中考数学二轮复习第09讲 二次函数（压轴题组）（教师版）

这是一份中考数学二轮复习第09讲 二次函数（压轴题组）（教师版），共40页。试卷主要包含了，D为抛物线的顶点，两点，连接AB，BO，的坐标值，对子某一函数给出如下定义等内容，欢迎下载使用。
第09讲 二次函数（压轴题组）
1．（2021·福建晋安·九年级期中）如图1，抛物线，顶点为P（1，4），与x轴的负半轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点N是抛物线上一点，若∠ABN＝45°，求点N的坐标；
（3）如图2，将原抛物线沿对称轴向下平移m个单位长度后得到新的抛物线，C，D是新抛物线在第一象限内互不重合的两点，CE⊥x轴，DF⊥x轴，垂足分别为E，F，若存在这样的点C，D，满足△CEO≌△OFD，求m的取值范围．

【答案】（1）y＝－x2＋2x＋3；（2）N(4，－5)；（3）．
【分析】（1）∵抛物线顶点为P（1，4），
∴
∵a≠0，
∴a＝－1，b＝2，
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3．
（2）如图，过点A作GA⊥AB交BN于点G，过点G作GH⊥x轴，垂足为点H，
∵GA⊥AB，GH⊥x轴，
∴∠BAG＝90°，∠GHA＝90°，
∵∠ABN＝45°，
∴△ABG是等腰直角三角形，
∴AB＝AG，
∵∠BAO＋∠ABO＝∠BAO＋∠HAG＝90°，
∴∠ABO＝∠HAG，
∴在△ABO和△GAH中，，
∴△ABO≌△GAH(AAS)，
∴GH＝AO，AH＝BO
令y＝0时，即－x2＋2x＋3＝0，
解得：，，
∴A（－1，0），
当x=0时，y=3，
∴B(0，3)，
∴GH＝AO＝1，AH＝BO＝3，
∴G(2，－1)，
设直线BN的解析式为y＝kx＋n，图象经过B（0，3），G（2，－1），
∴，
解得：，
∴直线BN的解析式为，
联立抛物线与直线BN的解析式得：，
解得：或

∴N(4，－5)．
（3）∵将原抛物线沿对称轴向下平移m个单位长度后得到新的抛物线，
∴设新抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3－m，
∵△CEO≌△DOF，
∴OE＝DF，OF＝CE，
∴设点C（p，q），则点D的坐标为（q，p），
将点C，D的坐标代入抛物线表达式得

由①－②并整理得：(p－q)(p＋q－3)＝0，
由题意得：p≠q，
∴p＋q－3＝0
即q＝3－p，
∵p≠q，
∴，
∵p＞0，q＞0，
∴q＝3－p＞0，
∴0＜p＜3且，
由①得：，得




∵－1＜0，
∴该抛物线开口向下，
当时，m最大值为，
当p＝3或0时，m最小值为0，
∵0＜p＜3且，
∴．
2．（2021·天津南开·九年级期中）如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣8与x轴交于A（2，0），B（4，0），D为抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，若H为射线DA与y轴的交点，N为射线AB上一点，设N点的横坐标为t，△DHN的面积为S，求S与t的函数关系式；
（3）如图3，在（2）的条件下，若N与B重合，G为线段DH上一点，过G作y轴的平行线交抛物线于F，连接AF，若NG=NQ，NG⊥NQ，且∠AGN＝∠FAG，求F点的坐标．
【答案】（1）y＝−x2＋6x−8；（2）S＝x−3；（3）F（1，-3）
【分析】解：（1）抛物线y＝ax2+bx﹣8与x轴交于A（2，0），B（4，0），
代入得，
解得，
∴抛物线解析式为y＝−x2＋6x−8；
（2）如图1中，连接OD．
∵y＝−x2＋6x−8=−（x-3）2＋1
∴顶点D坐标（3，1），
∵A（2，0）
设直线AD的解析式为y=kx+b（k≠0）
把A（2，0），（3，1）代入得
解得
∴直线AD的解析式为y=x-2，
令x=0，解得y=-2
∴H（0，−2）．

∵设N点的横坐标为t，
∴△DHN的面积S＝S△OND＋S△ONH−S△OHD＝×t×1＋×t×2−×2×3＝t−3．
∴S＝x−3；
（3）如图2中，延长FG交OB于M．

∵H（0，−2），A（2，0）
∴OH＝OA=2，
∴∠OAH＝∠OHA＝45°，
∵FMOH，
∴∠MGA＝∠OHA＝∠MAG＝45°，
∴MG＝MA，
∵∠FAG＝∠NGA，
∴∠MAF＝∠MGN，
在△MAF和△MGN中，
∵，
∴△MAF≌△MGB，
∴FM＝BM．设M（m，0），
∴−（−m2＋6m−8）＝4−m，
解得m＝1或4（舍弃），
∴M（1，0）
∴BM=4-1=3
∴FM＝3，
∴F（1，-3）．
3．（2021·广东·广州市南武中学九年级期中）已知：抛物线l1：y=—x2+bx+3交x轴于点A、B，（点A在点B的左侧），交y轴于点C，其对称轴为直线x=1，抛物线l2经过点A，与x轴的另一个交点为E（5，0），交y轴于点D（0，）
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）为直线上一动点，连接，，当时，求点的坐标；
（3）为抛物线上一动点，过点作直线轴，交抛物线于点，求点自点运动至点的过程中，线段长度的最大值．

【答案】（1）；（2）；（3）12
【分析】解：（1）抛物线的对称轴为，
，解得，
抛物线的解析式为，
令，可得，解得或，
点坐标为，
抛物线经过点、两点，
可设抛物线解析式为，
又抛物线交轴于点，
，解得，
，
抛物线的函数表达式为；
（2）设点坐标为，由（1）可得点坐标为，
，，
，
，解得，
点坐标为；
（3）由题意可设，
轴，
，
令，可解得或，
①当时，，
显然，当时，有最大值；
②当时，，
显然当时，随的增大而增大，
当时，有最大值，；
综上可知在点自点运动至点的过程中，线段长度的最大值为12．
4．（2021·广东惠阳高级中学初中部九年级期中）如图，二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象经过点(2，﹣3)和(1，﹣)，与x轴从左至右分别交于点A，B，点M为抛物线的顶点．
（1）求二次函数的解析式．
（2）在抛物线的对称轴上是否存在这样的点P，使得PAC的周长最小？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
（3）连接BM，若点Q为线段OB上的一动点（Q不与点B、点O重合），过点Q作x轴的垂线交线段BM于点N，当点Q以1个单位/s的速度从点B向点O运动时，设运动时间为t，四边形OCNQ的面积为S，求S与t之间的函数关系及自变量t的取值范围，并求出S的最值．
（4）若点R在抛物线上，且以点R、C、B为顶点的三角形是直角三角形，请直接写出所有符合条件的点R的坐标（不需要计算过程）．

【答案】（1）；（2）存在，；（3）；；（4），
【分析】解：（1）将代入中，得：
解得：
∴二次函数的解析式为：
（2）存在点P使得的周长最小,此时，理由如下：
∵点A、点B是抛物线与x轴的交点
∴当时，
即：
解得：
∵A在B的左边
∴
∵点C是抛物线与y轴的交点
∴当时，
∴
又∵
∴抛物线的对称轴为：
过点C作关于对称轴的对称点,连接交对称轴于点P，此时的周长最小，如图1：

∵点C与点关于对称轴对称
∴
设直线的解析式为，将代入得：
解得：
∴直线的解析式为：
∵点P在上
∴
∴
∴
（3）如图2：

∵点M是抛物线的顶点，且
∴
设直线BM的解析式为：，将，代入得：，解得：
∴直线BM的解析式为：
∵有题意知：，且轴
∴
∴
∴
又∵
∴
∴


∵点Q为线段OB上的一动点（Q不与点B、点O重合）
∴
∴S与t之间的函数关系为：
∵
∴S有最大值
又∵
∴当时，S取得最大值
（4）据题意，作图如下：

设点
在中，
当时，在中，由勾股定理知：
即：
化简得：

解得：（舍），
∴
当时，
化简得：

解得：（舍），
∴
综上所述，满足题意的R点有两个，分别是和
5．（2021·江苏射阳·九年级月考）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y＝ax2+bx经过A（﹣4，0），B（﹣3，）两点，连接AB，BO．
（1）求抛物线表达式和直线OB解析式；
（2）点C是第二象限内直线OB上方抛物线上的一个动点，是否存在一点C使△COB面积最大？若存在请求出点C坐标及最大面积，若不存在请说明理由；
（3）若点D从点O出发沿线段OA向点A作匀速运动，速度为每秒1个单位长度，同时线段OA上另一个点H从点A出发沿线段AO向点O作匀速运动，速度为每秒2个单位长度（当点H到达点O时，点D也同时停止运动）．过点D作x轴的垂线，与直线OB交于点E，延长DE到点F，使得EF＝DE，以DF为边，在DF左侧作等边△DGF（当点D运动时点G、点F也随之运动）．过点H作x轴的垂线，与直线AB交于点L，延长HL到点M，使得LM＝HL，以HM为边，在HM的右侧作等边△HMN（当点H运动时，点M、点N也随之运动）．当点D运动t秒时，△DGF有一条边所在直线恰好过△HMN的重心，直接写出此刻t的值．

【答案】（1）抛物线解析式，直线OB解析式；（2）存在，点，最大面积为；（3）t的值为或时，△DGF有一条边所在直线恰好过△HMN的重心．
【分析】解：（1）由题意得：把点A、B的坐标代入抛物线解析式y＝ax2+bx得：
，解得：，
∴抛物线解析式为，
设直线OB解析式为，
∴，解得：，
∴直线OB解析式为；
（2）过点C作CQ∥y轴，交OB于点Q，如图所示：

由（1）可设点，
∴，
∵点B（﹣3，），
∴△COB的水平宽为3，
∴，
∵，
∴当时，△COB的面积为最大，最大值为，
把代入抛物线解析式得：，
∴点；
（3）由题意可分两种情况：
①当直线DF经过△HMN的重心P时，如图2，连接NL，

∵，且△HMN是等边三角形，
∴点P在NL上，
由题意得：，
，
∴，且，
∴，
∵MH⊥x轴，
∴∠ALH=30°，
∴，
∴，
∵∠LHN=60°，
∴，
∵FD⊥x轴，MH⊥x轴，
∴，
∴四边形是矩形，
∵点P是重心，
∴，
∵，
∴，解得：；
②当直线DG经过△HMN的重心P时，如图3，连接NL，

∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
解得：，
综上所述：t的值为或时，△DGF有一条边所在直线恰好过△HMN的重心．
6．（2021·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A、C两点，抛物线经过A、C两点，与x轴的另一交点为B．
（1）求抛物线解析式；
（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，MN⊥x轴交BC于点N，当点M运动到某一位置时，线段MN的长度最大，求此时点M的坐标及线段MN的长度；
（3）如图2，以B为圆心，2为半径的⊙B与x轴交于E、F两点（F在E右侧），若P点是⊙B上一动点，连接PA，以PA为腰作等腰，使（P、A、D三点为逆时针顺序），连接FD．
①将线段AB绕A点顺时针旋转90°，请直接写出B点的对应点的坐标；
②求FD长度的取值范围．

【答案】（1）；（2）当M运动到 时，线段MN的长度最大为；（3）①；②．
【分析】
解：（1）∵直线与轴、轴分别交于，两点，
∴当时，，所以，
当时，，所以，
∵抛物线经过，两点，
∴，，解得，
∴抛物线解析式为．
（2）令，
∴，
解得：，，
∴，
∴直线BC的解析式为：，
设，则，
∴，
∴，
∴当时，的最大值为，
∴当M运动到 时，线段MN的长度最大为．

（3）①将线段AB绕A点顺时针旋转90°，
∴，
∵，，
∴，
∴；

②连接，，
由①可得，又已知是等腰直角三角形，
，，
∴，
∴，
∴当点在⊙B上运动时，点在以为圆心，半径为的圆上，
∴作射线，与⊙交于，两点，
情况一：当交点为时，为最小值，
即，
已知，，，
∴,,
∴在中， ,
即，
∴；

情况二：当交点为时，为最大值，
即，
已知，，，
∴,,
∴在中， ,
即，
∴；
综上．

7．（2021·湖南·长沙麓山国际实验学校九年级月考）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴分别相交于A、B两点，与y轴相交于点C，下表给出了这条抛物线上部分点（x，y）的坐标值：
x
…
-1
0
1
2
3
…
y
…
0
3
4
3
0
…
（1）求出这条抛物线的解析式；
（2）如图1，直线与抛物线交于P，Q两点，交抛物线对称轴于点T，若QMT的面积是PMT面积的两倍，求k的值；
（3）如图2，点D是第四象限内抛物线上一动点，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，ABD的外接圆与DF相交于点E．试问：线段EF的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．

【答案】（1）；（2）；（3）是，1
【分析】解：（1）根据表格可得出，，，
∴设抛物线解析式为，
将代入，
得：，
解得：，
，
该抛物线解析式为；
（2）设点P、Q的坐标分别为、，
将与联立方程，
得，
整理得：，
∴是方程的两个根，
∴，
∵，
∴对称轴为直线，
∴点P、Q到对称轴的距离分别为，，
∵QMT的面积是PMT面积的两倍，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
将，代入方程，
得：，
解得：，，
∵，
∴k的值为；
（3）线段的长为定值1，理由如下：
设点D的坐标为（p，q），
∵A、B两点关于直线x＝1对称，
∴圆心位于直线x＝1上，
∴可设ABD的外接圆的圆心为点，
如图，过点作，垂足为点N，连接，，则，
∴，，
∵DF⊥x轴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
整理得：，
∵点D是第四象限内抛物线上一动点，且抛物线解析式为，
∴，
∴，
∴，
整理得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
即线段的长为定值1．

8．（2021·四川·南部县第二中学九年级月考）如图，直线交轴于A点，交轴于B点，过A、B两点的抛物线的顶点坐标(1，4)．
（1）求的值和抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上求一点P，使得PAB的周长最小，并求出最小值；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）k=3，抛物线的解析式为；（2）△PAB周长的最小值为，点P坐标为（1，2）；（3）存在，点Q坐标分别为Q1（1，），Q2（1，），Q3（1，0），Q4（1，1）．
【分析】（1）当x=0时，y=3，
∴点B坐标为（0，3），
∵过A、B两点的抛物线的顶点坐标(1，4)，
∴设抛物线的解析式为，
∴，
解得：,
∴抛物线的解析式为，即，
当y=0时，，
解得：，，
∵点A在x轴负半轴，
∴A（-1，0），C（3，0），
把A（-1，0）代入得：-k+3=0，
解得：k=3．
（2）如图，连接BC，交对称轴于点P，
∵抛物线的解析式为，
∴对称轴为直线x=，
∵抛物线与x轴交于点A、C，
∴A、C关于对称轴对称，
∴PA=PC，
∴PA+PB=PB+PC=BC，
∴△PAB的周长的最小值为AB+BC，
∵A（-1，0），B（0，3），C（3，0），
∴OA=1，OB=3，OC=3，
∴AB+BC==，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
∴，
解得：k=-1，
∴直线BC的解析式为y=-x+3，
当x=1时，y=-1+3=2，
∴点P坐标为（1，2）．
∴△PAB周长的最小值为，点P坐标为（1，2）．

（3）设点Q坐标为（1，m），
∵A（-1，0），B（0，3），
∴AB==，QA==，QB==，
①当QA=AB时，
∴=，
解得：m=，
∴Q1（1，），Q2（1，），
②当QB=AB时，
∴=，
解得：m=6或m=0，
∵直线AB的解析式为y=3x+3，
∴x=1时，y=6，
∴点（1，6）在直线AB上，与A、B不能构成三角形，
∴Q3（1，0），
③当QA=QB时，
∴=，
解得：m=1，
∴Q4（1，1），
综上所述：存在点Q，使ABQ是等腰三角形，点Q坐标分别为Q1（1，），Q2（1，），Q3（1，0），Q4（1，1）．
9．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，，顶点为D，对称轴交x轴于点E．


图1 图2 图3
（1）求抛物线的解析式、对称轴及顶点D的坐标．
（2）判断的形状，并说明理由．（用三种不同的方法）
（3）如图2，在抛物线上有一动点P，过点P作轴于点M，交直线AC于点N，在线段PN、MN中，若其中一条线段是另一条线段的2倍，求点P的坐标．
（4）在抛物线上是否存在一点P，使，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
（5）如图3，在抛物线的对称轴上的一点，过点H的任一条与y轴不平行的直线l交抛物线于点M、N，说明是否为定值？若是定值，请求出这个定值，若不是，请说明理由．


【答案】（1），对称轴为：直线x＝－1，顶点坐标为：D（－1，－4）；（2）直角三角形，见解析；（3）P（2，5）或P（－2，－3）或P（，）或P（，）；（4）存在，P（，）或（，）；（5）是定值，为
【详解】（1）解：∵，
∴A（－3，0），C（0，－3），
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为：，
对称轴为：直线x＝－1，顶点坐标为：D（－1，－4）．
（2）方法一、∵A（－3，0），C（0，－3），D（－1，－4），
∴AC＝，AD＝，CD＝，
∴AC2＋CD2＝AD2，
∴是直角三角形．
方法二、过点D作DM⊥y轴，
∵，
∴∠OCA＝45°，
∵C（0，－3），D（－1，－4），
∴CM＝DM＝1，
∴∠DCM＝∠CDM＝45°，
∴∠ACD＝180°－45°－45°＝90°，
∴是直角三角形．


方法三、∵A（－3，0），C（0，－3），D（－1，－4），
∴直线CD解析式为：y＝－x－3，直线AC的解析式为：y＝x－3，
∴AC⊥CD，
∴是直角三角形．
（3）解：设P（x，），则N（x，－x－3），
∴PN＝|－（－x－3）|， MN＝|－x－3|＝|x＋3|，
∴|－（－x－3）|＝2|x＋3|或|x＋3|＝2|－（－x－3）|，
解得：x＝－3（舍去），或2或－2或或，
∴P（2，5）或P（－2，－3）或P（，）或P（，）．
（4）解：设P（x，），
∴PA2＝，PC2＝，
∵，
∴＝，
解得：x＝或x＝，
∴P（，）或（，）．
（5）理由：设过点的直线为y＝kx＋b，则＝−k＋b，M（x1，y1），N（x2，y2），
∴b＝＋k，
∴过点H的直线为y＝kx＋k，
由得：x2＋（2－k）x－k＋＝0，
∴x1＋x2＝k−2，x1x2＝－k＋，
∵y1＝kx1＋k，y2＝kx2＋k，
∴y1−y2＝k（x1−x2），
∴MN＝＝∙
＝∙
＝，
又∵MH＝＝∙，
同理：NH＝∙，
∴MH∙ NH＝（）＝，
∴＝．
10．（2021·北京·101中学九年级月考）对子某一函数给出如下定义：如果存在实数p，当其自变量的值为p时，其函数值等于p，则称p为这个函数的不动值，在函数存在不动值时，该函数的最大不动值与最小不动值之差q称为这个函数的不动长度．特别地，当函数只有一个不动值时，其不动长度q为零．例如，如图中的函数有0，1两个不动值，其不动长度q等于1．
（1）下列函数①yx，②y＝x2+1，③y＝x2﹣2x中存在不动值的是 　 　；（填序号）
（2）函数y＝3x2+bx．
①若其不动长度为0，则b的值为 　 　；
②若﹣2≤b≤2，求其不动长度q的取值范围；
（3）记函数y＝x2﹣4x（x≥m）的图象为G1，将G1沿x＝m翻折后得到的函数图象记为G2，函数G的图象由G1和G2两部分组成，若其不动长度q满足0≤q≤5，则m的取值范围为 　 　．

【答案】（1）①③；（2）①，②；（3）2≤m≤5或m＜
【分析】（1）由题意得：yx，解得： ，故存在不动值；
y＝x2+1， ，无解，故不存在不动值；
y＝x2﹣2x，
，
，
解得：或，故存在不动值；
故答案为：①③
（2）由题意得：y＝3x2+bx，
，
，
解得：或 ；
①若其不动长度为0，则，解得： ，
②，﹣2≤b≤2，解得： 即．
（3）如图1中，当图象G与直线y＝x的交点在第一象限时，P的最大值为5，最小值＞0，满足其不变长度q满足0≤q≤5，

∴m≤5，
如图2中，当图象G经过原点时，m＝2，此时p的最大值为5最小值为0，满足其不变长度q满足0≤q≤5，

如图3中，当直线x＝m在y轴的左侧，翻折后的抛物线的解析式为y＝ −4，

由 ，
消去y得到＋（−4m＋3）x＋4−8m＝0，
当Δ＝0时， −4（4−8m）＝0，
解得m＝ ，
观察图象可知，m＜时，满足条件，
综上所述，满足条件的m的值为2≤m≤5或m＜．
11．（2021·湖北·武汉一初慧泉中学九年级月考）平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为A（2，4），且经过坐标原点．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）如图1，设抛物线与x轴的另一交点为B，点C为抛物线上A，B之间一点，连接OA，OC，若∠AOC＝∠AOy，求点C的坐标；
（3）如图2，若直线y＝kx﹣2k＋5与抛物线交于M，N两点，点N关于抛物线对称轴的对称点为P，当k＜0时，试说明直线MP过一定点Q，并求出点Q的坐标．

【答案】（1）y=-x2+4x；（2）（，）；（3）直线MP过一定点Q（2，3），理由见详解
【分析】解：（1）∵抛物线的顶点为A（2，4），
∴设二次函数的解析式为：y=a(x-2)2+4，
把（0，0）代入上式，可得：0=a(0-2)2+4，解得：a=-1，
∴y=-(x-2)2+4，即：y=-x2+4x；
（2）过点C作CE∥y轴，交OA的延长线于点E，
∴∠OEC=∠AOy，
又∵∠AOC＝∠AOy，
∴∠OEC=∠AOC，
∴OC=CE，
∵A（2，4），
∴直线OA的解析式为：y=2x，
设C（x，-x2+4x），则E（x, 2x），
∴OC=，CE== ，
∴=，解得：x=或x=0（舍去），
∴C坐标为：（，）；

（3）∵直线y＝kx﹣2k＋5，
∴直线恒过点D（2，5），
联立，得：，
设M（x2，y2），N（x1，y1），则，，
设直线MP与直线x=2的交点为Q（2，m），则，，
∴，

∵PG=NG，
∴，
∵HQ=y2-m，QG=m-y1，DH=5-y2，DG=5-y1，
∴，
∴，即：，
∵，
∴，，
∴，即：，
∵k＜0，
∴ m=3，
∴直线MP过一定点Q（2，3）．
12．（2021·湖南广益实验中学九年级月考）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（m﹣2，0）和B（2m+1，0）（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为P，对称轴为l：x＝1．
（1）求抛物线解析式；
（2）直线y＝kx+2（k≠0）与抛物线相交于两点M（x1，y1），N（x2，y2）（x1＜x2），当|x1﹣x2|最小时，求抛物线与直线的交点M和N的坐标；
（3）首尾顺次连接点O、B、P、C构成多边形的周长为L，若线段OB在x轴上移动，求L最小值时点O、B移动后的坐标及L的最小值．
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）M（﹣1，0），N（1，4）；（3），，L最小值为．
【分析】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（m﹣2，0）和B（2m+1，0），
∴，
∴m＝1，
∴点A（﹣1，0），B（3，0），
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3；
（2）由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，
根据题意得，，
∴x2+（k﹣2）x﹣1＝0①，
∴x1+x2＝2﹣k，x1x2＝﹣1，
∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝（2﹣k）2+4，
要使|x1﹣x2|最小，则（x1﹣x2）2最小，
∴（k﹣2）2+4最小，
即k＝2时，|x1﹣x2|最小，
∴方程①可化为x2﹣1＝0，
∴x＝±1，
∴M（﹣1，0），N（1，4）；
（3）由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴C（0，3），P（1，4），
∴，
∵B（3，0），
∴OB＝3，
如图，记OB平移后对应的点分别为O'，B'，

∴O'B'＝3，
设平移后点O'的坐标为（n，0），
则B'（n+3，0），
以CP，BP'为两边邻边作平行四边形CPB'E，
则CE＝B'P，E（n+3﹣1，0﹣1），
即E（n+2，﹣1），
过点C作直线m，使m∥x轴，作点O'关于直线m的对称点D（n，6），
∴O'C＝DC，
∵L＝CP+O'B'+O'C+B'P＝+3+DC+CE，
要使L最小，则DC+CE最小，
即点D，C，E在同一条直线上，DC+CE的最小值为DE，
∵C（0，3），
∴设直线DE的解析式为y＝k'x+3，
∴ ，
∴，
∴，，，，
∴，
∴L最小值为．