2.1.5方法探究：五　数列

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五　数列 【必 记 结 论】1.等差数列设Sn为等差数列{an}的前n项和，则(1)an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d，若p＋q＝m＋n，则ap＋aq＝am＋an.(2)Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…构成的数列是等差数列．(3)＝n＋是关于n的一次函数或常数函数，数列也是等差数列．(4)Sn＝＝＝＝….(5)若等差数列{an}的项数为偶数2m(m∈N*)，公差为d，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，则所有项之和S2m＝m(am＋am＋1)(am，am＋1为中间两项)，S偶－S奇＝md，＝.(6)若等差数列{an}的项数为奇数2m－1(m∈N*)，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，则所有项之和S2m－1＝(2m－1)am(am为中间项)，S奇＝mam，S偶＝(m－1)am，S奇－S偶＝am，＝.(7)若Sm＝n，Sn＝m(m≠n)，则Sm＋n＝－(m＋n)．2．等比数列(1)an＝am·qn－m，an＋m＝anqm＝amqn(m，n∈N*)．(2)若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq；反之，不一定成立(m，n，p，q∈N*)．(3){an}，{bn}成等比数列，则{λan}，，{anbn}，成等比数列(λ≠0，n∈N*)．(4)若等比数列的项数为2n(n∈N*)，公比为q，奇数项之和为S奇，偶数项之和为S偶，则＝q.(5)通项公式an＝a1qn－1＝·qn，从函数的角度来看，它可以看作是一个常数与一个关于n的指数函数的积，其图象是指数型函数图象上一系列孤立的点．(6)与等差中项不同，只有同号的两个数才能有等比中项；两个同号的数的等比中项有两个，它们互为相反数．(7)三个数成等比数列，通常设这三个数分别为，x，xq；四个数成等比数列，通常设这四个数分别为，xq，xq3.3．求数列通项公式的常用方法(1)已知Sn(a1＋a2＋…＋an＝Sn)，求an，用作差法：an＝(2)已知a1·a2·…·an＝f(n)，an≠0，求an，用作商法：an＝(3)已知an＋1－an＝f(n)，求an，用累加法：an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝f(n－1)＋f(n－2)＋…＋f(1)＋a1(n≥2)．(4)已知＝f(n)，求an，用累乘法：an＝··…··a1＝f(n－1)·f(n－2)·…·f(1)·a1(n≥2)．(5)构造等比数列法：若已知数列{an}中，an＋1＝pan＋q(p≠0，p≠1，q≠0)，a1≠，设存在非零常数λ，使得an＋1＋λ＝p(an＋λ)，其中λ＝，则数列就是以a1＋为首项，p为公比的等比数列，先求出数列的通项公式，再求出数列{an}的通项公式即可．4．数列求和的常用方法(1)公式法：①等差数列的求和公式；②等比数列的求和公式；③常用公式，即1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)，12＋22＋32＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)，1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2，n∈N*.(2)分组求和法：当直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中的“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和．(3)倒序相加法：在数列求和中，若和式中到首尾距离相等的两项的和有共性，则常考虑选用倒序相加法进行求和．(4)错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成的，那么常选用错位相减法将其和转化为“一个新的等比数列的和”，从而进行求解．(5)裂项相消法：如果数列的通项可分裂成“两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和．常用的裂项形式有①＝；②＝；③<＝，＝<<＝；④＝ [].  【易 错 剖 析】易错点1　不清楚an与Sn的关系【突破点】　已知数列{an}的前n项和Sn，求an时，利用an＝Sn—Sn－1，需注意分n＝1和n≥2两种情况讨论．易错点2　不清楚裂项和拆项的规律，导致多项或少项【突破点】　“裂项法”的特点：①分式的每个分子相同，分母都是两个(或三个)代数式相乘，若不具备就需要转化；②剩余项一般是前后对称．常见形式有：.易错点3　忽视对等比数列中公比的分类讨论【突破点】　在解决等比数列{an}的前n项和时，通常只想到Sn＝，把q＝1的情况不自觉地排除在外，这是对前n项和公式理解不透所致．解等比数列的问题，一定要注意对公比的分类讨论．  【易 错 快 攻】易错快攻一　忽视对n＝1的检验失分[典例1]　[2022·新高考Ⅰ卷]记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝1，{}是公差为的等差数列．(1)求{an}的通项公式；   (2)证明：＋…＋<2.听课笔记：                 易错快攻二　忽视公比q的取值[典例2]　已知数列{an}的前n项和Sn＝Aqn＋B(q≠0)，则“A＝－B”是“数列{an}是等比数列”的(　　)A．充分不必要条件     B．必要不充分条件C．充要条件       D．既不充分也不必要条件听课笔记：                       五　数列[典例1]　解析：(1)∵a1＝1，∴S1＝a1，∴＝1，又∵{}是公差为的等差数列，∴＝1＋(n－1)＝，∴Sn＝，∴当n≥2时，Sn－1＝，∴an＝Sn－Sn－1＝，整理得：(n－1)an＝(n＋1)an－1，即＝，∴an＝a1××…×＝1××…×＝，显然对于n＝1也成立，∴{an}的通项公式an＝；(2)证明：＝＝2()．∴＋…＋＝2[(1－)＋()＋…()]＝2(1－)＜2.[典例2]　解析：当A＝－B时，Sn＝Aqn－A，则an＝Aqn－1(q－1)，当q＝1或A＝0时，an＝0，此时数列{an}不是等比数列．若数列{an}是等比数列，当q＝1时，Sn＝na1，此时不具备Sn＝Aqn＋B(q≠0)的形式，故q≠1，则Sn＝＝·qn，此时A＝－，B＝，A＝－B.综上，“A＝－B”是“数列{an}是等比数列”的必要不充分条件．故选B.答案：B