2.1.8方法探究：八　概率与统计

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八　概率与统计 【必 记 结 论】1.统计中四个数据特征(1)众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据；(2)中位数：在样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据．如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数；(3)平均数：样本数据的算术平均数，即＝(x1＋x2＋…＋xn)；(4)方差与标准差方差：s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2].标准差：s＝ .2．排列数、组合数公式及其相关性质(1)排列数公式＝n(n－1)(n－2)·…·(n－m＋1)＝＝n！＝n(n－1)(n－2) ·…·2·1(n∈N*)．(2)组合数公式＝＝(m≤n，n，m∈N*).3．二项式定理(a＋b)n＝+b1+…+bk＋…＋bn(n∈N*).这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中各项的系数(k＝0，1，2，…，n)叫做二项式系数．式中的an－kbk叫做二项展开式的通项，用Tk＋1表示，即通项为展开式的第k＋1项：Tk＋1＝an－kbk(其中0≤k≤n，k∈N，n∈N*)．4．概率的计算公式(1)古典概型的概率公式P(A)＝；(2)互斥事件的概率计算公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；(3)对立事件的概率计算公式P()＝1－P(A)；(4)相互独立事件的概率：P(AB)＝P(A)P(B)(5)条件概率：P(B|A)＝＝(6)全概率：P(B)＝5．二项分布：Pn(k)＝pk(1－p)n－k；E(X)＝np；D(X)＝np(1－p)6．超几何分布：P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．E(X)＝7．正态分布(1)正态分布的定义及表示如果对于任何实数a，b(a＜b)，随机变量X满足P(a＜X≤b)＝(x)dx(即直线x＝a，直线x＝b，正态曲线及x轴围成的曲边梯形的面积)，则称随机变量X服从正态分布，记作X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2.(2)正态曲线的特点①曲线位于x轴上方，与x轴不相交．②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称．③曲线在x＝μ处达到峰值 .④曲线与x轴之间的面积为1.⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移．⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．  【易 错 剖 析】易错点1　对统计图表中的概念理解不清，识图不准确【突破点】　求解统计图表问题，重要的是认真观察图表，发现有用信息和数据．对于频率分布直方图，应注意图中的每一个小矩形的面积是落在该区间上的频率，所有小矩形的面积和为1，当小矩形等高时，说明频率相等，计算时不要漏掉其中一个．易错点2　对等可能事件认识不清致误【突破点】　解与等可能事件相关的题目解与等可能事件相关的题目时，由于对等可能性事件的基本事件构成理解不清，往往计算基本事件或多或少或所划分事件根本不等可能性，从而导致失误．易错点3　对抽样概念把握不准【突破点】　解决随机抽样问题时，造成失分原因是分层中不明确有几层，计算比例时找不准比例关系．在学习时应熟练掌握各种抽样方法的步骤，注意系统抽样中各段入样的个体编号成等差数列，公差即每段的个体数．  【易 错 快 攻】易错快攻　用频率分布直方图解题时误把纵轴当作频率[典例]　[2022·新高考Ⅱ卷]在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20，70)的概率；(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40，50)的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40，50)，求此人患这种疾病的概率．(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0 001)．                              八　概率与统计[典例]　解析：(1)平均年龄＝(5×0.001＋15×0.002＋25×0.012＋35×0.017＋45×0.023＋55×0.020＋65×0.017＋75×0.006＋85×0.002)×10＝47.9(岁)．(2)设A＝{一人患这种疾病的年龄在区间[20，70)}，所以P(A)＝1－P()＝1－(0.001＋0.002＋0.006＋0.002)×10＝1－0.11＝0.89.(3)设B＝{任选一人年龄位于区间[40，50)}，C＝{任选一人患这种疾病}，则由条件概率公式可得P(C|B)＝＝＝＝0.001 437 5≈0.001 4.