重庆市万州2023届高三下学期第二次诊断数学试题

这是一份重庆市万州2023届高三下学期第二次诊断数学试题，共27页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，双空题等内容，欢迎下载使用。

重庆市万州2023届高三下学期第二次诊断数学试题

一、单选题
1．设全集，，（    ）
A． B． C． D．
2．设，为两条直线，，为两个平面，则下列说法正确的是（    ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
3．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，点D，E分别是边BC，BA的中点，且AD，CE交于点O，则四边形BDOE的面积为（    ）
A． B． C． D．
4．展开式中的常数项为（ ）
A．80 B．-80 C．40 D．-40
5．已知定义在上的奇函数满足:当时, ,若不等式对任意实数恒成立,则实数的取值范围是（   ）
A． B．
C． D．
6．在如图所示的三棱柱中，已知，点在底面上的射影是线段的中点，则直线与直线所成角的正切值为（   ）

A． B． C． D．
7．设，，，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知定义在R的函数对任意的x满足，当，．函数 ，若函数在 上有6个零点，则实数a的取值范围是（     ）
A． B． C． D．

二、多选题
9．为庆祝建党100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进全体党员干部职工对党史知识的了解，某单位组织开展党史知识竞赛活动，以支部为单位参加比赛，某支部在5道党史题中(有3道选择题和道填空题)，不放回地依次随机抽取道题作答，设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B为“第次抽到选择题”，则下列结论中正确的是（    ）
A． B．
C． D．
10．已知圆M：，点P为x轴上一个动点，过点P作圆M的两条切线，切点分别为A，B，直线AB与MP交于点C，则下列结论正确的是（    ）
A．四边形PAMB周长的最小值为 B．的最大值为2
C．若，则的面积为 D．若，则的最大值为
11．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于，两点，若，则（    ）


A．
B．双曲线的离心率
C．双曲线的渐近线方程为
D．原点在以为圆心，为半径的圆上
12．用符号表示不超过的最大整数，例如：，.设有3个不同的零点，，，则（    ）
A．是的一个零点
B．
C．的取值范围是
D．若，则的范围是.

三、填空题
13．已知函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，且当时，．若，则______．
14．已知，函数，若对任意，，恒成立，则的取值范围是__________.
15．在中，若，则的最大值为_____.

四、解答题
16．已知数列的前项和为，数列中，，，且.
（1）设，求证：是等比数列；
（2）求数列的通项公式.
17．在2018年俄罗斯世界杯期间,莫斯科的部分餐厅经营了来自中国的小龙虾,这些小龙虾标有等级代码.为得到小龙虾等级代码数值与销售单价之间的关系,经统计得到如下数据：
等级代码数值
38
48
58
68
78
88
销售单价(元
16.8
18.8
20.8
22.8
24
25.8
（1）已知销售单价与等级代码数值之间存在线性相关关系,求关于的线性回归方程(系数精确到0.1)；
（2）若莫斯科某餐厅销售的中国小龙虾的等级代码数值为98，请估计该等级的中国小龙虾销售单价为多少元？
参考公式：对一组数据,，····,其回归直线的斜率和截距最小二乘估计分别为：,.
参考数据：,.
18．如图，四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB，E为PC中点．

（Ⅰ）证明：BE∥平面PAD；
（Ⅱ）若AB⊥平面PBC，△PBC是边长为2的正三角形，求点E到平面PAD的距离．
19．如图，某市一学校H位于该市火车站O北偏东45°方向，且OH＝4km，已知OM，ON是经过火车站O的两条互相垂直的笔直公路，CE，DF及圆弧CD都是学校道路，其中CE∥OM，DF∥ON，以学校H为圆心，半径为2km的四分之一圆弧分别与CE，DF相切于点C，D.当地政府欲投资开发△AOB区域发展经济，其中A，B分别在公路OM，ON上，且AB与圆弧CD相切，设∠OAB＝θ，△AOB的面积为Skm2．

（1）求S关于θ的函数解析式；
（2）当θ为何值时，△AOB面积S为最小，政府投资最低？
20．设椭圆的右焦点为，离心率为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 .
（1）求椭圆的方程;
（2）若上存在两点，椭圆上存在两个点满足：三点共线，三点共线，且，求四边形的面积的最小值.
21．已知函数
(1)求函数的极值;
(2)若且，证明：，

五、双空题
22．已知为双曲线的左右焦点，过点作一条渐近线的垂线交双曲线右支于点P，直线与y轴交于点Q（P，Q在x轴同侧），连接，如图，若内切圆圆心恰好落在以为直径的圆上，则________；双曲线的离心率________．


参考答案：
1．C
【分析】利用补集的定义直接求解.
【详解】因为全集，，
所以.
故选：C
2．C
【分析】根据直线与直线，平面与平面的位置关系，依次判断选项即可.
【详解】由，为两条直线，，为两个平面，
在A中，若，，则，平行或异面，故A错误；
在B中，若，，则在内或 ，故B错误；
在C中，若，，则，故C正确；
在D中，若，，则在内或，故D错误.
故选：C.
3．C
【分析】利用余弦定理求出，连接BO，利用重心性质得到，从而求出四边形BDOE的面积为，得到答案.
【详解】如图，连接BO，

∵，，，
∴，
∵，
∴，
因为点D，E分别是边BC，BA的中点，且AD，CE交于点O，
所以O为的重心，则，则，
又因为，所以，同理，，
设四边形BDOE的面积为，
则，
其中，故.
即四边形BDOE的面积为.
故选：C
4．C
【分析】先求出展开式的通项，然后求出常数项的值
【详解】 展开式的通项公式为:，化简得，令，即，故展开式中的常数项为.
故选：C.
【点睛】本题主要考查二项式定理、二项展开式的应用，熟练运用公式来解题是关键.
5．A
【分析】先求出，判断出其在上是增函数，转化为对任意实数恒成立，结合二次函数图像列不等式组，即可求解.
【详解】任取，则，所以.
由为定义在上的奇函数，所以，所以，
即在上都有.
由幂函数的性质可知在上单调递增，所以不等式对任意实数恒成立可转化为： 对任意实数恒成立.
结合二次函数图像可得.
故选：A.
6．B
【分析】过点作，且，连接，则可得为直线与直线所成的角，然后根据已知条件求出，，从而可求出直线与直线所成角的正切值.
【详解】由题知，平面，而平面，
，
又为的中点，，
，平面，
平面，
∵平面，
，
在中，，则，
在中，，则，
过点作，且，连接，
，，
∴四边形为平行四边形，
∴∥，，
∴为直线与直线所成的角，
∵，且，
∴四边形为平行四边形，
∴∥，
∵，
∴，
，
∵平面，而平面，
∴，
∵∥，∴
∴，
∴直线与直线所成角的正切值为
故选：B.

【点睛】方法点睛：本题主要考查异面直线所成的角，属于难题.求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.
7．A
【分析】分别是在时所对应的函数值，
构造函数利用导数法可证明，可得，构造函数，利用导数研究单调性可得，即可求解
【详解】设分别是在时所对应的函数值，
设，则，
所以时，单调递减，
时，单调递增，
所以，即，
同理可证，
所以
当时，可得，即，
构造函数，
则，
所以时，单调递减，
时，单调递增，
所以，即，
整理得，即，
所以，
故选：A
【点睛】比较实数的大小，可利用函数的单调性来比较，而构造函数利用导数来研究函数的单调性又是常用思路与技巧
8．C
【分析】由题意可得性质，作出其图象，的图象有两段，左侧图象不含参数，故可以先确定、的图象在y轴左侧的交点个数，再根据余下交点个数确定的图象在右侧如何变化，从而确定出满足的不等式，解这个不等式就得到的取值范围．
【详解】因为，故是周期函数且周期为，
如图作出的图象与的图象，在有两个不同的交点，
故的图象与在有4个不同的交点，
由此时的图象应如图所示：

故 ，当 时，解得，当 时，解得，
故或，
故选：C．
【点睛】本题综合考查了函数的零点以及函数的图象交点问题，解答的关键是能根据题意作出符合题意的大致图象，进而列出相应的不等式组，要求具有较强的思维能力和作图能力.
9．ABC
【分析】根据古典概型概率的求法及条件概率，互斥事件概率求法，可以分别求得各选项.
【详解】,故A正确；
，故B正确；
，故C正确；
，，，故D错误.
故选: ABC
10．ACD
【分析】对A，可将四边形PAMB周长转化为，结合勾股定理可求最值；对B，由圆内最长的弦为直径可判断错误；对C，由几何关系先求出，由等面积法可求出，结合面积公式可求；对D，分点是否与原点重合分类讨论，当点不与原点重合时，求出切线长方程和直线方程，联立可求动点轨迹，由点与圆的位置关系可求.
【详解】如图所示，对于选项A，四边形PAMB的周长为，

因为，所以四边形PAMB的周长为，设，当与原点重合时最小，则，则四边形PAMB的周长为，则当t取最小值2时，四边形PAMB的周长最小，为，故A正确；
对于选项B，因为圆M：的直径为2，所以，故B错误；
对于选项C，因为，所以，，由等面积法可得，求得，， ，所以的面积为，故C正确；
对于选项D，当点P与原点重合时，，则，则，则，则；当点P不与原点重合时，设（），则切点弦AB的方程为（利用结论：过圆外一点的切线弦方程为求得），直线MP的方程为，联立两方程，可得，消去m，得动点C的轨迹方程为．又因为，所以，故D正确．
故选：ACD．
11．AB
【分析】根据双曲线定义及题干中的线段的长度关系，可以得到；利用余弦定理得到与的关系，进而得到离心率和渐近线，从求出的离心率可以得到D选项的正误.
【详解】设，则，
由双曲线的定义知，，即，
，即，∴，，
故选项A正确；
由余弦定理，知在中，，
在中，
，
化简整理得，∴离心率，故选项B正确；
双曲线的渐近线方程为，故选项C错误；
若原点在以为圆心，为半径的圆上，则，与不符，故选项D错误．
故选：AB
12．AD
【分析】令，可得或，可知的一个零点是，另外两个零点是方程的2个解，从而可得到，进而构造函数，可知直线与函数的图象有2个不同交点，利用数形结合方法，可求出的范围，及另外两个零点所在区间，进而结合的含义，可选出答案.
【详解】由题意，令，则或，
显然是方程的解，也是方程的解，所以选项A正确；
因为有3个不同的零点，所以方程有2个不同的解，且两解都不等于，
易知，可得，
令，则直线与函数的图象有2个不同交点，
求导得，，
当时，，此时函数单调递增；
当时，，此时函数单调递减.
又当时，；当时，，当时，取得最大值.
可画出函数的图象，如下图所示，

根据图象可知，当时，直线与函数的图象没有交点；
当或时，直线与函数的图象只有1个交点；
当，即时，直线与函数的图象有2个不同交点.
又因为，且直线与函数的图象的2个不同交点的横坐标不等于，所以，即，
综上所述，当时，直线与函数的图象有2个不同交点，且两个交点的横坐标都不等于e ，此时有3个不同的零点，故C错误；
不妨设，是直线与函数的图象的2个不同交点，且，
则，，
根据的图象，当趋近与0时，趋近于1，趋近于无穷大，此时趋近于无穷大，故选项B错误；
对于选项D，由，，可得，，
因为，所以，则，
则，，
所以，即，
故选项D正确.
故选：AD.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
13．0
【分析】根据题意可得关于对称，也关于(1,0)对称，进一步得到周期为4，再求出的值，最后可求出的值.
【详解】解：因为为偶函数，
所以＝，即＝，
所以函数关于对称，所以＝，
又因为为奇函数，
所以＝－，
所以函数关于(1,0)对称，＝－＝－，
即＝－，
所以＝－，＝－＝，
即＝，
所以的周期为4，
在＝－中令    ，得，所以 ，即，
又因为，所以，即，所以，
所以当时，，
所以，
所以，
，
，
，
所以则0.
故答案为：0.
14．
【分析】根据分段函数的表达式，可得，结合不等式恒成立分别进行求解即可．
【详解】，所以；
当时，函数的对称轴为，抛物线开口向上，
要使时，对任意恒成立，即对任意 恒成立；
令，
则只需要，
即，得，
当时，要使恒成立，即，
在射线的下方或在上，
由，即，
由判别式， 得， 综上.
故答案为：．
【点睛】本题主要考查不等式恒成立问题，利用分段函数的不等式分别进行转化求解即可．注意数形结合．
15．
【解析】根据同角三角函数中的商数关系式，结合正弦和角公式化简， 并由正弦定理将角化为边，代入余弦定理即可表示出，再由基本不等式即可求得的取值范围，进而结合同角三角函数关系式求得的取值范围，即可求得的最大值.
【详解】在中，，
则，
通分化简可得，
由正弦和角公式可得，
所以，
由正弦定理代入可得，即，
又由余弦定理，
代入可得，
所以，当且仅当时取等号，
则，所以，
即，所以，
则的最大值为.
故答案为：.
【点睛】本题考查了同角三角函数关系式的综合应用，正弦和角公式化简三角函数关系式，正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用，基本不等式求最值，综合性强，属于难题.
16．（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）先利用和两式相减可得到，即，又，得到，即可得证；（2）由（1）可知，先求出的通项公式，进而可得的通项公式，然后由，可得的通项公式.
【详解】（1）证明：∵，①
∴，②
②-①得.
∴，
∴，
∴，
即.
又，
则，
∴，
∴，
∴是以为首项，为公比的等比数列.
（2）由（1）可知，，
∴.
当时，，
.
又当时，，符合上式，
∴.
17．（1）；（2）28.5.
【分析】(1)根据所给的数据，做出变量的平均数，根据最小二乘法所需要的数据做出线性回归方程的系数,再根据样本中心点一定在线性回归方程上，求出的值，可得线性回归方程； (2)根据上一问做出的线性回归方程,将代入线性回归方程求出对应的的值，即可估计该等级的中国小龙虾销售单价.
【详解】（1）由题意得，
，
，
，
.
所以回归方程为；
（2）由（1）知当时，，
故估计该等级的中国小龙虾销售单价为元.
【点睛】本题主要考查线性回归方程的求解与应用，属于中档题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为； 回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.
18．（Ⅰ）证明见解析 （Ⅱ）．
【分析】（Ⅰ）取的中点，连结，，推导出四边形为平行四边形，从而，由此能证明平面．
（Ⅱ）由平面，得点到平面的距离等于点到平面的距离，取的中点，连结，记点到平面的距离为，三棱锥的体积，由此能求出点到平面的距离．
【详解】证明：（Ⅰ）取的中点，连结，．
为的中点，，且．
又，且，
，且，故四边形为平行四边形．
．
又平面，平面，
平面．  
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）得平面．
故点到平面的距离等于点到平面的距离．
取的中点，连结．
平面，平面，
平面平面．
又是边长为2的正三角形，，，且．
平面平面，平面．
四边形是直角梯形，，，，
，．
，，，，
，．
．
记点到平面的距离为，
三棱锥的体积，
．
点到平面的距离为．

【点睛】本题考查线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题．
19．（1）；（2）.
【分析】（1）以点O为坐标原点建立适当坐标系，根据直线AB与圆H相切构建l与之间的关系，再根据中，即计算得的解析式；
（2）先换元，得到t的范围和，代入化简得到，再利用二次函数研究分母何时取得最大值，即找到对应，使得△AOB面积S为最小.
【详解】解：（1）以点O为坐标原点建立如图直角坐标系，则，


在中，设，又，故，
所以直线AB的方程为，即，
因为直线AB与圆H相切，所以H到直线AB的距离等于半径2，即①，
又点H在直线AB的上方，故，
所以①式可化简为，即，
故,
所以△AOB的面积为S ;
即S关于θ的函数解析式为；
（2）令，，则，且，所以，
令，分母，其中，所以时，分母部分最大，面积最小，此时，即.
所以时△AOB面积S为最小，政府投资最低.
【点睛】思路点睛：
在求含有的三角函数的最值问题时，通常通过换元，结合，将问题转化成二次函数的最值问题.
20．（1）；（2）
【详解】分析：（1）由题意可知及，即可求得和的值，求得椭圆的标准方程；
（2）讨论直线的斜率不存在，求得弦长，求得四边形的面积；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立方程组，运用韦达定理和弦长公式，以及四边形的面积公式，计算即可求得最小值.
详解：（1）∵过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为，∴，
∵离心率为，∴，又，解得，，，
∴椭圆的方程为
（2）（i）当直线的斜率不存在时，直线的斜率为，
此时，，
（ii）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立，
得，
设的横坐标分别为，
则，∴，
由可得直线的方程为，联立椭圆的方程，消去，
得
设的横坐标为，则
∴
，令，
则 ，
综上
点睛：本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常利用的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.
21．(1)极大值：，极小值
(2)证明见解析

【分析】（1）求出导函数，解不等式和得单调区间，从而得极值；
（2）首先对欲证的不等式进行变形，引入新函数，利用二次求导得，从而变化为欲证（实际上这里处理了变量）．再由已知得出与的关系，同时利用导数对引入的函数，证明在时，，这样才能得出，此时欲证不等式转化为只有一个变量：即仅需证，为此再引入函数，利用导数完成证明．
【详解】（1）函数的定义域为， ，
∵，∴
∴由得或
由得，
∴的单调递增区间为和；单调递减区间为．
∴的极大值：
的极小值：
（2）欲证，，即证，，
令，，则
令，则，
因为，所以，所以在上单调递增，所以，
所以，所以在上单调递增，
所以
所以欲证，，只需证，①
因为，所以，  
即，②
令，则，当时，     
所以在上单调递增，所以，即，
所以，故②式可等价变形为：，
所以，欲证①式成立，只需证成立
所以仅需证，
令，（），则，
∴在上单调递增，
故，即，
∴结论得证．
【点睛】关键点点睛：本题考查用导数求函数的极值，证明不等式．证明不等式的难点在于涉及到多个变量，解题的关键是减元化，一是参变分离，由任意性求出关于一个变量的最值，消去一个变量；二是代入消元，利用变量间的关系，用一个变量表示另一个变量，代入后二元化为一元，难点在于每一次变化包括最后的证明中都要引诱函数，利用导数求出最值，证明相应的不等关系成立，从而达到目的，本题属于困难题．
22．
【分析】写出直线，求得内切圆圆心到直线的距离，该距离与圆心到直线的距离相等，从而设出直线，联立解得斜率k，进而求得；分别求得的长，结合双曲线定义求得离心率.
【详解】由题知，，则直线，即，
由题知，内切圆圆心为，
则圆心到直线的距离为，
设直线，则内切圆圆心到直线的距离为，
由内切圆性质知，，两边同时平方，化简得：
，即或，
当时，与渐近线平行，满足图像条件；根据点到直线的距离相等的两条直线位置情况知，这两条线关于点对称，当时，出现在图示内切圆的左上侧，不符合题意，故舍去；
则，从而有，即，
由知，，，
由双曲线定义知，，即，
从而有，离心率
故答案为：；；