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考点09 一次函数-备战2020年中考数学考点一遍过
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这是一份考点09 一次函数-备战2020年中考数学考点一遍过，共47页。学案主要包含了正比例函数的概念，一次函数，一次函数的图象及性质，待定系数法，一次函数与方程，一次函数图象与图形面积，一次函数的实际应用等内容，欢迎下载使用。
考点09 一次函数
一、正比例函数的概念
一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做正比例系数．
二、一次函数
1.一次函数的定义
一般地，形如y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)的函数叫做x的一次函数.
特别地，当一次函数y=kx+b中的b=0时，y=kx（k是常数，k≠0）．这时， y叫做x的正比例函数．
2.一次函数的一般形式
一次函数的一般形式为y=kx+b，其中k，b为常数，k≠0．
一次函数的一般形式的结构特征：
（1）k≠0，（2）x的次数是1；（3）常数b可以为任意实数.
3.注意
（1）正比例函数是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数.
（2）一般情况下，一次函数的自变量的取值范围是全体实数.
（3）如果一个函数是一次函数，则含有自变量x的式子是一次的，系数k不等于0，而b可以为任意实数．
（4）判断一个函数是不是一次函数，就是判断它是否能化成y=kx+b（k≠0）的形式.
（5）一次函数的一般形式可以转化为含x、y的二元一次方程.
三、一次函数的图象及性质
1．正比例函数的图象特征与性质
正比例函数y=kx（k≠0）的图象是经过原点（0，0）的一条直线．
k的符号
函数图象
图象的位置
性质
k>0
图象经过第一、三象限
y随x的增大而增大
k <0
图象经过第二、四象限
y随x的增大而减小
2.一次函数的图象特征与性质
（1）一次函数的图象
一次函数的图象
一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是经过点(0，b)和(-，0)的一条直线
图象关系
一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数y=kx(k≠0)的图象平移得到；b>0，向上平移b个单位长度；b<0，向下平移|b|个单位长度
图象确定
因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线可知画一次函数图象时，只要取两点即可
（2）一次函数的性质
函数
字母取值
图象
经过的象限
函数性质
y=kx+b
(k≠0)
k>0，b>0
一、二、三
y随x的增大而增大
k>0，b<0
一、三、四
y=kx+b
(k≠0)
k<0，b>0
一、二、四
y随x的增大而减小
k<0，b<0
二、三、四
3.k，b的符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系
在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x=- ，即直线y=kx+b与x轴交于（–，0）．
①当–>0时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴．
②当–=0，即b=0时，直线经过原点．
③当–<0，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴．
4.两直线y=k1x+b1（k1≠0）与y=k2x+b2（k2≠0）的位置关系：
①当k1=k2，b1≠b2，两直线平行；
②当k1=k2，b1=b2，两直线重合；
③当k1≠k2，b1=b2，两直线交于y轴上一点；
④当k1·k2=–1时，两直线垂直．
四、待定系数法
1．定义：
先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而得出函数解析式的方法叫做待定系数法．
2．待定系数法求正比例函数解析式的一般步骤
（1）设含有待定系数的函数解析式为y=kx（k≠0）．
（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k的一元一次方程．
（3）解方程，求出待定系数k．
（4）将求得的待定系数k的值代入解析式．
3．待定系数法求一次函数解析式的一般步骤
（1）设出含有待定系数k、b的函数解析式y=kx+b．
（2）把两个已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k，b的二元一次方程组．
（3）解二元一次方程组，求出k，b．
（4）将求得的k，b的值代入解析式．
五、一次函数与正比例函数的区别与联系
正比例函数
一次函数
区别
一般形式
y=kx+b（k是常数，且k≠0）
y=kx+b（k，b是常数，且k≠0）
图象
经过原点的一条直线
一条直线
k，b符号的作用
k的符号决定其增减性，同时决定直线所经过的象限
k的符号决定其增减性；b的符号决定直线与y轴的交点位置；k，b的符号共同决定直线经过的象限
求解析式的条件
只需要一对x，y的对应值或一个点的坐标
需要两对x，y的对应值或两个点的坐标
联系
比例函数是特殊的一次函数．
②正比例函数图象与一次函数图象的画法一样，都是过两点画直线，但画一次函数的图象需取两个不同的点，而画正比例函数的图象只要取一个不同于原点的点即可．
③一次函数y=kx+b（k≠0）的图象可以看作是正比例函数y=kx（k≠0）的图象沿y轴向上（b>0）或向下（b<0）平移|b|个单位长度得到的．由此可知直线y=kx+b（k≠0，b≠0）与直线y=kx（k≠0）平行．
④一次函数与正比例函数有着共同的性质：
a．当k>0时，y的值随x值的增大而增大；b．当k<0时，y的值随x值的增大而减小．
六、一次函数与方程（组）、不等式
1．一次函数与一元一次方程
任何一个一元一次方程都可以转化为kx+b=0(k，b为常数，且k≠0)的形式．
从函数的角度来看，解这个方程就是寻求自变量为何值时函数值为0；从函数图象的角度考虑，解这个方程就是确定直线y=kx+b与x轴的交点的横坐标．
2．一次函数与一元一次不等式
任何一个一元一次不等式都能写成ax+b>0（或ax+b<0）（a，b为常数，且a≠0）的形式．
从函数的角度看，解一元一次不等式就是寻求使一次函数y=ax+b（a≠0）的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=ax+b（a≠0）在x轴上（或下）方部分的点的横坐标满足的条件．
3．一次函数与二元一次方程组
一般地，二元一次方程mx+ny=p（m，n，p是常数，且m≠0，n≠0）都能写成y=ax+b（a，b为常数，且a≠0）的形式．因此，一个二元一次方程对应一个一次函数，又因为一个一次函数对应一条直线，所以一个二元一次方程也对应一条直线．进一步可知，一个二元一次方程对应两个一次函数，因而也对应两条直线．
从数的角度看，解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是何值；从形的角度看，解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标，一般地，如果一个二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标．
七、一次函数图象与图形面积
解决这类问题的关键是根据一次函数解析式求出一次函数图象与坐标轴的交点的坐标，或两条直线的交点坐标，进而将点的坐标转化成三角形的边长，或者三角形的高．如果围成的三角形没有边在坐标轴上或者与坐标轴平行，可以采用“割”或“补”的方法．
八、一次函数的实际应用
1．主要题型：
（1）求相应的一次函数表达式；
（2）结合一次函数图象求相关量、求实际问题的最值等．
2．用一次函数解决实际问题的一般步骤为：
（1）设定实际问题中的自变量与因变量；
（2）通过列方程(组)与待定系数法求一次函数关系式；
（3）确定自变量的取值范围；
（4）利用函数性质解决问题；
（5）检验所求解是否符合实际意义；
（6）答．
3．方案最值问题：
对于求方案问题，通常涉及两个相关量，解题方法为根据题中所要满足的关系式，通过列不等式，求解出某一个事物的取值范围，再根据另一个事物所要满足的条件，即可确定出有多少种方案．
4．方法技巧
求最值的本质为求最优方案，解法有两种：
（1）可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较；
（2）直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较．
显然，第（2）种方法更简单快捷．
考向一 一次函数和正比例函数的定义
1．正比例函数是特殊的一次函数．
2．正比例函数解析式y=kx（k≠0）的结构特征：①k≠0；②x的次数是1．
典例1 若y=（m﹣2）x+（m2﹣4）是正比例函数，则m的取值是
A．2 B．﹣2 C．±2 D．任意实数
【答案】B
【解析】由正比例函数的定义可得：m2–4=0，且m–2≠0，解得，m=–2；故选B.
典例2 下列函数①y=﹣2x+1，②y=ax﹣b，③y=﹣，④y=x2+2中，是一次函数的有
A．①② B．① C．②③ D．①④
【答案】B
【解析】①y=﹣2x+1符合一次函数定义，故正确；
②y=ax﹣b中当a=0时，它不是一次函数，故错误；
③y=﹣属于反比例函数，故错误；
④y=x2+2属于二次函数，故错误；
综上所述，是一次函数的有1个．
故选B．
1．下列各点中，在函数y=–2x+5的图象上的是
A．（0，―5） B．（2，9） C．（–2，–9） D．（4，―3）
2．若正比例函数y=kx的图象经过点（1，2），则k=_______．
考向二 一次函数的图象及性质
1．通常画正比例函数y=kx（k≠0）的图象时只需取一点（1，k），然后过原点和这一点画直线．
2．当k>0时，函数y=kx（k≠0）的图象从左向右，呈上升趋势；当k<0时，函数y=kx（k≠0）的图象从左向右，呈下降趋势．
3．正比例函数y=kx中，|k|越大，直线y=kx越靠近y轴；|k|越小，直线y=kx越靠近x轴．
4．一次函数图象的位置和函数值y的增减性完全由b和比例系数k的符号决定．
典例3 一次函数y=–2x+b，b<0，则其大致图象正确的是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为k=–2，b<0，所以图象在第二、三、四象限，故选B．
典例4下列四个选项中，不符合直线y=3x–2的性质的选项是
A．经过第一、三、四象限 B．y随x的增大而增大
C．与x轴交于（–2，0） D．与y轴交于（0，–2）
【答案】C
【解析】根据一次函数的性质，通过判断k和b的符号来判断函数所过的象限及函数与x轴y轴的交点．在y=3x–2中，∵k=3＞0，∴y随x的增大而增大；
∵b=–2<0，∴函数与y轴相交于负半轴，
∴可知函数过第一、三、四象限；
∵当x=–2时，y=–8，所以与x轴交于（–2，0）错误，
∵当y=–2时，x=0，所以与y轴交于（0，–2）正确，
故选C．
【名师点睛】牢记一次函数的性质：k>0，y随x的增大而增大，函数图象从左到右上升；k<0，y随x的增大而减小，函数图象从左到右下降．
3．已知正比例函数y=x的图象如图所示，则一次函数y=mx+n图象大致是
A． B．
C． D．
4．在一次函数y=（2m+2）x+4中，y随x的增大而增大，那么m的值可以是
A．0 B．–1
C．–1.5 D．–2
考向三 用待定系数法确定一次函数的解析式
运用待定系数法求一次函数解析式的步骤可简单记为：一设，二代，三解，四回代．
典例5 已知一次函数y=kx+b，当x=3时，y=14，当x=–1时，y=–6.
（1）求k与b的值；
（2）当y与x相等时，求x的值.
【解析】（1）∵当x=3时，y=14，当x=–1时，y=–6，
∴，∴；
（2）∵，∴y=5x–1，
当y与x相等时，则x=5x–1，
∴x=.
【名师点睛】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
典例6 一次函数y=kx+b．当x=﹣3时，y=0；当x=0时，y=﹣4，求k与b的值．
【解析】将x=–3，y=0；x=0，y=–4分别代入一次函数解析式得：
，解得，
即k=–，b=–4．
【名师点睛】本题考查的是一次函数，熟练掌握待定系数法是解题的关键.
5．一个正比例函数的图象经过点（–2，4），它的表达式为
A．y=–2x B．y=2x
C．y=–x D．y=x
6．一次函数的图象经过点A（2，4）和B（﹣1，﹣5）两点．
（1）求出该一次函数的表达式；
（2）判断（﹣5，﹣4）是否在这个函数的图象上？
7．已知y–1与x+2成正比例，且x=–1时，y=3．
（1）求y与x之间的关系式；
（2）它的图象经过点（m–1，m+1），求m的值.
考向四 一次函数与一元一次方程
1．方程ax+b=k（a≠0）的解⇔函数y=ax+b（a≠0）中，y=k时x的值.
2．方程ax+b=k（a≠0）的解⇔函数y=ax+b（a≠0）的图象与直线y=k的交点的横坐标．
典例7 已知函数y=kx+b的部分函数值如表所示，则关于x的方程kx+b+3=0的解是
x
…
–2
–1
0
1
…
y
…
5
3
1
–1
…
A．x=2 B．x=3
C．x=–2 D．x=–3
【答案】A
【解析】∵当x=0时，y=1，当x=1，y=–1，
∴，解得：，
∴y=–2x+1，
当y=–3时，–2x+1=–3，
解得：x=2，
故关于x的方程kx+b+3=0的解是x=2，
故选A．
典例8 如图为y=kx+b的图象，则kx+b=0的解为x=
A．2 B．–2
C．0 D．–1
【答案】D
【解析】从图象上可知，一次函数y=kx+b与x轴交点的横坐标为–1，所以关于x的方程kx+b=0的解为x=–1．故选D．
【名师点睛】关于x的一元一次方程kx+b=0的解就是一次函数y=kx+b当函数值为0时x的值，据此可以直接得到答案．
8．已知直线y=mx+n（m，n为常数）经过点（0，–2）和（3，0），则关于x的方程mx+n=0的解为
A．x=0 B．x=1
C．x=–2 D．x=3
9．一次函数y=kx+b的图象如图所示，则关于x的方程kx+b=–1的解为
A．x=0 B．x=1 C．x= D．x=–2
考向五 一次函数与一元一次不等式
一次函数y=ax+b（a≠0）与一元一次不等式ax+b>0（或ax+b<0）的关系：
ax+b>0的解集⇔y=ax+b中，y>0时x的取值范围，即直线y=ax+b在x轴上方部分图象对应的x的取值范围；
ax+b<0的解集⇔y=ax+b中，y<0时x的取值范围，即直线y=ax+b在x轴下方部分图象对应的x的取值范围．
典例9 如图，一次函数y1=x＋b与一次函数y2=kx＋4的图象交于点P（1，3），则关于x的不等式x＋b>kx＋4的解集是
A．x>﹣2 B．x>0 C．x>1 D．x<1
【答案】C
【解析】当x>1时，x+b>kx+4，
即不等式x+b>kx+4的解集为x>1．
故选C．
典例10 如图，直线与分别交x轴于点，，则不等式的解集为
A． B． C． D．或
【答案】D
【解析】∵，∴①或②．
∵直线与分别交x轴于点，
观察图象可知①的解集为：，②的解集为：
∴不等式的解集为或.
故选D.
【名师点睛】本题主要考查一次函数和一元一次不等式，学会根据图形判断函数值的正负是关键.
10．如图，正比例函数y=2x的图象与一次函数y=kx+b的图象交于点A（m，2），一次函数的图象经过点B（−2，−1）.
（1）求一次函数的解析式；
（2）请直接写出不等式组−1
11．如图，函数与的图像交于．
（1）求出m、n的值；
（2）直接写出不等式的解集；
（3）求出△ABP的面积．
考向六 一次函数与二元一次方程（组）
1．二元一次方程kx-y+b=0（k≠0）的解与一次函数y=kx+b（k≠0）的图象上的点的坐标是一一对应的．
2．两个一次函数图象的交点坐标，就是相应二元一次方程组的解，体现了数形结合的思想方法．
典例11 如图，函数y=kx+b与y=mx+n的图象交于点P（1，2），那么关于x，y的方程组的解是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标，所以方程组的解是．故选A．
【名师定睛】方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
典例12 若方程组没有解，则一次函数y=2–x与y=–x的图象必定
A．重合 B．平行 C．相交 D．无法确定
【答案】B
【解析】∵方程组没有解，∴一次函数y=2–x与y=–x的图象没有交点，
∴一次函数y=2–x与y=–x的图象必定平行．故选B．
12．二元一次方程组的解为，则一次函数y=5–x与y=2x–1的交点坐标为
A．（2，3） B．（3，2） C．（–2，3） D．（2，–3）
13．如图，直线l1的函数解析式为y=2x–2，直线l1与x轴交于点D．直线l2：y=kx+b与x轴交于点A，且经过点B（3，1），如图所示．直线l1、l2交于点C（m，2）．
（1）求点D、点C的坐标；
（2）求直线l2的函数解析式；
（3）利用函数图象写出关于x、y的二元一次方程组的解．
考向七 一次函数的应用
一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图象为射线或线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数表达式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值．
典例13 一辆公交车从A站出发匀速开往B站．在行驶时间相同的前提下，如果车速是60千米/小时，就会超过B站0.2千米；如果车速是50千米/小时，就还需行驶0.8千米才能到达B站．
（1）求A站和B站相距多少千米？行驶时间是多少？如果要在行驶时间点恰好到达B站，行驶的速度是多少？
（2）图①是这辆公交车线路的收支差额y（票价总收入减去运营成本）与乘客数量的函数图象．目前这条线路亏损，为了扭亏，有关部门举行了提高票价的听证会．乘客代表认为：公交公司应节约能源，改善管理，降低运营成本，以此举实现扭亏．公交公司认为：运营成本难以下降，公司已尽力，提高票价才能扭亏．根据这两种意见，可以把图①分别改画成图②和图③．
（a）说明图①中点A和点B的实际意义；
（b）你认为图②和图③两个图象中，反映乘客意见的是__________，反映公交公司意见的是__________．
【解析】（1）设A站和B站相距x千米，行驶的时间是y小时，根据题意得：，
解之得：，
5.8÷0.1=58（千米/小时）；
答：A站和B站相距5.8千米，行驶时间是0.1小时，如果要在行驶时间点恰好到达B站，行驶的速度是58千米/小时．
（2）（a）A点表示公交公司的该条公交路线的运营成本为1万元；
B点表示当乘客量为1.5万人时，公交公司的该条公交路线收支恰好平衡；
（b）反映乘客意见的是图③；
反映公交公司意见的是图②；
故答案为：③，②．
典例14 某文化用品商店出售书包和文具盒，书包每个定价40元，文具盒每个定价10元，该店制定了两种优惠方案：方案一，买一个书包赠送一个文具盒；方案二：按总价的九折付款，购买时，顾客只能选用其中的一种方案．某学校为给学生发奖品，需购买5个书包，文具盒若干（不少于5个）．设文具盒个数为x（个），付款金额为y（元）．
（1）分别写出两种优惠方案中y与x之间的关系式；
方案一：y1=_________；方案二：y2=__________．
（2）若购买20个文具盒，通过计算比较以上两种方案中哪种更省钱？
（3）学校计划用540元钱购买这两种奖品，最多可以买到__________个文具盒（直接回答即可）．
【答案】（1）10x+150；9x+180；（2）详解见解析；（3）40.
【解析】（1）由题意，可得y1=40×5+10（x–5）=10x+150，y2=（40×5+10x）×0.9=9x+180．
故答案为：10x+150，9x+180；
（2）当x=20时，y1=10×20+150=350，y2=9×20+180=360，
因为350<360，所以可看出方案一省钱；
（3）如果10x+150≤540，那么x≤39，如果9x+180≤540，那么x≤40，所以学校计划用540元钱购买这两种奖品，最多可以买到40个文具盒．故答案为：40．
【名师点睛】（1）根据方案一，买一个书包赠送一个文具盒；方案二：按总价的九折付款，即可得出两种优惠方案中y与x之间的关系式；
（2）将x=20分别代入（1）中关系式，通过计算比较两种方案中哪种更省钱即可；
（3）根据购买时，顾客只能选用其中的一种方案，所以分别求出y≤540时两种方案中x的最大整数值，比较即可得到答案．
14．甲、乙两城市相距600千米，一辆货车和一辆客车均从甲城市出发匀速行驶至乙城市，已知货车出发1小时后客车再出发，先到终点的车辆原地休息，在汽车行驶过程中，设两车之间的距离为s（千米），客车出发的时间为t（小时），它们之间的关系如图所示．有如下结论：①货车的速度是60千米/小时；②离开出发地后，两车第一次相遇时，距离出发地150千米；③货车从出发地到终点共用时7小时；④客车到达终点时，两车相距180千米．其中正确的有
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
15．某县组织20辆汽车装运食品、药品、生活用品三种扶贫物资共100吨到某乡实施扶贫工作，按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种救灾物资且必须装满，根据表中提供的信息，解答下列问题：
物资种类
食品
药品
生活用品
每辆汽车运载量（吨）
6
5
4
每吨所需运费（元/吨）
120
160
100
（1）设装运食品的车辆数为x，装运药品的车辆数为y．求y与x的函数关系式；
（2）如果装运食品的车辆数不少于5辆，装运药品的车辆数不少于4辆，那么车辆的安排有几种方案？并写出每种安排方案；
（3）在（2）的条件下，若要求总运费最少，应如何安排车辆？并求出最少总运费．
1．下列函数①y=﹣2x+1，②y=ax﹣b，③y=﹣，④y=x2+2中，是一次函数的有
A．①② B．① C．②③ D．①④
2．直线y=2x－4与y=－x+2的公共点坐标为
A．（－2，0） B．（0，－2） C．（2，0） D．（0，2）
3．已知一次函数y=kx+b（k≠0）图象过点（0，2），且与两坐标轴围成的三角形面积为2，则一次函数的解析式为
A．y=x+2 B．y=﹣x+2
C．y=x+2或y=﹣x+2 D．y=–x+2或y=x–2
4．一次函数y=kx+b的图象如图所示，当y>3时，x的取值范围是
A． B． C． D．
5．如图，一次函数图象经过点A，且与正比例函数y=–x的图象交于点B，则该一次函数的表达式为
A．y=–x+2 B．y=x+2 C．y=x–2 D．y=–x–2
6．点P1（x1，y1），P2（x2，y2）是一次函数y=﹣3x+4图象上的两个点，且x1
7．如图所示的计算程序中，y与x之间的函数关系所对应的图象应为
A． B．
C． D．
8．两个一次函数，，它们在同一坐标系中的图象可能是图中的
A． B．
C． D．
9．如图，已知一次函数y=kx+b的图象与x轴，y轴分别交于点（2，0），点（0，3）．有下列结论：①关于x的方程kx+b=0的解为x=2；②关于x的方程kx+b=3的解为x=0；③当x>2时，y<0；④当x<0时，y<3．其中正确的是
A．①②③ B．①③④
C．②③④ D．①②④
10．端午节，在大明湖举行第七届全民健身运动会龙舟比赛中，甲、乙两队在500米的赛道上，所划行的路程y（m）与时间x（min）之间的函数关系如图所示，下列说法，其中正确的有
①乙队比甲队提前0.25min到达终点；
②0.5min后，乙队比甲队每分钟快40m；
③当乙队划行110m时，此时落后甲队15m；
④自1.5min开始，甲队若要与乙队同时到达终点，甲队的速度需要提高到260m/min．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
11．观察图象，可以得出不等式组的解集是
A．x<4 B．x<–1
C．–1
①AF是∠BAO的平分线；②∠BAO=60°；③点F在线段AB的垂直平分线上；④S△AOF∶S△ABF=1∶2．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
13．若y=(m–2)x+(m2–4)是正比例函数，则m的取值为__________．
14．已知点A（），B（）是一次函数图象上的两点，当时，__________．（填“>”“=”或“<”）
15．关于的一元一次不等式组有解，则直线不经过第__________象限．
16．已知一次函数y=4x+3m与y=7x–9的图象经过y轴上同一点，则m=__________．
17．赛龙舟是端午节的主要习俗，某市甲乙两支龙舟队在端午节期间进行划龙舟比赛，从起点A驶向终点B，在整个行程中，龙舟离开起点的距离y（米）与时间x（分钟）的对应关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1）起点A与终点B之间相距多远？
（2）哪支龙舟队先出发？哪支龙舟队先到达终点？
（3）分别求甲、乙两支龙舟队的y与x函数关系式；
（4）甲龙舟队出发多长时间时两支龙舟队相距200米？
18．如图，直线y=﹣2x+7与x轴、y轴分别相交于点C、B，与直线y=x相交于点A．
（1）求A点坐标；
（2）求△OAC的面积；
（3）如果在y轴上存在一点P，使△OAP是以OA为底边的等腰三角形，求P点坐标；
（4）在直线y=﹣2x+7上是否存在点Q，使△OAQ的面积等于6？若存在，请求出Q点的坐标，若不存在，请说明理由．
19．已知一次函数(k≠0)，回答下列问题：
（1）若一次函数的图象过原点，求k的值；
（2）无论k取何值，该函数的图象总经过一个定点，请你求出这个定点的坐标．
20．为建设秀美家乡，某学校组织师生参加一年一度的植树绿化工作，准备租用7辆客车，现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表，设租用甲种客车x辆，租车总费用为y元，
甲种客车
乙种客车
载客量/(人/辆)
60
40
租金/(元/辆)
360
300
（1）求出y（单位：元）与x（单位：辆）之间的函数关系式．
（2）若该校共有350名师生前往参加劳动，共有多少种租车方案？
（3）带队老师从学校预支租车费用2400元，试问预支的租车费用是否能有结余？若有结余，最多可结余多少元？
1．（2019•扬州）若点P在一次函数的图象上，则点P一定不在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2019•绍兴）若三点，，在同一直线上，则的值等于
A．-1 B．0 C．3 D．4
3．（2019•苏州）若一次函数（为常数，且）的图象经过点，，则不等式的解为
A． B． C． D．
4．（2019•临沂）下列关于一次函数的说法，错误的是
A．图象经过第一、二、四象限 B．随的增大而减小
C．图象与轴交于点 D．当时，
5．（2019•梧州）直线y=3x+1向下平移2个单位，所得直线的解析式是
A．y=3x+3 B．y=3x-2 C．y=3x+2 D．y=3x-1
6．（2019•杭州）已知一次函数和，函数和的图象可能是
A． B． C． D．
7．（2019•邵阳）一次函数y1=k1x+b1的图象l1如图所示，将直线l1向下平移若干个单位后得直线l2，l2的函数表达式为y2=k2x+b2．下列说法中错误的是
A．k1=k2 B．b1
8．（2019•聊城）某快递公司每天上午9：00-10：00为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数图象如图所示，那么当两仓库快递件数相同时，此刻的时间为
A．9：15 B．9：20 C．9：25 D．9：30
9．（2019•天津）直线与轴交点坐标为__________．
10．（2019•无锡）已知一次函数y=kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式3kx-b>0的解集为__________．
11．（2019•烟台）如图，直线y=x+2与直线y=ax+c相交于点P（m，3），则关于x的不等式x+2≤ax+c的解为__________．
12．（2019•潍坊）当直线经过第二、三、四象限时，则的取值范围是__________．
13．（2019•郴州）某商店今年6月初销售纯净水的数量如下表所示：
日期
1
2
3
4
数量（瓶）
120
125
130
135
观察此表，利用所学函数知识预测今年6月7日该商店销售纯净水的数量约为__________瓶．
14．（2019•鄂州）在平面直角坐标系中，点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离公式为：d=，则点P（3，-3）到直线的距离为__________．
15．（2019•杭州）某函数满足当自变量时，函数值；当自变量时，函数值，写出一个满足条件的函数表达式__________．
16．（2019•南京）已知一次函数（k为常数，k≠0）和．
（1）当k=﹣2时，若>，求x的取值范围；
（2）当x<1时，>．结合图象，直接写出k的取值范围．
17．（2019•乐山）如图，已知过点B（1，0）的直线l1与直线l2：y=2x+4相交于点P（-1，a）．
（1）求直线l1的解析式；
（2）求四边形PAOC的面积．
18．（2019•天门）某农贸公司销售一批玉米种子，若一次购买不超过5千克，则种子价格为20元/千克，若一次购买超过5千克，则超过5千克部分的种子价格打8折．设一次购买量为x千克，付款金额为y元．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）某农户一次购买玉米种子30千克，需付款多少元？
19．（2019•常德）某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入园次数为x时所需费用为y元，选择这两种卡消费时，y与x的函数关系如图所示，解答下列问题：
（1）分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数表达式；
（2）请根据入园次数确定选择哪种卡消费比较合算．
20．（2019•山西）某游泳馆推出了两种收费方式．
方式一：顾客先购买会员卡，每张会员卡200元，仅限本人一年内使用，凭卡游泳，每次游泳再付费30元．
方式二：顾客不购买会员卡，每次游泳付费40元．
设小亮在一年内来此游泳馆的次数为x次，选择方式一的总费用为y1（元），选择方式二的总费用为y2（元）．
（1）请分别写出y1，y2与x之间的函数表达式．
（2）小亮一年内在此游泳馆游泳的次数x在什么范围时，选择方式一比方式二省钱．
21．（2019•天津）甲、乙两个批发店销售同一种苹果．在甲批发店，不论一次购买数量是多少，价格均为6元/kg．在乙批发店，一次购买数量不超过元50 kg时，价格为7元/kg；一次购买数量超过50kg时，其中有50kg的价格仍为7元/kg，超出50 kg部分的价格为5元/kg．设小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为．
（1）根据题意填表：
一次购买数量/kg
30
50
150
…
甲批发店花费/元
300
…
乙批发店花费/元
350
…
（2）设在甲批发店花费元，在乙批发店花费元，分别求，关于的函数解析式；
（3）根据题意填空：
①若小王在甲批发店和在乙批发店一次购买苹果的数量相同，且花费相同，则他在同一个批发店一次购买苹果的数量为__________kg；
②若小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为120 kg，则他在甲、乙两个批发店中的__________批发店购买花费少；
③若小王在同一个批发店一次购买苹果花费了360元，则他在甲、乙两个批发店中的__________批发店购买数量多．
22．（2019•湖州）某校的甲、乙两位老师同住一小区，该小区与学校相距2400米.甲从小区步行去学校，出发10分钟后乙再出发，乙从小区先骑公共自行车，途经学校义骑行若干米到达还车点后，立即步行走回学校.已知甲步行的速度比乙步行的速度每分钟快5米.设甲步行的时间为（分），图1中线段和折线分别表示甲、乙离开小区的路程（米）与甲步行时间（分）的函数关系的图象；图2表示甲、乙两人之间的距离（米）与甲步行时间（分）的函数关系的图象（不完整）.根据图1和图2中所给信息，解答下列问题：
（1）求甲步行的速度和乙出发时甲离开小区的路程；
（2）求乙骑自行车的速度和乙到达还车点时甲、乙两人之间的距离；
（3）在图2中，画出当时关于的函数的大致图象．（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）
变式拓展
1．【答案】D
【解析】∵一次函数y=–2x+5图象上的点都在函数图象上，
∴函数图象上的点都满足函数的解析式y=–2x+5；
A、当x=0时，y=5≠–5，即点（0，–5）不在该函数图象上；故本选项错误；
B、当x=2时，y=1≠9，即点（2，9）不在该函数图象上；故本选项错误；
C、当x=–2时，y=9≠–9，即点（–2，–9）不在该函数图象上；故本选项错误；
D、当x=4时，y=–3，即点（4，–3）在该函数图象上；故本选项正确；
故选D．
【名师点睛】此题考查一次函数图象上点的坐标特征．解题关键在于掌握在这条直线上的各点的坐标一定适合这条直线的解析式．
2．【答案】2
【解析】∵正比例函数y=kx的图象经过点（1，2），
∴2=k×1，即k=2．
故答案为：2．
【名师点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是得出2=k×1．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标利用一次函数图象上点的坐标特征求出一次函数的系数是关键．
3．【答案】C
【解析】利用正比例函数的性质得出＞0，根据m、n同正，同负进行判断．
由正比例函数图象可得：＞0，
mn同正时，y=mx+n经过第一、二、三象限；
mn同负时，经过第二、三、四象限，
故选C．
4．【答案】A
【解析】∵y随x的增大而增大，∴2m+2>0，∴m>–1．故选A．
5．【答案】A
【解析】设该正比例函数的解析式为y=kx（k≠0），
∵正比例函数的图象经过点（–2，4），
∴4=–2k，解得k=–2，
∴这个正比例函数的表达式是y=–2x．
故选A．
6．【解析】（1）设一次函数的解析式为，
∵一次函数的图象经过点A（2，4）和B（–1，–5）两点．
∴，∴
∴一次函数的表达式为，
（2）由（1）知，一次函数的表达式为y=3x–2，
将x=–5代入此函数表达式中得，，
∴（–5，–4）不在这个函数的图象上；
【名师点睛】此题主要考查了待定系数法，一次函数图形上点的特点，求出直线表达式是解本题的关键．
7．【解析】（1）∵y－1与x+2成正比例，∴设y－1=k（x+2），∵x=–1时，y=3，∴3－1=k（－1+2），解得：k=2，∴y与x的关系式为：y=2x+5；
（4）把点（m–1，m+1）代入y=2x+5中，得m+1=2（m–1）+5，解得：m=﹣2．
点睛：本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
8．【答案】D
【解析】直线y=mx+n与x轴的交点横坐标的值即为方程mx+n=0的解．
∵直线y=mx+n（m，n为常数）经过点（3，0），
∴当y=0时，x=3，
∴关于x的方程mx+n=0的解为x=3．
故选D．
9．【答案】C
【解析】∵一次函数y=kx+b的图象过点（，–1），∴关于x的方程kx+b=–1的解是x=．故选C．
10．【解析】（1）∵点A（m，2）在正比例函数y=2x的图象上，
∴2=2m，解得：m=1，
∴点A的坐标为（1，2）
将A（1，2）、B（−2，−1）代入y=kx+b，
解得：k=b=1
∴一次函数的解析式为y=x+1
（2））∵在y=x+1中，1>0，
∴y值随x值的增大而增大，
∴不等式–1–2．
观察函数图象可知，当x>1时，一次函数y=x+1的图象在正比例函数y=2x的图象的下方，
∴不等式组–11．
【名师点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、一次函数与一元一次不等式以及一次函数的性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出一次函数的解析式；（2）根据一次函数的性质结合两函数图象的上下位置关系，找出不等式组–1
解得：n，∴P（，﹣2）．
∵yx+m的图象过P（，﹣2），∴﹣2m，
解得：m；
（2）不等式x+m>﹣2x+3的解集为x；
（3）∵当y=﹣2x+3中，x=0时，y=3，∴A（0，3）．
∵yx中，x=0时，y，∴B（0，），∴AB=3；∴△ABP的面积：AB．
【名师点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特点，以及一次函数与不等式，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式．
12．【答案】A
【解析】∵二元一次方程组的解为，∴一次函数y=5–x与y=2x–1的交点坐标为（2，3），故选A．
13．【解析】（1）∵点D为直线l1：y=2x–2与x轴的交点，
∴y=0，0=2x–2，解得x=1，
∴D（1，0）；
∵点C在直线l1：y=2x–2上，
∴2=2m–2，解得m=2，
∴点C的坐标为（2，2）；
（2）∵点C（2，2）、B（3，1）在直线l2上，
∴，解得，
∴直线l2的解析式为y=–x+4；
（3）由图可知二元一次方程组的解为．
【名师点睛】一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
14．【答案】C
【解析】由函数图象，得：货车的速度为60÷1=60（千米/小时），客车的速度为600÷6=100（千米/小时），故①正确；设客车离开起点x小时后，甲、乙两车第一次相遇，根据题意得：100x=60+60x，解得：x=1.5，∴离开起点后，两车第一次相遇时，距离起点为：1.5×100=150（千米），故②正确；货车从起点到终点共用时为：600÷60=10（小时），故③错误；∵客车到达终点时，所用时间为6小时，货车先出发1小时，∴此时货车行走的时间为7小时，∴货车走的路程为：7×60=420（千米），∴客车到达终点时，两车相距：600-420=180（千米），故④正确．故选C．
15．【解析】（1）由题意可得，6x+5y+4（20-x-y）=100，
化简，得y=20-2x，
即y与x的函数关系式是y=-2x+20；
（2）由题意可得，，解得5≤x≤8，即车辆的安排有四种方案，
方案一：运食品的5辆车，装运药品的10辆车，装运生活用品的5辆车；
方案二：运食品的6辆车，装运药品的8辆车，装运生活用品的6辆车；
方案三：运食品的7辆车，装运药品的6辆车，装运生活用品的7辆车；
方案四：运食品的8辆车，装运药品的4辆车，装运生活用品的8辆车；
（3）由题意可得，
w=120×6x+160×5y+100×4（20-x-y）=-480x+16000，
∵5≤x≤8，∴当x=8时，w最小，此时w=-480×8+16000=12160（元），
即在（2）的条件下，若要求总运费最少，应安排运食品的8辆车，装运药品的4辆车，装运生活用品的8辆车，最少总运费是12160元．
考点冲关
1．【答案】B
【解析】①y=﹣2x+1符合一次函数定义，故正确；
②y=ax﹣b中当a=0时，它不是一次函数，故错误；
③y=﹣属于反比例函数，故错误；
④y=x2+2属于二次函数，故错误；
综上所述，是一次函数的有1个．
故选B．
【名师点睛】本题主要考查了一次函数的定义，把形如y=kx+b，其中k、b为常数，k≠0，这样的函数叫做一次函数．
2．【答案】C
【解析】联立直线方程，解得，故公共点的坐标为（2，0），答案选C.
【名师点睛】本题考查两直线相交，求公共点的问题.难点在于联立两直线方程的解析式，求出未知数的解，则则点（x，y）即为公共点坐标.
3．【答案】C
【解析】∵一次函数y=kx+b（k≠0）图象过点（0，2），∴b=2，令y=0，则x=–，
∵函数图象与两坐标轴围成的三角形面积为2，
∴×2×|–|=2，即||=2，解得：k=±1，
则函数的解析式是y=x+2或y=–x+2．
故选C．
4．【答案】A
【解析】∵由函数图象可知，当x<0时函数图象在3的上方，∴当y>3时，x<0．
故选A．
【名师点睛】本题考查的是一次函数的图象，能利用数形结合求出x的取值范围是解答此题的关键．
5．【答案】B
【解析】设一次函数的解析式y=kx+b（k≠0），
∵一次函数图象经过点A，且与正比例函数y=–x的图象交于点B，
∴在直线y=–x中，令x=–1，解得：y=1，则B的坐标是（–1，1）．
把A（0，2），B（–1，1）的坐标代入一次函数的解析式y=kx+b
得：，解得，
该一次函数的表达式为y=x+2．故选B．
6．【答案】A
【解析】在一次函数数y=﹣3x+4中，﹣3<0，y随x的增大而减小，
因为x1y2．故选A．
【名师点睛】本题考查了一次函数的性质，在一次函数y=kx+b中，当k<0时，y随x的增大而减小．
7．【答案】D
【解析】根据程序框图可得y=–x×（–3）–6=3x–6，化简，得y=3x–6，
y=3x–6的图象与y轴的交点为（0，–6），与x轴的交点为（2，0）．
故选D．
【名师点睛】此题考查一次函数图象，列出函数关系式，解题的关键是首先根据框图写出正确的解析式．
8．【答案】B
【解析】A、如果过第一、二、四象限的图象是y1，由y1的图象可知，m<0，n>0；由y2的图象可知，n>0，m>0，两结论相矛盾，故错误；
B、如果过第一、二、四象限的图象是y1，由y1的图象可知，m<0，n>0；由y2的图象可知，n>0，m<0，两结论不矛盾，故正确；
C、如果过第一、二、四象限的图象是y1，由y1的图象可知，m<0，n>0；由y2的图象可知，n>0，m>0，两结论相矛盾，故错误；
D、如果过第二、三、四象限的图象是y1，由y1的图象可知，m<0，n<0；由y2的图象可知，n<0，m>0，两结论相矛盾，故错误．
故选B．
【名师点睛】此题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．一次函数y=kx+b的图象有四种情况：
①当k>0，b>0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限；
②当k>0，b<0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限；
③当k<0，b>0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限；
④当k<0，b<0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限．
9．【答案】A
【解析】由图象得：①关于x的方程kx+b=0的解为x=2，正确；
②关于x的方程kx+b=3的解为x=0，正确；
③当x>2时，y<0，正确；
④当x<0时，y>3，错误；
故选：A．
【点睛】考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系，利用数形结合是求解的关键．
10．【答案】C
【解析】①由横坐标看出乙队比甲队提前0.25min到达终点，此结论正确；
②乙AB段的解析式为y=240x–40，乙的速度是240m/min；甲的解析式为y=200x，甲的速度是200m/min，0.5min后，乙队比甲队每分钟快40m，此结论正确；
③乙AB段的解析式为y=240x–40，当y=110时，甲的解析式为y=200x，当时，y=125，当乙队划行110m时，此时落后甲队15m，此结论正确；
④甲的解析式为y=200x，当x=1.5时，y=300，甲乙同时到达（500–300）÷（2.25–1.5）≈267m/min，此结论错误；
故选C．
【点睛】此题主要考查了函数图象的性质，读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义，理解问题叙述的过程，能够通过图象得到函数值随自变量的变化情况．
11．【答案】B
【解析】∵直线y=ax+b交x轴于点(4，0)，∴ax+b>0的解集为：x<4，∵直线y=cx+d交x轴于点(−1，0)，∴cx+d<0的解集为：x<−1，∴不等式组的解集是：x<−1．故选B．
12．【答案】D
【解析】由题意可知AF是∠BAO的平分线，故①正确；∵一次函数y=3x+1，∴k=3，∴∠BAO=60°，故②正确；∵∠BAO=60°，∴∠ABO=30°，∵AF是∠BAO的平分线，∴∠BAF=30°，∴∠BAF=∠ABO，∴AF=BF，∴点F在AB的垂直平分线上，故③正确；∵∠OAF=30°，∴AF=2OF．∵AF=BF，∴BF=2OF，∴S△AOF∶S△ABF=1∶2，故④正确．故选D．
13．【答案】–2
【解析】根据题意得：；解得：m=–2．故答案为：–2．
14．【答案】<
【解析】∵一次函数y=–2x+5中k=–2<0，∴该一次函数y随x的增大而减小，∵x1>x2，∴y1
15．【答案】三
【解析】将不等式组中各个不等式的解集在数轴上表示出来：
（1）当3b–2
（3）当3b–2>b+2时，如示意图中的③，上述不等式组有解，符合题意．
因此，根据题目条件，b的取值应该满足：3b–2>b+2，解这个不等式，得b>2，
对照一次函数的一般形式y=kx+b(k≠0)，在直线y=–x+b中，k=–1<0，b>2>0可知，
直线y=–x+b应该经过第一、二、四象限，即不经过第三象限．故答案为：三．
16．【答案】–3
【解析】∵y=7x−9的图象与y轴的交点为(0，−9)，又点(0，−9)也在直线y=4x+3m上，
∴−9=3m，解得m=−3． 故答案为：−3．
17．【解析】（1）由图可得，起点A与终点B之间相距3000米；
（2）由图可得，甲龙舟队先出发，乙龙舟队先到达终点；
（3）设甲龙舟队的y与x函数关系式为y=kx，把（25，3000）代入，可得3000=25k，解得k=120，∴甲龙舟队的y与x函数关系式为y=120x（0≤x≤25），设乙龙舟队的y与x函数关系式为y=ax+b，把（5，0），（20，3000）代入，可得：，解得：，∴乙龙舟队的y与x函数关系式为y=200x﹣1000（5≤x≤20）；
（4）令120x=200x﹣1000，可得x=12.5，即当x=12.5时，两龙舟队相遇，当x<5时，令120x=200，则x=（符合题意）；
当5≤x<12.5时，令120x﹣（200x﹣1000）=200，则x=10（符合题意）；
当12.5
【名师点睛】本题主要考查了一次函数的应用，解决问题的关键是掌握待定系数法求函数解析式的方法，解题时注意数形结合思想以及分类思想的运用．
18．【解析】（1）解方程组:得：，
A点坐标是（2，3）；
（2）C点位直线y=﹣2x+7与x轴交点，可得C点坐标为（，0），
==．
（3）设P点坐标是（0，y），
△OAP是以OA为底边的等腰三角形，
OP=PA，，解得y=，
P点坐标是（0，），
故答案为（0，）；
（4）存在；
由直线y=–2x+7可知B（0，7），C（，0），
==<6，
==7>6，
Q点有两个位置:Q在线段AB上和AC的延长线上，设点Q的坐标是（x，y），
当Q点在线段AB上:作QD⊥y轴于点D，如图1，
则QD=x，=–=7–6=1，
OBQD=1，即:7x=1，
x=，
把x=代入y=–2x+7，得y=，
Q的坐标是（，），
当Q点在AC的延长线上时，作QD⊥x轴于点D，如图2
则QD=–y，
=–=6–=
OCQD=，即:，
y=–，
把y=–代入y=–2x+7，解得x=
Q的坐标是（，–），
综上所述:点Q是坐标是（，）或（，–）.
【名师点睛】本题是一次函数的综合题，考查了交点的求法，勾股定理的应用，三角形面积的求法等，分类讨论思想的运用是解题的关键.
19．【解析】（1）一次函数 图象过原点，
∴–2k+1=0，解得k=．
（2）∵ =k(x–2)+1，∴（x–2）k=y–1．
∵无论k取何值，该函数图象总经过一个定点，即k有无数个解，
∴x–2=0，y–1=0，
解得x=2，y=1，∴这个定点的坐标为（2，1）．
20．【解析】（1）根据题意，得y=360x+300(7–x)，整理得y=60x+2100；
（2）根据题意得60x+40(7–x)≥350，解得：x≥3.5．
∵0≤x≤7，且x为整数，∴4≤x≤7且x为整数，
所以x的值可以为4，5，6，7，
所以共有4种方案；
（3）最少费用方案是：甲车4辆，乙车3辆，
此时租车费用为y=60x+2100=2340（元），最多结余2400–2340=60（元）．
直通中考
1．【答案】C
【解析】一次函数y=-x+4中k=-1<0，b>0，所以一次函数y=-x+4的图象经过一、二、四象限，又点P在一次函数y=-x+4的图象上，所以点P一定不在第三象限，故选C．
2．【答案】C
【解析】设经过（1，4），（2，7）两点的直线解析式为y=kx+b，∴∴，∴y=3x+1，
将点（a，10）代入解析式，则a=3，故选C．
3．【答案】D
【解析】如下图图象，易得时，，故选D．
4．【答案】D
【解析】∵，∴图象经过第一、二、四象限，A正确；
∵，∴随的增大而减小，B正确；
令时，，∴图象与轴的交点为，∴C正确；
令时，，当时，，D不正确，故选D．
5．【答案】D
【解析】直线y=3x+1向下平移2个单位，所得直线的解析式是：y=3x+1-2=3x-1．故选D．
6．【答案】A
【解析】①当，、的图象都经过一、二、三象限；
②当，、的图象都经过二、三、四象限；
③当，的图象都经过一、三、四象限，的图象都经过一、二、四象限；
④当，的图象都经过一、二、四象限，的图象都经过一、三、四象限，满足题意的只有A．故选A．
7．【答案】B
【解析】∵将直线l1向下平移若干个单位后得直线l2，∴直线l1∥直线l2，∴k1=k2，
∵直线l1向下平移若干个单位后得直线l2，∴b1>b2，∴当x=5时，y1>y2，故选B．
8．【答案】B
【解析】设甲仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数关系式为：y1=k1x+40，根据题意得60k1+40=400，解得k1=6，∴y1=6x+40；
设乙仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数关系式为：y2=k2x+240，根据题意得60k2+240=0，解得k2=-4，∴y2=-4x+240，
联立，解得，
∴此刻的时间为9：20．故选B．
9．【答案】
【解析】∵当y=0时，2x-1=0，∴x=，∴直线与轴交点坐标为：，故答案为：．
10．【答案】x<2
【解析】由题意知y=kx+b过点（-6，0），y随着x的增大而减小，所以-6k+b=0，k<0，所以b=6k，
解关于x的不等式3kx-b>0，则有3kx-6k>0，解得：x<2，故答案为：x<2．
11．【答案】x<1
【解析】点P（m，3）代入y=x+2，∴m=1，∴P（1，3），结合图象可知x+2≤ax+c的解为x<1，
故答案为：x<1．
12．【答案】
【解析】经过第二、三、四象限，∴，，∴，，
∴，故答案为：．
13．【答案】150
【解析】这是一个一次函数模型，设y=kx+b，则有，解得，
∴y=5x+115，当x=7时，y=150，
∴预测今年6月7日该商店销售纯净水的数量约为150瓶，故答案为：150．
14．【答案】
【解析】∵，∴2x+3y-5=0，
∴点P（3，-3）到直线的距离为：，故答案为：．
15．【答案】或或等.
【解析】符合题意的函数解析式可以是或或等，（本题答案不唯一），故答案为：如或或等．
16．【解析】（1）当时，，
根据题意，得，解得．
（2）当x=1时，y=x−3=−2，
把（1，−2）代入y1=kx+2得k+2=−2，解得k=−4，
当−4≤k<0时，y1>y2；
当0y2．
∴k的取值范围是：且．
17．【解析】（1）∵点P（-1，a）在直线l2：y=2x+4上，
∴2×（-1）+4=a，即a=2，
则P的坐标为（-1，2），
设直线l1的解析式为：y=kx+b（k≠0），
那么，
解得．
∴l1的解析式为：y=-x+1．
（2）∵直线l1与y轴相交于点C，
∴C的坐标为（0，1），
又∵直线l2与x轴相交于点A，
∴A点的坐标为（-2，0），则AB=3，
而S四边形PAOC=S△PAB-S△BOC，
∴S四边形PAOC=．
18．【解析】（1）根据题意，得①当0≤x≤5时，y=20x；
②当x>5，y=20×0.8（x-5）+20×5=16x+20．
（2）把x=30代入y=16x+20，
∴y=16×30+20=500；
∴一次购买玉米种子30千克，需付款500元．
19．【解析】（1）设y甲=k1x，根据题意得5k1=100，解得k1=20，∴y甲=20x；
设y乙=k2x+100，根据题意得：20k2+100=300，解得k2=10，∴y乙=10x+100．
（2）①y甲
③y甲>y乙，即20x>10x+100，解得x>10，当入园次数大于10次时，选择乙消费卡比较合算．
20．【解析】（1）当游泳次数为x时，方式一费用为：y1=30x+200，方式二的费用为：y2=40x．
（2）由y1
当x>20时，选择方式一比方式二省钱．
21．【解析】（1）当x=30时，，，
当x=150时，，，
故答案为：180，900，210，850．
（2）．
当时，；
当时，，即．
（3）①∵∴6x，
∴当时，即6x=5x+100，
∴x=100，
故答案为：100．
②∵x=120，
∴；，
∴乙批发店购买花费少，
故答案为：乙．
③∵当x=50时乙批发店的花费是：350，
∵一次购买苹果花费了360元，∴x50，
∴当时，6x=360，∴x=60，
∴当时，5x+100=360,∴x=52，
∴甲批发店购买数量多．
故答案为：甲．
22．【解析】（1）由题意，得：甲步行的速度是（米/分），
∴乙出发时甲离开小区的路程是（米）．
（2）设直线的解析式为:，
∵直线过点，
∴，
解得，
∴直线的解析式为:，
∴当时，，
∴乙骑自行车的速度是（米/分）．
∵乙骑自行车的时间为（分），
∴乙骑自行车的路程为（米）．
当时，甲走过的路程是（米），
∴乙到达还车点时，甲、乙两人之间的距离是（米）．
（3）乙步行的速度为：80-5=75（米/分），
乙到达学校用的时间为：25+（2700-2400）÷75=29（分），
当25≤x≤30时s关于x的函数的大致图象如图所示．
考点09 一次函数
一、正比例函数的概念
一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做正比例系数．
二、一次函数
1.一次函数的定义
一般地，形如y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)的函数叫做x的一次函数.
特别地，当一次函数y=kx+b中的b=0时，y=kx（k是常数，k≠0）．这时， y叫做x的正比例函数．
2.一次函数的一般形式
一次函数的一般形式为y=kx+b，其中k，b为常数，k≠0．
一次函数的一般形式的结构特征：
（1）k≠0，（2）x的次数是1；（3）常数b可以为任意实数.
3.注意
（1）正比例函数是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数.
（2）一般情况下，一次函数的自变量的取值范围是全体实数.
（3）如果一个函数是一次函数，则含有自变量x的式子是一次的，系数k不等于0，而b可以为任意实数．
（4）判断一个函数是不是一次函数，就是判断它是否能化成y=kx+b（k≠0）的形式.
（5）一次函数的一般形式可以转化为含x、y的二元一次方程.
三、一次函数的图象及性质
1．正比例函数的图象特征与性质
正比例函数y=kx（k≠0）的图象是经过原点（0，0）的一条直线．
k的符号
函数图象
图象的位置
性质
k>0
图象经过第一、三象限
y随x的增大而增大
k <0
图象经过第二、四象限
y随x的增大而减小
2.一次函数的图象特征与性质
（1）一次函数的图象
一次函数的图象
一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是经过点(0，b)和(-，0)的一条直线
图象关系
一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数y=kx(k≠0)的图象平移得到；b>0，向上平移b个单位长度；b<0，向下平移|b|个单位长度
图象确定
因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线可知画一次函数图象时，只要取两点即可
（2）一次函数的性质
函数
字母取值
图象
经过的象限
函数性质
y=kx+b
(k≠0)
k>0，b>0
一、二、三
y随x的增大而增大
k>0，b<0
一、三、四
y=kx+b
(k≠0)
k<0，b>0
一、二、四
y随x的增大而减小
k<0，b<0
二、三、四
3.k，b的符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系
在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x=- ，即直线y=kx+b与x轴交于（–，0）．
①当–>0时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴．
②当–=0，即b=0时，直线经过原点．
③当–<0，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴．
4.两直线y=k1x+b1（k1≠0）与y=k2x+b2（k2≠0）的位置关系：
①当k1=k2，b1≠b2，两直线平行；
②当k1=k2，b1=b2，两直线重合；
③当k1≠k2，b1=b2，两直线交于y轴上一点；
④当k1·k2=–1时，两直线垂直．
四、待定系数法
1．定义：
先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而得出函数解析式的方法叫做待定系数法．
2．待定系数法求正比例函数解析式的一般步骤
（1）设含有待定系数的函数解析式为y=kx（k≠0）．
（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k的一元一次方程．
（3）解方程，求出待定系数k．
（4）将求得的待定系数k的值代入解析式．
3．待定系数法求一次函数解析式的一般步骤
（1）设出含有待定系数k、b的函数解析式y=kx+b．
（2）把两个已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k，b的二元一次方程组．
（3）解二元一次方程组，求出k，b．
（4）将求得的k，b的值代入解析式．
五、一次函数与正比例函数的区别与联系
正比例函数
一次函数
区别
一般形式
y=kx+b（k是常数，且k≠0）
y=kx+b（k，b是常数，且k≠0）
图象
经过原点的一条直线
一条直线
k，b符号的作用
k的符号决定其增减性，同时决定直线所经过的象限
k的符号决定其增减性；b的符号决定直线与y轴的交点位置；k，b的符号共同决定直线经过的象限
求解析式的条件
只需要一对x，y的对应值或一个点的坐标
需要两对x，y的对应值或两个点的坐标
联系
比例函数是特殊的一次函数．
②正比例函数图象与一次函数图象的画法一样，都是过两点画直线，但画一次函数的图象需取两个不同的点，而画正比例函数的图象只要取一个不同于原点的点即可．
③一次函数y=kx+b（k≠0）的图象可以看作是正比例函数y=kx（k≠0）的图象沿y轴向上（b>0）或向下（b<0）平移|b|个单位长度得到的．由此可知直线y=kx+b（k≠0，b≠0）与直线y=kx（k≠0）平行．
④一次函数与正比例函数有着共同的性质：
a．当k>0时，y的值随x值的增大而增大；b．当k<0时，y的值随x值的增大而减小．
六、一次函数与方程（组）、不等式
1．一次函数与一元一次方程
任何一个一元一次方程都可以转化为kx+b=0(k，b为常数，且k≠0)的形式．
从函数的角度来看，解这个方程就是寻求自变量为何值时函数值为0；从函数图象的角度考虑，解这个方程就是确定直线y=kx+b与x轴的交点的横坐标．
2．一次函数与一元一次不等式
任何一个一元一次不等式都能写成ax+b>0（或ax+b<0）（a，b为常数，且a≠0）的形式．
从函数的角度看，解一元一次不等式就是寻求使一次函数y=ax+b（a≠0）的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=ax+b（a≠0）在x轴上（或下）方部分的点的横坐标满足的条件．
3．一次函数与二元一次方程组
一般地，二元一次方程mx+ny=p（m，n，p是常数，且m≠0，n≠0）都能写成y=ax+b（a，b为常数，且a≠0）的形式．因此，一个二元一次方程对应一个一次函数，又因为一个一次函数对应一条直线，所以一个二元一次方程也对应一条直线．进一步可知，一个二元一次方程对应两个一次函数，因而也对应两条直线．
从数的角度看，解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是何值；从形的角度看，解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标，一般地，如果一个二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标．
七、一次函数图象与图形面积
解决这类问题的关键是根据一次函数解析式求出一次函数图象与坐标轴的交点的坐标，或两条直线的交点坐标，进而将点的坐标转化成三角形的边长，或者三角形的高．如果围成的三角形没有边在坐标轴上或者与坐标轴平行，可以采用“割”或“补”的方法．
八、一次函数的实际应用
1．主要题型：
（1）求相应的一次函数表达式；
（2）结合一次函数图象求相关量、求实际问题的最值等．
2．用一次函数解决实际问题的一般步骤为：
（1）设定实际问题中的自变量与因变量；
（2）通过列方程(组)与待定系数法求一次函数关系式；
（3）确定自变量的取值范围；
（4）利用函数性质解决问题；
（5）检验所求解是否符合实际意义；
（6）答．
3．方案最值问题：
对于求方案问题，通常涉及两个相关量，解题方法为根据题中所要满足的关系式，通过列不等式，求解出某一个事物的取值范围，再根据另一个事物所要满足的条件，即可确定出有多少种方案．
4．方法技巧
求最值的本质为求最优方案，解法有两种：
（1）可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较；
（2）直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较．
显然，第（2）种方法更简单快捷．
考向一 一次函数和正比例函数的定义
1．正比例函数是特殊的一次函数．
2．正比例函数解析式y=kx（k≠0）的结构特征：①k≠0；②x的次数是1．
典例1 若y=（m﹣2）x+（m2﹣4）是正比例函数，则m的取值是
A．2 B．﹣2 C．±2 D．任意实数
【答案】B
【解析】由正比例函数的定义可得：m2–4=0，且m–2≠0，解得，m=–2；故选B.
典例2 下列函数①y=﹣2x+1，②y=ax﹣b，③y=﹣，④y=x2+2中，是一次函数的有
A．①② B．① C．②③ D．①④
【答案】B
【解析】①y=﹣2x+1符合一次函数定义，故正确；
②y=ax﹣b中当a=0时，它不是一次函数，故错误；
③y=﹣属于反比例函数，故错误；
④y=x2+2属于二次函数，故错误；
综上所述，是一次函数的有1个．
故选B．
1．下列各点中，在函数y=–2x+5的图象上的是
A．（0，―5） B．（2，9） C．（–2，–9） D．（4，―3）
2．若正比例函数y=kx的图象经过点（1，2），则k=_______．
考向二 一次函数的图象及性质
1．通常画正比例函数y=kx（k≠0）的图象时只需取一点（1，k），然后过原点和这一点画直线．
2．当k>0时，函数y=kx（k≠0）的图象从左向右，呈上升趋势；当k<0时，函数y=kx（k≠0）的图象从左向右，呈下降趋势．
3．正比例函数y=kx中，|k|越大，直线y=kx越靠近y轴；|k|越小，直线y=kx越靠近x轴．
4．一次函数图象的位置和函数值y的增减性完全由b和比例系数k的符号决定．
典例3 一次函数y=–2x+b，b<0，则其大致图象正确的是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为k=–2，b<0，所以图象在第二、三、四象限，故选B．
典例4下列四个选项中，不符合直线y=3x–2的性质的选项是
A．经过第一、三、四象限 B．y随x的增大而增大
C．与x轴交于（–2，0） D．与y轴交于（0，–2）
【答案】C
【解析】根据一次函数的性质，通过判断k和b的符号来判断函数所过的象限及函数与x轴y轴的交点．在y=3x–2中，∵k=3＞0，∴y随x的增大而增大；
∵b=–2<0，∴函数与y轴相交于负半轴，
∴可知函数过第一、三、四象限；
∵当x=–2时，y=–8，所以与x轴交于（–2，0）错误，
∵当y=–2时，x=0，所以与y轴交于（0，–2）正确，
故选C．
【名师点睛】牢记一次函数的性质：k>0，y随x的增大而增大，函数图象从左到右上升；k<0，y随x的增大而减小，函数图象从左到右下降．
3．已知正比例函数y=x的图象如图所示，则一次函数y=mx+n图象大致是
A． B．
C． D．
4．在一次函数y=（2m+2）x+4中，y随x的增大而增大，那么m的值可以是
A．0 B．–1
C．–1.5 D．–2
考向三 用待定系数法确定一次函数的解析式
运用待定系数法求一次函数解析式的步骤可简单记为：一设，二代，三解，四回代．
典例5 已知一次函数y=kx+b，当x=3时，y=14，当x=–1时，y=–6.
（1）求k与b的值；
（2）当y与x相等时，求x的值.
【解析】（1）∵当x=3时，y=14，当x=–1时，y=–6，
∴，∴；
（2）∵，∴y=5x–1，
当y与x相等时，则x=5x–1，
∴x=.
【名师点睛】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
典例6 一次函数y=kx+b．当x=﹣3时，y=0；当x=0时，y=﹣4，求k与b的值．
【解析】将x=–3，y=0；x=0，y=–4分别代入一次函数解析式得：
，解得，
即k=–，b=–4．
【名师点睛】本题考查的是一次函数，熟练掌握待定系数法是解题的关键.
5．一个正比例函数的图象经过点（–2，4），它的表达式为
A．y=–2x B．y=2x
C．y=–x D．y=x
6．一次函数的图象经过点A（2，4）和B（﹣1，﹣5）两点．
（1）求出该一次函数的表达式；
（2）判断（﹣5，﹣4）是否在这个函数的图象上？
7．已知y–1与x+2成正比例，且x=–1时，y=3．
（1）求y与x之间的关系式；
（2）它的图象经过点（m–1，m+1），求m的值.
考向四 一次函数与一元一次方程
1．方程ax+b=k（a≠0）的解⇔函数y=ax+b（a≠0）中，y=k时x的值.
2．方程ax+b=k（a≠0）的解⇔函数y=ax+b（a≠0）的图象与直线y=k的交点的横坐标．
典例7 已知函数y=kx+b的部分函数值如表所示，则关于x的方程kx+b+3=0的解是
x
…
–2
–1
0
1
…
y
…
5
3
1
–1
…
A．x=2 B．x=3
C．x=–2 D．x=–3
【答案】A
【解析】∵当x=0时，y=1，当x=1，y=–1，
∴，解得：，
∴y=–2x+1，
当y=–3时，–2x+1=–3，
解得：x=2，
故关于x的方程kx+b+3=0的解是x=2，
故选A．
典例8 如图为y=kx+b的图象，则kx+b=0的解为x=
A．2 B．–2
C．0 D．–1
【答案】D
【解析】从图象上可知，一次函数y=kx+b与x轴交点的横坐标为–1，所以关于x的方程kx+b=0的解为x=–1．故选D．
【名师点睛】关于x的一元一次方程kx+b=0的解就是一次函数y=kx+b当函数值为0时x的值，据此可以直接得到答案．
8．已知直线y=mx+n（m，n为常数）经过点（0，–2）和（3，0），则关于x的方程mx+n=0的解为
A．x=0 B．x=1
C．x=–2 D．x=3
9．一次函数y=kx+b的图象如图所示，则关于x的方程kx+b=–1的解为
A．x=0 B．x=1 C．x= D．x=–2
考向五 一次函数与一元一次不等式
一次函数y=ax+b（a≠0）与一元一次不等式ax+b>0（或ax+b<0）的关系：
ax+b>0的解集⇔y=ax+b中，y>0时x的取值范围，即直线y=ax+b在x轴上方部分图象对应的x的取值范围；
ax+b<0的解集⇔y=ax+b中，y<0时x的取值范围，即直线y=ax+b在x轴下方部分图象对应的x的取值范围．
典例9 如图，一次函数y1=x＋b与一次函数y2=kx＋4的图象交于点P（1，3），则关于x的不等式x＋b>kx＋4的解集是
A．x>﹣2 B．x>0 C．x>1 D．x<1
【答案】C
【解析】当x>1时，x+b>kx+4，
即不等式x+b>kx+4的解集为x>1．
故选C．
典例10 如图，直线与分别交x轴于点，，则不等式的解集为
A． B． C． D．或
【答案】D
【解析】∵，∴①或②．
∵直线与分别交x轴于点，
观察图象可知①的解集为：，②的解集为：
∴不等式的解集为或.
故选D.
【名师点睛】本题主要考查一次函数和一元一次不等式，学会根据图形判断函数值的正负是关键.
10．如图，正比例函数y=2x的图象与一次函数y=kx+b的图象交于点A（m，2），一次函数的图象经过点B（−2，−1）.
（1）求一次函数的解析式；
（2）请直接写出不等式组−1
11．如图，函数与的图像交于．
（1）求出m、n的值；
（2）直接写出不等式的解集；
（3）求出△ABP的面积．
考向六 一次函数与二元一次方程（组）
1．二元一次方程kx-y+b=0（k≠0）的解与一次函数y=kx+b（k≠0）的图象上的点的坐标是一一对应的．
2．两个一次函数图象的交点坐标，就是相应二元一次方程组的解，体现了数形结合的思想方法．
典例11 如图，函数y=kx+b与y=mx+n的图象交于点P（1，2），那么关于x，y的方程组的解是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标，所以方程组的解是．故选A．
【名师定睛】方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
典例12 若方程组没有解，则一次函数y=2–x与y=–x的图象必定
A．重合 B．平行 C．相交 D．无法确定
【答案】B
【解析】∵方程组没有解，∴一次函数y=2–x与y=–x的图象没有交点，
∴一次函数y=2–x与y=–x的图象必定平行．故选B．
12．二元一次方程组的解为，则一次函数y=5–x与y=2x–1的交点坐标为
A．（2，3） B．（3，2） C．（–2，3） D．（2，–3）
13．如图，直线l1的函数解析式为y=2x–2，直线l1与x轴交于点D．直线l2：y=kx+b与x轴交于点A，且经过点B（3，1），如图所示．直线l1、l2交于点C（m，2）．
（1）求点D、点C的坐标；
（2）求直线l2的函数解析式；
（3）利用函数图象写出关于x、y的二元一次方程组的解．
考向七 一次函数的应用
一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图象为射线或线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数表达式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值．
典例13 一辆公交车从A站出发匀速开往B站．在行驶时间相同的前提下，如果车速是60千米/小时，就会超过B站0.2千米；如果车速是50千米/小时，就还需行驶0.8千米才能到达B站．
（1）求A站和B站相距多少千米？行驶时间是多少？如果要在行驶时间点恰好到达B站，行驶的速度是多少？
（2）图①是这辆公交车线路的收支差额y（票价总收入减去运营成本）与乘客数量的函数图象．目前这条线路亏损，为了扭亏，有关部门举行了提高票价的听证会．乘客代表认为：公交公司应节约能源，改善管理，降低运营成本，以此举实现扭亏．公交公司认为：运营成本难以下降，公司已尽力，提高票价才能扭亏．根据这两种意见，可以把图①分别改画成图②和图③．
（a）说明图①中点A和点B的实际意义；
（b）你认为图②和图③两个图象中，反映乘客意见的是__________，反映公交公司意见的是__________．
【解析】（1）设A站和B站相距x千米，行驶的时间是y小时，根据题意得：，
解之得：，
5.8÷0.1=58（千米/小时）；
答：A站和B站相距5.8千米，行驶时间是0.1小时，如果要在行驶时间点恰好到达B站，行驶的速度是58千米/小时．
（2）（a）A点表示公交公司的该条公交路线的运营成本为1万元；
B点表示当乘客量为1.5万人时，公交公司的该条公交路线收支恰好平衡；
（b）反映乘客意见的是图③；
反映公交公司意见的是图②；
故答案为：③，②．
典例14 某文化用品商店出售书包和文具盒，书包每个定价40元，文具盒每个定价10元，该店制定了两种优惠方案：方案一，买一个书包赠送一个文具盒；方案二：按总价的九折付款，购买时，顾客只能选用其中的一种方案．某学校为给学生发奖品，需购买5个书包，文具盒若干（不少于5个）．设文具盒个数为x（个），付款金额为y（元）．
（1）分别写出两种优惠方案中y与x之间的关系式；
方案一：y1=_________；方案二：y2=__________．
（2）若购买20个文具盒，通过计算比较以上两种方案中哪种更省钱？
（3）学校计划用540元钱购买这两种奖品，最多可以买到__________个文具盒（直接回答即可）．
【答案】（1）10x+150；9x+180；（2）详解见解析；（3）40.
【解析】（1）由题意，可得y1=40×5+10（x–5）=10x+150，y2=（40×5+10x）×0.9=9x+180．
故答案为：10x+150，9x+180；
（2）当x=20时，y1=10×20+150=350，y2=9×20+180=360，
因为350<360，所以可看出方案一省钱；
（3）如果10x+150≤540，那么x≤39，如果9x+180≤540，那么x≤40，所以学校计划用540元钱购买这两种奖品，最多可以买到40个文具盒．故答案为：40．
【名师点睛】（1）根据方案一，买一个书包赠送一个文具盒；方案二：按总价的九折付款，即可得出两种优惠方案中y与x之间的关系式；
（2）将x=20分别代入（1）中关系式，通过计算比较两种方案中哪种更省钱即可；
（3）根据购买时，顾客只能选用其中的一种方案，所以分别求出y≤540时两种方案中x的最大整数值，比较即可得到答案．
14．甲、乙两城市相距600千米，一辆货车和一辆客车均从甲城市出发匀速行驶至乙城市，已知货车出发1小时后客车再出发，先到终点的车辆原地休息，在汽车行驶过程中，设两车之间的距离为s（千米），客车出发的时间为t（小时），它们之间的关系如图所示．有如下结论：①货车的速度是60千米/小时；②离开出发地后，两车第一次相遇时，距离出发地150千米；③货车从出发地到终点共用时7小时；④客车到达终点时，两车相距180千米．其中正确的有
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
15．某县组织20辆汽车装运食品、药品、生活用品三种扶贫物资共100吨到某乡实施扶贫工作，按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种救灾物资且必须装满，根据表中提供的信息，解答下列问题：
物资种类
食品
药品
生活用品
每辆汽车运载量（吨）
6
5
4
每吨所需运费（元/吨）
120
160
100
（1）设装运食品的车辆数为x，装运药品的车辆数为y．求y与x的函数关系式；
（2）如果装运食品的车辆数不少于5辆，装运药品的车辆数不少于4辆，那么车辆的安排有几种方案？并写出每种安排方案；
（3）在（2）的条件下，若要求总运费最少，应如何安排车辆？并求出最少总运费．
1．下列函数①y=﹣2x+1，②y=ax﹣b，③y=﹣，④y=x2+2中，是一次函数的有
A．①② B．① C．②③ D．①④
2．直线y=2x－4与y=－x+2的公共点坐标为
A．（－2，0） B．（0，－2） C．（2，0） D．（0，2）
3．已知一次函数y=kx+b（k≠0）图象过点（0，2），且与两坐标轴围成的三角形面积为2，则一次函数的解析式为
A．y=x+2 B．y=﹣x+2
C．y=x+2或y=﹣x+2 D．y=–x+2或y=x–2
4．一次函数y=kx+b的图象如图所示，当y>3时，x的取值范围是
A． B． C． D．
5．如图，一次函数图象经过点A，且与正比例函数y=–x的图象交于点B，则该一次函数的表达式为
A．y=–x+2 B．y=x+2 C．y=x–2 D．y=–x–2
6．点P1（x1，y1），P2（x2，y2）是一次函数y=﹣3x+4图象上的两个点，且x1
7．如图所示的计算程序中，y与x之间的函数关系所对应的图象应为
A． B．
C． D．
8．两个一次函数，，它们在同一坐标系中的图象可能是图中的
A． B．
C． D．
9．如图，已知一次函数y=kx+b的图象与x轴，y轴分别交于点（2，0），点（0，3）．有下列结论：①关于x的方程kx+b=0的解为x=2；②关于x的方程kx+b=3的解为x=0；③当x>2时，y<0；④当x<0时，y<3．其中正确的是
A．①②③ B．①③④
C．②③④ D．①②④
10．端午节，在大明湖举行第七届全民健身运动会龙舟比赛中，甲、乙两队在500米的赛道上，所划行的路程y（m）与时间x（min）之间的函数关系如图所示，下列说法，其中正确的有
①乙队比甲队提前0.25min到达终点；
②0.5min后，乙队比甲队每分钟快40m；
③当乙队划行110m时，此时落后甲队15m；
④自1.5min开始，甲队若要与乙队同时到达终点，甲队的速度需要提高到260m/min．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
11．观察图象，可以得出不等式组的解集是
A．x<4 B．x<–1
C．–1
①AF是∠BAO的平分线；②∠BAO=60°；③点F在线段AB的垂直平分线上；④S△AOF∶S△ABF=1∶2．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
13．若y=(m–2)x+(m2–4)是正比例函数，则m的取值为__________．
14．已知点A（），B（）是一次函数图象上的两点，当时，__________．（填“>”“=”或“<”）
15．关于的一元一次不等式组有解，则直线不经过第__________象限．
16．已知一次函数y=4x+3m与y=7x–9的图象经过y轴上同一点，则m=__________．
17．赛龙舟是端午节的主要习俗，某市甲乙两支龙舟队在端午节期间进行划龙舟比赛，从起点A驶向终点B，在整个行程中，龙舟离开起点的距离y（米）与时间x（分钟）的对应关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1）起点A与终点B之间相距多远？
（2）哪支龙舟队先出发？哪支龙舟队先到达终点？
（3）分别求甲、乙两支龙舟队的y与x函数关系式；
（4）甲龙舟队出发多长时间时两支龙舟队相距200米？
18．如图，直线y=﹣2x+7与x轴、y轴分别相交于点C、B，与直线y=x相交于点A．
（1）求A点坐标；
（2）求△OAC的面积；
（3）如果在y轴上存在一点P，使△OAP是以OA为底边的等腰三角形，求P点坐标；
（4）在直线y=﹣2x+7上是否存在点Q，使△OAQ的面积等于6？若存在，请求出Q点的坐标，若不存在，请说明理由．
19．已知一次函数(k≠0)，回答下列问题：
（1）若一次函数的图象过原点，求k的值；
（2）无论k取何值，该函数的图象总经过一个定点，请你求出这个定点的坐标．
20．为建设秀美家乡，某学校组织师生参加一年一度的植树绿化工作，准备租用7辆客车，现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表，设租用甲种客车x辆，租车总费用为y元，
甲种客车
乙种客车
载客量/(人/辆)
60
40
租金/(元/辆)
360
300
（1）求出y（单位：元）与x（单位：辆）之间的函数关系式．
（2）若该校共有350名师生前往参加劳动，共有多少种租车方案？
（3）带队老师从学校预支租车费用2400元，试问预支的租车费用是否能有结余？若有结余，最多可结余多少元？
1．（2019•扬州）若点P在一次函数的图象上，则点P一定不在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2019•绍兴）若三点，，在同一直线上，则的值等于
A．-1 B．0 C．3 D．4
3．（2019•苏州）若一次函数（为常数，且）的图象经过点，，则不等式的解为
A． B． C． D．
4．（2019•临沂）下列关于一次函数的说法，错误的是
A．图象经过第一、二、四象限 B．随的增大而减小
C．图象与轴交于点 D．当时，
5．（2019•梧州）直线y=3x+1向下平移2个单位，所得直线的解析式是
A．y=3x+3 B．y=3x-2 C．y=3x+2 D．y=3x-1
6．（2019•杭州）已知一次函数和，函数和的图象可能是
A． B． C． D．
7．（2019•邵阳）一次函数y1=k1x+b1的图象l1如图所示，将直线l1向下平移若干个单位后得直线l2，l2的函数表达式为y2=k2x+b2．下列说法中错误的是
A．k1=k2 B．b1
8．（2019•聊城）某快递公司每天上午9：00-10：00为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数图象如图所示，那么当两仓库快递件数相同时，此刻的时间为
A．9：15 B．9：20 C．9：25 D．9：30
9．（2019•天津）直线与轴交点坐标为__________．
10．（2019•无锡）已知一次函数y=kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式3kx-b>0的解集为__________．
11．（2019•烟台）如图，直线y=x+2与直线y=ax+c相交于点P（m，3），则关于x的不等式x+2≤ax+c的解为__________．
12．（2019•潍坊）当直线经过第二、三、四象限时，则的取值范围是__________．
13．（2019•郴州）某商店今年6月初销售纯净水的数量如下表所示：
日期
1
2
3
4
数量（瓶）
120
125
130
135
观察此表，利用所学函数知识预测今年6月7日该商店销售纯净水的数量约为__________瓶．
14．（2019•鄂州）在平面直角坐标系中，点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离公式为：d=，则点P（3，-3）到直线的距离为__________．
15．（2019•杭州）某函数满足当自变量时，函数值；当自变量时，函数值，写出一个满足条件的函数表达式__________．
16．（2019•南京）已知一次函数（k为常数，k≠0）和．
（1）当k=﹣2时，若>，求x的取值范围；
（2）当x<1时，>．结合图象，直接写出k的取值范围．
17．（2019•乐山）如图，已知过点B（1，0）的直线l1与直线l2：y=2x+4相交于点P（-1，a）．
（1）求直线l1的解析式；
（2）求四边形PAOC的面积．
18．（2019•天门）某农贸公司销售一批玉米种子，若一次购买不超过5千克，则种子价格为20元/千克，若一次购买超过5千克，则超过5千克部分的种子价格打8折．设一次购买量为x千克，付款金额为y元．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）某农户一次购买玉米种子30千克，需付款多少元？
19．（2019•常德）某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入园次数为x时所需费用为y元，选择这两种卡消费时，y与x的函数关系如图所示，解答下列问题：
（1）分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数表达式；
（2）请根据入园次数确定选择哪种卡消费比较合算．
20．（2019•山西）某游泳馆推出了两种收费方式．
方式一：顾客先购买会员卡，每张会员卡200元，仅限本人一年内使用，凭卡游泳，每次游泳再付费30元．
方式二：顾客不购买会员卡，每次游泳付费40元．
设小亮在一年内来此游泳馆的次数为x次，选择方式一的总费用为y1（元），选择方式二的总费用为y2（元）．
（1）请分别写出y1，y2与x之间的函数表达式．
（2）小亮一年内在此游泳馆游泳的次数x在什么范围时，选择方式一比方式二省钱．
21．（2019•天津）甲、乙两个批发店销售同一种苹果．在甲批发店，不论一次购买数量是多少，价格均为6元/kg．在乙批发店，一次购买数量不超过元50 kg时，价格为7元/kg；一次购买数量超过50kg时，其中有50kg的价格仍为7元/kg，超出50 kg部分的价格为5元/kg．设小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为．
（1）根据题意填表：
一次购买数量/kg
30
50
150
…
甲批发店花费/元
300
…
乙批发店花费/元
350
…
（2）设在甲批发店花费元，在乙批发店花费元，分别求，关于的函数解析式；
（3）根据题意填空：
①若小王在甲批发店和在乙批发店一次购买苹果的数量相同，且花费相同，则他在同一个批发店一次购买苹果的数量为__________kg；
②若小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为120 kg，则他在甲、乙两个批发店中的__________批发店购买花费少；
③若小王在同一个批发店一次购买苹果花费了360元，则他在甲、乙两个批发店中的__________批发店购买数量多．
22．（2019•湖州）某校的甲、乙两位老师同住一小区，该小区与学校相距2400米.甲从小区步行去学校，出发10分钟后乙再出发，乙从小区先骑公共自行车，途经学校义骑行若干米到达还车点后，立即步行走回学校.已知甲步行的速度比乙步行的速度每分钟快5米.设甲步行的时间为（分），图1中线段和折线分别表示甲、乙离开小区的路程（米）与甲步行时间（分）的函数关系的图象；图2表示甲、乙两人之间的距离（米）与甲步行时间（分）的函数关系的图象（不完整）.根据图1和图2中所给信息，解答下列问题：
（1）求甲步行的速度和乙出发时甲离开小区的路程；
（2）求乙骑自行车的速度和乙到达还车点时甲、乙两人之间的距离；
（3）在图2中，画出当时关于的函数的大致图象．（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）
变式拓展
1．【答案】D
【解析】∵一次函数y=–2x+5图象上的点都在函数图象上，
∴函数图象上的点都满足函数的解析式y=–2x+5；
A、当x=0时，y=5≠–5，即点（0，–5）不在该函数图象上；故本选项错误；
B、当x=2时，y=1≠9，即点（2，9）不在该函数图象上；故本选项错误；
C、当x=–2时，y=9≠–9，即点（–2，–9）不在该函数图象上；故本选项错误；
D、当x=4时，y=–3，即点（4，–3）在该函数图象上；故本选项正确；
故选D．
【名师点睛】此题考查一次函数图象上点的坐标特征．解题关键在于掌握在这条直线上的各点的坐标一定适合这条直线的解析式．
2．【答案】2
【解析】∵正比例函数y=kx的图象经过点（1，2），
∴2=k×1，即k=2．
故答案为：2．
【名师点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是得出2=k×1．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标利用一次函数图象上点的坐标特征求出一次函数的系数是关键．
3．【答案】C
【解析】利用正比例函数的性质得出＞0，根据m、n同正，同负进行判断．
由正比例函数图象可得：＞0，
mn同正时，y=mx+n经过第一、二、三象限；
mn同负时，经过第二、三、四象限，
故选C．
4．【答案】A
【解析】∵y随x的增大而增大，∴2m+2>0，∴m>–1．故选A．
5．【答案】A
【解析】设该正比例函数的解析式为y=kx（k≠0），
∵正比例函数的图象经过点（–2，4），
∴4=–2k，解得k=–2，
∴这个正比例函数的表达式是y=–2x．
故选A．
6．【解析】（1）设一次函数的解析式为，
∵一次函数的图象经过点A（2，4）和B（–1，–5）两点．
∴，∴
∴一次函数的表达式为，
（2）由（1）知，一次函数的表达式为y=3x–2，
将x=–5代入此函数表达式中得，，
∴（–5，–4）不在这个函数的图象上；
【名师点睛】此题主要考查了待定系数法，一次函数图形上点的特点，求出直线表达式是解本题的关键．
7．【解析】（1）∵y－1与x+2成正比例，∴设y－1=k（x+2），∵x=–1时，y=3，∴3－1=k（－1+2），解得：k=2，∴y与x的关系式为：y=2x+5；
（4）把点（m–1，m+1）代入y=2x+5中，得m+1=2（m–1）+5，解得：m=﹣2．
点睛：本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
8．【答案】D
【解析】直线y=mx+n与x轴的交点横坐标的值即为方程mx+n=0的解．
∵直线y=mx+n（m，n为常数）经过点（3，0），
∴当y=0时，x=3，
∴关于x的方程mx+n=0的解为x=3．
故选D．
9．【答案】C
【解析】∵一次函数y=kx+b的图象过点（，–1），∴关于x的方程kx+b=–1的解是x=．故选C．
10．【解析】（1）∵点A（m，2）在正比例函数y=2x的图象上，
∴2=2m，解得：m=1，
∴点A的坐标为（1，2）
将A（1，2）、B（−2，−1）代入y=kx+b，
解得：k=b=1
∴一次函数的解析式为y=x+1
（2））∵在y=x+1中，1>0，
∴y值随x值的增大而增大，
∴不等式–1
观察函数图象可知，当x>1时，一次函数y=x+1的图象在正比例函数y=2x的图象的下方，
∴不等式组–1
【名师点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、一次函数与一元一次不等式以及一次函数的性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出一次函数的解析式；（2）根据一次函数的性质结合两函数图象的上下位置关系，找出不等式组–1
解得：n，∴P（，﹣2）．
∵yx+m的图象过P（，﹣2），∴﹣2m，
解得：m；
（2）不等式x+m>﹣2x+3的解集为x；
（3）∵当y=﹣2x+3中，x=0时，y=3，∴A（0，3）．
∵yx中，x=0时，y，∴B（0，），∴AB=3；∴△ABP的面积：AB．
【名师点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特点，以及一次函数与不等式，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式．
12．【答案】A
【解析】∵二元一次方程组的解为，∴一次函数y=5–x与y=2x–1的交点坐标为（2，3），故选A．
13．【解析】（1）∵点D为直线l1：y=2x–2与x轴的交点，
∴y=0，0=2x–2，解得x=1，
∴D（1，0）；
∵点C在直线l1：y=2x–2上，
∴2=2m–2，解得m=2，
∴点C的坐标为（2，2）；
（2）∵点C（2，2）、B（3，1）在直线l2上，
∴，解得，
∴直线l2的解析式为y=–x+4；
（3）由图可知二元一次方程组的解为．
【名师点睛】一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
14．【答案】C
【解析】由函数图象，得：货车的速度为60÷1=60（千米/小时），客车的速度为600÷6=100（千米/小时），故①正确；设客车离开起点x小时后，甲、乙两车第一次相遇，根据题意得：100x=60+60x，解得：x=1.5，∴离开起点后，两车第一次相遇时，距离起点为：1.5×100=150（千米），故②正确；货车从起点到终点共用时为：600÷60=10（小时），故③错误；∵客车到达终点时，所用时间为6小时，货车先出发1小时，∴此时货车行走的时间为7小时，∴货车走的路程为：7×60=420（千米），∴客车到达终点时，两车相距：600-420=180（千米），故④正确．故选C．
15．【解析】（1）由题意可得，6x+5y+4（20-x-y）=100，
化简，得y=20-2x，
即y与x的函数关系式是y=-2x+20；
（2）由题意可得，，解得5≤x≤8，即车辆的安排有四种方案，
方案一：运食品的5辆车，装运药品的10辆车，装运生活用品的5辆车；
方案二：运食品的6辆车，装运药品的8辆车，装运生活用品的6辆车；
方案三：运食品的7辆车，装运药品的6辆车，装运生活用品的7辆车；
方案四：运食品的8辆车，装运药品的4辆车，装运生活用品的8辆车；
（3）由题意可得，
w=120×6x+160×5y+100×4（20-x-y）=-480x+16000，
∵5≤x≤8，∴当x=8时，w最小，此时w=-480×8+16000=12160（元），
即在（2）的条件下，若要求总运费最少，应安排运食品的8辆车，装运药品的4辆车，装运生活用品的8辆车，最少总运费是12160元．
考点冲关
1．【答案】B
【解析】①y=﹣2x+1符合一次函数定义，故正确；
②y=ax﹣b中当a=0时，它不是一次函数，故错误；
③y=﹣属于反比例函数，故错误；
④y=x2+2属于二次函数，故错误；
综上所述，是一次函数的有1个．
故选B．
【名师点睛】本题主要考查了一次函数的定义，把形如y=kx+b，其中k、b为常数，k≠0，这样的函数叫做一次函数．
2．【答案】C
【解析】联立直线方程，解得，故公共点的坐标为（2，0），答案选C.
【名师点睛】本题考查两直线相交，求公共点的问题.难点在于联立两直线方程的解析式，求出未知数的解，则则点（x，y）即为公共点坐标.
3．【答案】C
【解析】∵一次函数y=kx+b（k≠0）图象过点（0，2），∴b=2，令y=0，则x=–，
∵函数图象与两坐标轴围成的三角形面积为2，
∴×2×|–|=2，即||=2，解得：k=±1，
则函数的解析式是y=x+2或y=–x+2．
故选C．
4．【答案】A
【解析】∵由函数图象可知，当x<0时函数图象在3的上方，∴当y>3时，x<0．
故选A．
【名师点睛】本题考查的是一次函数的图象，能利用数形结合求出x的取值范围是解答此题的关键．
5．【答案】B
【解析】设一次函数的解析式y=kx+b（k≠0），
∵一次函数图象经过点A，且与正比例函数y=–x的图象交于点B，
∴在直线y=–x中，令x=–1，解得：y=1，则B的坐标是（–1，1）．
把A（0，2），B（–1，1）的坐标代入一次函数的解析式y=kx+b
得：，解得，
该一次函数的表达式为y=x+2．故选B．
6．【答案】A
【解析】在一次函数数y=﹣3x+4中，﹣3<0，y随x的增大而减小，
因为x1
【名师点睛】本题考查了一次函数的性质，在一次函数y=kx+b中，当k<0时，y随x的增大而减小．
7．【答案】D
【解析】根据程序框图可得y=–x×（–3）–6=3x–6，化简，得y=3x–6，
y=3x–6的图象与y轴的交点为（0，–6），与x轴的交点为（2，0）．
故选D．
【名师点睛】此题考查一次函数图象，列出函数关系式，解题的关键是首先根据框图写出正确的解析式．
8．【答案】B
【解析】A、如果过第一、二、四象限的图象是y1，由y1的图象可知，m<0，n>0；由y2的图象可知，n>0，m>0，两结论相矛盾，故错误；
B、如果过第一、二、四象限的图象是y1，由y1的图象可知，m<0，n>0；由y2的图象可知，n>0，m<0，两结论不矛盾，故正确；
C、如果过第一、二、四象限的图象是y1，由y1的图象可知，m<0，n>0；由y2的图象可知，n>0，m>0，两结论相矛盾，故错误；
D、如果过第二、三、四象限的图象是y1，由y1的图象可知，m<0，n<0；由y2的图象可知，n<0，m>0，两结论相矛盾，故错误．
故选B．
【名师点睛】此题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．一次函数y=kx+b的图象有四种情况：
①当k>0，b>0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限；
②当k>0，b<0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限；
③当k<0，b>0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限；
④当k<0，b<0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限．
9．【答案】A
【解析】由图象得：①关于x的方程kx+b=0的解为x=2，正确；
②关于x的方程kx+b=3的解为x=0，正确；
③当x>2时，y<0，正确；
④当x<0时，y>3，错误；
故选：A．
【点睛】考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系，利用数形结合是求解的关键．
10．【答案】C
【解析】①由横坐标看出乙队比甲队提前0.25min到达终点，此结论正确；
②乙AB段的解析式为y=240x–40，乙的速度是240m/min；甲的解析式为y=200x，甲的速度是200m/min，0.5min后，乙队比甲队每分钟快40m，此结论正确；
③乙AB段的解析式为y=240x–40，当y=110时，甲的解析式为y=200x，当时，y=125，当乙队划行110m时，此时落后甲队15m，此结论正确；
④甲的解析式为y=200x，当x=1.5时，y=300，甲乙同时到达（500–300）÷（2.25–1.5）≈267m/min，此结论错误；
故选C．
【点睛】此题主要考查了函数图象的性质，读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义，理解问题叙述的过程，能够通过图象得到函数值随自变量的变化情况．
11．【答案】B
【解析】∵直线y=ax+b交x轴于点(4，0)，∴ax+b>0的解集为：x<4，∵直线y=cx+d交x轴于点(−1，0)，∴cx+d<0的解集为：x<−1，∴不等式组的解集是：x<−1．故选B．
12．【答案】D
【解析】由题意可知AF是∠BAO的平分线，故①正确；∵一次函数y=3x+1，∴k=3，∴∠BAO=60°，故②正确；∵∠BAO=60°，∴∠ABO=30°，∵AF是∠BAO的平分线，∴∠BAF=30°，∴∠BAF=∠ABO，∴AF=BF，∴点F在AB的垂直平分线上，故③正确；∵∠OAF=30°，∴AF=2OF．∵AF=BF，∴BF=2OF，∴S△AOF∶S△ABF=1∶2，故④正确．故选D．
13．【答案】–2
【解析】根据题意得：；解得：m=–2．故答案为：–2．
14．【答案】<
【解析】∵一次函数y=–2x+5中k=–2<0，∴该一次函数y随x的增大而减小，∵x1>x2，∴y1
15．【答案】三
【解析】将不等式组中各个不等式的解集在数轴上表示出来：
（1）当3b–2
（3）当3b–2>b+2时，如示意图中的③，上述不等式组有解，符合题意．
因此，根据题目条件，b的取值应该满足：3b–2>b+2，解这个不等式，得b>2，
对照一次函数的一般形式y=kx+b(k≠0)，在直线y=–x+b中，k=–1<0，b>2>0可知，
直线y=–x+b应该经过第一、二、四象限，即不经过第三象限．故答案为：三．
16．【答案】–3
【解析】∵y=7x−9的图象与y轴的交点为(0，−9)，又点(0，−9)也在直线y=4x+3m上，
∴−9=3m，解得m=−3． 故答案为：−3．
17．【解析】（1）由图可得，起点A与终点B之间相距3000米；
（2）由图可得，甲龙舟队先出发，乙龙舟队先到达终点；
（3）设甲龙舟队的y与x函数关系式为y=kx，把（25，3000）代入，可得3000=25k，解得k=120，∴甲龙舟队的y与x函数关系式为y=120x（0≤x≤25），设乙龙舟队的y与x函数关系式为y=ax+b，把（5，0），（20，3000）代入，可得：，解得：，∴乙龙舟队的y与x函数关系式为y=200x﹣1000（5≤x≤20）；
（4）令120x=200x﹣1000，可得x=12.5，即当x=12.5时，两龙舟队相遇，当x<5时，令120x=200，则x=（符合题意）；
当5≤x<12.5时，令120x﹣（200x﹣1000）=200，则x=10（符合题意）；
当12.5
【名师点睛】本题主要考查了一次函数的应用，解决问题的关键是掌握待定系数法求函数解析式的方法，解题时注意数形结合思想以及分类思想的运用．
18．【解析】（1）解方程组:得：，
A点坐标是（2，3）；
（2）C点位直线y=﹣2x+7与x轴交点，可得C点坐标为（，0），
==．
（3）设P点坐标是（0，y），
△OAP是以OA为底边的等腰三角形，
OP=PA，，解得y=，
P点坐标是（0，），
故答案为（0，）；
（4）存在；
由直线y=–2x+7可知B（0，7），C（，0），
==<6，
==7>6，
Q点有两个位置:Q在线段AB上和AC的延长线上，设点Q的坐标是（x，y），
当Q点在线段AB上:作QD⊥y轴于点D，如图1，
则QD=x，=–=7–6=1，
OBQD=1，即:7x=1，
x=，
把x=代入y=–2x+7，得y=，
Q的坐标是（，），
当Q点在AC的延长线上时，作QD⊥x轴于点D，如图2
则QD=–y，
=–=6–=
OCQD=，即:，
y=–，
把y=–代入y=–2x+7，解得x=
Q的坐标是（，–），
综上所述:点Q是坐标是（，）或（，–）.
【名师点睛】本题是一次函数的综合题，考查了交点的求法，勾股定理的应用，三角形面积的求法等，分类讨论思想的运用是解题的关键.
19．【解析】（1）一次函数 图象过原点，
∴–2k+1=0，解得k=．
（2）∵ =k(x–2)+1，∴（x–2）k=y–1．
∵无论k取何值，该函数图象总经过一个定点，即k有无数个解，
∴x–2=0，y–1=0，
解得x=2，y=1，∴这个定点的坐标为（2，1）．
20．【解析】（1）根据题意，得y=360x+300(7–x)，整理得y=60x+2100；
（2）根据题意得60x+40(7–x)≥350，解得：x≥3.5．
∵0≤x≤7，且x为整数，∴4≤x≤7且x为整数，
所以x的值可以为4，5，6，7，
所以共有4种方案；
（3）最少费用方案是：甲车4辆，乙车3辆，
此时租车费用为y=60x+2100=2340（元），最多结余2400–2340=60（元）．
直通中考
1．【答案】C
【解析】一次函数y=-x+4中k=-1<0，b>0，所以一次函数y=-x+4的图象经过一、二、四象限，又点P在一次函数y=-x+4的图象上，所以点P一定不在第三象限，故选C．
2．【答案】C
【解析】设经过（1，4），（2，7）两点的直线解析式为y=kx+b，∴∴，∴y=3x+1，
将点（a，10）代入解析式，则a=3，故选C．
3．【答案】D
【解析】如下图图象，易得时，，故选D．
4．【答案】D
【解析】∵，∴图象经过第一、二、四象限，A正确；
∵，∴随的增大而减小，B正确；
令时，，∴图象与轴的交点为，∴C正确；
令时，，当时，，D不正确，故选D．
5．【答案】D
【解析】直线y=3x+1向下平移2个单位，所得直线的解析式是：y=3x+1-2=3x-1．故选D．
6．【答案】A
【解析】①当，、的图象都经过一、二、三象限；
②当，、的图象都经过二、三、四象限；
③当，的图象都经过一、三、四象限，的图象都经过一、二、四象限；
④当，的图象都经过一、二、四象限，的图象都经过一、三、四象限，满足题意的只有A．故选A．
7．【答案】B
【解析】∵将直线l1向下平移若干个单位后得直线l2，∴直线l1∥直线l2，∴k1=k2，
∵直线l1向下平移若干个单位后得直线l2，∴b1>b2，∴当x=5时，y1>y2，故选B．
8．【答案】B
【解析】设甲仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数关系式为：y1=k1x+40，根据题意得60k1+40=400，解得k1=6，∴y1=6x+40；
设乙仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数关系式为：y2=k2x+240，根据题意得60k2+240=0，解得k2=-4，∴y2=-4x+240，
联立，解得，
∴此刻的时间为9：20．故选B．
9．【答案】
【解析】∵当y=0时，2x-1=0，∴x=，∴直线与轴交点坐标为：，故答案为：．
10．【答案】x<2
【解析】由题意知y=kx+b过点（-6，0），y随着x的增大而减小，所以-6k+b=0，k<0，所以b=6k，
解关于x的不等式3kx-b>0，则有3kx-6k>0，解得：x<2，故答案为：x<2．
11．【答案】x<1
【解析】点P（m，3）代入y=x+2，∴m=1，∴P（1，3），结合图象可知x+2≤ax+c的解为x<1，
故答案为：x<1．
12．【答案】
【解析】经过第二、三、四象限，∴，，∴，，
∴，故答案为：．
13．【答案】150
【解析】这是一个一次函数模型，设y=kx+b，则有，解得，
∴y=5x+115，当x=7时，y=150，
∴预测今年6月7日该商店销售纯净水的数量约为150瓶，故答案为：150．
14．【答案】
【解析】∵，∴2x+3y-5=0，
∴点P（3，-3）到直线的距离为：，故答案为：．
15．【答案】或或等.
【解析】符合题意的函数解析式可以是或或等，（本题答案不唯一），故答案为：如或或等．
16．【解析】（1）当时，，
根据题意，得，解得．
（2）当x=1时，y=x−3=−2，
把（1，−2）代入y1=kx+2得k+2=−2，解得k=−4，
当−4≤k<0时，y1>y2；
当0
∴k的取值范围是：且．
17．【解析】（1）∵点P（-1，a）在直线l2：y=2x+4上，
∴2×（-1）+4=a，即a=2，
则P的坐标为（-1，2），
设直线l1的解析式为：y=kx+b（k≠0），
那么，
解得．
∴l1的解析式为：y=-x+1．
（2）∵直线l1与y轴相交于点C，
∴C的坐标为（0，1），
又∵直线l2与x轴相交于点A，
∴A点的坐标为（-2，0），则AB=3，
而S四边形PAOC=S△PAB-S△BOC，
∴S四边形PAOC=．
18．【解析】（1）根据题意，得①当0≤x≤5时，y=20x；
②当x>5，y=20×0.8（x-5）+20×5=16x+20．
（2）把x=30代入y=16x+20，
∴y=16×30+20=500；
∴一次购买玉米种子30千克，需付款500元．
19．【解析】（1）设y甲=k1x，根据题意得5k1=100，解得k1=20，∴y甲=20x；
设y乙=k2x+100，根据题意得：20k2+100=300，解得k2=10，∴y乙=10x+100．
（2）①y甲
③y甲>y乙，即20x>10x+100，解得x>10，当入园次数大于10次时，选择乙消费卡比较合算．
20．【解析】（1）当游泳次数为x时，方式一费用为：y1=30x+200，方式二的费用为：y2=40x．
（2）由y1
当x>20时，选择方式一比方式二省钱．
21．【解析】（1）当x=30时，，，
当x=150时，，，
故答案为：180，900，210，850．
（2）．
当时，；
当时，，即．
（3）①∵∴6x，
∴当时，即6x=5x+100，
∴x=100，
故答案为：100．
②∵x=120，
∴；，
∴乙批发店购买花费少，
故答案为：乙．
③∵当x=50时乙批发店的花费是：350，
∵一次购买苹果花费了360元，∴x50，
∴当时，6x=360，∴x=60，
∴当时，5x+100=360,∴x=52，
∴甲批发店购买数量多．
故答案为：甲．
22．【解析】（1）由题意，得：甲步行的速度是（米/分），
∴乙出发时甲离开小区的路程是（米）．
（2）设直线的解析式为:，
∵直线过点，
∴，
解得，
∴直线的解析式为:，
∴当时，，
∴乙骑自行车的速度是（米/分）．
∵乙骑自行车的时间为（分），
∴乙骑自行车的路程为（米）．
当时，甲走过的路程是（米），
∴乙到达还车点时，甲、乙两人之间的距离是（米）．
（3）乙步行的速度为：80-5=75（米/分），
乙到达学校用的时间为：25+（2700-2400）÷75=29（分），
当25≤x≤30时s关于x的函数的大致图象如图所示．
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