中考数学二轮复习第06讲 分式（题型训练）（教师版）

这是一份中考数学二轮复习第06讲 分式（题型训练）（教师版），共24页。试卷主要包含了分式的概念，分式的性质、约分、通分，分式的运算，分式方程的概念与解法，分式方程的应用等内容，欢迎下载使用。
第06讲 分式
题型一 分式的概念
1．（2021·浙江平阳·九年级期中）已知要使分式有意义，则x的取值应满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】要使分式有意义，则，所以．故选：A．
2．（2021·内蒙古·包头市第四十八中学九年级月考）下面是某同学在一次数学测验中解答的填空题，其中答对的是（　　）
A．若x2＝4，则x＝2
B．若分式的值为零，则x＝2
C．x2+x﹣k＝0的一个根是1，则k＝2
D．若3x2＝6x，则x＝2
【答案】C
【分析】解：A、x2＝4，则，选项错误，不符合题意；B、分式的值为零，则，，无解，选项错误，不符合题意；C、x2+x﹣k＝0的一个根是1，则，解得，选项正确，符合题意；D、3x2＝6x，解得或，选项错误，不符合题意；故选C
3．（2021·陕西·西安高新一中实验中学九年级开学考试）如果分式的值为0，那么x的值为（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】B
【分析】分式的值为0，，，解得，又，，，故选：B．
4．若代数式的值为零，则x的取值是（　　）
A．或 B．且
C． D．
【答案】C
【分析】且，解得x=2或x=1，且x≠±1∴．故选C．
5．（2021·广西百色·中考真题）当x＝﹣2时，分式的值是（ ）
A．﹣15 B．﹣3 C．3 D．15
【答案】A
【分析】解：
把代入上式中，原式，故选A.
6．（2021·四川省隆昌市第一中学九年级月考）等式成立的条件是（ ）
A． B．且
C． D．
【答案】D
【分析】解：根据题意得，， ∴， ∴，故选D．
7．（2021·云南昭通·二模）要使有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A． B．且 C．且 D．
【答案】D
【分析】由题意可得：且，解得：，故选：D
8．（2021·浙江瓯海·三模）若＝，则的值是（ ）
A．3 B． C． D．2
【答案】C
【分析】解：∵＝，∴，将代入中，得，故选：C．
9．（2021·浙江浙江·九年级期末）下列分式一定有意义的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】∵当x=1时，|1-x|=0,∴A不符合题意；∵当x=0时，分母为0，∴B不符合题意；∵当x=1或-1时，=0,∴C不符合题意；∵，∴D符合题意；故选D
10．（2021·广东·执信中学模拟预测）不论x取何值，下列代数式的值不可能为0的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】解：A、当x=-1时，x+1=0，故不合题意；B、当x=±1时，x2-1=0，故不合题意；C、分子是1，而1≠0，则≠0，故符合题意；D、当x=-1时，，故不合题意；故选C．
题型二 分式的性质、约分、通分
11．（2021·贵州·贵阳市第十九中学九年级月考）若把，的值同时缩小为原来的倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】A. ，选项说法错误，不符合题意；B. ，选项说法错误，不符合题意；C. ，选项说法正确，符合题意；D. ，选项说法错误，不符合题意，故选C
12．（2021·重庆一中九年级开学考试）把代数式中的x、y同时扩大五倍后，代数式的值（ ）
A．扩大为原来的3倍 B．不变 C．缩小为原来的 D．扩大为原来的5倍
【答案】D
【分析】解：中的x、y都扩大为原来的5倍，得，故选：D．
13．分式可变形为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】解：，故选项A、B、C均不符合题意，选项D符合题意，故选：D．
14．（2021·河北张家口·一模）下列各式从左到右的变形中，不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】解：A、，符号改变了两处，改变了分子与分式的符号，分式的值不变，正确，故选项A不符合题意；B、，符号改变了两处，改变了分子与分母的符号，分式的值不变，正确，故选项B不符合题意；C、，符号改变了一处，改变了分母的符号，分式的值发生改变，不正确，故选项C符合题意； D、， 符号改变了两处，改变了分子与分式的符号，分式的值不变，正确，故选项D不符合题意；故选：C．
15．下列各式中，正确的有（　　）
①；②；③；④；⑤；⑥．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】①，故不符合题意；②，故不符合题意；③，故不符合题意；④，故符合题意；⑤，故不符合题意；⑥，故符合题意；所以正确的有个．故选：．
16．下列分式中属于最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】解：A、，不是最简分式，故此选项不符合题意；B、，不是最简分式，故此选项不符合题意；C、=，不是最简分式，故此选项不符合题意；D、是最简分式，故此选项符合题意，故选：D．
17．（2021·河北唐山·一模）若，则（ ）
A．3 B．-3 C． D．
【答案】C
【分析】∵，∴，故选：C．
18．（2021·江苏·苏州市南环实验中学校二模）分式化简为最简分式的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】解：==．故选C．
19．（2021·广东·广州市第十六中学二模）分式，，的最简分母是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】解：，，的分母分别是、、，故最简公分母为．故选：D．
20．（2021·河北唐山·一模）要把分式与通分，分式的最简公分母是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】解：根据最简公分母是各分母的最小公倍数，∵系数2与1的公倍数是2，与的最高次幂是，与的最高次幂是，对于只在一个单项式中出现的字母c直接作公分母中的因式，∴公分母为： ．故选择：A．
21．能使分式的值为正整数的所有的值的和为（ ）
A．10 B．0 C． D．
【答案】D
【分析】∵，∴，，若分式的值为正整数，则，，，，所以，1，0，，所以.故选D.
22．关于分式的约分或通分，下列哪个说法正确（　　）
A．约分的结果是 B．分式与的最简公分母是x﹣1
C．约分的结果是1 D．化简﹣的结果是1
【答案】D
【分析】解：A、＝ ，故本选项错误；B、分式与的最简公分母是x2﹣1，故本选项错误；C、＝ ，故本选项错误；D、﹣＝1，故本选项正确；故选D．
题型三 分式的运算
23．（2021·四川蓬安·九年级月考）卵细胞是人体中最大的细胞，直径约为0.0002米，直径用科学记数法表示为（　　）米．
A．0.2×10﹣3 B．0.2×10﹣4 C．2×10﹣4 D．2×10﹣3
【答案】C
【分析】解：直径约为0.0002米，用科学记数法表示为2×10﹣4米．故选：C．
24．（2021·河南·郑州外国语中学九年级开学考试）化简的结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】；故选：C．
25．（2021·北京市陈经纶中学分校九年级月考）如果a﹣b＝2，那么代数式（﹣b）•的值为（　　）
A． B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】解：原式，
当时，原式，故选：A．
26．（2021·湖北·老河口市教学研究室九年级月考）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】解：= = =．故选：A．
27．（2021·山东乳山·模拟预测）如果，那么代数式的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】解：＝，
由a2+3a﹣2＝0，得到a2+3a＝2，则原式＝，故选B．
28．已知实数，满足，那么的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【分析】解：∵，∴，
∴．故选：C．
29．（2021·重庆市天星桥中学九年级开学考试）化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】解：原式====．故选C．
30．（2021·河北桥东·二模）当时，计算的值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【分析】，把代入得故选A．
31．（2021·河南·二模）下列各式计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】A.，故该选项计算错误，不符合题意，B.，故该选项计算错误，不符合题意，C.，故该选项计算错误，不符合题意，D.，故该选项计算正确，符合题意，故选：D．
32．（2021·山东诸城·二模）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】A. ，符合题意；B. ，不符合题意；C. ，不符合题意；D.，不符合题意．故选A．
33．（2021·广东高要·二模）下列运算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】A、，原式计算错误，符合题意；B、，正确，不合题意；C、，正确，不合题意；D、，正确，不合题意；故选：A．
34．（2021·黑龙江大庆·中考真题）已知，则分式与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】A
【分析】解：，∵，∴，∴，故选：A．
题型四 分式方程的概念与解法
35．下列关于的方程，其中不是分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分式方程是分母含有未知数的等式．A、分母含未知数，是分式方程，不符合题意；B、分母含未知数，是分式方程，不符合题意；C、分母不含未知数，不是分式方程，符合题意；D、分母含未知数，是分式方程，不符合题意；故选：C．
36．下列结论正确的是（　　）
A．是分式方程 B．方程＝1无解
C．方程的根为x＝0 D．解分式方程时，一定会出现增根
【答案】B
【分析】解：A．原方程中分母不含未知数，不是分式方程，所以A选项不符合题意；B．解方程，得x＝﹣2，经检验x＝﹣2是原方程的增根，所以原方程无解，所以B选项符合题意；C．解方程，得x＝0，经检验x＝0是原方程的增根，所以原方程无解，所以C选项不符合题意；D．解分式方程时，不一定会出现增根，只有使分式方程分母的值为0的根是增根，所以D选项不符合题意．故选：B．
37．（2021·黑龙江·哈尔滨市萧红中学九年级期中）方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】解：去分母得：5（x+3）=x-1，
去括号得：5x+15=x-1，
解得：x=-4，
检验：把x=-4代入得：（x-1）（x+3）≠0，
∴分式方程的解为x=-4．故选：C．
38．（2021·重庆八中九年级月考）若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解是非负整数解，则所有满足条件的整数的值之和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】解不等式得，，

不等式组的解集为：


解分式方程得


整理得，
则

分式方程的解是非负整数解，

，且是3的倍数，
，且是3的倍数，
整数a的值为
，故选：C．
39．（2021·重庆实验外国语学校九年级月考）关于x的分式方程有整数解，且关于y的不等式组有解，则所有满足条件的正整数a的和是（　　）
A．6 B．12 C．14 D．20
【答案】A
【分析】解：∵
∴y＜，y≥
∵关于y的不等式组有解
∴不等式组的解集为≤y＜，
∴＜，即a-3＜5，可得a＜8
由有整数解,可得： x= ,即a为偶数
∵x≠-1∴x≠6∵正整数a∴a=2或a=4∴4+2=6．故选A．
40．（2021·重庆一中九年级期中）若关于x的不等式组有解，且关于y的分式方程＝﹣3的解为非负数，则所有满足条件的整数a的值之积是（　　）
A．﹣6 B．0 C．4 D．12
【答案】D
【分析】解：不等式组整理得：，
∵关于x的不等式组有解，
∴2a+2≤8，即a≤3，
解分式方程＝﹣3得y＝，
∵关于y的分式方程＝﹣3的解为非负数，
∴≥0，且≠1，
解得，a≥﹣2，且a≠0，
∴﹣2≤a≤3，且a≠0，
∵a为整数，
∴a＝﹣2或﹣1或1或2或3，
∴满足条件的所有整数a的值之积：（﹣2）×（﹣1）×1×2×3＝12．故选：D．
41．（2021·重庆实验外国语学校九年级月考）若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数a的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】解：，
解不等式①，得：x＜6，
解不等式②，得：x≤a，
∵该不等式解集为x≤a，
∴a＜6；
由
分式方程去分母，得：y-a-（5-2y）=y-2，
解得：y=，
∵分式方程有正整数解，且y≠2，
∴满足条件的整数a可以取5；3；-1；共3个；故选：B．
42．（2021·重庆·西南大学附中九年级月考）已知关于x的分式方程无解，且关于不等式组有且只有三个偶数解，则符合条件的整数有（ ）个
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】解：分式方程无解的情况有两种，分式方程去分母得：，
整理得：，
情况一：整式方程无解时，即且时，方程无解，
∴，
解得，
即当时方程无解；
情况二：当整式方程有解，是分式方程的增根，即，或，或，
①当时，，解得，
②当时，，解得，
③当时，，此方程无解，
综合两种情况得，当或时，分式方程无解，
解不等式得，
根据题意得不等式的解集为，
∵不等式组有且只有三个偶数解为，，，
∴，
∴，
综上所述当时符合题目中所有要求．故选：B．
43．（2021·四川省成都市七中育才学校九年级月考）若关于x的分式方程有增根，则k的值为（　　）
A．1 B．0 C．﹣2 D．﹣1
【答案】D
【分析】解：去分母得： ，∴，∴∵分式方程有增根，，解得x=1，即解得：k＝﹣1，故选D．
44．（2021·重庆酉阳·九年级期末）在这六个数中，随机取出一个数记为，那么使得关于的一元二次方程有解，且使得关于的方程有整数解的所有的值之和为（　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】解：要使得关于的一元二次方程有解，则Δ≥16-4×（-2a）≥0，解得a≥-2,∴a的可能值为-2，-1、0、1、2，解可得，， 使得方程有整数解满足条件的a的值为0、2，综上所述满足条件的a的值为0、2，0+2=2，故选：A．
45．（2021·广东·深圳市罗湖区翠园初级中学九年级开学考试）关于x的分式方程有增根，则m的值是（　　）
A．﹣2 B．3 C．﹣3 D．2
【答案】A
【分析】解：去分母，得：x-3=m，由分式方程有增根，得到x-1=0，即x=1，把x=1代入整式方程，可得：m=-2．故选：A．
46．（2021·黑龙江佳木斯·三模）已知关于的分式方程有解，则的取值范围为（ ）
A． B．
C．且 D．且
【答案】C
【分析】解：，
去分母得，，
解得，，
∵关于的分式方程有解，
∴且，
解得，且，故选：C．
题型五 分式方程的应用
47．（2021·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级期中）高铁为居民出行提供了便利，从铁路沿线相距360km的甲地到乙地，乘坐高铁列车比乘坐普通列车少用3h．已知高铁列车的平均速度是普通列车平均速度的3倍，设普通列车的平均速度为x km/h，依题意，下面所列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意可得：列车的平均速度为xkm/h，则高铁列车的平均速度为3xkm/h，高铁列车所用的时间为：，普通列车的时间为：，所列方程为：，故选：A．
48．（2021·陕西·交大附中分校模拟预测）某修路队计划x天内铺设铁路120km，由于采用新技术，每天多铺设铁路3km，因此提前2天完成计划，根据题意，可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】解：原计划每天修建道路m，则实际用了（x﹣2）天，每天修建道路为m，根据采用新技术，每天多铺设铁路3km得，．故选：B．
49．（2021·辽宁·沈阳市第四十三中学九年级月考）随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周6000件提高到8400件，平均每人每周比原来多投递80件，若快递公司的快递人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件x件，根据题意可列方程为（　　）
A．＝ B．+80＝
C．＝﹣80 D．＝
【答案】A
【分析】解：设原来平均每人每周投递快件x件，则更换交通工具后平均每人每周投递快件（x+80）件，
依题意得：＝，故选：A．
50．（2021·福建省厦门第六中学三模）某次列车平均提速v km/h，用相同的时间，列车提速前行驶s km，提速后比提速前多行驶50km，则方程 所表达的等量关系是（ ）
A．提速前列车行驶s km与提速后行驶(s＋50)km的时间相等
B．提速后列车每小时比提速前列车每小时多开v km
C．提速后列车行驶(s＋50)km的时间比提速前列车行驶s km多v h
D．提速后列车用相同的时间可以比提速前多开50km
【答案】B
【分析】解：∵用相同的时间，列车提速前行驶s km，提速后比提速前多行驶50km，∴s+50表示列车提速后同样的时间内行驶的路程，∵某次列车平均提速v km/h，路程=速度×时间，∴方程表达的含义提速后列车每小时比提速前列车每小时多开v km，故选B.
51．（2021·山东淄博·中考真题）甲、乙两人沿着总长度为的“健身步道”健步走，甲的速度是乙的1.2倍，甲比乙提前12分钟走完全程．设乙的速度为，则下列方程中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】解：由题意得：；故选D．
52．（2021·重庆市育才中学九年级月考）每年中秋节，某商家生产的甲、乙、丙三种月饼礼盒一直深受消费者喜爱．今年中秋节，该商家继续售卖甲、乙、丙三种月饼礼盒，已知去年该商家售卖甲、乙、丙三种月饼礼盒的营业额之比为．今年，由于商家加大了促销宣传力度，预计三种月饼礼盒的营业额都会增加，其中甲种礼盒增加的营业额占总增加的营业额的，此时，甲种月饼礼盒的营业额与今年三种月饼礼盒总营业额之比为，为使今年乙、丙两种月饼礼盒的营业额之比为，则今年乙种月饼礼盒增加的营业额与今年总营业额之比为______．
【答案】
【分析】解：∵甲种月饼礼盒的营业额与今年三种月饼礼盒总营业额之比为，且乙、丙两种月饼礼盒的营业额之比为，∴今年甲、乙、丙三种月饼礼盒的营业额之比为4∶6∶5，设今年甲、乙、丙三种月饼礼盒的营业额分别为4a，6a，5a，则今年总营业额为15a，∵去年该商家售卖甲、乙、丙三种月饼礼盒的营业额之比为，∴设去年甲、乙、丙三种月饼礼盒的营业额分别为4b，9b，7b，则去年总营业额为20b，∴今年甲、乙、丙三种月饼礼盒的营业额分别增加了，，，总营业额增加了，∵甲种礼盒增加的营业额占总增加的营业额的，∴，解得：，经检验：b＝0.6a符合题意，∴今年乙种月饼礼盒增加的营业额与今年总营业额之比为，故答案为：1∶25．
53．（2021·重庆实验外国语学校九年级开学考试）重庆某笔记本电脑公司每年都会组织员工出国学习旅行，今年有、、、四个国家可供员工们选择（每名员工只能选择一个国家旅行），但要求选择、两个国家的人数相同，选择、两个国家的人数也相同，选择、两国的人数总和为100人，、两国的费用单价相等，、两个国的费用单价也相等，、两国的费用单价之和不超过8万元，且选择、两个国家的员工总费用比选择、两个国家员工总费用多20万元，则选择、两个国家员工总费用的最大值为__万元．
【答案】410
【分析】解：设有人选择A，A单价为万元，单价为万元，依题意可知，有人，即，
①，，即，，，，
即②，①②得，解得，代入①中，，代入②中，，，，
、两个国家员工总费用为，单价单价，时总费用最大，最大值为（万元）．故选择、两个国家员工总费用的最大值为410万元．故答案为：410．
54．（2021·四川省宜宾市第二中学校三模）某服装厂准备加工400套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了20%，结果共用了18天完成任务，问计划每天加工服装多少套？在这个问题中，设计划每天加工x套，则根据题意可得方程为__________________．
【答案】+=18
【分析】根据题意，采用新技术前所用时间为：天，采用新技术后所用时间为：天，所列方程为：+=18，故答案为：+=18．
55．（2021·辽宁鞍山·中考真题）习近平总书记指出，中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”．为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展名著阅读活动．用3600元购买“四大名著”若干套后，发现这批图书满足不了学生的阅读需求，图书管理员在购买第二批时正赶上图书城八折销售该套书，于是用2400元购买的套数只比第一批少4套．设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则符合题意的方程是___________________．
【答案】
【分析】解：设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则设第二批购买的“四大名著”每套的价格为0.8x元，依题意得：．故答案为：．
56．（2021·吉林省第二实验学校九年级月考）2021年4月8日世界园艺博览会在扬州拉开了帷幕，世园会以“绿色城市，健康生活”为主题，吸引了大批游客游览，世园会成人一日票分为平日票和指定日票，其中平日票比指定日票便宜30元/张，某一售票点在5月份售出平日票4万元，指定日票2.6万元，且售出的平日票数量是指定日票的2倍，这一售票点在5月份售出的平日票和指定日票各多少张？
【答案】这一售票点在5月份售出的平日票和指定日票各400张，200张．
【分析】解：设这一售票点在5月份售出的指定日票为x张，则平日票为2x张，由题意得：，
解得：，经检验是原方程的解，∴，答：这一售票点在5月份售出的平日票和指定日票各400张，200张．
57．某公司生产开发了960件新产品，需要经过加工后才能投放市场，现在有A，B两个工厂都想参加加工这批产品，已知A工厂单独加工这批产品比B工厂单独加工这批产品要多用20天，而B工厂每天比A工厂多加工8件产品，公司需要支付给A工厂每天80元的加工费，B工厂每天120元的加工费．
（1）A，B两个工厂每天各能加工多少件新产品？
（2）公司制定产品方案如下：可以由每个厂家单独完成；也可以由两个厂家同时合作完成．在加工过程中，公司需要派一名工程师每天到厂进行技术指导，并负担每天5元的午餐补助费．请帮助公司选择哪家工厂加工比较省钱，并说明理由．
【答案】（1）A每天加工16件，B每天加工24件；（2）两个工厂合作完成，理由见解析
【分析】解：（1）设A每天加工x件产品，则B每天加工x＋8件产品，由题意得，解得x＝16件，答：A每天加工16件产品，则B每天加工24件产品；
（2）A单独加工完成需要960÷16=60天，费用为：60×（80+5）=5100元，B单独加工完成需要960÷24=40天，费用为：40×（120+5）=5000元；A、B合作完成需要960÷（16+24）=24天，费用为：24×（120+80+5）=4920元．所以既省时又省钱的加工方案是A、B合作．
58．（2021·黑龙江·哈尔滨市虹桥初级中学校九年级月考）某单位在疫情期间用6000元购进A、B两种口罩1100包，购买A种口罩与购买B种口罩的费用相同，且一包A种口罩的单价是一包B种口罩单价的1.2倍．
（1）求A，B两种口罩一包的单价各是多少元？
（2）若计划用不超过11000元的资金再次购进A、B两种口罩共2000包，已知A、B两种口罩的进价不变，求A种口罩最多能购进多少包？
【答案】（1）A种口罩一包的单价为6元，B种口罩一包的单价为5元（2）A种口罩最多能购进1000包
【分析】(1) 设B种口罩一包的单价为x元，则A种口罩一包的单价为1.2x元，根据题意，得：，解得：x= 5，经检验，x= 5是原方程的解，且符合题意，则1.2 x = 6，答：A种口罩一包的单价为6元，B种口罩一包的单价为5元；
(2)设购进A种口罩m包，则购进B种口罩(2000-m)包， 依题意，得：6m+5 (2000 - m)≤ 11000，解得：m≤ 1000，答：A种口罩最多能购进1000包．
59．（2021·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校九年级月考）杭州国际动漫节开幕前，某动漫公司预测某种动漫玩具能够畅销，就用32000元购进了一批这种玩具，上市后很快脱销，动漫公司又用68000元购进第二批这种玩具，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元．
（1）该动漫公司两次共购进这种玩具多少套？
（2）如果这两批玩具每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于，那么每套售价至少是多少元？
【答案】（1）600套；（2）200元
【分析】解：（1）设动漫公司第一次购套玩具，由题意得：，解这个方程，，
经检验，是原方程的根．∴，答：动漫公司两次共购进这种玩具600套．
（2）设每套玩具的售价元，由题意得：，解这个不等式，，答：每套玩具的售价至少是200元．
60．（2021·山东青岛·中考真题）某超市经销甲、乙两种品牌的洗衣液，进货时发现，甲品牌洗衣液每瓶的进价比乙品牌高6元，用1800元购进甲品牌洗衣液的数量是用100元购进乙品牌洗衣液数量的．销售时，甲品牌洗衣液的售价为36元/瓶，乙品牌洗衣液的售价为28元/瓶．
（1）求两种品牌洗衣液的进价；
（2）若超市需要购进甲、乙两种品牌的洗衣液共120瓶，且购进两种洗衣液的总成本不超过3120元，超市应购进甲、乙两种品牌洗衣液各多少瓶，才能在两种洗衣液完全售出后所获利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）甲品牌洗衣液进价为30元/瓶，乙品牌洗衣液进价为24元/瓶；（2）购进甲品牌洗衣液40瓶，乙品牌洗衣液80瓶时所获利润最大，最大利润是560元
【分析】解：（1）设甲品牌洗衣液进价为元/瓶，则乙品牌洗衣液进价为元/瓶，
由题意可得，，
解得，
经检验是原方程的解.
答：甲品牌洗衣液进价为30元/瓶，乙品牌洗衣液进价为24元/瓶.
（2）设利润为元，购进甲品牌洗衣液瓶，
则购进乙品牌洗衣液瓶，
由题意可得，，
解得，
由题意可得，，
∵，∴随的增大而增大，
∴当时，取最大值，.
答：购进甲品牌洗衣液40瓶，乙品牌洗衣液80瓶时所获利润最大，最大利润是560元．
61．（2021·重庆八中九年级月考）巫溪某村民承包土地发展李子种植，2020年开始大量投产增收，其中早熟李种植面积亩数是晚熟李种植面积亩数的倍，早熟李、晚熟李分别收益元和元，而早熟李平均每亩收益比晚熟李少元．
（1）2020年早熟李、晚熟李种植面积分别有多少亩？
（2）在扶贫专家小组的精准帮助下，优化管理，淘汰了部分低产李子林改种其他经济作物增加收益，2021年，早熟李、晚熟李的种植面积比2020年分别降低了和，然而平均每亩早熟李和晚熟李的收益在2020年基础上分别增加了和，2021年两种李子的总收益与2020年两种李子总收益相等，求的值．
【答案】（1）早熟李种亩，晚熟李种亩；（2）50．
【分析】解：（1）设年晚熟李种植面积有亩，则早熟李种植面积为亩，
根据题意，得
，
解方程，得 ，
经检验，是分式方程式得解，
，
即年早熟李、晚熟李种植面积分别有亩、亩．
（2）由（1）可得: 年早熟李、晚熟李种植面积分别有亩、亩，
年早熟李平均每亩收益为元，晚熟李平均每亩收益为元，
由题意可得： 年早熟李、晚熟李种植面积分别有 亩、亩，
年早熟李平均每亩收益为 元，晚熟李平均每亩收益为 元，
由 年两种李子的总收益与 年两种李子总收益相等，得，

令，则，
，
，
，
，
或 ，（舍），．
答：．
62．（2021·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级期中）某学校计划从商店购买测温枪和洗手液，已知购买一个测温枪比购买一瓶洗手液多用20元，若用400元购买测温枪和用160元购买洗手液，则购买测温枪的数量是购买洗手液数量的一半．
（1）求购买一个测温枪、一瓶洗手液各需多少元；
（2）经商谈，商店给予该学校购买一个测温枪赠送一瓶洗手液的优惠，如果该学校需要洗手液的数量是测温枪数量的2倍还多8个，且该学校购买测温枪和洗手液的总费用不超过1540元，那么该学校最多可购买多少个测温枪？
【答案】（1）购买一个测温枪需要25元，购买一瓶洗手液需要5元；（2）该学校最多可购买50个测温枪．
【分析】（1）设购买一瓶洗手液需要元，则购买一个测温枪需要元，
依题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：购买一个测温枪需要25元，购买一瓶洗手液需要5元．
（2）设该学校购买个测温枪，则购买瓶洗手液，
依题意，得：，
解得：．
答：该学校最多可购买50个测温枪．
63．（2021·山东·青岛大学附属中学二模）扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场．与去年相比，今年这种水果的产量增加了1000千克，每千克的平均批发价比去年降低了，批发销售总额比去年增加了20%．
（1）已知去年这种水果批发销售总额为10万元，求这种水果今年每千克的平均批发价是多少元?
（2）今年某水果店从果农处直接批发，专营这种水果，调查发现，若每千克的平均销售价为41元，则每天可售出300千克；若每千克的平均销售价每降低3元，每天可多卖出180千克．工商部门规定，该水果利润率不得超过40%，设水果店一天的利润为元，当每千克的平均销售价为多少元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是多少?（利润计算时，其他费用忽略不计，并且售价为整数）
【答案】（1）24元；（2）每千克平均售价为33元，最大利润为7020元．
【分析】解： （1）由题意，设这种水果去年每千克的平均批发价是x元，则今年的批发价为元 ，今年的批发销售总额为10（1+20%）=12万元
∴
解得x=25
经检验x=25是分式方程的解．
故这种水果今年每千克的平均批发价是元．
（2）设每千克的平均售价为m元，依题意
由（1）知平均批发价为24元，
则有


∵a=-60＜0 ，对称轴为：
∴抛物线开口向下 ，
当元时，随的增大而增大，

且取整数，
∴当m=33元时，w取最大值 即每千克的平均销售价为33元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是7020元
64．（2021·黑龙江·哈尔滨市第四十七中学九年级开学考试）某商店第一次用600元购进铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的1.25倍，且购进的数量比第一次少了30支．
（1）求两次购进的铅笔每支进价分别是多少元；
（2）若商店以第二次进价提高40%作为两次购进铅笔统一售价，按此同一售价销售部分铅笔后，又以八折销售完其余的铅笔，要使全部销售完后获利不低于592元，求至少销售多少支铅笔后开始打八折？
【答案】（1）4元，5元．（2）200
【分析】解：（1）设第一次每支铅笔进价为x元，
根据题意列方程得，，
解得x＝4，
经检验：x＝4是原分式方程的解．则第二次每支铅笔的进价为4×1.25＝5(元)，
答：第一次每支铅笔的进价为4元，第二次每支铅笔的进价为5元．
（2）铅笔统一售价为5×（1+40%）=7（元），
设销售y支铅笔后开始打八折，根据题意列不等式为：
，
解得y≥200．
答：至少销售200支铅笔后开始打八折．
65．（2021·黑龙江·哈尔滨德强学校九年级开学考试）某五金商店准备从一机械厂购进甲、乙两种零件进行销售．若每个甲种零件的进价比每个乙种零件的进价少元，且用元购进甲种零件的数量与用元购进乙种零件的数量相同．
（1）求每个甲种零件、每个乙种零件的进价分别为多少元？
（2）若该五金商店本次购进乙种零件的数量比购进甲种零件的数量的倍还少个，购进两种零件的总金额不超过元，则五金商店本次从机械厂最多购进甲种零件多少个？
【答案】（1）每个甲种零件的进价为8元，每个乙种零件的进价为10元；（2）五金商店本次从机械厂最多购进甲种零件53个．
【分析】解：（1）设每个乙种零件进价为元，则每个甲种零件进价为元．
由题意得：．
解得：．
检验：当时，，
是原分式方程的解，
每个甲种零件进价为：，
答：每个甲种零件的进价为8元，每个乙种零件的进价为10元．
（2）设购进甲种零件个，则购进乙种零件个．
由题意得：，
解得：，
的最大整数值为53，
答：五金商店本次从机械厂最多购进甲种零件53个．