－sin2β.5．二倍角、辅助角及半角公式(1)二倍角公式sin2α＝2sin αcos α.cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.tan2α＝.①1＋sin2α＝(sin α＋cos α)2.②1－sin 2α＝(sin α－cos α)2.(2)辅助角公式y＝a sin x＋b cos x＝(sin x cos φ＋cos x sin φ)＝sin (x＋φ)，其中角φ的终边所在象限由a，b的符号确定，角φ的值由tan φ＝(a≠0)确定．(3)半角公式sin ＝± cos ＝± tan ＝± ＝＝. 6．正、余弦定理及其变形定理正弦定理余弦定理内容＝＝＝2Ra2＝b2＋c2－2bc cos A；b2＝a2＋c2－2ac cos B；c2＝a2＋b2－2ab cos C变形(1)a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝；(3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；(4)a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin C＝c sin A；(5)＝＝2Rcos A＝；cos B＝；cos C＝ 7.平面向量数量积的坐标表示已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角．结论几何表示坐标表示模|a|＝|a|＝数量积a·b＝|a||b|cos θa·b＝x1x2＋y1y2夹角cos θ＝cos θ＝a⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)　　　　　　  【易 错 剖 析】易错点1　不清楚向量夹角范围【突破点】　数学试题中往往隐含着一些容易被考生所忽视的因素，能不能在解题时把这些因素考虑到，是解题成功的关键，如当a·b<0时，a与b的夹角不一定为钝角，要注意隐含的情况．易错点2　忽视正、余弦函数的有界性【突破点】　许多三角函数问题可以通过换元的方法转化为代数问题解决，在换元时注意正、余弦函数的有界性．易错点3　忽视三角函数值对角的范围的限制【突破点】　在解决三角函数中的求值问题时，不仅要看已知条件中角的范围，更重要的是注意挖掘隐含条件，根据三角函数值缩小角的范围．易错点4　图象变换方向或变换量把握不准确【突破点】　图象变换若先作周期变换，再作相位变换，应左(右)平移个单位．另外注意根据φ的符号判定平移的方向．  【易 错 快 攻】易错快攻一　忽视向量的夹角范围致误[典例1]　已知向量a，b均为非零向量，(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a，b的夹角为(　　)A．     B．C．     D．听课笔记：     易错快攻二　函数图象平移的方向把握不准[典例2]　将函数y＝sin (2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为(　　)A．     B．C．0     D．听课笔记：                             四　三角函数与平面向量[典例1]　解析：因为(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，所以所以即设a，b的夹角为α，则cos α＝＝，因为α∈[0，π]，所以α＝，即a，b的夹角为，故选C.答案：C[典例2]　解析：将函数y＝sin (2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位长度后，得到的图象对应的函数解析式为y＝sin ＝sin .              因为所得函数为偶函数，所以＋φ＝kπ＋(k∈Z)，即φ＝kπ＋(k∈Z)，则φ的一个可能取值为，故选B.答案：B