中考数学二轮复习第16讲 统计与概率（易错点梳理+微练习）（教师版）

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第16讲 统计与概率易错点梳理

易错点梳理

易错点01 调查方式的选择错误
全面调查是对考查对象的全体调查，要求对考查范围内所有个体进行一个不漏的逐个准确统计；而抽样调查则只是对总体中的部分个体进行调查，以样本来估计总体的情况。
易错点02 对各种统计图的意义理解错误
条形图能显示每组中的具体数据，注意各个小组不相连；扇形图能显示部分在总体中所占的百分比，注意不能直接判断具体数据的大小；折线图能显示数据的变化趋势，也能得到具体数据的大小；直方图能显示数据的分布情况，能得到每组数据的多少，注意各个小组无间隔。
易错点03 求中位数忘记排序
求一组数据的中位数必须将数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，然后再取中间一个数或中间两个数的平均数就是这组数据的中位数。
易错点04 不能正确计算方差
方差是一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，即：
[++……+]。
易错点05 混淆确定性事件和随机事件的概念
在一定条件下，有些事件必然会发生，这样的事件称为必然事件；有些事件必然不会发生，这样的事件称为不可能事件，必然事件与不可能事件统称确定事件；在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件。
易错点06 混淆频率与概率
频率和概率是两个不同的概念，事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定；当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近。


例题分析

考向01 数据的收集与整理
例题1：（2021·辽宁凌海·九年级期中）如图①所示，一张纸片上有一个不规则的图案（图中画图部分），小雅想了解该图案的面积是多少，她采取了以下的办法：用一个长为5m，宽为3m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域扔小球，并记录小球在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），她将若干次有效试验的结果绘制成了图②所示的折线统计图，由此她估计此不规则图案的面积大约为（ ）

A．6m2 B．5m2 C．4m2 D．3m2
【答案】A
【思路分析】首先假设不规则图案面积为x，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解．
【解析】解：假设不规则图案面积为x m2，
由已知得：长方形面积为15m2，
根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：，
当事件A试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.4，
综上有：＝0.4，
解得x＝6．
故选：A．
【点拨】本题考查几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，解题关键在于清晰理解题意，能从复杂的题目背景当中找到考点化繁为简，创新题目对基础知识要求极高．
例题2：（2021·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）下列说法正确的是（ ）
A．在小明，小红，小月三人中抽2人参加比赛，小刚被轴中是随机事件
B．要了解学校2000学生的体质健康情况，随机抽取100名学生进行调查，在该调查中样本容量是100名学生
C．预防“新冠病毒”期间，有关部门对某商店在售口罩的合格情况进行抽检，抽检了20包口罩，其中18包合格，该商店共进货100包，估计合格的口罩约有90包
D．了解某班学生的身高情况适宜抽样调查
【答案】C
【思路分析】根据随机事件的定义、样本容量的定义、用样本的率计算总体中该项的数量、全面调查的特点依次判断即可得到答案．
【解析】解：在小明，小红，小月三人中抽2人参加比赛，小刚被轴中是不可能事件，故A选项不正确；
要了解学校2000学生的体质健康情况，随机抽取100名学生进行调查，在该调查中样本容量是100，故B选项错误；
预防“新冠病毒”期间，有关部门对某商店在售口罩的合格情况进行抽检，抽检了20包口罩，其中18包合格，故该口罩的合格率为90%，该商店共进货100包，估计合格的口罩约有90包，故C选项正确；
了解某班学生的身高情况适宜全面调查，故D选项错误；
　故选：C．
【点拨】此题考查语句判断，正确理解随机事件的定义、样本容量的定义、用样本的率计算总体中该项的数量、全面调查的特点是解题的关键．
考向02 数据分析
例题3：（2021·云南·昆明市第三中学模拟预测）垃圾分类是对垃圾进行有效处置的一种科学管理方式，是对垃圾收集处置传统方式的改革，甲乙两班各有40名同学参加了学校组织的2020年“生活垃圾分类回收”的考试．考试规定成绩大于等于96分为优异，两个班成绩的平均数、中位数、方差如表所示，则下列说法正确的是（ ）

参加人数
平均数
中位数
方差
甲
40
95
93
5.1
乙
40
95
95
4.6
A．甲班的成绩比乙班的成绩稳定
B．甲班成绩优异的人数比乙班多
C．甲，乙两班竞褰成绩的众数相同
D．小明得94分将排在甲班的前20名
【答案】D
【思路分析】分别根据方差的意义、中位数意义、众数的定义及平均数的意义逐一判断即可．
【解析】A．乙班成绩的方差小于甲班成绩的方差，所以乙班成绩稳定，此选项错误，不符合题意；B．乙班成绩的中位数大于甲班，所以乙班成绩不低于95分的人数多于甲班，此选项错误，不符合题意；C．根据表中数据无法判断甲、乙两班成绩的众数，此选项错误，不符合题意；D．因为甲班共有40名同学，甲班的中位数是93分，所以小明得94分将排在甲班的前20名，此选项正确，符合题意；故选：D．
【点拨】本题考查了平均数、中位数、方差及众数的概念，平均数、中位数及众数反映的是一组数据的平均趋势及水平，平均数与每个数据有关；方差反映的是一组数据的波动程度，在平均数相同的情况下，方差越小，说明数据的波动程度越小，也就是说这组数据更稳定．
例题4：（2021·江苏洪泽·二模）实验中学选择10名青少年志愿者参加读书日活动，年龄如表所示：这10名志愿者年龄的众数和中位数分别是（　　）
年龄
12
13
14
15
人数
2
3
4
1
A．14，13 B．14，14 C．14，13.5 D．13，14
【答案】C
【思路分析】根据众数和中位数的意义求解．
【解析】解：这10名志愿者年龄出现次数最多的是14，因此众数是14，
将这10名志愿者年龄从小到大排列处在中间位置的两个数的平均数为＝13.5，因此中位数是13.5，
故选：C
【点拨】本题考查众数和中位数的应用，熟练掌握众数和中位数的意义和计算方法是解题关键 ．
考向03 概率
例题5：（2021·云南省楚雄天人中学九年级期中）在一个不透明的纸箱中，共有个蓝色、红色的玻璃球，它们除颜色外其他完全相同．小柯每次摸出一个球后放回，通过多次摸球试验后发现摸到蓝色球的频率稳定在，则纸箱中红色球很可能有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】D
【思路分析】根据利用频率估计概率得到摸到蓝色球的概率为20%，由此得到摸到红色球的概率=1-20%=80%，然后用80%乘以总球数即可得到红色球的个数．
【解析】解：∵摸到蓝色球的频率稳定在20%，
∴摸到红色球的概率=1-20%=80%，
∵不透明的布袋中，有黄色、白色的玻璃球共有15个，
∴纸箱中红球的个数有15×80%=12（个）．
故选：D．
【点拨】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
例题6：（2021·福建省漳州第一中学九年级期中）我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中《算经十书》是指汉、唐一千多年间的十部著名的数学著作，这些数学著作曾经是隋唐时代国子监算学科的教科书．十部书的名称是：《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《张丘建算经》、《夏侯阳算经》、《五经算术》、《缉古算经》、《缀术》、《五曹算经》、《孙子算经》、《算经十书》标志着中国古代数学的高峰．《算经十书》这10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这10部专著中据说有6部成书于魏晋南北朝时期．其中《张丘建算经》、《夏侯阳算经》就成书于魏晋南北朝时期．某中学拟从《算经十书》专著中的魏晋南北朝时期的6部算经中任选2部作为“数学文化”进行推广学习，则所选2部专著恰好是《张丘建算经》、《夏侯阳算经》的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【思路分析】设六部成书于魏晋南北朝的算经分别用A、B、C、D、E、F表示，其中《张丘建算经》、《夏侯阳算经》分别用A、B表示,列树形图表示所有等可能性，根据概率公式即可求解．
【解析】解：设六部成书于魏晋南北朝的算经分别用A、B、C、D、E、F表示，其中《张丘建算经》、《夏侯阳算经》分别用A、B表示，根据题意列树形图得

由树形图得共有30种等可能性，其中两部专著恰好是A、B即《张丘建算经》、《夏侯阳算经》的有两种等可能性，
∴所选2部专著恰好是《张丘建算经》、《夏侯阳算经》的概率为．
故选：C
【点拨】本题考查了列树形图求概率，根据题意分别用字母表示六种算经并正确列出树形图是解题关键．
微练习

一、单选题
1．在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，他们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在25%附近，则口袋中白球可能有（ ）
A．12个 B．14个 C．15个 D．16个
【答案】A
【解析】设白球有x个，根据题意列出方程，
，
解得x=12．
经检验得x=12是原方程的解．
故选A．
2．（2021·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级期中）下列调查中，适合于采用普查方式的是（ ）
A．调查央视“五一晚会”的收视率 B．了解外地游客对兴城旅游景点的印象
C．了解一批新型节能灯的使用寿命 D．了解某航班上的乘客是否都持有“绿色健康码”
【答案】D
【解析】A.调查央视“五一晚会”的收视率，适合抽样调查；
B.了解外地游客对兴城旅游景点的印象，适合抽样调查；
C.了解一批新型节能灯的使用寿命，适合抽样调查；
D.了解某航班上的乘客是否都持有“绿色健康码”，适合普查；
故选：D．
3．（2021·江苏·连云港市新海实验中学二模）我校开展了“好书伴我成长”读书活动，为了解5月份九年级学生的读书情况，随机调查了九年级50名学生读书的册数，统计数据如下表所示，下列说法正确的是（ ）
册数
0
1
2
3
4
人数
4
12
16
17
1
A．众数是17 B．中位数是2 C．平均数是2 D．方差是2
【答案】B
【解析】这组样本数据中，3出现了17次，出现的次数最多，
这组数据的众数是3；
将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是2，
这组数据的中位数为2；
观察表格，可知这组样本数据的平均数为：
(0 × 4 + 1 × 12 + 2 × 16 + 3 × 17 + 4 ×1)÷50=；
这组数据的方差为：
，
故选：B．
4．（2021·江苏新吴·二模）已知一组数据x、y、的平均数为3，方差为4，那么数据，，的平均数和方差分别（ ）
A．1，2 B．1，4 C．3，2 D．3，4
【答案】B
【解析】由于数据x、y、z的平均数为3，所以有x+y+z=9
则
由于数据x、y、z的方差为4，即
所以
即数据，，的方差仍为4
故数据，，的平均数和方差分别为1和4
故选：B．
5．（2021·黑龙江绥化·中考真题）近些年来，移动支付已成为人们的主要支付方式之一．某企业为了解员工某月两种移动支付方式的使用情况，从企业2000名员工中随机抽取了200人，发现样本中两种支付方式都不使用的有10人，样本中仅使用种支付方式和仅使用种支付方式的员工支付金额（元）分布情况如下表：
支付金额（元）



仅使用
36人
18人
6人
仅使用
20人
28人
2人
下面有四个推断：
①根据样本数据估计，企业2000名员工中，同时使用两种支付方式的为800人；
②本次调查抽取的样本容量为200人；
③样本中仅使用种支付方式的员工，该月支付金额的中位数一定不超过1000元；
④样本中仅使用种支付方式的员工，该月支付金额的众数一定为1500元．
其中正确的是（ ）
A．①③ B．③④ C．①② D．②④
【答案】A
【解析】解：根据题目中的条件知：①从企业2000名员工中随机抽取了200人，同时使用两种支付方式的人为：（人），
样本中同时使用两种支付方式的比例为：，
企业2000名员工中，同时使用两种支付方式的为：（人），故①正确；
②本次调查抽取的样本容量为200；故②错误；
③样本中仅使用种支付方式的员工共有：60人，其中支付金额在之间的有，36人，超过了仅使用种支付方式的员工数的一半，由中位数的定义知：中位数一定不超过1000元，故③是正确；
④样本中仅使用种支付方式的员工，从表中知月支付金额在之间的最多，但不能判断众数一定为1500元，故④错误；综上：①③正确，故选：A．
6．为考察两名实习工人的工作情况，质检部将他们工作第一周每天生产合格产品的个数整理成甲，乙两组数据，如下表：
甲
2
6
7
7
8
乙
2
3
4
8
8
关于以上数据，下列说法正确的有（　　）个．
①甲、乙的众数相同；②甲、乙的中位数相同；③甲的平均数小于乙的平均数；④甲的方差小于乙的方差．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解析】甲的众数为7，乙的众数为8，故①错误；
甲的中位数为7，乙的中位数为4，故②错误；
甲的平均数为×（2+6+7+7+8）＝6，乙的平均数为×（2+3+4+8+8）＝5，故③错误；
甲的方差为×[（2﹣6）2+（6﹣6）2+（7﹣6）2+（7﹣6）2+（8﹣6）2]＝4.4，
乙的方差为×[（2﹣5）2+（3﹣5）2+（4﹣5）2+（8﹣5）2+（8﹣5）2]＝6.4，甲的方差小于乙的方差，故④正确；故选：A．
7．（2021·黑龙江松北·二模）两个不透明盒子里分别装有3个标有数字3，4，5的小球，它们除数字不同外其他均相同．甲、乙二人分别从两个盒子里摸球1次，二人摸到球上的数字之和为奇数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：画树状图如图：

共有9种等可能的结果，甲、乙二人摸到球上的数字之和为奇数的结果有4种，
∴甲、乙二人摸到球上的数字之和为奇数的概率为，故选：C．
8．有两把不同的锁和三把不同的钥匙，其中两把钥匙分别能打开这两把锁，第三把钥匙不能打开这两把锁．随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：列表得：

锁1
锁2
钥匙1
（锁1，钥匙1）
（锁2，钥匙1）
钥匙2
（锁1，钥匙2）
（锁2，钥匙2）
钥匙3
（锁1，钥匙3）
（锁2，钥匙3）
由表可知，所有等可能的情况有6种，其中随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的2种，
则P（一次打开锁）=．故选：B．
9．（2021·山东南区·二模）一个口袋中有3个黑球和若干个白球，在不允许将球倒出来数的前提下，小明为估计其中的白球数，采用了如下的方法：从口袋中随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色，再放回，不断重复上述过程．小明共摸了100次，其中80次摸到白球．根据上述数据，小明可估计口袋中的白球大约有（ ）
A．18个 B．15个 C．12个 D．10个
【答案】C
【解析】解：由题可得：312（个）．故答案为：12．
10．广东省2021年的高考采用“”模式：“3”是指语文、数学、外语3科为必选科目，“1”是指在物理、历史2科中任选1科，“2”是指在化学、生物、思想政治、地理4科中任选2科．若小红在“1”中选择了历史，则她在“2”中选地理、生物的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：用树状图表示所有可能出现的结果如下：

共有12种等可能的结果数，其中选中“地理”“生物”的有2种，
则P（地理、生物）＝2÷12＝．故选A．
二、填空题
11．（2021·北京丰台·二模）某单位有10000名职工，想通过验血的方式筛查出某种病毒的携带者．如果对每个人的血样逐一化验，需要化验10000次．统计专家提出了一种化验方法：随机地按5人一组分组，然后将各组5个人的血样混合再化验．如果混合血样呈阴性，说明这5个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一个人呈阳性，就需要对这组的每个人再分别化验一次．假设携带该病毒的人数占0.05%．回答下列问题：
（1）按照这种化验方法是否能减少化验次数________（填“是”或“否”）；
（2）按照这种化验方法至多需要________次化验，就能筛查出这10000名职工中该种病毒的携带者．
【答案】是 2025
【解析】解：（1）第一轮化验10000名÷5=2000次<10000次
故按照这种化验方法是能减少化验次数
故答案为：是
（2）按照这种方法需要两轮化验，
第一轮化验2000次
携带该病毒的人数=10000×0.05%=5人
最多有5组需要进行第二轮化验一一化验需要5×5=25次化验
一共进行2000+25=2025次化验，
按照这种化验方法至多需要2025次化验，就能筛查出这10000名职工中该种病毒的携带者．
故答案为： 2025．
12．某校组织了一次初三科技小制作比赛，有A、B、C、D四个班共提供了100件参赛作品．C班提供的参赛作品的获奖率为50%，其它几个班的参赛作品情况及获奖情况绘制在图1和图2两幅尚不完整的统计图中，则获奖率最高的班级是________．

【答案】C班
【解析】解：由统计图可得，A班的获奖率为：，B班的获奖率为：，C班的获奖率为50%，D班的获奖率为：，由上可得，获奖率最高的班级是C班，故答案为：C班．
13．（2021·内蒙古赛罕·二模）下列命题错误的序号是_________．
①若和是同位角，则；②如果一个三角形的两条边和一个角与另一个三角形的两条边和一个角相等，那么这两个三角形全等；③是二次根式；④某班投票选班长，小丽15票，小伟20票，小刚18票，这组数据的众数是20；⑤为排查肺炎疑似病人同机乘客的健康情况，应采用全面调查的方式进行．
【答案】①②③④
【解析】解：①两直线平行时，同位角相等，不是所有互为同位角的两个角都相等，故此命题错误；
②根据三角形全等的判定定理可知，当一个三角形的两个边和其夹角与另一个三角形的对应边角相等时，两个三角形才会全等，故此命题错误；③一般地，形如的式子叫作二次根式，需要这个条件存在，题中没有，故此命题错误；④一组数据中出现次数最多的那个数据叫作这组数据的众数，故此命题错误；⑤排查所有同机乘客需要进行全面调查，故此命题正确．
14．（2021·贵州铜仁·中考真题）若甲、乙两人射击比赛的成绩（单位：环）如下：
甲：6，7，8，9，10；
乙：7，8，8，8，9．
则甲、乙两人射击成绩比较稳定的是______________（填甲或乙）；
【答案】乙
【解析】解：甲乙二人的平均成绩分别为：，，
∴二人的方差分别为：
，
∵，
乙的成绩比较稳定．故答案为：乙
15．（2021·四川·成都绵实外国语学校九年级期中）小明为研究函数y＝的图象，在﹣2、﹣1、1中任取一个数为横坐标，在﹣2、﹣1、2中任取一个数为纵坐标组成点P的坐标，点P在函数y＝的图象上的概率是___．
【答案】
【解析】解：列表如下：
















所有的等可能的结果有种，
其中点P在函数上的有，，共3种，
所有点P在函数y＝的图象上的概率是 故答案为：
16．（2021·四川·成都嘉祥外国语学校九年级期中）有四张正面分别标有数字﹣4，﹣3，﹣2，1，的不透明卡片，它们除数字不同外其他全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中抽取一张，将该卡片上的数字记为a，放回后洗匀，再从中抽取一张，将该卡片上的数字记为b，则a，b使得二次函数y＝x2﹣（a+5）x+3当x≤1时y随x的增大而减小，且一元二次方程（a+2）x2+bx+1＝0有解的概率为 ___．
【答案】
【解析】解：∵二次函数y＝x2﹣（a+5）x+3，二次项系数为1，大于0，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，
∵要使得当x≤1时，y随x的增大而减小，
∴应满足，
解得：；
∵一元二次方程（a+2）x2+bx+1＝0有解，
∴且，
∴且，
∴由题意可知，a仅能取-3或1，
当时，，
∴b取﹣4，﹣3，﹣2，1时，均满足；
当时，，
∴仅有b取﹣4时，满足；
综上分析，当时，b取﹣4，﹣3，﹣2，1，满足题意；当时，b取﹣4满足题意；共有5种情况满足题意；
∵由题意可得，两次抽取共有16种情况发生，
∴两次抽取后满足题意的概率为，
故答案为：．
三、解答题
17．某校为了解本校初中学生体能情况，随机抽取部分学生进行了一次测试，并根据标准按测试成绩分成A，B，C，D四个等级，绘制出以下两幅不完整的统计图．

请根据图中信㿝解答下列问题：
（1）本次抽取㐱加则试的学生为 人，扇形统计图中A等级所对的圆心角是 度；
（2）请补全条形统计图；
（3）若该校初中学生有1200人，请估计该校学生体能情况成绩为C等级的有多少人数？
【答案】（1）50，；（2）画图见解析；（3）240人
【解析】解：（1）由B类22人，占比，可得：
总人数为：人，
扇形统计图中A等级所对的圆心角是
故答案为：50，
（2）C类的人数有：人，
补全图形如下：

（3）该校初中学生有1200人，则该校学生体能情况成绩为C等级的有：
人，
答：该校初中学生有1200人，则该校学生体能情况成绩为C等级的有240人.
18．甲、乙两名队员参加射击训练，每人射击10次，成绩分别如下：


平均成绩
中位数
众数
方差
甲
a
7
7
1.2
乙
7
b
8
c
根据以上信息，整理分析数据如下：
（1）填空：a＝ ；b＝ ；c＝ ；
（2）从平均数和中位数的角度来比较，成绩较好的是 ；（填“甲”或“乙”）
（3）若需从甲、乙两名队员中选择一人参加比赛，你认为选谁更加合适？请说明理由．
【答案】（1）7；7.5；4.2；（2）乙；（3）选择乙参加比赛，理由见解析
【解析】解：（1）甲的平均成绩为
乙的成绩从低到高排列为：3，4，6，7，7，8，8，8，9，10，
所以中位数

=
=4.2
故答案为：7，7.5，4.2.
（2）由表中数据可知，甲、乙平均成绩相等，乙的中位数7.5大于甲的中位数7，说明乙的成绩好于甲，
故答案为：乙；
（3）选择乙参加比赛，理由：
从平均数上看，甲、乙平均成绩相等，总分相等，
从中位数上看乙的中位数和众数都大于甲，说明乙的成绩好于甲，
从方差上看乙的方差大于甲只说明乙的成绩没有甲稳定，
从众数看乙的众数是8，甲的众数是7，说明乙成绩要好些，
从折线图看，乙开始时发挥不好，后来乙的成绩呈上升趋势，
故应选乙队员参赛．
19．（2021·四川达州·九年级期中）达州市红色旅游景点众多，例如罗江镇张爱萍故居，宣汉县红军公园、王维舟纪念馆，万源战史陈列馆等等，为了解初三学生对达州历史文化的了解程度，随机抽取了男、女各名学生进行问卷测试，问卷共30道选择题，现将得分情况统计，并绘制了如图不完整的统计图（数据分组为组：，组：，组：，组：，表示问卷测试的分数），其中男生得分处于组的有14人，男生组得分情况分别为：22，22，22，22，22，23，23，23，24，24，24，25，25，25．

男生、女生得分的平均数、中位数、众数（单位：分）如表所示：
组别
平均数
中位数
众数
男
20

22
女
20
23
20
（1）求，的值，并补全条形统计图；
（2）已知初三年级总人数为1800人，请估计参加问卷测试，成绩处于组的人数；
（3）据了解男生中有两名同学得满分，女生中分数最高的两名同学分别是30分和29分．现从这四名同学中随机抽取两名参加全校总决赛，用树状图或列表的方法求恰好抽到两名男生的概率是多少？
【答案】（1），，见解析；（2）522人；（3）见解析，
【解析】解：（1）由题意得：（人），男生成绩处在A组的百分比=1-24%-46%-28%=2%，
∴男生的中位数成绩为第25名与第26名成绩的平均成绩
∵（人），
∴男生中位数，
女生组人数（人），
条形图如图所示：

（2）（人），
答：估计成绩处于组的人数约为522人．
（3）如图

所以恰好抽到两名男生的概率为：．
20．现有两根长度分别为和的线段，同时，在一旁另有8根长度不等的线段，这些线段的长度分别与相应的卡片正面上标注的线段长一致．这8张卡片的背面完全相同，卡片正面上分别标注了．把这8张卡片背面朝上，从中随机抽取一张卡片，以卡片上标注的数据对应的线段作为第三条线段的长度，回答以下问题：
（1）“从中抽取的长度能够与和组成直角三角形”的概率为________．
（2）求抽出的卡片上标注的数据对应的线段能够与和的线段组成等腰三角形的概率．
（3）小红和小艺打算以取出一张卡片上标注的数据对应的线段能够与和组成三角形的周长的奇偶性作为游戏规则．若三角形周长为奇数，则小红胜；若三角形周长为偶数，则小艺胜．请问游戏公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请重新设计一个公平的游戏规则．
【答案】（1）；（2）；（3）不公平，游戏规则改为：等腰三角形的周长为偶数，则小艺胜；等腰三角形周长为奇数，则小红胜
【解析】解：（1）∵该三条线段组成的是直角三角形，
∴第三边的长度为或，
∴符合的卡片有标注5cm的一张，
∴“从中抽取的长度能够与和组成直角三角形”的概率为，
故答案为：；
（2）能构成等腰三角形的线段有3cm，3 cm，4 cm，4 cm共四条，
∴抽出的卡片上标注的数据对应的线段能够与3cm和4cm的线段组成等腰三角形的概率为；
（3）∵3+4=7，
∴当抽到的线段为奇数即抽到3cm、3cm或5cm时，三角形的周长为偶数，此时小艺胜的概率为，
当抽到的线段为偶数即抽到2cm、4cm、4cm、6cm或6cm时，三角形的周长为奇数，此时小红胜的概率为，
∴游戏不公平，
游戏规则改为：等腰三角形的周长为偶数，则小艺胜；等腰三角形周长为奇数，则小红胜．
21．（2021·浙江·宁波市镇海蛟川书院九年级期中）A、B两人去九龙湖风景区游玩，已知每天某一时段开往风景区有三辆舒适程度不同的车，开过来的顺序也不确定，两人采取了不同的乘车方案：A：无论如何总是上开来的第一辆车；B：先观察后上车，当第一辆车开来时他不上车，而是仔细观察车的舒适度，如果第二辆车的状况比第一辆车好，他就上第二辆车；如果第二辆车不比第一辆好，他就上第三辆车．如果把这三辆车的舒适程度分为上、中、下三等，请解决下列问题：
（1）三辆车按出现的先后顺序共有哪几种不同的可能？
（2）你认为A、B两人采用的方案，哪种方案使自己乘上等车的概率大？请分别求出A，B乘上等车的概率并判断．
【答案】（1）三辆车按出现的先后顺序共有6种不同的可能，见解析；（2）A采用的方案使自己乘上等车的概率为，B采用的方案使自己乘上等车的概率为，所以B人采用的方案使自己乘上等车的概率大
【解析】解：（1）根据题意列表如下：
第1辆
第2辆
第3辆
上
中
下
上
下
中
中
上
下
中
下
上
下
中
上
下
上
中
三辆车按出现的先后顺序共有6种不同的可能；
（2）A采用的方案使自己乘上等车的概率；
B采用的方案使自己乘上等车的概率，
因为，
所以B人采用的方案使自己乘上等车的概率大．