2023年山东省济南市平阴区中考一模数学试题

这是一份2023年山东省济南市平阴区中考一模数学试题，共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年山东省济南市平阴区中考一模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．﹣6的相反数是（　　）
A．﹣6 B．﹣ C．6 D．
2．左下图是一些完全相同的小正方体搭成的几何体的三视图 ．这个几何体只能是（ ）

A． B． C． D．
3．中国科学技术大学利用“墨子号”科学实验卫星，首次实现在地球上相距1200公里的两个地面站之间的量子态远程传输，对于人类构建全球化量子信息处理和量子通信网络迈出重要一步，1200这个数用科学记数法可表示为（    ）
A． B． C． D．
4．已知直线，将含30°角的直角三角板按图所示摆放．若，则（    ）

A．120° B．130° C．140° D．150°
5．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
6．实数，在数轴上的位置如图所示，则 （   ）

A． B．
C． D．
7．2022年2月20日北京冬奥会大幕落下，中国队在冰上、雪上项目中，共斩获9金4银2铜，创造中国队冬奥会历史最好成绩某校为普及冬奥知识，开展了校内冬奥知识竞赛活动，并评出一等奖3人．现欲从小明等3名一等奖获得者中任选2名参加全市冬奥知识竞赛，则小明被选到的概率为（    ）
A． B． C． D．
8．反比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象可能是（    ）
A． B．
C． D．
9．如图所示，在中，按下列步骤作图：
第一步：在上分别截取，使；
第二步：分别以点D和点E为圆心、适当长（大于的一半）为半径作圆弧，两弧交于点F；
第三步：作射线交于点M；
第四步：过点M作于点N．
下列结论一定成立的是(   )

A． B． C． D．
10．已知二次函数，若时，函数的最大值与最小值的差为4， 则a的值为（　　）
A． B． C．或 D．1或

二、填空题
11．因式分解：_________．
12．如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成．向游戏板随机投掷一枚飞镖（每次飞镖均落在纸板上），击中阴影区域的概率是_______．

13．计算：___________．
14．如图，将一个正六边形与一个正五边形如图放置，顶点A、B、C、D四点共线，E为公共顶点．则∠BEC＝_____．

15．如图，以边长为2的等边顶点A为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与边相切，分别交于D，E，则图中阴影部分的面积是______．

16．平面直角坐标系中，若点P的坐标为，点Q的坐标为，其中m为常数，则称点Q是点P的m级派生点，例如点的3级派生点是，即．如图点是点的级派生点，点A在x轴上，且，则点A的坐标为___________．


三、解答题
17．计算：
18．解不等式组：，并写出它的正整数解．
19．如图，在▱ABCD中，E、F分别是对角线BD上的两点．且BF=DE，求证:AF＝CE.

20．第24届冬奥会于2022年2月20日在北京胜利闭幕．某校七、八年级各有500名学生．为了解这两个年级学生对本次冬奥会的关注程度，现从这两个年级各随机抽取n名学生进行冬奥会知识测试，将测试成绩按以下六组进行整理（得分用x表示）：
A：，B：，C：，
D：，E：，F：，
并绘制七年级测试成绩频数直方图和八年级测试成绩扇形统计图，部分信息如下：

已知八年级测试成绩D组的全部数据如下：86，85，87，86，85，89，88
请根据以上信息，完成下列问题：
(1)n＝______，a＝______；
(2)八年级测试成绩的中位数是______﹔
(3)若测试成绩不低于90分，则认定该学生对冬奥会关注程度高．请估计该校七、八两个年级对冬奥会关注程度高的学生一共有多少人，并说明理由．
21．如图，小敏在数学实践活动中，利用所学知识对他所在小区居民楼AB的高度进行测量，从小敏家阳台C测得点A的仰角为33°，测得点B的俯角为45°，已知观测点到地面的高度CD＝36m，求居民楼AB的高度（结果保留整数．参考数据：sin33°≈0.55，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65）．

22．如图，内接于，，是的直径，是延长线上一点，且．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求线段的长．
23．小张去文具店购买作业本，作业本有大、小两种规格，大本作业本的单价比小本作业本贵0.3元，已知用8元购买大本作业本的数量与用5元购买小本作业本的数量相同．
（1）求大本作业本与小本作业本每本各多少元？
（2）因作业需要，小张要再购买一些作业本，购买小本作业本的数量是大本作业本数量的2倍，总费用不超过15元．则大本作业本最多能购买多少本？
24．如图，在平面直角坐标系中，菱形的对角线与交于点，轴于点E，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A、P两点．

(1)求m、n的值；
(2)求证：；
(3)求的值．
25．如图1，已知和均为等腰直角三角形，点D、E分别在线段上，．

(1)观察猜想：如图2，将绕点A逆时针旋转，连接，的延长线交于点F．当的延长线恰好经过点E时，点E与点F重合，此时，
①的值为 　 　；
②的度数为 　 　度；
(2)类比探究：如图3，继续旋转，点F与点E不重合时，上述结论是否仍然成立，请说明理由．
(3)拓展延伸：若，，当所在的直线垂直于时，请直接写出线段的长．
26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，．

(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线交于点，过点作轴的平行线交轴于点，求的最大值及此时点的坐标；
(3)在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位，点为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的点的坐标．

参考答案：
1．C
【分析】根据相反数的意义，即可解答．
【详解】解：的相反数是6，
故选：C．
【点睛】本题考查了相反数，熟练掌握相反数的意义是解题的关键．
2．A
【详解】试题分析：根据几何体的主视图可判断C不合题意；根据左视图可得B、D不合题意，因此选项A正确，故选A．
考点：几何体的三视图

3．C
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【详解】解：1200＝1.2×103，
故选：C．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．D
【分析】根据平行线的性质可得∠3=∠1=120°，再由对顶角相等可得∠4=∠3=120°，然后根据三角形外角的性质，即可求解．
【详解】解：如图，

根据题意得：∠5=30°，
∵，
∴∠3=∠1=120°，
∴∠4=∠3=120°，
∵∠2=∠4+∠5，
∴∠2=120°+30°=150°．
故选：D
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，对顶角相等，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质，对顶角相等，三角形外角的性质是解题的关键．
5．D
【分析】根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义，对选项逐个判断，即可判断出答案．
【详解】解：A、该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
B、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
C、该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
D、该图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查了中心对称图形和轴对称图形的概念，掌握相关概念是解题的关键，图形绕一点旋转180度后能够与原图形完全重合则此图形为中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
6．C
【分析】根据数轴上点的位置，可得，进而逐项分析判断即可求解．
【详解】解：根据数轴上点的位置，可得，
，
故选C．
【点睛】本题考查了实数与数轴，根据数轴上点的位置判断实数的大小，数形结合是解题的关键．
7．D
【分析】根据题意，列出树状图，即可得出答案．
【详解】记小明为，其他2名一等奖为，
列树状图如下：

故有6种等可能性结果，其中小明被选中得有4种，故明被选到的概率为．
故选：D．
【点睛】此题考查了列表法或树状图法:通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
8．B
【分析】分类考虑a与b的符号，根据反比例函数的性质、一次函数的性质即可判断反比例函数的图象所处象限和一次函数的图象增减性以及与y轴的交点位置即可．
【详解】解：当ab＞0，即a，b同号，
当a＞0，则b＞0，
反比例函数图像在一、三象限，一次函数图像自左向右上升，交y轴正半轴，故选项A不正确
当a＜0，则b＜0，
反比例函数图像在一、三象限，一次函数图像自左向右下降，交y轴负半轴，故选项C不正确
当ab＜0，即a，b异号，
当a＞0，则b＜0，
反比例函数图像在二、四象限，一次函数图像从自左向右上升，交y轴负半轴，故选项B正确
当a＜0，则b＞0，
反比例函数图像在二、四象限，一次函数图像从自左向右下降，交y轴正半轴，故选项D不正确
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象，熟练掌握一次函数的性质和反比例函数的性质是解题的关键．
9．C
【分析】根据题意可知，平分，即可得出正确答案．
【详解】解：由题意可知，平分，
∵不一定等于90°，∴，因此A选项不正确；
∵不一定等于90°，∴不一定等于，因此B选项不正确；
∵平分，∴，因此C选项不正确；
∵不一定等于90°，∴不一定等于，因此D选项不正确；
故选C．
【点睛】本题考查了尺规作图——角平分线，角平分线的性质，全等三角形的判定，掌握角平分线的作图方法是本题的关键．
10．B
【分析】分和两种情况，分别求出y的最大值和最小值，即可求解．
【详解】解：当时，
∵对称轴为，
当时，y有最小值为2，当时，y有最大值为，
∴．
∴，
当时，同理可得：y有最大值为2； y有最小值为，
∴，
∴．
综上，a的值为．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图像上点的坐标特征等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键．
11．
【详解】根据分解因式提取公因式法，将方程a2+2a提取公因式为a（a+2）．故a2+2a=a（a+2）．
故答案是a（a+2）．
12．
【分析】根据几何概率的求解公式即可求解.
【详解】解：设图中每个小正方形的面积为1，则大正方形的面积为9，
根据题意图中阴影部分的面积为3，
则P（击中阴影区域）．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查概率的求解，解题的关键是熟知几何概率的公式.
13．/
【分析】分母相同，分子直接相加，根据完全平方公式的逆用即可得．
【详解】解：原式=,
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的加法，解题的关键是掌握完全平方公式．
14．48°/48度

【分析】根据多边形的内角和，分别得出∠ABE＝120°，∠DCE＝108°，再根据平角的定义和三角形的内角和算出∠BEC．
【详解】解：由多边形的内角和可得，
∠ABE＝ ＝120°，
∴∠EBC＝180°﹣∠ABE＝180°﹣120°＝60°，
∵∠DCE＝＝108°，
∴∠BCE＝180°﹣108°＝72°，
由三角形的内角和得：
∠BEC＝180°﹣∠EBC﹣∠BCE＝180°﹣60°﹣72°＝48°．
故答案为：48°．
【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，掌握定理是解题的关键．
15．
【分析】作，由勾股定理求出，然后根据得出答案．
【详解】解：由题意，以A为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与边相切，
设切点为F，连接，则．

等边中，，
∴．
在中，

故答案为：
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，求扇形面积，理解切线的性质，将阴影部分的面积转化为三角形的面积-扇形的面积是解题的关键．
16．或
【分析】根据派生点的定义，可列出关于x，y的二元一次方程组，求出x、y，即得出P点的坐标；进而求出点A坐标．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
∴，
设点，
由得：，
解得：或，
∴或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查坐标与图形的性质，二元一次方程组的应用；理解派生点的定义，根据派生点求出P点坐标是解答本题的关键．
17．
【分析】先计算负整数指数幂、化简二次根式、零指数幂、特殊角三角函数值，再计算实数的混合运算．
【详解】解：


．
【点睛】本题考查了负整数指数幂、零指数幂、特殊角三角函数值等知识点，熟练掌握各运算法则是解题关键．
18．不等式组的解集为：．它的正整数解为：1，2．
【分析】解不等式组求出它的解集，再取正整数解即可．
【详解】解：，
不等式①的解集为：．
不等式②的解集为：．
∴不等式组的解集为：．
∴不等式组的的正整数解为：1，2．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的解法和一元一次不等式组的正整数解，利用一元一次不等式组的解法正确求得不等式组的解集是解题的关键．
19．证明见解析.
【分析】连接AC交BD于点O，连接AE，CF，根据平行四边形的对角线互相平分可得OA=OC，OB=OD，然后求出OE=OF，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明．
【详解】证明：如图，连接AC交BD于点O，

在▱ABCD中，OA=OC，OB=OD，
∵BF=DE，
∴BF-OB =DE-OD，
即OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）；
∴AF＝CE．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定和性质：平行四边形的对角线互相平分；对角线互相平分的四边形是平行四边形．
20．(1)20；4
(2)86.5
(3)该校七、八两个年级对冬奥会关注程度高的学生一共有人．

【分析】（1）八年级D组：的频数为7÷D组占35%求出n，再利用样本容量减去其他四组人数÷2求即可；
（2）根据中位数定义求解即可；
（3）先求出七八年级不低于90分的人数，求出占样本的比，用两个年级总数×计算即可．
【详解】（1）解：八年级测试成绩D组：的频数为7，由扇形统计图知D组占35%，
∴进行冬奥会知识测试学生数为n=7÷35%=20，
∴，
故答案为：20；4；
（2）解：A、B、C三组的频率之和为5%+5%+20%=30%＜50%，
A、B、C、D四组的频率之和为30%+35%=65%＞50%，
∴中位数在D组，将D组数据从小到大排序为85，85，86，86，87， 88 ，89，
∵20×30%=6，第10与第11两个数据为86，87，
∴中位数为，
故答案为：86.5；
（3）解：八年级E：，F：两组占1-65%=35%，
共有20×35%=7人
七年级E：，F：两组人数为3+1=4人，
两年级共有4+7=11人，
占样本，
∴该校七、八两个年级对冬奥会关注程度高的学生一共有（人）．
【点睛】本题考查从频率直方图和扇形统计图获取信息与处理信息，样本的容量，频数，中位数，用样本的百分比含量估计总体中的数量，掌握样本的容量，频数，中位数，用样本的百分比含量估计总体中的数量是解题关键．
21．59m
【分析】过点C作CE⊥AB于点E，则∠AEC＝∠BEC＝90°，先证明四边形BECD是矩形，BE＝CD＝36m，在Rt△BCE中，∠BCE＝45°，BE＝CE＝CD＝36m，在Rt△ACE中，∠ACE＝33°，CE＝36m，求得AE≈23.4m，进而得到居民楼AB的高度．
【详解】解：如图，过点C作CE⊥AB于点E，则∠AEC＝∠BEC＝90°，

由题意可知∠CDB＝∠DBE＝90°，
∴四边形BECD是矩形，
∴BE＝CD＝36m，
由题意得，CD＝36m，∠BCE＝45°，∠ACE＝33°，
在Rt△BCE中，∠BCE＝45°，
∴∠EBC＝90°－∠BCE＝45°，
∴∠EBC＝∠BCE，
∴BE＝CE＝CD＝36m，
在Rt△ACE中，∠ACE＝33°，CE＝36m，
∴AE＝CEtan33°≈23.4m，
∴AB＝AE＋BE＝23.4＋36＝59.4≈59（m）．
答：居民楼AB的高度约为59m．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题，熟练掌握直角三角形的边角关系是解题的关键．
22．(1)见解析
(2)4

【分析】（1）根据直径所对的圆周角是90°，得出，根据圆周角定理得到，推出，即可得出结论；
（2）根据得出，再根据勾股定理得出CE即可．
【详解】（1）证明：∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵为的半径，
∴是的切线；
（2）由（1）知，
在和中，
∵，，
∴，
即，
∴，
在中，
，，
∴，
解得．
【点睛】本题主要考查圆的综合题，熟练掌握圆周角定理，切线的判定，勾股定理等知识是解题的关键．
23．（1）大本作业本每本0.8元，小本作业本每本0.5元．（2）大本作业本最多能购买8本．
【分析】（1）设小本作业本每本x元，则大本作业本每本（x+0.3）元，根据数量=总价÷单价结合用8元购买大本作业本的数量与用5元购买小本作业本的数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设大本作业本购买m本，则小本作业本购买2m本，根据总价=单价×数量结合总费用不超过15元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论．
【详解】解：（1）设小本作业本每本元，则大本作业本每本（x+0.3）元，
依题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴．
答：大本作业本每本0.8元，小本作业本每本0.5元．
（2）设大本作业本购买本，则小本作业本购买本，
依题意，得：，
解得：．
∵为正整数，
∴的最大值为8．
答：大本作业本最多能购买8本．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
24．(1)；
(2)见解析
(3)．

【分析】（1）根据点P的坐标，利用待定系数法可求出m，n的值；
（2）由菱形的性质可得出，，利用平行线的性质可得出，结合轴可得出，进而证出结论；
（3）由对称性求得点A的坐标，可得出的长，由相似三角形的性质可得出，再利用正弦的定义即可求出的值．
【详解】（1）解：∵正比例函数，反比例函数均经过点，
∴，
解得：；
（2）证明：∵四边形是菱形，
∴，，
∴，即．
∵轴，
∴，
∴；
（3）解：∵正比例函数与反比例函数均是中心对称图形，则其两个交点也成中心对称点，
∵，
∴A点的坐标是．
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、待定系数法反比例函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质、相似三角形的判定与性质以及解直角三角形，熟练掌握是解题的关键．
25．(1)，45
(2)成立，理由见解析
(3)的长为或．

【分析】（1）如图所示，设与交于O，求得，，，证明，据此求解即可；
（2）同（1）求解即可；
（3）分两种情形：如图3-1和图3-2所示，分别求出，根据（1）（2）的方法求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，设与交于O，

∵和都是等腰直角三角形，，
∴，
∴，，，即，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
由于点E与点F重合，
∴，
故答案为：，45；
（2）解：设与交于O，

∵和都是等腰直角三角形，，
∴，
∴，，，即，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴；
（3）解：如图3-1所示，当于O时，

∵和都是等腰直角三角形，，，
∴同（1）可得，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理可证，
∴，
∴；
如图3-2所示，当时，延长交于O．

同理可得，，，
∴；
综上所述，的长为或．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线，解题的关键在于能找到相似三角形进行求解．
26．(1)该抛物线的函数表达式为；
(2)的最大值为，此时；
(3)点N的坐标为或或．

【分析】（1）将点A，B的坐标代入抛物线中求出b，c即可；
（2）设交于H，可得，求出直线的解析式，设，则，，表示出，然后根据二次函数的性质求出最值即可；
（3）根据平移的性质可得平移后抛物线解析式及点E、F坐标，设，，分情况讨论：①当为对角线时，②当为对角线时，③当为对角线时，分别根据对角线交点的横坐标相同列式计算即可．
【详解】（1）解：将点，代入得：，
解得：，
∴该抛物线的函数表达式为：；
（2）解：如图，设交于H，

∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
设直线的解析式为，
则，解得：，
∴直线的解析式为，
设，则，，
∴


，
∴当时，取得最大值，此时；
（3）解：由题意得：平移后抛物线解析式为，，
∴，
∵抛物线的对称轴为，
∴设，，
分情况讨论：
①当为对角线时，
则，
解得：，此时，
∴点N的坐标为；
②当为对角线时，
则，即，
此时，
∴点N的坐标为；
③当为对角线时，
则，即，
此时，
∴点N的坐标为，
综上所述，点N的坐标为或或．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法，二次函数的图象和性质，一次函数的性质，二次函数的最值，二次函数图象的平移，平行四边形的性质等知识，解题的关键是学会用待定系数法求二次函数解析式，根据二次函数解析式求最大值以及利用平行四边形的性质列方程．