考点27 概率-备战2020年中考数学考点一遍过

这是一份考点27 概率-备战2020年中考数学考点一遍过，共22页。学案主要包含了事件的分类，概率的计算，利用频率估计概率，概率的应用等内容，欢迎下载使用。
考点27 概率

一、事件的分类
1．必然事件：在一定条件下一定会发生的事件，它的概率是1．
2．不可能事件：在一定条件下一定不会发生的事件，它的概率是0．
3．随机事件：在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件，它的概率是0~1之间．
二、概率的计算
1．公式法
P（A）=，其中n为所有事件的总数，m为事件A发生的总次数．
2．列举法
（1）列表法：当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，应不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法求事件发生的概率．
（2）画树状图法：当一次试验要涉及2个或更多的因素时，通常采用画树状图来求事件发生的概率．
三、利用频率估计概率
1．定义
一般地，在大量重复试验中，如果事件发生的频率稳定在某个常数P附近，因此，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率．
2．适用条件
当试验的所有可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，我们一般要通过统计频率来估计概率．
3．方法
进行大量重复试验，当事件发生的频率越来越靠近一个常数时，该常数就可认为是这个事件发生的概率．
四、概率的应用
概率是和实际结合非常紧密的数学知识，可以对生活中的某些现象做出评判，如解释摸奖、评判游戏活动的公平性、数学竞赛获奖的可能性等等，还可以对某些事件做出决策．


考向一 事件的分类
1．一般地，不确定事件发生的可能性是有大小的，它的大小要由它在整个问题中所占比例的大小来确定，它占整体的比例大，它的可能性就大，它占整体的比例小，它的可能性就小，不确定事件发生的概率在0到1之间，不包括0和1．
2．必然事件发生的机率是100%，即概率为1，不可能事件发生的机率为0，即概率为0．

典例1 下列事件中，是必然事件的是
A．掷一枚质地均匀的硬币，一定正面向上
B．车辆随机到达一个路口，遇到红灯
C．如果a2=b2，那么a=b
D．将花生油滴在水中，油会浮在水面上
【答案】
【解析】A．掷一枚质地均匀的硬币，正面向上是随机事件．
B．车辆随机到达一个路口，遇到红灯是随机事件；
C．如果a2=b2，那么a=b，也可能是a=–b，此事件是随机事件；
D．将花生油滴在水中，油会浮在水面上是必然事件；
故选D．

1．下列事件中，属于不可能事件的是
A．掷一枚骰子，朝上一面的点数为5
B．任意画一个三角形，它的内角和是178°
C．任意写一个数，这个数大于–1
D．在纸上画两条直线，这两条直线互相平行
2．口袋中装有形状、大小与质地都相同的红球2个，黄球1个，下列事件为随机事件的是
A．随机摸出1个球，是白球 B．随机摸出1个球，是红球
C．随机摸出1个球，是红球或黄球 D．随机摸出2个球，都是黄球
考向二 概率的计算
在用列举法解题时，一定要注意各种情况出现的可能性务必相同，不要出现重复、遗漏等现象．

典例2 【陕西省宝鸡市凤翔县2019–2020学年九年级上学期期末数学试题】一个布袋内只装有2个黑球和1个白球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个球后再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是黑球的概率是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】画树状图如下

共有6种等可能的结果，其中两次摸出的球都是黑球的结果有2种，
∴两次摸出的球都是黑球的概率是2÷6=，故选B．
【名师点睛】此题考查的是求概率问题，掌握画树状图的方法和概率公式求概率是解决此题的关键．
典例3 【山东省德州市武城县2019–2020学年九年级上学期期末数学试题】甲从标有1，2，3，4的4张卡片中任抽1张，然后放回.乙再从中任抽1张，两人抽到的标号的和是2的倍数的（包括2）概率是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据题意，列出所有情况，如下：
甲
乙
1
2
3
4
1
（1，1）
（1，2）
（1，3）
（1，4）
2
（2，1）
（2，2）
（2，3）
（2，4）
3
（3，1）
（3，2）
（3，3）
（3，4）
4
（4，1）
（4，2）
（4，3）
（4，4）
标号的和是2的倍数的（包括2）的情况共有8种，∴其概率为，故选A．
【名师点睛】此题主要考查对概率的求解，熟练掌握，即可解题.

3．【四川省南充市2019–2020学年九年级上学期期末数学试题】如图，转盘的红色扇形圆心角为120°．让转盘自由转动2次，指针1次落在红色区域，1次落在白色区域的概率是

A． B． C． D．
4．【江苏省泰州市泰兴市实验初级中学教育集团（联盟）2019–2020学年九年级上学期期末数学试题】实验初中有A、B两个阅览室，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个阅览室阅读．
下列事件中，是必然事件的为
A．甲、乙同学都在A阅览室；
B．甲、乙、丙同学中至少两人在A阅览室；
C．甲、乙同学在同一阅览室
D．甲、乙、丙同学中至少两人在同一阅览室
5．【安徽省芜湖市无为县2018–2019学年九年级上学期期末数学试题】如图，电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是

A． B． C． D．
考向三 利用频率估计概率
在大量重复试验中，随着统计数据的增大，频率稳定在某个常数左右，将该常数作为概率的估计值，两者的区别在于：频率是通过多次试验得到的数据，而概率是理论上事件发生的可能性，二者并不完全相同．

典例4　在一个不透明的布袋中装有黄、白两种颜色的球共40个，除颜色外其他都相同，小王通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.35左右，则布袋中黄球可能有
A．12个 B．14个
C．18个 D．28个
【答案】B
【解析】设袋子中黄球有x个，
根据题意，得：=0.35，
解得：x=14，
即布袋中黄球可能有14个，故选B．

6．做重复试验：抛掷同一枚啤酒瓶盖1000次．经过统计得“凸面向上”的频率约为0.44，则可以由此估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凹面向上”的概率约为
A．0.22 B．0.44 C．0.50 D．0.56
考向四 概率的应用
游戏是否公平在于可能性是否相等，即可能性相等，游戏公平；可能性不相等，则游戏不公平．

典例5 小亮、小芳和两个陌生人甲、乙同在如图所示的地下车库等电梯，已知两个陌生人到1至4层的任意一层出电梯，并设甲在a层出电梯，乙在b层出电梯．
（1）请你用画树状图或列表法求出甲、乙二人在同一层楼出电梯的概率；
（2）小亮和小芳打赌说：“若甲、乙在同一层或相邻楼层出电梯，则小亮胜，否则小芳胜”．该游戏是否公平？说明理由．

【解析】（1）列表如下：
甲
乙
1
2
3
4
1
（1，1）
（2，1）
（3，1）
（4，1）
2
（1，2）
（2，2）
（3，2）
（4，2）
3
（1，3）
（2，3）
（3，3）
（4，3）
4
（1，4）
（2，4）
（3，4）
（4，4）
一共出现16种等可能结果，其中出现在同一层楼梯的有4种结果，
则P（甲、乙在同一层楼梯）=．
（2）由（1）列知：甲、乙住在同层或相邻楼层的有10种结果，
故P（小亮胜）=P（同层或相邻楼层）=，P（小芳胜）=1-，
∵>，
∴游戏不公平，
修改规则：若甲、乙同住一层或相邻楼层，则小亮得3分；否则，小芳得5分．
典例5 【陕西省榆林市绥德县2019–2020学年九年级上学期期末数学试题】在数学活动课上，张明运用统计方法估计瓶子中的豆子的数量．他先取出粒豆子，给这些豆子做上记号，然后放回瓶子中，充分摇匀之后再取出粒豆子，发现其中粒有刚才做的记号，利用得到的数据可以估计瓶子中豆子的数量约为粒．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设瓶子中有豆子粒豆子，根据题意得：，解得：，
经检验：是原分式方程的解，估计瓶子中豆子的数量约为粒．故选．
【名师点睛】本题考查了用样本的数据特征来估计总体的数据特征，利用样本中的数据对整体进行估算是统计学中最常用的估算方法．

7．设a，b是两个任意独立的一位正整数，则点（a，b）在抛物线y=ax2–bx上方的概率是
A． B． C． D．


1．【江西省赣州市大余县2019–2020学年九年级上学期期末数学试题】下列说法正确的是
A．不可能事件发生的概率为；
B．随机事件发生的概率为
C．概率很小的事件不可能发生；
D．投掷一枚质地均匀的硬币次，正面朝上的次数一定是次
2．【江苏省连云港市灌云县2019–2020学年九年级上学期期末数学试题】一枚质地匀均的骰子，其六个面上分别标有数字：1，2，3，4，5，6，投掷一次，朝上面的数字大于4的概率是
A． B． C． D．
3．【山东省威海市乳山市2019–2020学年九年级上学期期末数学试题】从1，2，3，4四个数中任取一个数作为十位上的数字，再从2，3，4三个数中任取一个数作为个位上的数字，那么组成的两位数是3的倍数的概率是
A． B． C． D．
4．【广东省中山市2019–2020学年九年级上学期期末数学试题】某鱼塘里养了100条鲤鱼、若干条草鱼和50条罗非鱼，通过多次捕捞实验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右，可估计该鱼塘中草鱼的数量为
A．150 B．100 C．50 D．200
5．在一个不透明的口袋中，装有12个黄球和若干个红球，这些球除颜色外没有其他区别．小李通过多次摸球试验后发现，从中随机摸出一个红球的频率稳定在25%，则该口袋中红球的个数可能是__________．
6．不透明的布袋里有白球2个，红球10个，它们除了颜色不同其余均相同，为了使从布袋里随机摸一个球是白球的概率为，若白球个数保持不变，则要从布袋里拿去__________个红球．
7．如果m是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，n是从0，1，2三个数中任取的一个数，那么关于x的一元二次方程x2-2mx+n2=0有实数根的概率为__________．
8．一个不透明的布袋中有4个红球、5个白球、11个黄球，它们除颜色外都相同．
（1）求从袋中摸出一个球是红球的概率；
（2）现从袋中取走若干个黄球，并放入相同数量的红球，搅拌均匀后，要使从袋中摸出一个球是红球的概率不小于，问至少需取走多少个黄球？






9．某报社为了解温州市民对大范围雾霾天气的成因、影响以及应对措施的看法，做了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．不了解．根据调查统计结果，回执了不完整的三种统计图表．请结合统计图表，回答下列问题：
（1）本次参与调查的市民共有__________人，m=__________，n=__________．
（2）统计图中扇形D的圆心角是__________度．
（3）某校准备开展关于雾霾的知识竞赛，九（3）班郑老师欲从2名男生和一名女生中任选2人参加比赛，求恰好选中“1男1女”的概率（要求列表或画树状图）．

对雾霾的了解程度
百分比
A
非常了解
5%
B
比较了解
m%
C
基本了解
45%
D
不了解
n%












10．图1是一个可以自由转动的转盘，被分成了面积相等的三个扇形，分别标有数-1，-2，-3，甲转动一次转盘，转盘停止后指针指向的扇形内的数记为A（如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向某一扇形为止），图2是背面完全一样、牌面数字分别是2，3，4，5的四张扑克牌，把四张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面上，乙随机抽出一张牌的牌面数字记为B．
（1）用树状图或列表法求A+B=0的概率；
（2）甲、乙两人玩游戏，规定：当A+B是正数时，甲胜；否则，乙胜．你认为这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？为什么？如果不公平，请你修改游戏规则，使游戏公平．







1．（2019•广西）“学雷锋”活动月中，“飞翼”班将组织学生开展志愿者服务活动，小晴和小霞从“图书馆，博物馆，科技馆”三个场馆中随机选择一个参加活动，两人恰好选择同一场馆的概率是
A． B．
C． D．
2．（2019•广西）下列事件为必然事件的是
A．打开电视机，正在播放新闻
B．任意画一个三角形，其内角和是180°
C．买一张电影票，座位号是奇数号
D．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上
3．（2019•湖南长沙）下列事件中，是必然事件的是
A．购买一张彩票，中奖
B．射击运动员射击一次，命中靶心
C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
D．任意画一个三角形，其内角和是180°
4．（2019•海南）某路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当小明到达该路口时，遇到绿灯的概率是
A． B．
C． D．
5．（2019•浙江绍兴）为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区100名九年级男生，他们的身高x（cm）统计如下：
组别（cm）
x，有9个数，b=1，2，3，4，5，6，7，8，9，
当a=2时，b–8+2b>0，∴b>，有7个数，b=3，4，5，6，7，8，9，
当a=3时，b–27+3b>0，∴b>，有3个数，b=7，8，9，
当a=4时，b–64+4b>0，∴b>，有0个数，b在此以上无解，
∴共有19个，而总的可能性为9×9=81，
∴点（a，b）在抛物线y=ax2–bx的上方的概率是；
故选D．
【名师点睛】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
考点冲关

1．【答案】A
【解析】A、不可能事件发生的概率为0，故本选项正确；
B、随机事件发生的概率P为0