中考数学二轮复习第13讲 轴对称与旋转（题型训练）（教师版）

这是一份中考数学二轮复习第13讲 轴对称与旋转（题型训练）（教师版），共80页。试卷主要包含了轴对称，等腰三角形，旋转等内容，欢迎下载使用。

第13讲 轴对称与旋转
题型一 轴对称
1．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，动点P满足S△PBC＝S矩形ABCD，则点P到B，C两点距离之和PB+PC的最小值为（　　）

A． B． C． D．2
【答案】B
【解析】解：设△PBC中BC边上的高是h．
∵S△PBC＝S矩形ABCD．
∴BC•h＝AB•AD，
∴h＝AB＝1，
∴动点P在与BC平行且与BC的距离是1的直线l上，
如图，作B关于直线l的对称点E，连接CE，则CE的长就是所求的最短距离．

在Rt△BCE中，∵BC＝3，BE＝BA＝2，
∴CE＝，
即PB＋PC的最小值为．
故选：B．
2．（2021·广西·南宁三中九年级期中）在平面直角坐标系xOy中，点A（－2，4）关于x轴对称的点B的坐标是（ ）
A．（－2，4） B．（－2，－4） C．（2，－4） D．（2，4）
【答案】B
【解析】∵点A（－2，4），
∴关于x轴对称的点B的坐标是（－2，－4），
故选B．
3．（2021·重庆一中九年级期中）下面的图形是用数学家名字命名的，其中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
A．科克曲线 B．笛卡尔心形线
C．赵爽弦图 D．斐波那契螺旋线
【答案】B
【解析】解：A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不合题意；B．是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项符合题意；C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：B．
4．（2021·重庆实验外国语学校九年级开学考试）如图在四边形中，和都是直角，且．现将沿翻折，点的对应点为，与边相交于点，恰好是的角平分线，若，则的长为（ ）


A．1.5 B． C．2 D．
【答案】C
【解析】解：如图，延长和相交于点，

由翻折可知：
，，
是的角平分线，
，
，
△B＇EC≌△BE＇F，
，
，
，，
，
，，
△FCA≌△DBA，
．
故选：C．
5．（2021·福建省同安第一中学一模）如图，在菱形ABCD中，，，过点A作于点E，现将△ABE沿直线AE翻折至△AFE的位置，AF与CD交于点G，则△CFG的面积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：过G作GH⊥AD于H，延长HG交CF于M，
∵，，
设AE=3，BE=4,
根据勾股定理即，
解得
∴BE=4，AE=3，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD=AB=BC=5，AD∥BC，
∵△ABE沿直线AE翻折至△AFE，
∴EF=BE=4，
∴EC=BC-AE=5-4=1，
∴CF=EF-EC=4-1=3，
∵AD∥CF，
∴∠D=∠GCF，∠DAG=∠F，
∴△ADG∽△FCG，
∴
又∵HM⊥AD，AE⊥AD，AD∥BF，
∴HM=AE=3，
设HG=5n，MG=3n，
∴5n+3n=3,
解得,
∴MG=，
∴△CFG的面积=．
故选：B．
．
6．（2021·湖北江岸·模拟预测）有一张矩形纸片ABCD，已知AB＝2，AD＝4，上面有一个以AD为直径的半圆，如图甲，将它沿DE折叠，使A点落在BC上，如图乙，这时，半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：设阴影部分所在的圆心为O，AD与半圆弧交于点F，如图，连接OF，作OM⊥AD于点M，

∵AD=4，CD=2，
∴∠DAC=30°，
∵OD∥BC，OD=OF=2，
∴∠ODF=∠OFD=∠DAC=30°，
∴∠DOF=180°-30°-30°=120°，
在Rt△DOM中，
OM=OD•sin30°=2×=1，
DM=OD•cos30°=2×=，
∴DF=2DM=2，
∴S阴影部分=S扇形ODF-S△ODF
=，
故选：C．
7．（2021·湖北襄州·二模）如图，在中，，把沿斜边折叠，得到，过点作交的延长线于点，过点作，分别交，于点，，若，，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】连接，如图，


由对称的性质可知，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴在中，．
又∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
8．（2021·河北·中考真题）如图，直线，相交于点．为这两直线外一点，且．若点关于直线，的对称点分别是点，，则，之间的距离可能是（ ）

A．0 B．5
C．6 D．7
【答案】B
【解析】解：连接，如图，

∵是P关于直线l的对称点，
∴直线l是的垂直平分线，
∴
∵是P关于直线m的对称点，
∴直线m是的垂直平分线，
∴
当不在同一条直线上时，
即
当在同一条直线上时，
故选：B
9．（2021·江苏姑苏·二模）如图，在△ABC中，是边上的中点，连结，把△BDC沿翻折，得到，与交于点，连结，若，，则点到的距离为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，过点D作DF⊥AC'，垂足为F，过点B作BG⊥AC'，交AC'的延长线于G，

∵把沿翻折，得到△BDC＇，
∴DC=，∠BDC=∠，
∵D是边上的中点，
∴DC=AD，
∵，
∴=，
∴△ADC＇是等边三角形，
∴∠BDC=∠=∠=∠=60°，
∴AG//BD，
∴∠BDF=∠AFD，
∵DF⊥AC'，
∴AF=FC'=1，
∴DF==，
∵DF⊥AC'，BG⊥AC'，
∴∠AFD=∠DFC′=∠G=90°，
∴∠BDF=90°，
∴四边形BDFG是矩形，
∴FG=BD=3，BG=DF，
∴BG=，=2，
∴==，
设点D到的距离为h，
∴，
∴，
∴h=，
故选B．
10．（2021·四川成都·三模）如图，将边长为6的正六边形沿折叠，点恰好落在边的中点上，延长交于点，则的长为（ ）

A．1 B． C． D．
【答案】A
【解析】解：如图，过点作延长的垂线，


，
，，
，
设，，，
，
，
，
在△中，根据勾股定理，得
，
，
解得，
，
，
，，
，
△，
，
，
解得，
．
故选：．
11．（2021·江苏秦淮·九年级期中）如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别取一点M、N，使△AMN的周长最小，则∠MAN＝_____°．

【答案】80
【解析】如图，作点A关于BC、CD的对称点A1、A2，连接A1、A2分别交BC、DC于点M、N，连接AM、AN，则此时△AMN的周长最小，

∵∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，
∴∠BAD＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，
∴∠A1+∠A2＝180°﹣130°＝50°，
∵点A关于BC、CD的对称点为A1、A2，
∴NA＝NA2，MA＝MA1，
∴∠A2＝∠NAD，∠A1＝∠MAB，
∴∠NAD+∠MAB＝∠A1+∠A2＝50°，
∴∠MAN＝∠BAD﹣（∠NAD+∠MAB）
＝130°﹣50°
＝80°，
故答案为：80．
12．（2021·四川·成都实外九年级期中）如图，已知正方形ABCD的边长为6，点E是AB边上一动点，连接ED，将ED绕点E顺时针旋转90°到EF，连接DF，CF，则DF+CF的最小值是 ___．

【答案】
【解析】解：连接，过点作交延长线于点，

，
∴ ，
∵ ，
∴∠EDA=∠FEG，
在△AED和△GFE中，

，
，
点在的射线上运动，
作点关于的对称点，
，，
，
，
，
，
点在的延长线上，
当、、三点共线时，最小，
在中，，，
，
的最小值为．
故答案为：．
13．（2021·重庆一中九年级期中）如图，在菱形中，点为边上一点，点为边中点，连接，将△BEF沿直线翻折至菱形所在平面内，得到△B＇EF，连接并延长交边于点．若，，点到线段的距离为，则折痕的长为__________．

【答案】
【解析】解：作，，如下图：

由题意可得：，，，，，
∴，
又∵，
∴
∴
∴四边形为平行四边形
又∵
∴平行四边形为矩形
∴，
由勾股定理得：，即
∵为的中点
∴
∵
∴
由勾股定理得：

故答案为
14．（2021·安徽省安庆市外国语学校九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，点D是AB的中点，点E是边AC上的动点(不与点A、C重合)，连接DE，将△ADE沿直线DE翻折，得到△A＇DE，当AE的长为__________时，和△ABC的一边平行．

【答案】或
【解析】解：由勾股定理得：

当时，设交于点，则
∴
∵点D是AB的中点，可知为的中点，即
设，则，
∵，
∴
∴，即，解得，即
当时，，
又∵
∴
∴
综上可知，或
故答案为或
15．如图，中，∠C＝90°，，点D在BC上，将△ABC沿直线AD翻折，使点C落在点处，连接，直线与边CB的延长线相交与点F，如果，那么线段BF的长为 ___．

【答案】
【解析】解：如图所示：

在中，
，
，
是将△ABC沿直线AD翻折得到的，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
16．如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝30°，点D在BC上，将△ACD沿直线AD翻折后，点C落在点F处，边AF与边BC相交于点E，如果DF//AB，那么∠BAD的大小是________．

【答案】70°
【解析】解：在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝30°，
∴∠BAC＝180°−∠B−∠C＝110°．
由折叠的性质可知：∠CAD＝∠EAD，∠F＝∠C＝30°．
∵DF∥AB，
∴∠BAE＝∠F＝30°，
∴∠BAC＝∠BAE＋∠CAD＋∠EAD，即110°＝30°＋2∠CAD，
∴∠CAD＝40°．
∴∠BAD＝∠BAC−∠CAD＝70°，
故答案为：70°．
17．如图，△ABC中，∠C＝72°，AB边的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，将△ABE沿BE翻折得到△ABE，若，则∠ABC＝___．

【答案】
【解析】解：，
，
，
垂直平分线段，
，
，
由翻折的性质可知，，，
，
，
∵，
，
∵∠C＝72°，
，
，
故答案为：．
18．（2021·四川·达州市第一中学校九年级期中）如图坐标系中，O(0，0)，A(3，3)，B(6，0)，将△OAB沿直线CD折叠，使点A恰好落在线段OB上的点E处，若OE＝，则AC：AD的值是_______．


【答案】
【解析】O(0，0)，A(3，3)，B(6，0)，

△AOB是等边三角形

将△OAB沿直线CD折叠，使点A恰好落在线段OB上的点E处，









OE＝

设，
则


即①
②
①－②得，

即．
故答案为：2：3
19．（2021·甘肃·古浪县第四中学九年级期中）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1，1)，B(4，2)，C(3，4)．
（1）请画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；
（2）请画出△ABC关于原点对称的△A2B2C2；
（3）在x轴上求作一点P，使△PAB的周长最小，请画出△PAB．

【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）作图见解析
【解析】解：（1）点向左平移5个单位长度后为点，点向左平移5个单位长度后为点，点向左平移5个单位长度后为点，作图如下：

（2）点关于原点对称的点A2的坐标为，点关于原点对称的点B2的坐标为，点关于原点对称的点C2的坐标为，作图如（1）中所示．
（3）作图如（1）中所示，先作出点关于x轴的对称点，再连接，与x轴的交点即为点P，再连接PA和PB即可得．
20．（2021·河南·洛阳市洛龙区教育局教学研究室九年级期中）如图所示的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1，格点三角形ABC（顶点是网格线交点）的顶点A、C的坐标分别是(－4，6)、(－1，4)．

（1）请在图中的网格内建立平面直角坐标系；
（2）请画出△ABC关于x轴对称的；将△ABC以点C为旋转中心顺时针旋转90°，画出旋转后对应的；
（3）请在y轴上求作一点P，使的周长最小，并求出点P的坐标．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析，
【解析】解：（1）建立平面直角坐标系如图所示；
（2），如图所示；


（3）∵，其中为定值，
∴要使得的周长最小，即使得最小即可；
如图，作点关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，则点P即为所求，
此时，，
设直线的解析式为（），
把，代入解析式，
得，解得，
∴直线的解析式为，
∴当时，，
∴．
21．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，AD平分∠BAC，点P、Q分别是AD、AC上的动点（点P不与A、D重合，点Q不与A、C重合），求PC＋PQ的最小值

【答案】
【解析】解：如解图，过点C作CH⊥AB于H，交AD于点P，
过点P作PQ⊥AC于点Q，


∵AD平分∠BAC，CH⊥AB，PQ⊥AC，
∴PQ=PH，
∴PC+PQ=PC+PH=CH，
∴PC+PQ的最小值就是线段CH的长，
∵AB=10，AC=8，BC=6，
∴AB2=AC2+BC2，
∴∠ACB=90°，
∴•AB•CH=•AC•BC，
∴CH=，
即PC+PQ的最小值为．
22．（2021·重庆南开中学九年级期中）如图，在△ABC中，D为AB中点，连接CD，将△BCD沿直线CD翻折至△ABC所在平面内得△B′CD，连接BB′，与CD交于点E．若AB′＝BB′＝4，∠ABC＝60°，则点C到BD的距离为________．

【答案】
【解析】解：∵D为AB中点，
∴AD＝BD，
∵将△BCD沿直线CD翻折至△ABC所在平面内得△B′CD，
∴BD＝DB'＝AD，BE＝B'E，BB'⊥CD，
∴∠AB'B＝90°，
∵AB′＝BB′＝4，
∴∠ABB'＝45°，BE＝2，
∴∠EDB＝∠DBE＝45°，
∴DE＝BE＝2，
∴BD＝2，
如图，过点C作CH⊥BD于H，

∴∠CDH＝∠DCH＝45°，
∴CH＝DH，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BCH＝30°，
∴BC=2BH，CH=
∴BH＝=CH，
∵BD＝BH+DH＝CH+CH＝2，
∴CH＝3﹣，
∴点C到BD的距离为3﹣，
故答案为3﹣．
23．（2021·江苏·南京郑和外国语学校九年级期中）问题情境：如图1，P是⊙O外的一点，直线PO分别交⊙O于点A，B，则PA是点P到⊙O上的点的最短距离．
（1）探究证明：如图2，在⊙O上任取一点C（不与点A，B重合），连接PC，OC．求证：PA＜PC．
（2）直接应用：如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，以BC为直径的半圆交AB于D，P是弧CD上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是 　 　．
（3）构造运用：如图4，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A1MN，连接A1B，则A1B长度的最小值为 　 　．
（4）综合应用：如图5，平面直角坐标系中，分别以点A（﹣2，3），B（4，5）为圆心，以1，2为半径作⊙A，⊙B，M，N分别是⊙A，⊙B上的动点，P为x轴上的动点，直接写出PM+PN的最小值为 　 　．

【答案】（1）见解析；（2）；（3）﹣1；（4）7.
【解析】解：（1）证明：如图1，

∵PO﹣OC＜PC，
∴（AP+OA）﹣OC＜PC，
∵OA＝OC，
∴AP＜PC；
（2）如图2，

连接OA角半⊙O于P，则AP最小，
在Rt△AOC中，
OA＝
＝
＝，
∴AP＝OA﹣OP＝，
故答案为：；
（3）如图3，

连接BM，交⊙M（半径是1）是A1，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
∵∠BAM＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∵M是AD的中点，
∴∠AMB＝90°，
∴BM＝AB•sin60°＝，
∴A1B＝-1；
故答案为：﹣1；
（4）如图4，

作点A关于x轴的对称点C，连接BC，交⊙B于点N，交x轴于点P，
连接PA交⊙A于M，
∴PA＝PC，
∴PA+PB＝PC+PB＝BC，
∵C（﹣2，﹣3），B（4，5），
∴BC＝
＝10，
∴PM+PN＝PA+PB﹣AM﹣BN
＝10﹣1﹣2
＝7，
故答案为：7．
24．（2021·浙江·温州市第十二中学九年级期中）如图， 在中， ， 点以每秒2个单位长度的速度从点出发， 沿方向向终点匀速运动， 同时点Q以每秒1个単位长度的速度从点出发， 沿方向向终点匀速运动， 连结． 设运动的时间为 秒．
（1） 求的长 （用含的代数式表示）．
（2） 当 秒时， 求 △APQ的面积．
（3） ①如图 2， 连结， 当为直角三角形时， 求所有满足条件的值．
② 如图 3， 当点关于的对称点 落在直线上时，求 的值．

【答案】（1）；（2）；（3）①或；②
【解析】解：（1）由勾股定理可得：，
由题意可得：，
则，
故答案为；
（2）作，如下图：

由题意可得：，
由三角函数的定义可得，即，解得

故答案为；
（3）①由题意可得：，，，
当时，由勾股定理可得：，

则：
解得：，符合题意；
当时，作，如下图：

则，，
∴
∴
∴
由三角函数的定义可得，，解得，
则
即，解得，符合题意
故答案为或
②连接交于点，如下图：

由题意可知：，
又∵
∴
∴
由①得，，
∴，化简得：
解得或（负值舍去）
∴
故答案为
题型二 等腰三角形
1．（2021·湖北·洪湖实验初中九年级期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，AB=6，将Rt△ABC绕点C顺时针旋转到Rt△A’B’C．当A’、B’、A三点共线时，AA’=（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：由在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，AB=6，得
∠BAC=30°，BC=3．
由旋转的性质，得
A′B′=AB=6，∠A′=∠BAC=30°，∠A′B′C=∠B=60°，AC=A′C．
由等腰三角形的性质，得
∠CAB′=∠A′=30°．
由邻补角的定义，得
∠AB′C=180°-∠A′B′C=120°．
由三角形的内角和定理，得
∠ACB′=180°-∠AB′C-∠B′AC=30°．
∴∠B′AC=∠B′CA=30°，
AB′=B′C=BC=3．
A′A=A′B′+AB′=6+3=9，
故选：D．
2．（2021·湖南·衡阳市实验中学九年级期中）如图，已知为△ABC的角平分线，//交于，如果，那么等于（ ）

A． B． C． D．2
【答案】B
【解析】解：∵DE∥AB，
∴∠ADE=∠BAD，
∵AD为△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠EAD，
∴∠EAD=∠ADE，
∴AE=DE，
∵，
∴，
∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CBA，
∴，
∴．
故选：D．
3．（2021·重庆南川·九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C，此时点A′恰好在AB边上，则点B′与点B之间的距离为（ ）

A．10 B．20 C．10 D．10
【答案】D
【解析】解：连接BB'，如图，

∵∠ACB=90°，∠A=60°，AC=10，
∴BC=AC=，
∵△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C，此时点A′恰好在AB边上，
∴CA=CA'，CB=CB'，∠ACA'=∠BCB'，
∵CA=CA'，∠A=60°，
∴△CAA'为等边三角形，
∴∠ACA'=60°，
∴∠BCB'=60°，
∴△CBB'为等边三角形，
∴BB'=CB=，
即点B′与点B之间的距离为．
故选:D．
4．（2021·湖北宜城·九年级期中）如图，在圆内有折线，其中，，，则的长为（　　）

A．16 B．20 C．18 D．22
【答案】B
【解析】延长交于，作于．

，
，
△ADB为等边三角形，
，
，
又，
，
，
，
．
故选：B．
5．（2021·山东城阳·九年级期中）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝8cm，则菱形ABCD的面积是（　　）cm2

A．16 B．32 C．64 D．32
【答案】B
【解析】解：连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=4cm，AC⊥BD，AO=AC，OB=BD，
∵∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AB=8cm，
∴OB=4cm，
∴cm，
∴AC=cm，
∴菱形ABCD的面积是，
故选：B．

6．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点E是线段上的一个动点（与点A不重合），点P是点A关于BE的对称点．在点E的运动过程中，能使得△PCB为等腰三角形的点E的位置共有（ 　 ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【解析】解：分三种情况：
①以BC为底边时，是BC的垂直平分线与以B为圆心BA为半径的圆的交点，此时的情况交点只有一个；

②以BP为底边，C为顶点时，有一个，是以B为圆心BA为半径的圆与以C为圆心BC为半径的圆的交点；

③以CP为底，B为顶点时，没有，因为以B为圆心BA为半径的圆与以B为圆心BC为半径的圆没有交点，
综上满足要求的P有2个，
故选：A．
7．如图，在三角形ABC中，AB＝AC，BC＝6，三角形DEF的周长是7，AF⊥BC于F，BE⊥AC于E，且点D是AB的中点，则AF＝（　　）

A． B． C． D．7
【答案】B
【解析】解：∵AF⊥BC，BE⊥AC，D是AB的中点，
∴DE= DF= AB，
∵AB= AC，AF⊥BC，
∴点F是BC的中点，∠AFB = 90°，
∴BF= FC= 3，
∵BE⊥AC，
∴EF=BC = 3，
∴△DEF的周长DE+DF+EF=AB+3=7，
∴AB=4，
在Rt△ABF中，由勾股定理知，
AF=
故选：B．
8．如图，四边形是边长为6的正方形，点E在边CD上，DE＝2，过点E作EF∥BC，分别交AC、AB于点G、F，M、N分别是AG、BE的中点，则MN的长是（ ）

A．2 B．2 C． D．5
【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠BCD＝90°
∵EF∥BC，
∴∠BFE+∠ABC＝180°，
∴∠BFE＝90°，
∴四边形BCEF为矩形，
连接FM，FC，如图：

∵N是BE的中点，四边形BCEF为矩形．
∴点N为FC的中点，BE＝FC．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC＝45°，
又∵∠AFG＝90°，
∴△AFG为等腰直角三角形．
∵M是AG的中点，
∴AM＝MG，
∴FM⊥AG，
∴△FMC为直角三角形，
∵点N为FC的中点，
∴MN＝FC，
∵四边形ABCD是边长为6的正方形，DE＝2，
∴BC＝CD＝6，CE＝4，
在Rt△BCE中，由勾股定理可得BE＝=2 ，
∴FC＝2 ，
∴MN＝FC＝．
故选：C．
9．（2021·四川省宜宾市第二中学校一模）如图，以△ABC的三边为边分别作等边、、，则下列结论正确的是（ ）

A．
B．四边形为矩形
C．四边形为菱形
D．当，时，四边形是正方形
【答案】A
【解析】解：∵△ABE、△BCF为等边三角形，
∴AB＝BE＝AE，BC＝CF＝FB，∠ABE＝∠CBF＝60°，
∴∠ABE−∠ABF＝∠FBC−∠ABF，即∠CBA＝∠FBE，
在△ABC和△EBF中，
，
∴△ABC≌△EBF（SAS），
∴EF＝AC，
又∵△ADC为等边三角形，
∴CD＝AD＝AC，
∴EF＝AD＝DC，
同理可得△ABC≌△DFC，
∴DF＝AB＝AE＝DF，
∴四边形AEFD是平行四边形，故B、C选项错误；
∴∠FEA＝∠ADF，
∴∠FEA＋∠AEB＝∠ADF＋∠ADC，即∠FEB＝∠CDF，
在△FEB和△CDF中，
．
∴△FEB≌△CDF（SAS），故选项A正确；
若AB＝AC，∠BAC＝120°，则有AE＝AD，∠EAD＝120°，此时AEFD为菱形，选项D错误
故选A．
10．（2021·湖南师大附中博才实验中学九年级开学考试）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E是BD上的一点，连接EC，过点B作BG⊥CE于点G，交AC于点H，EF⊥EC交AB于点F．若正方形ABCD的边长为4，下列结论：①OE＝OH；②EF＝EC；③当G为CE中点时，BF＝；④BG•BH＝BE•BO，其中正确的是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【解析】解：∵BG⊥CE，EF⊥EC，
∴∠FEC＝∠BGC＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AO＝OC＝OB＝OD，AC⊥BD，
∵∠ECO+∠GHC＝90°＝∠OBH+∠BHO，∠BHO＝∠CHG，
∴∠OBH＝∠ECO，
又∵BO＝CO，∠BOH＝∠COE＝90°，
∴△BOH≌△COE（ASA），
∴OE＝OH，故①正确；
如图，过点E作EP⊥BC于P，EQ⊥AB于Q，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD＝∠CBD＝45°，
又∵EP⊥BC，EQ⊥AB，
∴EQ＝EP，
又∵EP⊥BC，EQ⊥AB，∠ABC＝90°，
∴四边形BPEQ是正方形，
∴BQ＝BP＝EP＝QE，∠QEP＝90°＝∠FEC，
∴∠QEF＝∠PEC，
又∵∠EQF＝∠EPC＝90°，
∴△QEF≌△PEC（ASA），
∴QF＝PC，EF＝EC，故②正确；
∵EG＝GC，BG⊥EC，
∴BE＝BC＝4，
∴BP＝EP＝2，
∴PC＝4﹣2＝QF，
∴BF＝BQ﹣QF＝2﹣（4﹣2）＝4﹣4，故③正确；
∵∠BOH＝∠BGE＝90°，∠OBH＝∠GBE，
∴△BOH∽△BGE，
∴BH•BG＝BE•BO，故④正确，
故选：D．
11．（2021·江苏宿迁·九年级期中）我们将能完全覆盖某平面图形的圆称为该平面图形的覆盖圆，其中能完全覆盖平面图形的最小的圆称为该平面图形的最小覆盖圆，则边长为4的等边三角形的最小覆盖圆的面积是________．
【答案】
【解析】解：等边三角形的最小覆盖圆是等边三角形的外接圆，
过A作AD⊥BC于D，过B作BE⊥AC于E，AD与BE相交于O，以点O为圆心，OB长为半径的圆是等边三角形的外接圆，
∵△ABC为等边三角形，BE⊥AC，AD⊥BC，
∴AE=CE=，
∴BE平分∠CBA，
∴∠DBE=∠ABE=，
在Rt△BCE中，
∴BE=，
∵BO=2OE，
∴2OE+OE=，
∴OE=，
∴OB=2OE=，
S⊙O=．
故答案为： ．

12．（2021·北京市月坛中学九年级期中）将含有30°角的直角三角板OAB如图放置在平面直角坐标系中，OB在x轴上，若OA＝2，将三角板绕原点O顺时针旋转90°，则点A的对应点A′的坐标为__________．

【答案】
【解析】解：如图，作A‘C⊥x轴

∵三角板绕原点O顺时针旋转90°，
∴旋转后O A′与y轴夹角为30°，
∴∠OA′C=30°
∵OA＝2，
∴OA′＝2，
∴OC=2
即点A′的横坐标为，
∴A′C=
即纵坐标为，
所以，点A′的坐标为．
故答案：．
13．（2021·湖北赤壁·九年级期中）如图，△ABC是边长为2的等边三角形，点D为BC边上的中点，以点D为顶点作正方形DEFG，且DE＝BC，连接AE，AG．若将正方形DEFG绕点D旋转一周，当AE取最小值时，AG的长为____．

【答案】
【解析】解：连接AD，

∵△ABC是边长为2的等边三角形，点D为BC边上的中点，
∴,，
在Rt△ABD中，AD＝＝，
当点E在DA延长线上时，AE＝DE−AD．
此时AE取最小值，

∴在Rt△ADG中，AG＝；
故答案为：．
14．（2021·北京师范大学亚太实验学校九年级期中）如图1，在△ABC中，AB>AC，D是边BC上的动点．设B，D两点之间的距离为x，A，D两点之间的距离为y， 表示 y与x的函数关系的图象如图2所示．线段AC的长为_________________，线段AB的长为____________．

【答案】
【解析】解：从图象看，当x=1时，y=，即BD=1时，AD=，
当x=7时，y=，即BD=7时，C、D重合，此时y=AD=AC=，则CD=6，
即当BD=1时，△ADC为以点A为顶点腰长为的等腰三角形，如下图：

过点A作AH⊥BC于点H，
在Rt△ACH中，，则，
在Rt△ABH中，，
故答案为：，．
15．（2021·北京八十中九年级期中）如图，AB是⊙O的直径，弦，分别过M、N作AB的垂线，垂足为C、D，以下结论
①AC＝BD；
②AM＝BN；
③若四边形MCDN是正方形，则MN＝AB；
④若M为弧AN的中点，则D为OB中点．
所有正确结论的序号是 ___．

【答案】①②④
【解析】解：连接OM、ON，AM如图， ∵MC⊥AB、ND⊥AB，
∴∠OCM=∠ODN=90°，
∵，
∴∠CMN+∠MCD=180°，
∴∠CMN=90°，
∴四边形CMND是矩形，

∴CM=DN，
在Rt△OMC和Rt△OND中，，
∴Rt△OMC≌Rt△OND（HL），
∴OC=OD，∠COM=∠DON，
∴ ，
故②正确，
∵OA=OB，OC=OD， ∴AC=BD，故①正确，
当四边形MCDN是正方形时，CM=2OC，

∴OM=OC，
∴AB=2OM=OC=MN，
故③错误，
若M是的中点，连接BN，而
∴∠AOM=∠MON=∠BON=60°，
∵ON=OB，
∴△ONB是等边三角形，
∵ND⊥OB， ∴OD=DB，故④正确．
故答案为：①②④．
16．（2021·广东普宁·九年级期中）如图，在矩形ABCD中，，点E，F分别在BC，CD上，将沿AE折叠，使点B落在AC上的点处，又将沿EF折叠，使点C落在直线与AD的交点处，______．

【答案】
【解析】解：连接，如图所示：

∵将沿AE折叠，使点B落在AC上的点处，又将沿EF折叠，使点C落在直线与AD的交点处，
∴，
∴，
在矩形ABCD中，AD∥BC，CD=AB，∠B=∠D=90°，
∴∠3=∠2，
∴∠1=∠3，
由折叠的性质可得：，
∵，
∴△CC＇B＇≌△CC＇D（AAS），
∴，
∵，
∴，
∴是对角线AC的中点，即，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为．
17．（2021·河南义马·九年级期中）如图，在Rt△ABC中，，，将△ABC绕点按逆时针方向旋转后得到△AEF,EF交于点．若，则△ABC的周长是多少？

【答案】

【解析】在Rt△ABC中，，

△ABC绕点按逆时针方向旋转后得到△AEF，
，
△AED是等腰直角三角形．


△ABC的周长
18．（2021·广西容县·九年级期中）如图，在四边形中，，，，求四边形的面积．

【答案】18
【解析】解：延长CB至点E，使得BE=DC，如图所示：

∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴△ADC≌△ABE，
∴∠DAC=∠BAE，AC=AE，
∵，
∴，即，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∵，
∴．
19．（2021·山西吕梁·九年级期中）如图，D是等腰三角形ABC底边的中点，过点A、B、D作．
（1）求证：AB是⊙O的直径；
（2）延长CB交⊙O于点E，连接DE，求证：DC=DE．

【答案】（1）证明过程见解析；（2）证明过程见解析
【解析】（1）连接BD，

∵，，
∴，
∴，
∴AB是⊙O的直径；
（2）∵，
∴，
由圆周角定理可得：，
∴，
∴．
20．（2021·广东潮阳·九年级期中）如图①，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC

（1）试探索线段BC，DC，EC之间满足的等量关系，并证明你的结论．
（2）如图②，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）BD=DC+CE，见解析；（2）BD2+CD2=2AD2，见解析
【解析】解：（1）∵将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，
∴∠DAE=90°，AD=AE，
∴∠BAC=∠DAE，
∵∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴CE=BD，
∴BC=CD+BD=CD+CE；
故答案为：BC=CD+CE．
（2）CD2+BD2=2AD2，理由如下：
连接CE，

∵∠DAE=90°，AD=AE，
∴DE=AD，即DE2=2AD2，
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE，
∴CE=BD，∠ACE=∠B，
∴∠DCE=∠ACB+∠ACE=∠ACB+∠B=90°，
∴CD2+CE2=DE2，
∴CD2+BD2=2AD2．
21．（2021·福建·福州十八中九年级期中）如图，⊙O中两条弦AB⊥CD交于点E．
（1）M是CD的中点，OM＝3，CD＝12，求⊙O的半径长；
（2）点F在CD上，且CE＝EF，求证：AF⊥BD．

【答案】（1）圆O的半径长为；（2）证明见解析．
【解析】解：（1）连接OD，如图：

∵M是CD的中点，CD=12，
∴DM=CD=6，OM⊥CD，∠OMD=90°，
Rt△OMD中，，且OM=3，
∴，即圆O的半径长为；
（2）连接AC，延长AF交BD于G，如图：

∵AB⊥CD，CE=EF，
∴AB是CF的垂直平分线，
∴AF=AC，
∴∠FAE=∠CAE，
∵，
∴∠CAE=∠CDB，
∴∠FAE=∠CDB，
Rt△BDE中，∠CDB+∠B=90°，
∴∠FAE+∠B=90°，
∴∠AGB=90°，
∴AG⊥BD，即AF⊥BD．
22．（2021·浙江·温州市第四中学九年级期中）已知：如图1，在长方形中，，，，点P是边上的动点，将翻折得，延长交于点F，连结．

（1）求证：．
（2）如图2，当时，点F与点C刚好重合．求此时的长．
（3）如图3，连结，在点P运动过程中，当和△PCE面积相等时，则 ．（直接写出答案）

【答案】（1）见解析；（2）；（3）2或8
【解析】解：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠APB=∠FBP，
由翻折的性质可知，∠APB=∠FPB，
∴∠FBP=∠FPB，
∴FP=FB；
（2）当时，△BEC恰为直角三角形，
根据翻折的性质得：AB=BE=4，AP=PE，
在Rt△BEC中，BE=4，BC=10，
∴，
设AP=PE=x，则，，
在Rt△PDC中，，
即：，
解得：，
∴此时AP长为；
（3）①当点P在靠近A点时，
如图所示，作CQ⊥PF延长线于Q点，则∠Q=∠BEF=90°，
∵，，
∴当和△PCE面积相等时，有BE=CQ，
在△BEF和△CQF中，

∴△BEF≌△CQF(AAS)，
∴BF=CF，EF=QF，
∴此时，F点为BC的中点，BF=BC=5，
∵BE=AB=4，
∴在Rt△BEF中，，
由（1）可知，BF=PF，
∴PF=5，
∴PE=PF-EF=2，
∴AP=2；

②当点P在靠近D点时，
如图所示，作CQ⊥PE于Q点，
此时，当和△PCE面积相等时，仍有BE=CQ，
则由①可知，此时△BEF≌△CQF仍然成立，BF=CF，
∴点F为BC的中点，CF=BC=5，
∵翻折性质可得：AB=BE=CD，
∴CQ=CD=4，
∴由勾股定理得：FQ=3，
在Rt△CPQ和Rt△CPD中，

∴Rt△CPQ≌Rt△CPD(HL)，
∴PQ=PD，∠DPC=∠FPC，
∵AD∥BC，
∴∠DPC=∠FCP，
∴∠FCP=∠FPC，
∴FP=FC=5，
∴PQ=FP-FQ=5-3=2，
∴PD=2，
∴AP=AD-PD=10-2=8；

综上分析，当和△PCE面积相等时，AP=2或8，
故答案为：2或8．
题型三 旋转
1．（2021·山东·禹城市教育和体育局九年级期中）如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，，．将△AOB绕点逆时针旋转90°，点B的对应点的坐标是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：如图，作轴于，
∵∠AOB=∠B=30°，OA=2，
∴OB=AB=2，

由旋转的性质得，，
∴，
，
，
∴，
，
，
故选A．
2．（2021·青海互助·九年级期中）下列说法正确的是（ ）
A．全等的两个图形成中心对称 B．旋转后能够重合的两个图形成中心对称
C．成中心对称的两个图形旋转后必重合 D．旋转后的图形对应线段平行
【答案】C
【解析】A. 全等的两个图形不一定成中心对称，故该选项不正确，不符合题意；B. 旋转180°后能够重合的两个图形成中心对称，故该选项不正确，不符合题意；C. 成中心对称的两个图形旋转后必重合，故该选项正确，符合题意；D. 旋转180°后的图形对应线段平行，故该选项不正确，不符合题意；故选C
3．（2021·浙江·台州市书生中学九年级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，将△ABC绕着点A顺时针方向旋转得△ADE，AB，CE相交于点F，若AD∥CE时，则∠BAE的大小是（　　）

A．20° B．25° C．30° D．35°
【答案】C
【解析】解：∵将△ABC绕点A顺时针方向旋转得△ADE，
∴∠DAE=∠BAC=50°，AE=AC，
∵AD∥CE，
∴∠DAE=∠AEC=50°，
∵AE=AC，
∴∠AEC=∠ACE=50°，
∴∠EAC=180°-50°-50°=80°，
∴∠BAE=∠EAC-∠BAC=80°-50°=30°，
故选：C．
4．在平面直角坐标系中，A（1，0），B（0，﹣3），点B绕点A逆时针旋转90°得到点C，则点C的坐标是（ ）
A．（4，0） B．（4，﹣1） C．（3，0） D．（3，﹣1）
【答案】B
【解析】解：如图所示，点B绕点A逆时针旋转90到点C，

∵A坐标为（1，0），B坐标为（0，-3），
∴OA=1，OB=3，
根据旋转的性质，AB=AC，
∵∠BAC=90
∴∠BAO+∠CAD=90，
∵∠BAO+∠ABO=90，
∴∠ABO=∠CAD．
在△AOB和△ADC中，，
∴（AAS），
∴AD=OB=3，CD=OA=1，
∴OD=4，
∴C（4，-1）．
故选：B．
5．（2021·湖北武昌·九年级期中）如图，点E是菱形ABCD的对角线BD上一动点，将AE绕点A逆时针旋转至点F，连接CF、DF，若，，设的面积为S，则关于S说法正确的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】过F作MN⊥AB于M，交CD于N，过D作DH⊥AB于H，过A作AG⊥BD于G,

∵菱形ABCD，，
∴，，，CD∥AB
∴
∴,
∵过F作MN⊥AB于M，交CD于N，过D作DH⊥AB于H，
∴四边形DHMN为矩形
∴
∵将AE绕点A逆时针旋转至点F
∴，
∵

∴
∵过A作AG⊥BD于G,
∴
∴△AMF≌△EGA
∴
∵
∴
∴
∴
∵CD∥AB, MN⊥AB于M
∴MN⊥CD
∴
故选A．
6．（2021·重庆市求精中学校九年级期中）如图，点E在边长为5的正方形ABCD的边CD上，将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，连接EF，过点A作FE的垂线，垂足为点H，与BC交于点G．若CG＝2，则CE的长为（　　）

A． B． C．4 D．
【答案】B
【解析】解：如图所示，连接EG，

由旋转可得，△ADE≌△ABF，
∴AE＝AF，DE＝BF，
又∵AG⊥EF，
∴H为EF的中点，
∴AG垂直平分EF，
∴EG＝FG，
设CE＝x，则DE＝5﹣x＝BF，FG＝8﹣x，
∴EG＝8﹣x，
∵∠C＝90°，
∴Rt△CEG中，CE2+CG2＝EG2，即x2+22＝（8﹣x）2，
解得x＝，
∴CE的长为，
故选：B．
7．如图，在△ABC中，，点D为△ABC内一点，，连接，将绕点A按逆时针方向旋转，使与重合，点D的对应点为点E，连接交于点F，则的长为（ ）．

A． B． C．2 D．3
【答案】B
【解析】解：过点A作AG⊥DE于点G，

由旋转知：AD=AE，∠DAE=90，∠CAE=∠BAD=15，
∴∠AED=∠ADG=45，
在△AEF中，∠AFD=∠AED+∠CAE=60，
在Rt△ADG中，，
在Rt△AFG中，，，
∴，
故选：B．
8．（2021·湖北十堰·九年级期末）把一副三角板如图1放置，其中∠ACB＝∠DEC＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，斜边AB＝6，CD＝8．把三角板DCE绕着点C顺时针旋转15°得到△D1CE1（如图2），此时AB与CD1交于点O，则线段AD1的长度为（　　）

A．4 B． C．6 D．
【答案】D
【解析】解：由题意易知：∠CAB=45°，∠ACD=30°．
若旋转角度为15°，则∠ACO=30°+15°=45°．
∴∠AOC=180°-∠ACO-∠CAO=90°
∴由三线合一定理可得O为AB的中点
在等腰Rt△ABC中，AB=6，则AO=OC=3．
在Rt△AOD1中，OD1=CD1-OC=5，
由勾股定理得．
故选D.
9．（2021·河南永城·二模）如图，在平面直角坐标系中，正方形纸片ABCD的顶点A的坐标为，在纸片中心挖去边长为的正方形，将该纸片以О为旋转中心进行逆时针旋转，每次旋转45°，则第258次旋转后，点C和点的坐标分别为（ ）

A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【解析】解：∵该纸片以О为旋转中心进行逆时针旋转，每次旋转45°，
∴旋转一周360°÷45°=8次，
∵258=32×8+2，
∴第258次旋转后，实际是将纸片逆时针旋转32周后再转90°，
∵正方形纸片ABCD对角中点位于原点，
∴点A与点C关于点O成中心对称，
∵点A（-1，3），
∴点C（1，-3），
∵A1B1=，
∵OA1=OB1，
根据勾股定理，，
∴，
∴B1（-1,0），
连结OD与OC，过D作ED⊥x轴于E，CF⊥y轴于F，
绕点O逆时针旋转90°后点C位置转到点D位置，
∵四边形ABCD为正方形，OD=OC，∠FOE=∠COD=90°，
∴∠FOC+∠COE=∠COE+∠EOD=90°，
∴∠FOC=∠EOD，
在△FOC和△EOD中，
，
∴△FOC≌△EOD（AAS），
∴CF=DE=1，OF=OE=3，
∴点D（3，1），
∴点B1转到C1位置，点C1（0，-1），
∴第258次旋转后，点C和点的坐标分别为（3，1）与（0，-1）．
故选择D．

10．（2021·黑龙江大庆·中考真题）如图，是线段上除端点外的一点，将△ADF绕正方形的顶点顺时针旋转，得到．连接交于点．下列结论正确的是（ ）


A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：根据旋转的性质知：∠EAF=90°，故A选项错误；
根据旋转的性质知：∠EAF=90°，EA=AF，则△EAF是等腰直角三角形，
∴EF=AE，即AE：EF=1：，故B选项错误；
若C选项正确，则，即，
∵∠AEF=∠HEA=45°，
∴△EAF△EHA，
∴∠EAH∠EFA，
而∠EFA=45°，∠EAH45°，
∴∠EAH∠EFA，
∴假设不成立，故C选项错误；
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD∥AB，即BH∥CF，AD=BC，
∴EB：BC=EH：HF，即EB：AD=EH：HF，故D选项正确；
故选：D
11．（2021·四川江油·九年级期中）如图，正方形ABCD的边长为，点A与原点重合，点B在y轴的正半轴上，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°至正方形位置，与CD相交于P，则直线的解析式为___．

【答案】
【解析】过点作轴，轴，过点作，轴，

根据旋转的性质得，
∵正方形ABCD的边长为，
∴，
，
∴，
在中，,
∴，
，
∴，
∴，
设直线的直线解析式为，
∴，解得：，
∴；
故答案是：．
12．（2021·福建连城·九年级期中）将点绕坐标原点O顺时针旋转90°后得到的点的坐标是______．
【答案】
【解析】解：过点A作AD⊥y轴于点D，过点B作BC⊥y轴于点C，

∵点A(3，4)绕原点O顺时针旋转90°后得点B，
∴∠AOB=90°，OA=OB，
∴∠AOD+∠COB=90°，
∵∠COB+∠B=90°，
∴∠AOD=∠B，
在△OCB和△ADO中，
，
∴△OCB≌△ADO（AAS），
∴BC=OD=4，OC=AD=3，
∵点B在第四象限，
∴点B的坐标是(4,-3)．
故答案为(4,-3)．
13．（2021·黑龙江铁锋·九年级期中）如图，已知点A在第一象限，AB垂直x轴，点B为垂足，，，，将点A绕原点O顺时针旋转60°后的对应点为，将点再绕原点O顺时针旋60°后的对应点为，按此作法继续下去，则点的坐标是______．


【答案】
【解析】解：∵将点A绕原点O顺时针旋转60°后的对应点为，将点再绕原点O顺时针旋60°后的对应点为，按此作法继续下去，
∴得出每旋转次坐标一循环，
∵2021÷6=336余5，
∴点的坐标与点的坐标相同，
即可得出点与点关于y轴对称，
∵，，
∴，
∴，
∴点的坐标为；
故答案为．
14．（2021·辽宁铁东·九年级期中）如图，△ABC绕点B顺时针旋转得到△DBE，点A与点D对应，点C与点E对应，DB，DE分别与AC边交于G，F两点，连接BF，若DE垂直平分BC，下列结论：①∠E＝30°；②BF⊥BE；③△ABG∽△DBF；④GF•BD＝DG•BF．其中结论正确的是 ___．（填序号即可）

【答案】①②④
【解析】解：连接CE，如图：


∵△DBE是△ABC绕点B顺时针旋转得到的，
∴AB=DB，BC=BE，∠A=∠D，∠BEF=∠BCF，
∵DE垂直平分BC，
∴BF=FC，EB=EC，
∴EB=BC=EC，即△BCE是等边三角形，且DE平分∠BEC，
∴∠BEF=30°，故①正确；
∵BF=FC，∠BEF=∠BCF=30°，∠CBE=60°，
∴∠FBC=∠BCF=30°，
∴∠FBE=∠FBC+∠CBE=30°+60°=90°，
∴BF⊥BE，故②正确；
∵∠FBC=∠BCF=30°，DE垂直平分BC，
∴∠CFE=∠DFG=∠BFE=∠AFB=60°，
∵∠A=∠D，
∴∠A+∠ABG =∠D+∠DFG，
∴∠ABG=∠DFG=60°，
而∠DBF=∠BFE-∠D=60°-∠D<60°，
∴△ABG与△DBF不相似，故③不正确；
∵∠AFB=∠DFG=60°，
又∠A=∠D，
∴△AFB∽△DFG，
∴，
又AB=DB，∴，
∴GF•BD＝DG•BF，故④正确．
综上，①②④正确．
故答案为：①②④．
15．（2021·山东郯城·九年级期中）如图，在4×4的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．

（1）在图1中，画出一个与△ABC成中心对称的格点三角形；
（2）在图2中，画出△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°后的三角形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】解：（1）如图1，△DCE即为所求；

（2）如图2，△DCE即为所求．
16．（2021·河南淮滨·九年级期中）如图，正方形网格中，△ABC的顶点及点O都在格点上．

（1）画出△ABC关于点O中心对称的图形△A'B'C'：
（2）画出△ABC绕点O顺时针旋转90°的图形△A″B″C″；
（3）写出线段A'C'和线段A″C″的关系．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）线段A'C'和线段A″C″垂直且相等．
【解析】（1）如图，△A'B'C'为所作；
（2）如图，△A″B″C″为所作；

（3）线段A'C'和线段A″C″垂直且相等，由中心对称可知A′C′＝AC，A′C′∥AC；由旋转90°的性质得到A′′C′′＝AC，A′′C′′⊥AC．
17．（2021·广东白云·九年级期中）如图，△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE，CF相交于点D．
（1）求证：BE＝CF；
（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．

【答案】（1）见解析；（2）BD＝2﹣2．
【解析】证明：（1）∵△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，
∴AE＝AB，AF＝AC，∠EAF＝∠BAC，
∴∠EAF+∠BAF＝∠BAC+∠BAF，即∠EAB＝∠FAC，
∵AB＝AC，
∴AE＝AF，
∴△AEB可由△AFC绕点A按顺时针方向旋转得到，
∴BE＝CF；
（2）∵四边形ACDE为菱形，AB＝AC＝2，
∴DE＝AE＝AC＝AB＝2，，
∴∠AEB＝∠ABE，∠ABE＝∠BAC＝45°，
∴∠AEB＝∠ABE＝45°，
∴△ABE为等腰直角三角形，
∴BE＝AC＝2，
∴BD＝BE﹣DE＝2﹣2．
18．（2021·陕西富县·九年级期中）如图①，在等腰Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D，E在斜边BC上，∠DAE＝45°，将△ABD绕点A逆时针旋转90°至△ACF，连接EF．
（1）求证：△ADE≌△AFE；
（2）如图②，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，∠DAE＝60°，BD＝4，CE＝6，求DE的长．

【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）将△ABD绕点A逆时针旋转90°至△ACF，
，
，
∠DAE＝45°，

在△ADE和中

△ADE≌△AFE；
（2）如图，将绕点逆时针旋转至△ACF，连接，过点作于点，

，
，，，


在△ADE和中

△ADE≌△AFE；

在△ABC中，


在△FHC中，
，

在Rt△EFH中，

即DE的长为
19．（2021·山东庆云·九年级期中）（阅读材料）在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：如图1，在等边△ABC中，点P在内部，且PA＝3，PC＝4，∠APC＝150°，求PB的长．经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°，得到△ABD，连接PD，寻找PA、PB、PC三边之间的数量关系．即能求PB＝　 　请参考他们的想法，完成下面问题：
（学以致用）如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，P为△ABC内一点，PA＝5，PC＝2，∠BPC＝135°，求PB的长；
（能力拓展）如图3，等腰三角形ABC中，∠ACB＝120°，D、E是底边AB上的两点且∠DCE＝60°，若AD＝2，BE＝3，求DE的长．


【答案】阅读材料：5；学以致用：3；能力拓展：
【解析】解：阅读材料：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°，得到△ABD，连接PD，如图1所示：
则△APD是等边三角形，∠APC=∠ADB=150°，PC=DB=4，
∴∠ADP=60°，DP=AP=3，
∴∠PDB=90°，
∴，
故答案为：5；
学以致用：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ACB=90°，AC=BC，
将△BCP绕点C顺时针旋转90°得到△ACP'，连接PP'，

则∠PCP'=90°，CP′＝CP＝2，AP'=BP，∠AP'C=∠BPC=135°，
∴∠CPP'=∠CP'P=45°，
∴△CPP'是等腰直角三角形，
∴，
∴∠AP'P=∠AP'C-∠CP'P=135°-45°=90°，
∴．
能力拓展：将△ACD绕点C逆时针旋转120°得到△CBD′，连接ED′，作D′H⊥BE于H．

由旋转的性质可知：AD=BD′=2，CD=CD′，∠ACD=∠BCD′，∠A=∠CBD′，
∵∠ACB=120°，∠DCE=60°，
∴∠ECD′=∠BCD′+∠ECB=∠ACD+∠BCE=60°，
∴∠ECD=∠ECD′，
∵EC=EC，
∴△ECD≌△ECD′（SAS），
∴DE=ED′，
∵CA=CB，∠ACB=120°，
∴∠A=∠CBA=30°，
∴∠EBD′=∠ABC+∠CBD′=30°+30=60°，
在Rt△BHD′中，∵BD′=2，∠BHD′=90°，∠BD′H=30°，
∴BH=BD′=1，D′H=，EH=3-1=2，
∴ED′= ，
∴DE=．
20．（2021·福建·福州十八中九年级期中）如图1，正方形ABCD的边长为4，点P在边AD上（P不与A、D重合），连接PB、PC．将线段PB绕点P顺时针旋转90°得到PE，将线段PC绕点P逆时针旋转90°得到PF．连接EF、EA、FD．
（1）求证：
①△PDF的面积S＝PD2；
②EA＝FD；
（2）如图2，EA、FD的延长线交于点M，取EF的中点N，连接MN，求MN的取值范围．


【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）MN的取值范围是4≤MN＜．
【解析】解：（1）证明：如图1，作FG⊥AD，交AD的延长线于点G，作EH⊥AD，交DA的延长线于点H．

①由旋转得，PF＝CP，∠CPF＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠PDC＝90°，
∵∠FPG+∠DPC＝90°，∠PCD+∠DPC＝90°，
∴∠FPG＝∠PCD，
∵∠G＝∠PDC＝90°，
∴△FPG≌△PCD（AAS），
∴FG＝PD，
∴△PDF的面积S＝PD•FG＝PD2．
②由①得，△FPG≌△PCD，
∴PD＝FG，PG＝CD＝4，
同理，△EPH≌△PBA，
∴EH＝AP，PH＝BA＝4，
∵AH＝4﹣AP＝PD，
∴AH＝FG；
∵AP＝4﹣PD＝DG，
∴EH＝DG；
∵∠H＝∠G＝90°，
∴△EAH≌△DFG（SAS），
∴EA＝FD．
（2）如图2，在图1的基础上，作FL⊥EH于点L，则∠FLE＝∠FLH＝90°，

∴四边形HLFG是矩形，
∴LH＝FG＝AH，FL＝GH＝4+4＝8；
∵EH＝PA，AH＝PD，
∴EH+AH＝PA+PD＝AD＝4；
设PD＝m，EL＝n，（m＞0，n≥0），则LH＝AH＝m，
∴n＝4﹣2m；
∵EF2＝EL2+FL2＝n2+82＝n2+64，
∴EF＝，
∴EF随n的增大而增大；
由n＝4﹣2m可知，n随m的增大而减小，
当m＝2时，n最小＝0，此时，EF最小＝＝8；
若m＝0，则n最大＝4，此时，EF最大＝＝4，
∵点P不与点A、D重合，
∴m＞0，
∴n＜4，EF＜4，
∴EF的取值范围是8≤EF＜，
∴4≤EF＜；
∵∠ADM＝∠GDF＝∠HEA，∠DAM＝∠HAE，
∴∠ADM+∠DAM＝∠HEA+∠HAE＝90°，
∴∠EMF＝90°；
∵N是EF的中点，
∴MN＝EF，
∴MN的取值范围是4≤MN＜．