2023年湖南省张家界市永定区中考一模数学试题

2023年湖南省张家界市永定区中考一模数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．2023的相反数是（    ）

A． B． C． D．

2．下列选项中的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ）

A． B． C． D．

3．下列性质中，矩形不一定具有的是（    ）

A．对角线互相垂直 B．对角线相等

C．对角线互相平分 D．邻边互相垂直

4．下列各组数中，两数不相等的是（    ）

A．与 B．与

C．与 D．与

5．如图， 于点 ， 于点 ，． 要根据证明，则还需要添加的条件是（    ）

A．  B．  C．  D．

6．11的算术平方根是（    ）

A．121 B． C． D．

7．下列成语所描述的事件属于不可能事件的是（    ）

A．守株待兔 B．水中捞月 C．水滴石穿 D．百发百中

8．如图，在直角坐标系中，以坐标原点，，为顶点的，其两个锐角对应的外角角平分线相交于点，且点恰好在反比例函数的图象上，则的值为（    ）

A．36 B．25 C．16 D．9

二、填空题

9．太阳的半径约为，用科学记数法表示为______．

10．已知一组数据：6、a、3、4、8、7的众数为6，则这组数据的中位数是 _____．

11．将一副三角板如图所示放置，使点D在上，，则的度数为______．

12．已知关于的方程的一个根为，则另一个根是______．

13．不等式组的解集为，则m的取值范围为___________．

14．已知二次函数的图象如图所示，有5个结论：①；②；③； ④； ⑤，其中正确的有是_____．

三、解答题

15．计算：．

16．先化简，再求值：，其中x从，0，1，2，3中选取一个合适的数．

17．某新能源汽车经销商购进A、B两种型号的新能源汽车，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计88万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计92万元．

(1)求A、B两种型号汽车的进货单价；

(2)由于新能源汽车需求不断增加，该店准备购进A，B两种型号的新能源汽车60辆，已知A型车的售价为25万元/辆，B型车的售价为20万元/辆．根据销售经验，购进B型车的数量不少于A型车的2倍，设购进a辆A型车，60辆车全部售完获利w万元，该经销商应购进A，B两种型号车各多少辆，才能使w最大？w最大为多少万元？

18．如图，已知四边形的对角线，交于点O，O是的中点，E，F是上的点，且，．

(1)求证：；

(2)若，求证：四边形ABCD是矩形．

19．每年的4月15日是我国全民国家安全教育日．某中学在全校七、八年级共800名学生中开展“国家安全法”知识竞赛，并从七、八年级学生中各抽取20名学生统计这部分学生的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分10分，6分及以上为合格）．相关数据统计、整理如下：

八年级抽取的学生的竞赛成绩：

　4，4，6，6，6，6，7，7，7，8，8，8，8，8，8，9，9，9，10，10．

根据以上信息，解答下列问题：

（1）填空：a=_____，b=____，c=____．

（2）估计该校七、八年级共800名学生中竞赛成绩达到9分及以上的人数；

（3）根据以上数据分析，从一个方面评价两个年级“国家安全法”知识竞赛的学生成绩谁更优异．

20．空中缆车是旅游时上、下山和进行空中参观的交通工具．小明一家去某著名风景区旅游，准备先从山脚A走台阶步行到B，再换乘缆车到山顶C．从A到B的路线可看作是坡角为30°的斜坡，长度为1200米；从B到C的缆车路线可看作是直线，其与水平线的夹角为45°，且缆车从B到C的平均速度为6米/秒，运行时间为10分钟，求山顶C到AD的距离（结果保留根号）．

21．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2019年1月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分，将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：，．不难发现，结果都是48．

（1）请证明发现的规律；

（2）若用一个如图所示菱形框，再框出5个数字，其中最小数与最大数的积为435，求出这5个数中的最大数；

（3）嘉琪说：她用一个如图所示菱形框，框出5个数字，其中最小数与最大数的积是95，直接判断他的说法是否正确（不必叙述理由）．

22．如图，点在的直径的延长线上，点在上，平分，于点．

(1)求证：是的切线．

(2)是的切线，为切点，若，，求的长．

23．已知抛物线与轴交于点、，与轴交于点.

(1)求抛物线解析式；

(2)如图①，若点是第一象限内抛物线上一动点，过点作于点，求线段长的最大值

(3)如图②，若点是抛物线上另一动点，点是平面内一点，是否存在以点、、、为顶点，且以为边的矩形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由

参考答案：

1．A

【分析】利用相反数的定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数判断．

【详解】解：2023的相反数是．

故选：A．

【点睛】本题考查了相反数，掌握相反数的定义是关键．

2．D

【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．

【详解】解：A、不是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；

B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；

C、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；

D、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；

故选：D．

【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．

3．A

【分析】根据矩形的性质解答即可．

【详解】解：A、矩形的对角线平分、相等，故A选项不正确，符合题意；

B、矩形的对角线平分、相等，故B选项正确，但不符合题意；

C、矩形的对角线平分、相等，故C选项正确，但不符合题意；

D、矩形的四个角都是直角，则邻边互相垂直，故D选项正确，但不符合题意；

故选：A．

【点睛】本题考查矩形的性质：对边平行且相等，矩形的对角线平分、相等，四个角都是直角．

4．A

【分析】根据有理数的乘方运算和绝对值的意义逐一进行计算即可得到答案．

【详解】解：A、，，两数不相等，符合题意，选项正确；

B、，，两数相等，不符合题意，选项错误；

C、，，两数相等，不符合题意，选项错误；

D、，，两数相等，不符合题意，选项错误，

故选A．

【点睛】本题考查了有理数的乘方，绝对值，熟练掌握相关运算法则是解题关键．

5．D

【分析】根据直角三角形全等的判定方法进行判断．

【详解】解：∵于点D，于点F，

∴，

∵，

∴当添加时，根据“”判断．

故选：D．

【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．

6．C

【分析】根据算术平方根的定义即可判断.

【详解】11的算术平方根是，

故选C.

【点睛】此题主要考查算术平方根的定义，解题的关键是熟知算术平方根的定义.

7．B

【分析】根据必然事件就是一定发生的事件逐项判断即可．

【详解】解：A、守株待兔是随机事件，故该选项不符合题意；

B、水中捞月是不可能事件，故该选项符合题意；

C、水滴石穿是必然事件，故该选项不符合题意；

D、百发百中是随机事件，故该选项不符合题意．

故选：B．

【点睛】本题主要考查了必然事件的概念，掌握必然事件指在一定条件下一定发生的事件是解答本题的关键．

8．A

【分析】过P分别作轴、y轴的垂线，垂足分别为，如图，利用勾股定理计算出，根据角平分线的性质得，设，利用面积的和差求出t得到P点坐标，然后把P点坐标代入中求出k的值．

【详解】解：过P分别作轴、y轴的垂线，垂足分别为，如图所示，

∵，

∴，

∴，

∵的两个锐角对应的外角角平分线相交于点P，

∴，

∴，

设，则PC＝t，

∵，

∴，

解得，

∴，

把代入得．

故选：A．

【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了角平分线的性质和三角形面积公式．

9．

【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．

【详解】解：

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．

10．6

【分析】一组数据中出现次数最多的数据是这组数据的众数，根据众数的定义求解， 再把这组数据按照从小到大重新排列，求解最中间两个数的平均数可得这组数据的中位数．

【详解】解：∵这组数据6、a、3、4、8、7的众数为6，

∴，

把这一组数据从大到小排列为8、7、6、6、4、3，位于正中间的的两个数为6，6，，

∴，

故答案为：6．

【点睛】本题考查的是众数与中位数，由众数为6得到是解本题的关键．

11．/75度

【分析】根据平行线的性质可得，再由三角形外角的性质，即可求解．

【详解】解：∵，

∴，

∵，

∴．

故答案为：

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．

12．

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求解．

【详解】解：设方程的另一个根为，

则

解得：，

故答案为：．

【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．

13．

【分析】先求出不等式组的解集，再根据已知条件判断m范围即可．

【详解】解：，

解不等式①得：，

又因为不等式组的解集为，

∵，

∴，

故答案为：．

【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集和已知得出m的范围是解此题的关键．

14．②④⑤

【分析】根据抛物线的开口方向、、时的函数值小于0、对称轴及函数的最大值逐一判断可得．

【详解】∵抛物线的开口向下，

∴，

∵，

∴，

∵抛物线与轴的交点在轴的上方，

∴，

∴，

∴结论①错误；

∵当时，，即，

∴结论②正确；

∵当和时，函数值相等，均小于0，

∴，

∴结论③错误；

∵，

∴，

∵由时，得，即，

∴结论④正确；

∴由图象知当时函数取得最大值，

∴，即，

∴结论⑤正确．

故填：②④⑤．

【点睛】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；②一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置；当与同号时(即)，对称轴在轴左侧；当与异号时(即)，对称轴在轴右侧，（简称：左同右异）③常数项决定抛物线与轴交点，抛物线与轴交于．

15．

【分析】根据有理数的乘方，化简绝对值，特殊的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂进行计算即可求解．

【详解】解∶原式

．

【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握有理数的乘方，化简绝对值，特殊的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂是解题的关键．

16．，

【分析】根据分式的混合运算进行计算，然后根据分式有意义的条件，取代入化简结果进行计算即可求解．

【详解】解：原式

∵取，，时，原分式没有意义，

当时，原式．

【点睛】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．

17．(1)A型汽车每辆的进价为20万元，B型汽车每辆的进价为16万元．

(2)该店应购进A型汽车20辆、B型汽车40辆时，利润最大，最大利润是260万元．

【分析】（1）设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元，然后根据“2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计88万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计92万元”列二元一次方程组求解即可；

（2）根据“利用总利润=每辆车的销售利润×购进数量”可得，然后再根据“购进B型车的数量不少于A型车的2倍”列出不等式求得a的取值范围，然后再根据一次函数的增减性即可解答．

【详解】（1）解：设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元．

依题意，得：，解得：．

答：A型汽车每辆的进价为20万元，B型汽车每辆的进价为16万元．

（2）解：，

∵，

∴，

∵，

∴w随a的增大而增大，

∴当a＝20时，．

答：该店应购进A型汽车20辆、B型汽车40辆时，利润最大，最大利润是260万元．

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用等知识点，找准等量关系、正确列出二元一次方程组以及列出w关于a的函数关系式是解答本题的关键．

18．(1)见解析

(2)见解析

【分析】（1）由平行线的性质得到两组角对应相等，由中点的性质以及线段的和差得到一组对边相等，利用判定．

（2）由对角线互补判定四边形是平行四边形，进而由对角线相等的平行四边形是矩形判定即可．

【详解】（1）证明：∵，

∴，，

∵O为的中点，即，，

∴，即，

在和中，

∴．

（2）证明：∵，

∴．

∵，

∴四边形是平行四边形．

∵，

∴，即，

∴四边形为矩形．

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，平行四边形的判定，矩形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握这些判定定理与性质定理．

19．（1）7.5，8，8；（2）200人；（3）八年级的学生成绩更优异．

【分析】（1）由图表可求解；

（2）利用样本估计总体思想求解可得；

（3）由八年级的合格率高于七年级的合格率，可得八年级“国家安全法”知识竞赛的学生成绩更优异．

【详解】解：（1）由图表可得：，，，

故答案为：7.5，8，8；

（2）该校七、八年级共800名学生中竞赛成绩达到9分及以上的人数为：（人，

答：该校七、八年级共800名学生中竞赛成绩达到9分及以上的人数为200人；

（3）八年级的合格率高于七年级的合格率，

八年级“国家安全法”知识竞赛的学生成绩更优异．

【点睛】本题考查中位数、众数、平均数的意义和计算方法，理解各个概念的内涵和计算方法，是解题的关键．

20．600（1+3）米

【分析】过C点作CG⊥AD于G，过B点作BF⊥AD于F，BE⊥CG于E，则四边形BEGF是矩形，那么EG＝BF．解直角△ABF求出BF，解直角△DAE求出CE，代入CG＝CE+EG，即可求出答案．

【详解】解：如图，过C点作CG⊥AD于G，过B点作BF⊥AD于F，BE⊥CG于E，则四边形BEGF是矩形．

在直角△ABF中，∠A＝30°，

∴BF＝AB•sin30°＝1200×＝600（米），

∴EG＝BF＝600（米）．

由题意，可得BC＝6×10×60＝3600（米），

在直角△DAE中，∠CBE＝45°，

∴CE＝CE＝×3600＝1800（米），

∴CG＝CE+EG＝＝600（1+3）米，

则山顶C到AD的距离是600（1+3）米．

【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，添加辅助线构造直角三角形，解直角三角形，熟练构造直角三角形，灵活解直角三角形是解题的关键．

21．（1）证明见解析；（2）这5个数中最大数为29．（3）嘉琪的说法不正确．

【分析】（1）、根据题目数据，设中间的数为a，则另外4个数可以用a的式子表示出来，即可列出算式进行证明；

（2）、设最大数为x，列出方程组解答即可；

（3）参考（2）问题思路，解出最大数，然后根据最大数所在位置即可判定．

【详解】（1）证明：设中间的数为a，则另外4个数分别为（a﹣7），（a﹣1），（a+1），（a+7），

∴（a﹣1）（a+1）﹣（a﹣7）（a+7），

=a2﹣1﹣（a2﹣49），

=48．

（2）解：设这5个数中最大数为x，则最小数为（x﹣14），

依题意，得：x（x﹣14）＝435，

解得：x1＝29，x2＝﹣15（不合题意，舍去）．

答：设这5个数中最大数为29．

（3）嘉琪的说法不正确．

设这5个数中最大数为y，则最小数为（y﹣14），依题意，得：y（y﹣14）=95，解得：y1＝19，y2＝﹣5（不合题意，舍去）．∵19在日历的最后一列，∴不符合题意，∴嘉琪的说法不正确．

【点睛】本题考查方程的应用问题，解题关键是准确的设未知数，然后列出方程解答．

22．(1)见解析

(2)

【分析】（1）连接，证明，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理证明结论；

（2）连接，根据切线的性质得到，根据含角的直角三角形的性质求出，根据弧长公式计算，得到答案．

【详解】（1）证明：连接，如图所示，

，

，

平分，

，

，

，

，

，

为的半径，

是的切线；

（2）解：连接，

是的切线，是的切线，，

，，

，，

，

，，

，

∴的长为：．

【点睛】本题考查的是切线的判定和性质、弧长的计算，掌握切线的判定定理、弧长公式是解题的关键．

23．(1)抛物线解析式为

(2)的长的最大值为

(3)存在，点的坐标为或

【分析】（1）根据题意，设抛物线解析式为，再把代入，计算即可得出答案；

（2）过点作轴交于点，交于点，根据题意，得出，进而得出，再根据直角三角形两锐角互余，得出，再根据对顶角相等，得出，进而得出是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质，得出，再根据待定系数法求出直线的解析式，然后设点，则，再根据两点之间的距离公式，得出，再根据，得出，再根据二次函数的性质，即可得出答案；

（3）根据题意，设，然后分两种情况：当、在直线的上方时和当、在直线的下方时，根据相似三角形的判定与性质，矩形的性质，等腰直角三角形的性质，即可得出点的坐标．

【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点、，

∴设抛物线解析式为，

又∵抛物线与轴交于点，

∴把代入，

可得：，

解得：，

∴抛物线解析式为；

（2）解：过点作轴交于点，交于点，

∵，，

∴，

∴，

∵轴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴是等腰直角三角形，

∴，

设直线的解析式为，

∵，，

∴可得：，

解得：，

∴直线的解析式为，

设点，则，

∴，

∴，

∴当时，的长的最大值为；

（3）解：存在以点、、、为顶点，且以为边的矩形，理由如下：

设，

如图1，当、在直线的上方时，过点作轴交于点，过点作轴交于点，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，即，

解得：，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴；

如图2，当、在直线的下方时，过点作轴，过点作交于点，过点作交于点，过点作交于点，

同理可得：，

∴，即，

解得：（舍去）或，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

综上所述：点的坐标为或．

【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象与性质、直角三角形两锐角互余、等腰直角三角形的性质、求一次函数解析式、两点之间的距离公式、相似三角形的判定与性质、矩形的性质，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理，并正确作出辅助线．