中考数学二轮复习第15讲 相似、投影与视图（题型训练）（教师版）

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第15讲 相似、投影与视图
题型一 图形的相似
1．（2021·辽宁凌海·九年级期中）下列各选项：①两个边长不等的等边三角形；②两个边长不等的正方形；③两个边长不等的菱形；④两个斜边不等的等腰直角三角形，其中的两个图形一定相似的有（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【答案】C
【解析】解：①两个边长不等的等边三角形一定相似，符合题意；②两个边长不等的正方形一定相似，符合题意；③两个边长不等的菱形的对应角不一定相等，故两个菱形不一定相似，不符合题意；④两个斜边不等的等腰直角三角形一定相似，符合题意；故选：C．
2．如图，一块矩形绸布的长AB＝am，宽AD＝2m，按照图中所示的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即，那么a的值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：∵使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，
∴，
解得a＝或−（舍去），
∴a＝，
故选：C．
3．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，AB＝5，AC＝11，EF＝4，则DE的长为（　　）

A．2 B． C．4 D．
【答案】D
【解析】解：∵l1∥l2∥l3，
∴，
即，
解得，DE=，
故选：D．
4．（2021·广东·深圳市新华中学九年级期末）下列命题中是真命题的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形．
B．菱形既是轴对称图形，也是中心对称图形．
C．任意两个矩形一定相似．
D．将抛物线向右平移2个单位再向上平移3个单位后得到的抛物线为．
【答案】B
【解析】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项说法是假命题；B、菱形既是轴对称图形，也是中心对称图形，本选项说法是真命题；C、任意两个矩形的对应边不一定成比例，不一定相似，故本选项说法是假命题；D、将抛物线y=x2-3向右平移2个单位再向上平移3个单位后得到的抛物线为y=（x-2）2，故本选项说法是假命题；故选：B．
5．（2021·广东·深圳市新华中学九年级期末）若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵2x=5y，
∴=，
故选A．
6．（2021·河南卧龙·九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣6，0），B（6，0），C（4，8），则△ABC重心的坐标是（　　）

A．（2，4） B．（3，4） C．（，） D．（，）
【答案】D
【解析】解：连接OC，如图，

∵A（﹣6，0），B（6，0），
∴O点为AB的中点，
∴△ABC的重心D在OC上，
作CE⊥OB于E，DF⊥OB于F，如图，
∵D点为△ABC的重心，
∴CD＝2OD，
∴OD：OC＝1：3，
∵DF∥CE，
∴＝，
而C（4，8），
∴OE＝4，CE＝8，
∴，
∴DF＝，OF＝，
∴D（，）．
故选D．
7．（2021·陕西兴平·九年级期中）如图，四边形四边形，若，，，则的度数为___．

【答案】103
【解析】解：∵，四边形四边形
∴∠A=∠A′=110°，
∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，，，
∴∠D=360°-∠A-∠B-∠C，
=360°-110°-65°-82°，
=103°．
8．（2021·安徽省马鞍山市第七中学九年级期中）已知点C是线段AB的黄金分割点，且，则AB的长为______．
【答案】
【解析】解：∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴

故答案为：．
9．（2021·吉林德惠·九年级期中）若，则＝____．
【答案】或
【解析】解：设，则，
∴
故答案为：
10．（2021·山西盐湖·九年级期中）已知．若．则的值为______．
【答案】8
【解析】解：，
由等比性质，得，
所以．
故答案为：8．
11．（2021·上海市奉贤区尚同中学九年级期中）已知：a：b：c＝3：4：5
（1）求代数式的值；
（2）如果3a﹣b+c＝10，求a、b、c的值．
【答案】（1）；（2） a=3，b=4，c=5
【解析】（1）∵a：b：c=3：4：5，
∴设a=3k，b=4k，c=5k（k≠0），
则；
（2）设a=3k，b=4k，c=5k（k≠0），代入3a﹣b+c＝10得：
9k-4k+5k=10，
解得k=1．
则a=3k=3，b=4k=4，c=5k=5．
12．（2021·河南西峡·九年级期中）（1）如图1，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝90°，点D、E分别在边AB、AC上，且DE⊥AC．求．
（2）将△ADE绕点A旋转角（），如图2，的值是否保持不变？并按图2的位置说明理由．

【答案】（1）；（2）的值不变，仍等于，见解析
【解析】解：（1），
，
，
，
，
，
在中，，，
；
（2）的值不变，仍等于．
理由如下：
由旋转的性质可得，旋转前后的图形的形状大小不变，
由（1）知：，，
．
13．（2021·浙江衢州·九年级期中）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且，AD分别与BC，OC相交于点E，F．
（1）求证：CB平分∠ABD；
（2）若AB＝8，AD＝6，求CF的长．

【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）证明：∵
∴∠OCB＝∠DBC，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠OBC＝∠DBC，
∴CB平分∠ABD；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
由勾股定理得：，
∵，AO＝BO，

∴AF＝DF，
∴，
∵直径AB＝8，
∴OC＝OB＝4，
∴CF＝OC﹣OF＝
14．（2021·北京房山·九年级期中）如图，是△ABC的中线，点是上任一点，连接并延长，交于点．

（1）如图1，当时，求的值；
（2）如图2，当时，求的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】解：（1）如图1，过点作，交AC于点F

∵AD是△ABC中线
∴BD=CD
∵
∴，
又∵，
∴
∴
又∵
∴
即：
（2）如图2，过点作，交AC于点G

∵
∴
∵AD是△ABC中线，，
∴BD=CD,
∴EG=CG，EG=2AE
又∵
∴5AE=AC
∴
题型二 相似三角形
1．（2021·河北·广平县第二中学九年级期中）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，∠AED＝∠B．如果AE＝2，△ADE的面积为4，四边形BCED的面积为21，那么AB的长为（ ）

A．5 B．12.5 C．25 D．
【答案】A
【解析】解：∵∠AED＝∠B，且∠DAE＝∠CAB，
∴△ADE∽△ACB，
∴＝（）2，
∵S△ADE＝4，S四边形BCDE＝21，
∴S△ABC＝S△ADE+S四边形BCDE＝4+21=25，
∴，
∴AB＝5，
故选：A．
2．（2021·上海市奉贤区古华中学九年级期中）如图：D、E分别是△ABC的边AC、AB的反向延长线上的点，根据下列给定的条件，能判断DE与BC平行的是（　　）

A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
【答案】D
【解析】A.，
△BAC∽△DAE，
，不能判断DE与BC平行，故本选项不符合题意；
B.由＝，不能判定△BAC∽△DAE，故不能证明，不能判断DE与BC平行，故本选项不符合题意；C. 由＝，不能判定△BAC∽△DAE，故不能证明，不能判断DE与BC平行，故本选项不符合题意；D.，
，
，
△BAC∽△DAE，
，
，本选项符合题意．
故选：D．
3．（2021·山东阳谷·九年级期中）已知ABCD，CDEF，EFGH是三个相连的正方形，则△ACF与△ACG的相似比为（　　）

A．1： B．1：2 C．1： D．：
【答案】A
【解析】解：∵ABCD，CDEF，EFGH是三个相连的正方形，
∴AB＝BC＝CD＝CF＝FG，
设AB＝a（a＞0），则，BC＝CD＝CF＝FG＝a，
在Rt△ABC中，∠B＝90°，
由勾股定理得，
∵，
，
∴，
又∵，
∴∽，
∴△ACF与△ACG的相似比为：＝1：，
故选：A
4．（2021·安徽省马鞍山市第七中学九年级期中）如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边BC，AB上的点，且满足，连接CF，过点B作，垂足为G，连接DG，有下列说法不正确的是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠BCD＝90°，即∠BCG＋∠GCD＝90°，
∵BG⊥CF，
∴∠GBE＋∠BCG＝90°，
∴∠GBE＝∠GCD，A选项正确，不符合题意；
∵BG⊥CF，
∴∠FGB＝∠BGC，
又∵∠FBG＋∠GBE＝∠BCG＋∠GCD，
∴∠FBG＝∠BCG，
∴△BFG∽△CBG，
∴，
∵BF＝BE，BC＝CD，
∴，
又∵∠GBE＝∠GCD，
∴△GBE∽△GCD，
故D选项正确，不符合题意；
∵△GBE∽△GCD，
∴∠BGE＝∠CGD，
∵∠BGE＋∠EGC＝90°，
∴∠CGD＋∠EGC＝90°，即，B正确，不符合题意；
故选：C．
5．（2021·浙江·杭州市公益中学九年级期中）如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠BDC＝3∠ACD，AD＝2，DB＝1，则AC的值为（ ）

A．1＋ B．3 C．2＋ D．
【答案】A
【解析】解：如图所示，延长BA到E使得AE=AC，设AE=AC=x，
∴∠E=∠ECA，
∵∠CDB=∠E+∠ECD=2∠E+∠ACD=3∠ACD，
∴∠E=∠ACD，
∵∠CDA=∠EDC，
∴△CDA∽△EDC，
∴，
∴，
在直角三角形CBD中，
在直角三角形ABC中，
∴，
∴，
∴即，
解得或（舍去），
∴，
故选A．

6．（2021·山东胶州·九年级期中）如图，在中，，以其三边为边向外作正方形，延长EA交BG于点M，连接IM交BC于点N，若M是BG的中点，则的值是（ ）


A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：∵四边形AEDC是正方形，
∴∠EAC＝∠DCA＝90°，EA∥DC，
∴∠MAB＝∠CBA，
又∵四边形AFGB是正方形，
∴AB＝BG，∠ABG＝90°，
∴∠ACB＝∠ABM＝90°，
∵∠ABC＝∠MAB，
∴△ACB∽△MBA，
∴,
又∵M是BG中点，设BM＝a，
∴AB＝BG＝2a，AM＝
∴AC＝，
在中，∠ACB＝90°，

∴BC＝
∴IA＝，
在中，
∴
又∵AM∥BC，
∴△INC∽△IMA，
∴,
∴
∴
∴，


故选：A．
7．（2021·河南·平顶山市第九中学九年级期中）在△ABC中，D、E分别是AB，BC上的点，且DEAC，若，则___．

【答案】1：12
【解析】解：∵S△BDE：S△CDE=1：3，
∴设△BDE的面积为a，则△CDE的面积为3a，
∵△BDE和△CDE的点D到BC的距离相等，
∴，
∴，
∵DE∥AC，
∴△DBE∽△ABC，
∴
∴，
∴
∴．
故答案为：1：12．


8．如图，正方形ABCD的边长为12，⊙B的半径为6，点P是⊙B上一个动点，则的最小值为_________．

【答案】15
【解析】解：如图，在BC上截取BE＝3，连接BP，PE，

∵正方形ABCD的边长为12，⊙B的半径为6，
∴BC＝12＝CD，BP＝6，EC＝9，
∵ ，且∠PBE＝∠PBC，
∴△PBE∽△CBP，
∴ ，
∴PE＝PC，
∴PD+PC＝PD+PE，
∴当点D，点P，点E三点共线时，PD+PE有最小值，即PD+PC有最小值，
∴PD+PC最小值为DE＝＝15，
故答案为：15．
9．（2021·广东·松岗实验学校九年级期中）如图：正方形ABCD中，BC＝，AC为对角线，P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，若PB⊥PA，∠1＝∠2，则PC＝______．

【答案】
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝4，∠ACB＝45°，AC＝4，
∴∠1+∠BCP＝45°，
∵∠1＝∠2，
∴∠2+∠BCP＝45°，
∴∠BPC＝135°，
∵PB⊥PA，
∴∠APB＝90°，
∴∠APC＝135°，
∴∠APC＝∠BPC，
∴△APC∽△CPB，
∴＝，
∴PA＝PC，PB＝PC，
∵AB2＝PA2+PB2，
∴80＝PC2，
∴PC＝4，
故答案为：4．
10．（2021·广东·松岗实验学校九年级期中）在Rt△ABC中，以如图所示方式内置两个正方形，使得顶点D、E、M、N均在三角形的边上，若AC＝3，BC＝4，则小正方形的边长为_____．

【答案】
【解析】解：过C作CH⊥AB于H，交DE于P，如图：

∵AC＝3，BC＝4，∠ACB＝90°，
∴AB＝＝5，
∵CH⊥AB，
∴2S△ABC＝AC•BC＝AB•CH，
∴CH＝＝，
∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
又∵CP、CH是△CDE和△CAB的对应高，
∴＝，
设小正方形的边长为x，则DE＝x，CP＝﹣2x，
∴＝，
解得x＝，
故答案为：．
11．如图，在边长为1小正方形的网格中，△ABC的顶点A、B、C均落在格点上，请用无刻度的直尺按要求作图．（保留画图痕迹，请将经过的格点描重一点，不需证明）
（1）如图1，点P在格点上，在线段AB上找出所有符合条件的点Q，使△APQ和△ABC相似；
（2）如图2，在AB上找点Q，使BQ＝3，并求此时CQ的长为 ．

【答案】（1）见解析；（2）
【解析】解：（1）如图，根据三角形相似的判定条件，即可得知点或即为所求作点．

（2）如图，以点为圆心，为半径画弧，交于点，过点作的垂线，分别交于，

，
，
△AQE∽△ABC，
，
，
，
，
，
又，
，
，
且，
四边形为矩形，
，
在中，由勾股定理得：
，
故答案是：．
12．（2021·北京·新农村中学九年级期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E是AC中点，连接DE．

（1）判断DE与⊙O的位置关系并说明理由；
（2）设CD与OE的交点为F，若AB=10，BC=6，求OF的长．
【答案】（1）DE与⊙O相切，证明见解析；（2）
【解析】（1）DE与⊙O相切，连接OD、CD、OE


∵BC为⊙O的直径

∴∠CDA＝∠CDB＝90°
∵E是AC中点
∴ED＝EC
∵OC＝OD，OE＝OE
∴ΔOCE≌ΔODE（HL）
∴∠ODE＝∠OCE＝90°
∴OD⊥DE
∴DE与⊙O相切
（2）∵∠ACB=90°，AB=10，BC=6
∴AC=8，
∵E是AC中点，为的中点
∴，
由勾股定理可得：
∵DE、CE与⊙O相切
∴DE=CE，∠CEO=∠DEO
又∵
∴垂直平分
∴
又∵
∴，
∴
∴
∵
∴
∴
13．（2021·广东·松岗实验学校九年级期中）如图1，将一个直角三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的对角线BD上滑动，并使其一条直角边始终经过点A，另一条直角边与BC相交于点E．
（1）求证：PA＝PE；
（2）若将（1）中的正方形变为矩形，其余条件不变（如图2），且AD＝8，DC＝4，求的值；
（3）在（2）的条件下，连接AE，将△ABE沿直线AE折叠后，点P与点B重合，则DP＝　 　．

【答案】（1）见解析；（2）2；（3）
【解析】解：（1）证明：过P作PM⊥AB于M，PN⊥BC于N，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD＝45°，
∴∠MPB＝45°＝∠ABD，
∴PM＝BM，
同理PN＝BN，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°＝∠BMP＝∠BNP，
∴四边形BMPN是正方形，
∴PM＝PN，∠MPN＝90°，
∵∠APE＝90°，
∴都减去∠MPE得：∠APM＝∠NPE，
∵PM⊥AB，PN⊥BC，
∴∠AMP＝∠PNE，
在△APM和△EPN中，
，
∴△APM≌△EPN（ASA），
∴PA＝PE；
（2）过P作PM⊥AB于M，PN⊥BC于N，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠C＝90°，
∵∠PMB＝∠PNB＝90°，
∴PM∥AD，PN∥CD，
∴△BPM∽△BDA，△BNP∽△BCD，
∴，，
∴，
∴，
∵∠AMP＝∠ENP＝90°，∠MPA＝∠EPN，
∴△APM∽△EPN，
∴＝2，
∴＝2；
（3）如图，设AE交BD于点F，

∵将△ABE沿直线AE折叠后，点P与点B重合，
∴AP＝AB＝CD＝4，AE⊥BP，
∵＝2，＝，BF＝PF，
∴PE＝2，
∵tan∠PAE＝＝，
∴tan∠PAF＝＝，
∴AF＝2PF，
∵AF2+PF2＝AP2，
∴（2PF）2+PF2＝42，
∴PF＝，
∴BP＝，
∵BD＝＝＝4，
∴DP＝BD﹣BP＝．
故答案为：．
题型三 位似
1．（2021·江苏江阴·九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且面积比为，点、、点在轴上，若点的坐标为，则点的坐标为　　

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：正方形中的点的坐标为，
，．

正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且面积比为，
即相似比为，
在正方形中有，，
，且，
，
，
即
解得，，
∴，
又∵，
点的坐标为，
故选：A．
2．下列命题中，真命题有（　　）个
①若AC：BC＝，则点C是线段AB的黄金分割点；②以矩形各边的中点为顶点的四边形是菱形；③若，则x的取值范围是x＜2；④已知点A（0，3），B（﹣4，3），以原点O为位似中心，把线段AB缩短为原来的，其中点C与点A对应，点D与点B对应，则点D的坐标为（﹣1，）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】①若AC：BC＝，则点C是线段AB的黄金分割点,
故①正确；
②以矩形各边的中点为顶点的四边形是菱形，
如图，

四边形是矩形，为各边中点，
，

四边形是菱形
故②正确；


解得
故③不正确；
根据位似比可知B（﹣4，3），以原点O为位似中心，把线段AB缩短为原来的点D与点B对应，则点D的坐标为（﹣1，）或者，
故④不正确．
故正确的有①②，共2个
故选B
3．如图，△AOC中三个顶点的坐标分别为（4，0）、（0，0）、（4，3），AP为△AOC中线，以O为位似中心，把△AOP每条边扩大到原来的2倍，得到△A＇OP＇，则的长为（ ）

A． B． C．或 D．或
【答案】D
【解析】解：∵△AOC中三个顶点的坐标分别为（4，0）、（0，0）、（4，3），
∴，
∴由勾股定理可得，
∵AP为△AOC中线，
∴，
当以O为位似中心，把△AOP每条边扩大到原来的2倍，得到，则可分：
①当△A＇OP＇在第一象限时，如图所示：

∴，
∴；
②当△A＇OP＇在第三象限时，如图所示：

∴，
∴；
综上所述：或；
故选D．
4．（2021·河北路南·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，以某点为位似中心，作出与△AOB的位似比为的位似，则位似中心的坐标和的值分别为（ ）

A．(0，0)， B．(1，1)，2 C．(2，2)， D．(1，1)，
【答案】C
【解析】解：如图所示：位似中心E的坐标为：（2，2），

k的值为：．
故选：C．
5．（2021·河北唐山·一模）如图，在网格图中，每个小正方形边长均为1，点和△ABC的顶点均为小正方形的顶点，以O为位似中心，在网络图中作，使和位似，且位似比为1∶2；连接（1）中的，则四边形的周长为（ ）．

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，∵OA=4，OB=2，OC=4，和△ABC位似，且位似比为1∶2；
∴O=2，O=1，O=2，AC，
∴=C=2，，

∴四边形的周长为=，
故选D
6．如图，△ABC 三个顶点的坐标分别是A（－2，2），B（－4，1），C（－1，－1）．以点C为位似中心，在x轴下方作△ABC的位似图形△A'B'C．并把△ABC的边长放大为原来的2倍，那么点A'的坐标为( )

A．（1，－6） B．（1，－7） C．（2，－6） D．（2，－7）
【答案】B
【解析】解：若以C为坐标原点建立平面直角坐标系，则点A在新坐标系中的坐标为（-1，3），

∵△ABC与△A'B'C'以点C为位似中心，在x轴下方作△ABC的位似图形△A'B'C'，把△ABC的边长放大为原来的2倍，
∴点A'在新坐标系中的坐标为（1×2，-3×2），即（2，-6），
则点A'的坐标为（1，-7），
故选：B．
7．（2021·山东南区·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别在格点上，其中A（3，2）、B（1，﹣1）、C（4，0）．以点B为位似中心，在y轴的右侧，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A1B1C1则点A的对应点A1的坐标为 ___．

【答案】
【解析】如图，根据题意得到△A1B1C1
所以在y轴的右侧，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A1B1C1则点A的对应点A1的坐标为
故答案为：

8．（2021·山东牡丹·三模）如图，以点为位似中心，把△ABC放大2倍得到'，①；②；③；④点、、三点在同一直线上.则以上四种说法正确的是______．

【答案】①②④
【解析】解：∵以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到，
∴，故②正确；
由位似图形中，对应边平行可知：，故①正确；
∵△ABC放大2倍得到，
∴，
∴，故③错误；
由位似图形中对应点的连线都经过同一点，
∴点C、点O、点C’三点在同一直线上，故④正确；
故答案为：①②④．
9．如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以为位似中心的位似图形，且位似比为，点，，在轴上，延长交射线与点，以为边作正方形；延长交射线与点，以为边作正方形；…按照这样的规律继续下去，若，则正方形的面积为________．

【答案】
【解析】解：∵正方形A1B1C1A2与正方形A2B2C2A3是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，
∴，
∵A1B1⊥x轴，A2B2⊥x轴，
∴A1B1∥A2B2，
∴OA1B1∽△OA2B2，
∴，
∵OA1=1，
∴OA2=2，
∴A1A2=1，
∴正方形A1B1C1A2的面积=1=40，
∵OA1=A1A2=A1B1=1，
∴∠B1OA1=45°，
∴OA2=A2B2=2，
∴正方形A2B2C2A3的面积=2×2=41，
∵A3B3⊥x轴，
∴OA3=A3B3=4，
∴正方形A3B3C3A4的面积=4×4=16=42，
……
则正方形A2021B2021C2021A2022的面积为42021-1=42020=24040，
故答案为：24040．
10．（2021·四川省成都市石室联合中学九年级开学考试）在平面直角坐标中，△ABC的顶点坐标分别是A（1，1），B（4，2），C（3，5），以点A为位似中心，相似比为1：2，把三角形ABC缩小，得到△AB1C1，则点C的对应点C1的坐标为_________．
【答案】(2，3)或(0，-1)
【解析】以A点为坐标原点建立新的直角坐标系，则在新的直角坐标系中，C点的坐标为(3-1，5-1)，即C(2，4)．
根据题意可知在新的直角坐标系中是以点A为位似中心，相似比为1：2，把缩小后得到的三角形．
∵点C在新的直角坐标系中的坐标为(2，4)，
∴点C的对应点C1在新的直角坐标系中的坐标为或，即(1，2)或(-1，-2)．
∴点C1在原坐标系中的坐标为(1+1，2+1)或(-1+1，-2+1)，即(2，3)或(0，-1)．
故答案为(2，3)或(0，-1)．
14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm．现在有动点P从点B出发，沿线段BA向终点A运动，动点Q从点A出发，沿折线AC—CB向终点运动．如果点P的速度是1cm/s，点Q的速度是1cm/s．它们同时出发，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为t秒．
（1）如图1，Q在AC上，当t为多少秒时，以点A、P、Q点的三角形与相似？
（2）如图2，Q在CB上，否存着某时刻，使得以点B、P、Q顶点的三角形与相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）t=或时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似；（2）t=时，Q在CB上，以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．
【解析】解：（1）如图1，当∠AQP=90°时，△AQP∽△ACB，

∴．
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AB==10（cm）．
∵BP=t，AQ=t，
∴PA=10-t，
∴，
∴t=；
如图2，当∠APQ=90°时，△APQ∽△ACB，

∴，
∴，
t=．
综上所述，t=或时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似；
（2）如图3，当△BPQ∽△BAC时，

∴．
∵BQ=14-t，BP=t，
∴，
∴t=，
当△BQP∽△BAC时，
∴，
∴，
∴t=，
∵Q在CB上，
∴t>8，
∴t=舍去，
∴t=时，Q在CB上，以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．
题型四 投影与视图
1．一个矩形木框在太阳光的照射下，在地面上的投影不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：一张矩形纸片在太阳光线的照射下，形成影子不可能是等边三角形，
故选：B．
2．如图，在四个几何体中，主视图与其它几何体的主视图的形状不同的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：圆柱体的主视图是矩形，长方体的主视图是是矩形，四棱锥的主视图是三角形，三棱柱的主视图是矩形，与其他主视图不同的是四棱锥，故选C．
3．（2021·黑龙江牡丹江·模拟预测）由若干个完全相同的小立方块搭成的几何体的左视图和俯视图如图所示，则搭成该几何体所用的小立方块的个数可能是（ ）

A．4个 B．5个 C．7个 D．8个
【答案】B
【解析】解：从左视图看第一列2个正方体结合俯视图可知上面一层有1或2个正方体，左视图第二列1个正方体结合俯视图可知下面一层有4个正方体，
所以此几何体共有5或6个正方体．
故选：B．
4．（2021·湖北随州·中考真题）如图是由4个相同的小正方体构成的一个组合体，该组合体的三视图中完全相同的是（ ）

A．主视图和左视图 B．主视图和俯视图
C．左视图和俯视图 D．三个视图均相同
【答案】A
【解析】解：所给几何体的三视图如下，

所以，主视图和左视图完全相同，故选：A．
5．（2021·山东垦利·二模）某物体的三个视图如图所示，该物体的直观图是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】观察三视图可知：主视图有两层，是两个大小不同的长方形，左视图有两层，是两个大小相同的长方形，俯视图是长方形，中间是直径与长方形的宽相等的圆，A.主视图、左视图与俯视图都与直观图的三视图相同，故该选项符合题意，B.左视图、俯视图与直观图的三视图不相同，故该选项不符合题意，C.主视图、左视图、俯视图与直观图的三视图都不相同，故该选项不符合题意，D.俯视图与直观图的三视图不相同，故该选项不符合题意，故选：A．
6．用小立方块搭成的几何体，从正面看和从上面看的形状图如下，则组成这样的几何体需要的立方块个数为( )

A．最多需要8块，最少需要6块 B．最多需要9块，最少需要6块
C．最多需要8块，最少需要7块 D．最多需要9块，最少需要7块
【答案】C
【解析】由主视图可得：这个几何体共有3层，
由俯视图可知第一层正方体的个数为4，
由主视图可知第二层最少为2块，最多的正方体的个数为3块，
第三层只有一块，
故：最多为3+4+1=8个
最少为2+4+1=7个
故选C
7．如图所示是某种型号的正六角螺母毛坯的三视图，则左视图的面积为_________．

【答案】
【解析】解：如图，连接过作于
由俯视图可得：




由主视图可得：正六角螺母毛坯的高为：3cm，
左视图的面积为
故答案为：
8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是_________．

【答案】48π+64
【解析】解：由三视图可知：原几何体为圆柱的一半，（沿中轴线切开），
由题意可知，圆柱的高为8，底面圆的半径为4，
故其表面积为S＝42π+4π×8+8×8＝48π+64．
故答案为：48π+64．
9．（2021·黑龙江龙沙·二模）由8个相同的小正方体组成的几何体如图1所示，拿掉______个小正方体后的几何体的主视图和左视图都是图2所示图形．

【答案】3、4、5
【解析】根据题意，拿掉若干个小立方块后保证从正面和左面看到的图形如图2所示，
所以最底下一层最少必须有2个小立方块，上面一层必须保留1个立方块，如图，

故答案为：3，4、5．
10．如图，用小立方块搭一几何体，从正面看和从上面看得到的图形如图所示，这样的几何体至少要_____个立方块．

【答案】12
【解析】解：根据俯视图可得该几何体最下面一层有6个小立方块；
从主视图可知最上面一层至少需要3个小立方块，中间一层至少需要3个小立方块，
所以，这样的几何体最少需要3+3+6＝12（个）小立方块；
故答案为：12．
11．（2021·广东·松岗实验学校九年级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣2，1），C（﹣5，2）．
（1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1．
（2）以原点O为位似中心，在第一象限画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，相似比为1：2．
（3）求△A1B1C1与△A2B2C2的面积比为 　 　（不写解答过程，直接写出结果）．

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）1：4
【解析】解：（1）△ABC三个顶点坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣2，1），C（﹣5，2）．
∵△ABC关于x轴对称的△A1B1C1．
关于x对称点的坐标特征是横坐标不变，纵坐标互为相反数，
∴点A1（-2，-4），B1（-2，-1），C1（-5，-2），
在平面直角坐标系中描点A1（-2，-4），B1（-2，-1），C1（-5，-2），
然后顺次连结A1B1， B1C1，C1A1，
如图，△A1B1C1即为所求；

（2）∵以原点O为位似中心，在第一象限画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，相似比为1：2， A1（-2，-4），B1（-2，-1），C1（-5，-2），
根据相似比求出点A2（2×2,4×2）即（4，8），B2（2×2,1×2）即（4，2），C2（5×2,2×2）即（10，4），
在平面直角坐标系中描点A2（4，8），B2（4，2），C2（10，4），
顺次连结A2（B2， B2C2，C2A2
如图，△A2B2C2即为所求；
（3）∵△A1B1C1∽△A2B2C2, 相似比为1：2，
△A1B1C1与△A2B2C2的面积比等于相似比的平方为1：4，
故答案为：1：4．
12．（2021·河北桥西·九年级期中）如图，网格中的小方格是边长为1的正方形，△ABC与△A'B'C'是关于点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．

（1）画出位似中心点O；
（2）以点C为位似中心，在网格内画出△ABC的位似图形△A″B″C″，使△A″B″C″与△ABC的相似比为2：1．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】解：（1）如图，点O为所作；
（2）如图，△A″B″C″为所作．

13．如图，△ABC的三条边与△A＇B＇C＇的三条边满足，，，且．△ABC的面积与△A＇B＇C＇的面积之间有什么关系？

【答案】△ABC的面积为△A＇B＇C＇的面积的9倍
【解析】解：△ABC的面积为△A＇B＇C＇的面积的9倍．
证明：∵，
∴△ABO∽△A＇B＇O，
∴，
∵，
∴△BCO∽△B＇C＇O，
∴，
∵，
∴△OAC∽△OA＇C＇
∴，
∴，
∴△ABC∽△A＇B＇C＇，且相似比为3，
∴△ABC与△A＇B＇C＇的面积比为9．
14．（2021·辽宁抚顺·一模）如图，△ABC在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为，，（正方形网格中，每个小正方形的边长均是1个单位长度）．

（1）与△ABC关于x轴成轴对称，请画出，并写出点的坐标；
（2）以点为位似中心，将放大得到，放大前后的面积之比为，画出，使它与在位似中心同侧，并写出点的坐标；
（3）连接、，判断的形状并直接写出结论．
【答案】（1）图见解析，；（2）图见解析，；（3）等腰直角三角形
【解析】解：（1）如图，△A1B1C1为所作，C1(2，-2)；
（2）如图，△A2B2C2为所作，C2(1，0)．
（3）∵AC2=12+22=5，CC22=12+22=5，AC22=12+32=10，
∴AC2+CC22=AC22，
∴△ACC2是等腰直角三角形．

11．（2021·江苏工业园区·二模）测量金字塔高度：如图1，金字塔是正四棱锥，点O是正方形的中心垂直于地面，是正四棱锥的高，泰勒斯借助太阳光．测量金字塔影子的相关数据，利用平行投影测算出了金字塔的高度，受此启发，人们对甲、乙、丙三个金字塔高度也进行了测量．甲、乙、丙三个金字塔都用图1的正四棱锥表示．

（1）测量甲金字塔高度：如图2，是甲金字塔的俯视图，测得底座正方形的边长为，金字塔甲的影子是，此刻，1米的标杆影长为0.7米，则甲金字塔的高度为______m．
（2）测量乙金字塔高度：如图1，乙金字塔底座正方形边长为，金字塔乙的影子是，，此刻1米的标杆影长为0.8米，请利用已测出的数据，计算乙金字塔的高度．
【答案】（1）100；（2）．
【解析】（1）如图2中，连接交于，

四边形是正方形，
， ，
，
垂直平分，
，
，
，
设金子塔的高度为，物体的长度与影子的长度成比例，

，
，
故答案为：100．
（2）如图，根据图1作出俯视图，连接，,过点作交的延长线于,

，
，
，四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
．
乙金字塔的高度为．
12．（2021·山东龙口·九年级期末）如图，在路灯下，小明的身高如图中线段AB所示，他在地面上的影子如图中线段AC所示，小亮的身高如图中线段FG所示，路灯灯泡P在线段DE上．
（1）请你确定灯泡P所在的位置，并画出小亮在灯光下形成的影子．
（2）如果小明的身高AB＝1.8m，他的影子长AC＝1.5m，且他到路灯的距离AD＝2m，求灯泡P距地面的高度．

【答案】（1）见解析；（2）4.2米
【解析】解：（1）如图，点P为灯泡所在的位置，
线段FH为小亮在灯光下形成的影子．

（2），
△CBA∽△CPD
，
∴，
∴PD＝4.2（m）．
∴灯泡的高为4.2m．
13．如图所给的A、B、C三个几何体中，按箭头所示的方向为它们的正面，设A、B、C三个几何体的主视图分别是A1、B1、C1；左视图分别是A2、B2、C2；俯视图分别是A3、B3、C3
（1）请你分别写出A1、A2、A3、B1、B2、B3、C1、C2、C3图形的名称；
（2）小刚先将这9个视图分别画在大小、形状完全相同的9张卡片上，并将画有A1、
A2、A3的三张卡片放在甲口袋中，画有B1、B2、B3的三张卡片放在乙口袋中，画有C1、C2、C3的三张卡片放在丙口袋中，然后由小亮随机从这三个口袋中分别抽取一张卡片．
①画出树状图，求出小亮随机抽取的三张卡片上的图形名称都相同的概率；
②小亮和小刚做游戏，游戏规则规定：在小亮随机抽取的三张卡片中只有两张卡片上的图形名称相同时，小刚获胜；三张卡片上的图形名称完全不同时，小亮获胜．这个游戏对双方公平吗？为什么？

【答案】（1）A1、A2是矩形，A3是圆；B1、B2、B3都是矩形；C1是三角形，C2、C3是矩形；（2）①三张卡片上的图形名称都相同的概率是；②游戏对双方不公平，理由见解析.
【解析】解：（1）由已知可得A1、A2是矩形，A3是圆；B1、B2、B3都是矩形；C1是三角形，C2、C3是矩形；
（2）①画出树状图如下：

由树状图可知，共有27种等可能结果，其中三张卡片上的图形名称都相同的结果有12种，
∴三张卡片上的图形名称都相同的概率是；
②游戏对双方不公平．
由①可知，三张卡片中只有两张卡片上的图形名称相同的概率是，即P（小刚获胜）＝，
三张卡片上的图形名称完全不同的概率是，即P（小亮获胜）＝，
∵＞，
∴这个游戏对双方不公平．
14．（2021·江苏宝应·九年级期中）如图，小华在晚上由路灯A走向路灯B．当他走到点P时，发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯A的底部；当他向前再步行12m到达点Q时，发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯B的底部．已知小华的身高是1.6m，两个路灯的高度都是9.6m，且AP＝QB．
（1）求两个路灯之间的距离．
（2）当小华走到路灯B的底部时，他在路灯A下的影长是多少？

【答案】（1）18米；（2）米
【解析】解：（1）如图1，∵PM∥BD，
∴△APM∽△ABD，
，即，
∴AP＝AB，
∵QB=AP，
∴BQ＝AB，
而AP+PQ+BQ＝AB，
∴AB+12+AB＝AB，
∴AB＝18．
答：两路灯的距离为18m；
（2）如图2，他在路灯A下的影子为BN，
∵BM∥AC，
∴△NBM∽△NAC，
∴，即，解得BN＝3.6．
答：当他走到路灯B时，他在路灯A下的影长是3.6m．